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蚌埠二中 2025-2026 学年第二学期第 4 次周回顾练习 高二数学试题
考试内容或范围:选择性必修一+选择性必修二+第六章+7.1, 7.2
时 长: 90 分钟
一、选择题: 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
2. 已知函数 的导函数为 ,且满足 ,则
A. 1 B. -1 C. e D. -e
3. 已知递增的等比数列 的前 项和为 ,若 是方程 的两个根, 则
A. 126 B. 63 C. 62 D. 31
4. 已知直线 ，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5. 若 ,则 的值为
A. 45 B. 55 C. 120 D. 165
6. 在 2025 年 10 月 19 日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往 三个服务站,若每个服务站至少派一位志愿者,且每位志愿者只能被派往一个服务站,则在甲被派去 服务站的条件下,甲、乙被派去同一个服务站的概率为
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中,已知点 分别为椭圆 的左,右焦点, 为椭圆 上的点,过 作角 的外角平分线的垂线,垂足为点 ,则点 的轨迹长度为
A. B. C. D.
8. 函数 有两个零点,则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题: 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。
9. 已知 ,则( )
A. B.
C. D.
10. 将 4 个编号分别为 1,2,3,4 的小球放入 4 个编号分别为 1,2,3,4 的盒子中，下列说法正确的是( )
A. 共有 256 种放法
B. 若每个盒子都有小球, 则有 24 种放法
C. 若恰好有一个空盒，则有 144 种放法
D. 若每个盒内放一个小球，且恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同，则有 24 种放法
11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为棱 的中点， 为侧面 内一点 (含边界), 则 ( )
A. 若 为线段 上一点,则三棱锥 的体积为定值
B. 若该正方体表面上的动点 满足 ，则动点 的轨迹长度是
C. 若 为侧面 的中心，则过 且与 垂直的平面截正方体所得截面面积为
D. 若该正方体的内切球表面上的动点 满足 平面 ，则线段 长度的最小值为
三、填空题:第13，14题是分层习题，请从博雅、中字两题中选择1题作答。
12. 已知函数 ,若 的图象在点 处的切线经过点 ,则实数 _____.
13.(博雅)动点 从原点出发，每次向数轴正方向移动一个单位或两个单位长度. 现每次用掷一枚质地非均匀硬币的方式决定 如何移动:若掷得正面， 移动两个单位；若掷得反面，则 移动一个单位. 设掷得正面的概率为 ，则 恰好移动到 2025 点的概率为_____.
(中字) 的展开式中 的系数为_____.
14.(博雅)对于集合 ，若存在集合 的 个两两不同的子集 ，且满足: ,则称其为集合 的一条“链”,称 为这条“链”的长度. 当集合 的元素个数为 时,有以下四个结论:
①集合 的最长“链”的长度为 ；
②任意两个集合都可以出现在同一个“链”中；
③当 时，该集合的任意两条长为 4 的“链”中一定具有相同集合；
④集合 的最长“链”的总数为 .
其中所有正确结论的序号是_____.
(中字) 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,记掷出点数 1 为事件 ,抛掷 次后事件 发生奇数次的概率为 ,则 _____. (用 表示)
四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 题是分层习题，请从博雅、 中字两题中选择 1 题作答。
15. 已知随机变量 的分布列:
1 2 3 4 5
(1)求 ；
(2) 求 .
16. 人工智能(Artificial Intelligence)，英文缩写为 AI，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学. 如今利用 “人工智能” 的场景屡见不鲜, 从帮助记忆单词、解答难题 、到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为:比赛采用三局两胜制 (率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利, 且比赛结束), 已知小明第一局获胜的概率为 . 从第二局开始,如果上一局获胜,则本局获胜的概率为 ; 如果上一局失败,则本局获胜的概率为 ,每局比赛均没有平局.
(1)求小明以 2:1 获得比赛胜利的概率；
(2)在小明以 2:1 获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率；
(3)记整场比赛小明的获胜局数为 ，求 的分布列.
17.(博雅)一种加密传输信号发出信号“11”的概率为 ，发出信号“2”“3”“4”三个信号的概率均为 . 某次传输信号过程中,传输器一共发出了 次信号,信号接收人员按照传输先后顺序依次记录得到信号序列. 例如,当 时,“1123”为一个发出的信号序列, 共有四个数字.
