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2023 级高三下学期二模模拟考试 数学试题
2026.04
一、选择题(本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.)
1. 已知复数 满足 ，且 ，则 ( )
A. 1 B. -1 C. i D. -i
2. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 有 5 名同学 参加唱歌比赛,抽签决出出场顺序. 若 和 都不是第 1 个出场,且 不是最后一个出场，则这 5 人不同的出场顺序种数为( )
A. 42 B. 50 C. 54 D. 60
4. 设等差数列 的前 项和为 ,公差为 ,若 ,则 ( )
A. 15 B. 14 C. 13 D. 12
5. 已知函数 的部分图象如右图所示,图中阴影部分的面积为 ，则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知 为样本空间中的两个随机事件,其中 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知点 ,抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线 上一动点，则 的最大值为( )
A. 1 B. C. D. 2
8. 已知两个不相等的正实数 满足: ,则下列不等式中一定不成立的是 ( )
A. B. C D.
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 下面说法正确的是( )
A. 设 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，若 ，则
B. 命题“ ”的否定形式是“ ”
C. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件
D. 函数 的图象关于点 成中心对称
10. 已知圆 经过双曲线 的两个焦点 ，且 为双曲线 上异于顶点的任意一点,点 ,则( )
A. 点 在双曲线 上
B. 当 在圆 上时, 的面积为 8
C. 点 到双曲线 的两条渐近线的距离之积为 3
D. 双曲线 上存在定点 ,使得直线 和 的斜率之积为定值
11. 某化学晶体结构的局部空间构型可抽象为正八面体.如右图所示, 已知正八面体 棱长为 2，下列结论正确的有( )
A. 平面 与平面 的夹角的余弦值为 B. 正八面体的内切球半径与外接球半径的比值为
C. 正八面体的体积与表面积的比值为 D. 点 到平面 距离为
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 已知向量 满足 ，则 _____.
13. 在锐角三角形 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，则 的取值范围为_____.
14. 若存在实数 ,使得关于 的方程 有两个不同的根,其中 为自然对数的底数,则实数 的取值范围是_____.
四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. 随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了 2021 年到 2025 年充电桩数量 (单位:万个)，为方便研究，年份代码用 表示(如: 表示 2021 年),具体参考数据如下表:
统计量
数值 55 72.6 21
(1)请根据表中数据，建立 关于 的回归直线方程 ；
(2)现对该市某区域现有的 9 个充电桩进行检查，其中 4 个为快充桩，随机抽取 3 个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为 ,求 的分布列及均值.
(参考公式: )
16. 苏仙岭又称“天下第十八福地”，小明在苏仙岭山脚下的正西方的 处，此时他测得山顶 的仰角为 30 . 他沿着东偏南 30 的方向前行 200 米后到达点 处,此时他测得山顶点 的仰角为 . 假设山顶在水平面上的投影为点 ,且点 位于点 的南偏西方向,测量仪器的高度忽略不计.
(1)求山高 ；
(2)已知景区内点 处有一缆车，缆车从山脚出发，上山分为两段:平缓上升阶段的倾斜角为 ，在行至山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为 30 . 求山脚下缆车上车点 到 点的距离.
问题 (2) 示意图
17. 已知圆 外有一点 .
(1)当 时，过点 作直线 ，当直线 与圆 相切时，求直线 的方程；
( 2 )自点 发出的光线经过 轴反射后与 相切，记与 相切的两条反射光线所在直线的斜率之积为 ， 数列 的前 项和为 ,求证: .
18. 已知椭圆 的离心率为 分别是椭圆的左,右焦点,点 为椭圆上任意一点,且 面积的最大值为 所在的直线经过椭圆的中心 ,现将坐标平面沿 轴折成一个直二面角, 如图 1、2 所示.
折叠前图1
折叠后图2
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线的斜率为 1，求翻折后异面直线 与 所成角的余弦值；
(3)当 不在 轴上时，如图 2，求 面积的最大值.
