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2026 届高三第二学期 4 月质量检测 数 学
(试卷满分: 150 分, 考试时间: 120 分钟)
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm 的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 请将答题卡上交。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 若 ,则 的虚部为
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
3. 函数 的最小正周期是
A. B. C. D.
4. 记 的内角 的对边分别为 ,已知 ,则 的值为
A. 4 B. C. 3 D.
5.26078 被 7 除所得的余数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 若 ,则
A. B. C. D.
7. 已知随机变量 的所有可能取值为 0,1,2,且 ,则
A. 0.48 B. 0.54 C. 0.76 D092
8. 设椭圆 的左、右焦点分别为 为坐标原点,过 的直线与 交于 两点,若 ,则 的离心率为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ,则
A. 是奇函数 B. 是周期函数
C. D.
10. 已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为 2,过点 的直线交 于 两点,设 为坐标原点,则
A.
B. 若 为 的重心,则
C. 若 ,则
D. 若 为定值，则
11. 已知函数 的定义域为 ,对 都有 ,记 ,则下列说法正确的是
A. 数列 是等差数列
B. 当 时,
C. 当 时,
D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ,则曲线 在点 处的切线方程为_____.
13. 已知非零向量 满足 ,则 _____.
14. 如图,点 均在球 的表面上, , ，平面 平面 ，则球 的体积为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
已知数列 是等差数列,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明: .
16.(本小题满分 15 分)
已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,离心率为 ,且点 在双曲线 上.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若双曲线上存在一点 ，满足 ，求点 到双曲线的两条渐近线的距离之和.
17. (本小题满分 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 是正三角形， ， 为 的中点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值.
18.(本小题满分 17 分)
某区域中的物种 拥有 两个亚种. 设从该区域中随机捕获 1 个物种 ,该物种 为 种的概率为 ,为了估计该区域中物种 的数目,研究人员从该区域中随机捕获 3 个物种 ,设 3 个物种 中 种的数目个数为 ,再将捕获的物种全部放回,作为一次试验结果,重复上述试验共 6 次. 记第 次捕获时 种的数目为 . 统计结果如下表:
1 2 3 4 5 6
3 3 2 3 1 3
(1)求 的分布列；
(2)设函数 ，已知该区域中 种的数目为180. (将使 取得最大值的 值作为 的估计值)
(i) 求 的估计值;
(ii)据(i)估计该区域中物种 的数目.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 时，证明: ；
(2)若 存在两个极值点 ，记 ， .
(i) 求 的取值范围;
(ii) 若 ，求直线 斜率的最小值.
2026 届高三第二学期 4 月质量检测 数学 参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C A A D C B
题号 9 10 11
答案 BD ABD BCD
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】D
由 解得 . 且 ,所以 . 故选 D. 2.【答案】A
设 ,则 ,由题意得 ,解得 ,则 的虚部为 1 . 故选 A.
3.【答案】C
,所以 的最小正周期为 ,故选 C.
4.【答案】A
由余弦定理得 ,所以 . 故选 A.
5.【答案】A
,所以 , 被 7 除所得的余数为 1 ,故选 A.
6.【答案】D
. 则 ,所以 ,故选 D.
7.【答案】C
设 ,则 ,故 ,解得 ,由 可得, . 故选 C.
8.【答案】B
由已知得, , 即 ,所以 ,所以 为直角三角形且 ,故在 中, ,即 ,故 . 故选 B.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9.【答案】BD
,所以 ,故 的定义域不关于原点对称,故 非奇非偶, A 错误;
,故 ,所以 是周期函数, 正确;
令 ,所以 ,故 错误, 正确. 故选 BD.
10.【答案】ABD
到其准线的距离为 选项正确:
若 为 的重心,则 垂直 轴,且 ,令 ,则 ,所以 选项正确;
设直线 ,联立抛物线可得, ,不妨设 ,解得 选项错误;
,所以 . ，因为 为定值，所以 ，解得 。D 选项正确；故选 ABD.
