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合肥市第六中学 2026 届高三下学期数学周考四
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. ” ” 是 “直线 与圆 相切” 的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 复数 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 等腰直角 中， ， ，点 在 外接圆上运动，若 ， 则 的最大值为( )
A. B. 2 C. D. 3
5. 有这样一种说法: 一张纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离, 但实际上, 因为纸张本身有厚度,所以我们并不能将纸张无限次对折,当厚度超过纸张的长边时,便不能继续对折了.一张长边为 ,厚度为 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折后，长边变为 ，厚度变为 . 在理想情况下， 对折次数 满足关系: . 根据以上信息,一张长为 ,厚度为 的纸经过对折后的厚度的最大值为(参考数据: )( )
A. B. 2.56cm C. 12.8cm D. 6.4cm
6. 已知双曲线 的右焦点为 ,过点 且斜率为 的直线 交双曲线于 两点，线段 的中垂线交 轴于点 . 若 ，则双曲线的离心率取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 科学研究中经常涉及对粒子状态的分析. 某假想粒子有状态 1，状态 2，状态 3，......，每种状态下的粒子经过 1 秒有两种可能: 状态保持不变或变为更高一级状态,已知状态 1 的粒子有 的概率变为状态 2,状态 2 的粒子有 的概率变为状态 3,以此类推. 现有若干状态 1 的该粒子,则经过 3 秒处于状态 1 和状态 2 的粒子数目约占 ( )
A. 39% B. 51% C. 64% D. 73%
8. 如图，在平面直角坐标系 上，有一系列点 ，每个点 均在函数 的图象上. 已知以点 为圆心的 均与 轴相切， 与 外切，且 ，则( )
A. 是等比数列,且公比为 B. 是等比数列,且公比为
C. 是等差数列,且公差为 2 D. 是等差数列,且公差为 4
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知四棱锥 的体积为 12，四边形 是平行四边形， 为 的中点，经过直线 的平面与侧棱 ， 分别交于点 ， . 设 ， ，则()
A. 时， 平面 B. 时，
C. 四面体 的体积为 3 D. 四棱锥 的体积的最小值为 4
10. 已知 ,若 ,且 (e 为自然对数的底数),则()
A. B.
C. D.
11. 棱长为 1 的正方体 中,点 在线段 上 (不与 重合), 于 于 ,以下结论错误的是( )
A. 平面 B. 线段 与线段 的长度之和为定值
C. 线段 长度的最小值为 D. 面积的最大值为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知数列 满足 ，且 ，则 _____.
13. 已知 ，若在区间 上存在两个不相等的实数 ， ，满足 ，则 的最小正整数为_____.
14. 以 间的整数 为分子,以 为分母组成分数集合 ,其所有元素和为 ; 以 间的整数 为分子,以 为分母组成不属于集合 的分数集合 ,其所有元素和为 ,依次类推以 间的整数 为分子,以 为分母组成不属于 的分数集合 ,其所有元素和为 ；则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分) 在 中，角 所对的边分别为 . 已知 ，且 .
(1)当 时，求 的值；
(2)若角 为锐角，求 的取值范围.
16. ( 15 分) 幻觉，是指 模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象， 幻觉率是指 模型产生 幻觉的概率. 现抽取了某公司研发的 14 个使用率较高的 模型,其幻觉率如下表所示:
Al 模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
幻觉窜 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8%
(1)从表中提供的 模型中任取一个，求该模型幻觉率小于 的概率；
(2)从表中提供的幻觉率小于2%的 模型中任取 3 个，用随机变量 表示其中幻觉率小于1.3%的模型个数， 求随机变量 的分布列和数学期望.
17. (15分)在矩形 中， 为 的中点，将 沿 翻折至 ，使得平面 平面 ,得到如图所示的四棱锥 .
(1)证明: ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
18.(17分)已知函数 的一个极值点是 .
(1)求 与 的关系式；
( 2 )求出 的单调区间；
(3) 设 ,若存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围.
19.(17 分)已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 分别为左、右焦点, 为右顶点, 为 左支上的两个动点 (不包括顶点).
(1)求 的离心率；
(2)是否存在常数 ，使得 总成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由； (3)若 为定值,直线 经过 ,求 的最小值.