19. 已知函数 ( 为自然对数的底数)
(1)若 在 处的切线与 恰有一个公共点，求 的值；
(2)若 ，讨论函数 的单调性；
(3)若函数 至少存在一个零点，求 的取值范围.
2023 级高三下学期二模模拟考试答案 2026.04
一、选择题 1.B 2.C 3.D 4.A 5.C 6.D 7.B 8.A 9.ABD 10.ABD 11.ABD
三、填空题
7.抛物线 的准线方程为 ,
设 到准线的距离为 ,则 ,
则 ,
则当 与抛物线 相切时, 最小,即 取得最大值,
设过 点的直线 与抛物线相切 ,
联立 ,得 ,
,解得 ,
即有 ,解得 ,把 代入 得 ,
或 ,此时 .
8.由已知 ,原式可变形
令 ,
函数 与 均为 上的增函数,且 ,且 ,
当 时,由 ,则 ,可得 ,
当 时,由 ,则 ,可得 ,
要比较 与 的大小,只需比较 与 的大小,
设 ,则 ,故 在 上单调递增,
又 ,
则存在 使得 ,
所以当 时, ,当 时, ,
又因为 ,
所以当 时, ,当 时, 正负不确定,
故当 时, ,所以 ,故 ,
当 时, 正负不定,所以 与 的大小不定,
所以 均有可能,即选项 均有可能,选项 不可能.
10.由题知双曲线 的焦点在 轴,
故 ,焦点坐标为 ,
因为圆 过焦点,代入得 ,即 ,解得 , 因此双曲线 的方程为: .
对于 : 点 代入双曲线方程得左边 右边,
因此 在双曲线 上,故 正确;
对于 : 联立 ,消去 得 ,故 横坐标可以为 ,
中, ,高为 ,
面积 ，故 正确.
对于 : 双曲线渐近线为 ,
设 ,点 到双曲线 的两条渐近线的距离分别为 ,
因为 在双曲线上,故满足 ,即 ,
点 到双曲线 的两条渐近线的距离之积如下,
为 ,故 C 错误;
对于 : 设 是位于双曲线上,关于原点对称,且异于 的两个点,
则 ,
又 ①， ②，由①-②得到 ，
得到 ,所以 ,
综上, 只要满足位于双曲线上, 关于原点对称,
且异于 的两个点均可满足点 与两点连线斜率之积为定值 ,
故当点 坐标为 时,
直线 和 的斜率之积为定值 ，故 正确.
11.设正方形 的对角线交点为 ，则 ， ， A 选项,取 中点 ,连接 和 ,因为 和 都是等边三角形,所以 且 ,
因此 即为二面角 的平面角,又 , 由余弦定理可得 ，那么平面 与平面 的夹角的余弦值为 正确;
B 选项,因为 到所有顶点的距离相等,因此 也是外接球球心,外接球半径 , 显然内切球球心也为 ,内切球半径 即为 到平面 的距离也即到 的高,
在 中, ,利用等面积法有 ,可得 ,所以比值为 正确;
选项,设正八面体的体积和表面积分别为 和 ,由等体积法可知 ,其中 即为内切球半径, 所以 错误;
D 选项,设点 到平面 的距离为 ,利用等体积法有 , 得 ， 正确.
13.由正弦定理 可得 ,
则
,
由三角形 为锐角三角形,则 ,即 ,
则 ,故 ,
即 ，即 的取值范围为 .
14.由题意得 ,则 ,
令 ,则 ,
令 ,则 ,
当 时, ,当 时, ,
所以函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
当 时, ,故 ,
当 时, ,故 ,
当 时, ,故 ,
当 时, ,故 ,
因为 ,作出函数 图象如右图:
由图可知若存在实数 ,使得关于 的方程 有两个不同的根,
则实数 的取值范围是 .