11.【答案】BCD
令 ,所以 ,解得 . 令 ,则 ,故 ,所以 是公差为 1 的等差数列,故 ,则 选项错误;
, B选项正确:
. 且当 时, ,所以 选项正确:
因为 ,所以 ,故 ,由题意得 ,则 , D 选项正确. 故选 BCD.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.【答案】
,则 ,故曲线 在点 处的切线方程为 ,即 .
13.【答案】
由题意得 ①， ②，所以 ③，将③代入 ① 解得 .
14.【答案】 _____
取 的中点 ,连接 ,如图,在 中, ,因为平面 平面 ,且平面 平面 ,所以 平面 .
设 ,则 .
因为 ,所以 ,解得 ,则 ,
所以 ,因为 ,所以 .
取 的中点 ，则 为 外接圆的圆心，过点 作直线 垂直于平面 ，
设 外接圆的圆心为 ，过 作直线 垂直于平面 ，记 ，
在 中,由正弦定理可得 ,解得 ,
则 为四面体 外接球的球心. 连接 ,
则 .
四面体 外接球的半径为 .
所以四面体 外接球的体积为 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.【答案】(1) (2) 详见解析
(1)设等差数列 的公差为 ,
由 ,可得 , 2 分
解得: ， ， 4 分所以 : 5 分
(2)由(1)知 ，由 ，得 ， 7 分
则数列 是首项为 2,公比为 8 的等比数列. 8 分
所以 . 10 分
所以 . 13 分
16.【答案】
(1) 由题意得 , 2 分
解得 . 5 分
故双曲线的方程为 ; 6 分
(2)设点 ，则 ， 7 分
由 (1),得 ,则 ,即 , 9 分
因为 ,所以 ,整理得 , 10 分
又因为 ,所以 , 11 分
双曲线 ,故两条渐近线为 , 12 分
设点 到两条渐近线的距离分别为 , 13 分
则 ,
故点 到双曲线的两条渐近线距离之和为 . 15 分
17.(1) 如图，记 ，连接 . 1 分
因为四边形 为菱形,所以 , 2 分
因为 是正三角形,所以 ,所以 , 3 分
因为 平面 ,故 平面 ,因此平面 平面 ; 5 分
(2)由已知得 . 6 分
且 . 解得 . 7 分
因此 ,即 . 8 分
且 ,所以 平面 . 9 分
以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 .
所以 . 11 分
设平面 的法向量 ,平面 的法向量 ,则
即 可取 . 12 分
即 可取 . 13 分
所以 . 14 分
因此二面角 的正弦值为 . 15 分
18.(1) 的所有可能取值为 0,1,2,3, 1 分
且 , 3 分故 的分布列为,
0 1 2 3
6 分
(2)(i)由题设得 , 9 分
10 分
当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减, 12 分
因而当 时, 取得最大值,故 的估计值为 ; 14 分
(ii)由 (i) 可知，当且仅当 时， 取得最大值，即出现上述试验结果的概率最大，因此可以认为从该区域中随机捕获 1 个物种 时为 种的概率为 . 15 分
故该区域中物种 的数目为 . 17 分
19.(1)当 时, ,则 , 1 分
记 ,则 ; 2 分
当 时, 单调递增, 3 分
故 ,所以 在区间 上单调递增,所以 ; 4 分
(2) (i) ,且 存在两个极值点 ,设 ,则 . 当 时, 时, . 6 分
故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，且 ，曲线 与直线 有两个不同的交点,所以 ,即 ; 8 分
(ii) 由 (i) 可得 ,所以 ,又因为 ,所以 ,则 ,所以 ,设直线 的斜率为 . 10 分
12 分
且 ,则 , 13 分
代入得 . 14 分
设 ,则 , 15 分
设 ,则 ,故 在 上单调递增,则 ,故 单调递增,所以 ,且 . 16 分
则 ,故直线 斜率的最小值为 . 17 分

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