(1)若 ，记信号序列中数字 2 的个数为 ，求 的数学期望和方差；
(2)若 ，记信号序列中第 个数为 的概率为 ，求:
(i) ;
(ii) .
17.(中字)已知正方体 的棱长为 ，对角线 的中点为 ，动点 在平面 内,且点 到平面 的距离等于 .
(1)求四棱锥 体积的最小值；
(2)记点 的轨迹为曲线 ，点 是曲线 上不同三点.
(i)若平面 与轨迹 相交于 两点，求线段 的长；
(ii) 若点 在点 上方,且 与平面 所成角相等, 平面 过 且与 平行,判断平面 与平面 的夹角是否为定值,若是定值, 求出这个夹角的余弦值; 若不是定值, 请说明理由.
蚌埠二中 2025-2026 学年度第二学期第 4 次周回顾练习 高二数学答案
一、单选题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. A
根据离心率得 关系,进而得 关系,再根据双曲线方程求渐近线方程, 得结果.
详解: ,
因为渐近线方程为 ,所以渐近线方程为 ,选 A.
点睛: 已知双曲线方程 求渐近线方程: .
2. B
由导数的四则运算即可求解.
由 ,
求导可得: ,
令 ,可得: ,
故选: B
3. A
根据题意求出 的值,进而可求得数列 的首项和公比,利用等比数列的求和公式可求得 的值.
解方程 得 ,
因为等比数列 单调递增,且 是方程 的两个根,
所以 ,
设等比数列 的公比为 ,则 且 ,
所以 ,则 ,
因为数列 的前 项和为 ,
则 .
4. C
根据充分条件, 必要条件的定义, 结合两条直线平行的条件即可求出答案.
当 ,直线 ,此时 ,故 “ ” 是 “ ” 的充分条件,
由 ,得 ,解得 ,故 “ ” 是 “ ”的必要条件,
故“ ”是“ ”的充要条件.
故选: C.
5. D
利用组合数的性质求出 的值,再利用组合数的性质可求得 的值.
因为 ,则 ,解得 ,
故
.
故选: D.
6. A
先求出甲被安排到 服务站的方法数,再求出甲,乙被派去同一个服务站的方法数, 然后求其概率即可.
先求甲被派去 服务站的方法数;
第一种情况: 甲一个人去 服务站,则有 种;
第二种情况:甲和其中一人去 B 服务站，则有 种；
故甲被派去 服务站的方法数共 种；
再求甲乙被派去同一个服务站的方法数: 有 种;
故概率为 .
7. A
延长 交 延长线于点 ,根据椭圆的定义以及外角平分线的性质可得
,利用中位线定理可得 ,得到点 的轨迹是以原点 为圆心、半径 的圆.
根据题意可得
延长 交 延长线于点 ，因 是 的外角平分线且 ，
故 为等腰三角形,即 为 中点,
由椭圆定义: ,
则 ,
在 中， 为 中点， 为 中点，
根据三角形中位线定理: ，
所以点 的轨迹是以原点 为圆心、半径 的圆,
则轨迹长度 (圆周长): .
8. B
根据题意转化为 与直线 有两个交点,求导画出大致图象即可判断.
由题函数定义域为 ,
函数有两个零点,等价于方程 有两个解,
即 与直线 有两个交点.
因为 ,所以 ,
令 ,
易知 在 单调递增,
当 时, ,当 时, ,
令 ,则存在唯一的 ,
所以 ,即 ,
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
在 处取得最小值,
代入 , ,
当 时 ,当 时 ,
所以大致图象如图所示,
所以 ,
即 .
故选: B.
二、多选题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 全部选对的得 6 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得部分分。
9.
由二项式定理写出 的展开式的通项,求出 的系数 判断 ; 对于 , D,先求出常数项 ,再令 ,求出 ,减去 ,可判断 ; 令 , 求出 ,即可求得 判断 ; 令 ,求出 ,再利用通项求得 ,即可求出 ,判断 .
的展开式的通项为 .
令 ,得 .
对于 ,令 ,得 ,所以 错误.
对于 ,令 ,得 ,所以 ,所以 B 正确.