四、解答题
15. 解:【1】 2 分 4 分 5 分
所以,回归直线方程为 6 分
【2】由题意知随机变量 的可能取值为0,1,2,3,则:
8 分
10 分
0 1 2 3
5 42
11 分
故均值 13 分
16. 解:【1】如图,在 中,设
由题意知 ,且
由余弦定理, 2 分
代入得:
化简得: ,即
解得 或 5 分
由“点 位于点 的南偏西方向”可知, 必在 的东北方向,从而 的横坐标应大于 的横坐标.
由 点向东位移为 米,可得 ,即 .
故只能取 7 分所以山高 米. 8 分
【2】由第(1)问知,山高 米.
因为缆车在点 处转换坡度，故两段缆车各上升 100 米. 设第一段(倾斜角 15°)的水平距离为 ，即 ， 第二段(倾斜角 30 )的水平距离为 ，即 则有: ,所以 11 分因此,山脚下缆车上车点到 点的距离为: 12 分利用常用三角函数值: 得 14 分故山脚下缆车上车点到 点的距离为 米 15 分
17. 解:【1】圆 ,圆心 ,半径 . 由题意可知直线 的斜率 存在,设直线 的方程为 ,即 由于直线 与圆 相切,所以 ,解得 或 4 分所以直线 的方程为 或 ; 6 分
【2】记点 关于 轴的对称点为 ,则
由于反射光线所在直线经过点 ,且斜率存在
设反射光线所在直线 ,即
又圆 的圆心为 ,半径 ,直线 与圆 相切,则 8 分整理得
则两条切线的斜率之积 10 分
所以 12 分
15 分
18. 解:【1】由题意知 ,解得
椭圆 的标准方程为 . 4 分
【2】翻折前, 所在直线方程为
联立 ,消 得 ,解得 5 分
不妨设 ，翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系.
则
于是
设异面直线 与 所成角为
8 分
故异面直线 与 所成角的余弦值为 . 9 分
【3】设翻折前 所在直线方程为
联立 ,消 得
设 (令 )
由韦达定理有 11 分
翻折后,
故
则
所以 13 分
于是
所以
令 ,有 ,于是 .
令 ，由对勾函数的性质
在 上单调递增. 15 分
所以当 时 取得最小值,为 ,此时 取得最大值
的最大值为 . 此时 ,解得 . 16 分
17 分
19. 解:【1】由 得 . 1 分
当 时, .
所以,曲线 在点 处的切线方程为: . 2 分由题意,这条切线与曲线 恰有一个公共点.
联立得 ,整理为 .
因为两曲线恰有一个公共点, 所以该一元二次方程有两个相等实根
故判别式 3 分
于是 ,从而
故 . 5 分
【2】因为 ,
所以
由于 ,故 ,因此 的符号由 的符号决定.
分情况讨论:
① 当 时，对任意 ，都有 ，故 .
所以函数 在区间 上单调递增. 6 分
② 当 时，当 时， ，故 ；
当 时, ,故 .
因此,函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增. 7 分综上,当 时,函数 在区间 上单调递增;
当 时,函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增. 8 分
【3】由 ,
要使函数 至少存在一个零点,只需方程 在 上至少有一个解.
移项得 . 设 9 分
则问题转化为: 求函数 的值域.
将 拆成两个函数: ,则 .
先讨论 的单调性. 因为 ,
所以: 当 时, ,故 在 上单调递增;
当 时, ,故 在 上单调递减.
因此,函数 在 处取得最大值 . 12 分
再讨论 的单调性. 因为
所以: 当 时, ,故 在 上单调递增;
当 时, ,故 在 上单调递减.
因此,函数 在 处取得最大值 14 分由于 与 在区间 上都单调递增,在区间 上都单调递减
所以它们的和 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减从而在 处取得最大值.
于是 . 故 16 分
因此，函数 至少存在一个零点，当且仅当
所以 . 17 分

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