合肥市第六中学 2026 届高三下学期数学周考四参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。
1. 【答案】C
依题意, 且 , 所以 . 故选:
2. 【答案】B
由直线 与圆 相切,
得 ,解得 或 ,
则 “ ” 是 “直线 与圆 相切” 的充分不必要条件. 故选: B.
3. 【答案】B
，所以复数 在复平面内对应的点为 ， 故选: B
4. 【答案】B
以直角顶点 为原点, 为 轴, 为 轴,建立平面直角坐标系,
则: ,外接圆圆心为斜边 的中点 ,坐标为 ,半径为 , 故外接圆方程为: . 又因为 ,其中 , 则 . 将 代入圆的方程得 ,即 ,
,解得 ,当且仅当 时取得 的最大值 2 . 故选: B.
5.【答案】D
因为对折次数 , 所以这张纸最多能对折 7 次. 因为对折 次后，纸张的厚度为 ，所以对折 7 次后纸张的厚度为 . 放选: D.
6. 【答案】A
设双曲线的右焦点为 ,则直线 , 联立方程 ,则可得 ,则设线 的中点 ，则 ， ， 设线段 的中点 ，则 ， ， 即 ,且 ,线段 的中垂线的斜率为 ,则线段 的中垂线所在直线方程为 ,令 ,则 ,解得 , 即 ,则 ,由题意可得: ,即 ，整理得 ，则 ，注意到双曲线的离心率 ， 双曲线的离心率取值范围是 故选: A.
7. 【答案】C
设经过 3 秒处于状态 1 的概率为 ,粒子要始终停留在状态 1,需连续 3 秒都保持状态 1,根据
独立事件概率公式: ; 设经过 3 秒处于状态 2 的概率为 ,
情况一:第 1 秒从状态 1 变为状态 2，第 2 秒和第 3 秒都保持状态 2 不变，概率为 ，
情况二:第 1 秒保持状态 1 不变,第 2 秒从状态 1 变为状态 2,第 3 秒保持状态 2 不变,概率为 ;
情况三:第 1 秒和第 2 秒保持状态 1 不变,第 3 秒从状态 1 变为状态 2,概率为 ,
将上述三种情况的概率相加,得到经过 3 秒后处于状态 2 的粒子的概率为 ,
则经过 3 秒后处于状态 1 和状态 2 的粒子数目占总粒子数的比例为将经过 3 秒后处于状态 1 和状态 2 的粒子的概率相加,可得
8.【答案】C
因为 与 相外切,所以 ,
即 ,所以 ,
因为每个点 均在函数 的图像上,可得 ,
所以 ,即 ,所以 所以数列 是等差数列,且公差为 2, 所以 ,则 ,此时数列 不是等比数列. 故选: C.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 【答案】BCD
由题可知 是平面 和平面 的交点,
当 时 ,所以 ,又 平面 在平面 外,
所以BD11平面 ,若 平面 ,则由 平面 得平面 平面 ，则平面 与平面 无交点，与 是平面 和平面 的交点矛盾，故 错误； 时， ，因为 为 的中点，所以 ，
因为四边形 是平行四边形，所以 ，则 ，
又因为 平面 、 平面 ，则 平面 ，
所以 是平面 与四棱锥 的棱 的交点，所以 与 重合，即 ，所以 ，故 正确; 因为 为 的中点,所以点 和点 到平面 距离相等,
所以四面体 的体积为 ，所以四面体 的体积为 3，故 C 正确; 由题意可得
,因为 共面,所以 即 ,
设点 到平面 的距离为 ，则 ，因为 ， ，
所以点 到平面 的距离为 ,点 到平面 的距离为 ,
所以 ,
,所以
，因为 为 的中点，所以点 和点 到平面 的距离相等，所以 ，
所以四棱锥 的体积为
,当且仅当 即 时等号成立,
所以四棱锥 的体积的最小值为 4,故 正确.
10.【答案】ACD
由 ,可知 或 ,又 ,因 同正,两边同除以 可得 ,
令 ,则 ,所以当 时, 在 上单调递减,
当 时, 在 上单调递增,当 且 ,此时 与题意不符合;
当 且 时, ,故 . 令 ,则 ,
当 时, 在 上单调递减,又 ,所以 ,所以 ,
所以 ,故 A 正确; 令 ,则 ,
所以当 时， ， 在 上单调递增，当 时， ， 在 上单调递减,因为 ,所以当 时, ,
即 ,即 ,故 B 错误; 令 ,则
,记 ,则 ,
所以 ,则 ,所以 在 上单调递增,所以 ,即 ,即 ,所以 ,即 ,故 正确;
令 ,则 ,
令 ,则 ,即 在 上单调递增,所以 , 在 上单调递增,所以 ,即 ,故 D 正确. 故选: ACD.