对于 ,由通项可知, 为奇数时,对应项的系数为负数,即 均小于零; 为偶数时,对应项的系数为正数,即 均大于零.
所以 .
令 ,得 .
所以 ,所以 正确.
对于 ,令 ,得
由通项 ,令 ,得 . 所以 ,所以 错误.
故选: BC.
10. ABC
对于 A: 每个小球有 4 种放法,所以共有 种放法,故 正确;
对于 : 若每个盒子都有小球,则有 种放法,故 正确;
对于 : 先从 4 个小球中任选 2 个放入其中 1 个盒子中，有 种放法,
再在剩下的 3 个盒子中任选 2 个放入剩下的 2 个小球，有 种放法，所以共有 种放法,故 正确;
对于 : 先从 4 个小球中任选 1 个,放入编号相同的盒子中,有 种放法,
再将剩下的 3 个小球放入编号不同的盒子中,有 2 种放法,所以共有 种放法,故 错误.
11. ACD
由 平面 ,结合三棱锥的体积公式判断 ; 确定动点 的轨迹并求出长度判断 B; 确定符合条件的截面并求出面积判断 C; 确定符合条件的点 的轨迹,再求出 长度的最小值判断 D.
对于 ,若 为 上一点,由 平面 平面 , 得 平面 ,则点 到平面 的距离为定值,又 的面积为定值,
因此三棱锥 的体积为定值, 正确;
对于 ,动点 在正方形 、正方形 、正方形 内,
其轨迹是以点 为圆心,2 为半径的 圆弧,
因此动点 的轨迹长度是 , B 错误;
对于 ,若 为 的中心,即 的中点,取 的中点 ,
连接 ,则 ,
由 平面 得 ,则 ,
又 平面 ,
于是 平面 ,取 中点 ,连接 ,同理 ,
因此 平面 ，过 与 垂直的平面截正方体所得截面为 ，
,则 的面积为 ， 正确；
对于 ,在正方体 中,平面 平面 ,
由点 满足 平面 ,则点 在平面 上,
又点 在正方体的内切球表面上，
则点 的轨迹为正三角形 的内切圆,记圆心为 ,半径为 ,
因此 的最小值为 ，D 正确.
故选: ACD
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。第 13，14 题是分层试题，请从博雅、 中字两题中选择 1 题作答。若两题都选，则按所选的第一题给分。
12. 2
由 求导得: ,
代入 得: ，即切点为 ；切线斜率 ，
由点斜式得切线方程: ,整理得 ,
因为该切线经过点 ,所以将 代入切线方程得: ,
整理得: ,解得: .
13.(博雅)
设动点到达 点的概率为 ,所以不会到达 点的概率: ,
所以有: ,
所以有:
故答案为: .
13.(中字) 90
利用二项式定理写出 的展开式的通项,再结合两个二项式的乘积确定对应项的系数.
的展开式的通项为 , 当 时, ,
此时只需乘第一个因式 中的 -2 y 即可,得到 ;
当 时， ，
此时只需乘第一个因式 中的 即可,得到 .
据此可得 的系数为 .
14.(博雅)①④
①,设 ,
对于链 ,由于各子集两两不同,故其元素个数满足 ,
因为 的子集元素个数最少为 0 (空集),最多为 (全集 ),所以一条链最多包含 个集合，
例如,取 ,且后续每个子集比前一个子集恰好多一个元素,直到 ,
可构成一条长度为 的链,因此,最长“链”的长度为 ,①正确;
②，不妨设 ，显然两个集合不存在包含关系，故不能都出现在同一个“链” 中, ②错误;
③,当集合 的元素个数为 时,
不妨设 ,
上面两个均为长为 4 的“链”，不具有相同集合，③错误；
④,集合 的最长“链”的长度为 ,从空集开始,
每次增加一个元素,第一个位置有 种选择 (从 个元素中选一个放入第一个非空子集), 第二个位置有 种选择 (从剩下的 个元素中选一个放入下一个子集),以此类推,
直到最后一个位置只有1种选择. 根据分步计数的乘法原理，
s 的最长“链”的总数为 ，④正确.
故选:①④.