11.【答案】D
对于 如图，在正方体 中， 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ,又平面 平面 平面 且 ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以 ,
又 , , 平面 ,所以 平面 ,故 A 正确;
对于 : 因为 平面 平面 ,
所以 ，所以 ，所以 ，即得 ；
又由 ,所以 ,所以 ,所以 ,
即得 ,所以 ,即 为定值 1,故 B 正确;
对于 ,由 知 平面 ,因 平面 ,则有 ,
所以 的面积 ,当且仅当 时等号成立,
即当 时， 面积的最大值为 ，故 D 错误；
对于 ,由 知 ,则 ,当且仅当 时等号成立, 即当 时,线段 长度的最小值为 ,故 正确. 故选: .
三、填空题:本题共3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 【答案】
设 ,则 . 由 ,解得 .
又 ，所以数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列. . 故答案为:
13.【答案】5
因为 ,所以 ,
又函数 在区间 上存在两个不相等的实数 使得 , 且 ,所以函数在区间 上至少存在两个最大值点,所以 ,解得 , 所以 的最小正整数为: 5 .
14.【答案】
由题意
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分) (1) ，或
( 1 )由题设及由正弦定理，由 ，得 ， .
由 ，解得 ，或
(2)由余弦定理， ， 即 ,由题设知
16.(15分)(1) (2)分布列见解析，1
(1)14 个 AI 模型, 幻觉率高于 2% 的有 2.9%, 2.9%, 2.4%, 2.4%, 2.8%，共有 5 个， 所以幻觉率低于2%的概率为 .
(2)幻觉率低于 2%的 AI 模型中共 9 个，其中低于 1.3%的模型有 3 个，故 故分布列为
0 1 2 3
20 84 45
故 .
17. (15 分) (1)证明见解析
(1)
在矩形 中, 为 的中点,
所以 ，所以 ，所以 ，
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 . 又 平面 ，所以 .
(2)取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，则 ，所以 平面 ， 由题可得 ,所以 ,所以 两两垂直,
以 为原点, 所在直线分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,所以 , . 设平面 的一个法向量为 ,
则 ,取 ,得 ,所以 . 设直线 与平面 所成角为 ,所以 ,所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18.(15分)(1) (2)当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 ; 当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 . (3)
(1)因为 ,所以 , 因为函数 的一个极值点是 ,所以 ,即 ;
则有 ,当 时, ,函数 在 上单调递减,此时函数没有极值点,不符合题意. 所以 .
(2) ,由 (1) 可知 .
① 当 时，令 得 或 ，列表如下:
(-0,2) 2 (2,-a) -a (-a,+∞)
- 0 + 0 -
满足 是函数 的极值点;
② 当 时，令 得 或 ，列表如下:
(-a,2) 2 (2,+∞)
- 0 + 0 -
满足 是函数 的极值点.
所以当 时,函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 和 ; 当 时,函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 和 .
(3)由(1)(2)知， ，
且 时, 在 单调递增,在 单调递减,又因为 ,
所以 在 上的最大值为 ,最小值为
又当 时,函数 在 单调递增,所以 在 上的最大值为 ,最小值为 . 因为存在 ,使得 成立,即存在 ,使得 成立,即 ,又 ,所以解得 ,所以实数 的取值范围为 .
19.(17 分)(1)2(2)存在常数 ，理由见解析(3)6
(1)由题意 ，所以 ，所以 的离心率 .
(2)① 当 时， ， ，此时 ，有 .
② 当 时，可得 的斜率都存在，设 ，则
,
因为 ,
即 ,其中 为锐角,即 ,
所以 ,即 . 所以存在常数 ,使得 总成立.
(3)由对称性，设直线 的方程为 ，代入 ，
得 ,即 ,
所以 ,
令 ,则 ,令 ,则
所以 单调递增,所以 的最小值为 ,所以 ,当且仅当 “ ” 时,
取等号.由(2)可知 ，所以
. 所以
,当且仅当 “ 且 ” 时,取等号. 所以 的最小值为 .

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