14. (中学)
记掷出点数 1 为事件 ,则每次抛掷骰子,得到点数 1 的概率为 ,不发生的概率为 ,
在 次抛掷中 发生奇数次,分两种情况:
前 次 发生偶数次,第 次 发生; 前 次 发生奇数次,第 次 不发生,
由抛掷 次后事件 发生奇数次的概率为 ，则可得递推公式为:
,
构造递推公式得: ,
所以数列 是首项为 、公比为 的等比数列,
因为当 时， ，所以 ，
整理得: .
四、解答题:本大题共 3 小题，共 47 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 题是分层试题，请从博雅、中字两题中选择 1 题作答。若两题都选，则按所选的第一题给分。
15.(本小题满分 15 分)
(1)
(2)
(1)由概率之和为 1 ，求解即可;
(2)由 求解即可.
(1) 由 ,得 .
(2) ,
16.(本小题满分 15 分)
(1)令事件 表示“小明以 2:1 获得比赛胜利”,利用独立事件的乘法公式和互斥事件概率公式即可求解;
(2)令事件 表示“在第二局比赛中小明获胜”，求 ，利用条件概率公式即可求解；
(3)先求 的可能取值，再求 对应的概率即可求解.
(1)令事件 表示“小明以 2:1 获得比赛胜利”, 所以 ;
(2)令事件 表示“在第二局比赛中小明获胜”，
所以 ,
所以 ;
(3)由题意有 的可能取值为 0,1,2,
所以 ,
所以 的分布列为:
0 1 2
1 1 6
17. (本小题满分 17 分)
(博雅)(1) 易知 符合二项分布 ,
所以 .
(2)(i)若一开始发出的信号为“11”，即最左边两个数为“11”，
则对于前 个数,在剩下 个数中,第 个数为 1 的概率为 : 若一开始发出的信号为“ 2 ”或“ 3 ”或“ 4 ”，
则对于前 个数,在剩下 个数中,第 个数为 1 的概率为 ;
所以 ,
故
且
而 ,
故 ,
故 为等比数列且首项为 ,公比为 ,
为常数列,且该常数为 1,
故 且 ，
故 .
(ii) ,
,
当 时,同 (i) 可知
同 (i) ,
故 ,
故 .
(中字)【答案】(1)
( 2 )(i) 12
(ii) 平面 与平面 的夹角为定值，余弦值为
(1)根据平面 与平面 的夹角得到点 到直线 的距离等于到点 的距离,从而得到点 的轨迹,然后结合锥体的体积公式得到点 在抛物线的顶点 处时体积最小,最后求体积即可;
(2)(i)根据平面 与平面 的交线为 得到 为 与曲线 的交点， 然后联立 与曲线 的方程,结合抛物线定义求 即可;
(ii)根据 得到 的坐标，根据 与平面 所成角相等得到 斜率相反,从而得到 ,然后通过计算斜率得到 的方向向量,然后利用空间向量的方法求面面角即可.
【小问 1 】
图1
图2
图3
设点 到平面 和直线 的距离分别为 ,
因为点 在平面 内,且平面 与平面 的夹角为 ,
因此 ,得 ,
所以点 的轨迹是 为焦点, 为准线的抛物线,
当点 在抛物线的顶点 处时, 最小,
最小值为 ,此时 ,
所以四棱锥 体积的最小值为 ;
【小问 2 】
设 的中点为 ,则 ,如图 1,以 的中点 为原点, 所在直线为 轴, 过点 且垂直于平面 的直线为 轴,过点 且平行于 的直线为 轴,建立空间直角坐标系 ,设点 ,则 ,
(i) 平面 与平面 的交线为 ,
因此 是直线 与抛物线 的交点,如图 2,
在平面 中,可以设 ,
与抛物线 方程联立,得: ,
因此, ;
(ii) 如图 3,在平面 中,点 在点 上方,且 ,
得到点 坐标为 ,因为 与平面 所成角相等,
所以 与 所成角相等,
因此, 的斜率互为相反数,
设 ,则 ,
得 ,
因此, ,
因此,在空间直角坐标系中, 的方向向量为 ,
又 ,
设平面 的法向量 ,
由 ,由 ,
令 ,则 ,
又平面 的法向量 ,
所以平面 与平面 的夹角为定值,其余弦值为 .

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