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2025~2026 学年佛山市普通高中教学质量检测(二) 高三数学 2026.4
满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:’
1. 答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目。
2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
4. 请考生保持答题卷的整洁. 考试结束后,将答题卷交回。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合 ，则
A. B. C. D.
2. 设向量 ，则
A. 5 B. 8 C. 15 D. 17
3. 等差数列 共有
A. 44项 B. 45 项 C. 46 项 D. 47 项
4. 函数 ,则
A. 是奇函数 B. 是周期函数
C. 的最大值为 2 D.
5. 在 中, ,则 的面积为
A. B.
C. D.
6. 有一组样本数据 ,由这组数据得到新样本数据 ,其中 ,则两组样本数据的数字特征不一定相同的是
A. 中位数 B. 极差 C. 平均数 D. 方差
7. 设 是两个事件,则 “ ” 是 “ 与 互为对立事件” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不是充分条件, 也不是必要条件
8. 已知圆锥的顶点为 ,底面圆心为 分别为圆锥的母线, , 则三棱锥 体积的最大值为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。
9. 设 为复数,若 ,则
A. B. C. D.
10. 在平面直角坐标系 中,斜率为 1 的直线 交抛物线 于 两点,交 轴于点 ,则
A. B.
C. 的等差中项是 2 D. 是 的等比中项
11. 从分别写有 的 张卡片中不放回随机抽取 次，每次取 1 张卡片， 记第 次取出卡片的数字为 ,定义 为满足 的不同情况数,则
A.
B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 随机变量 服从正态分布 ,则 _____.
13. 在三棱柱 中， ， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为_____.
14. 已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 两点均在 上，且满足 ， ，则 的内切圆半径为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知函数 在一个周期内的图象如图所示, 为图象的最高点, 为图象与 轴的交点,且 为等腰直角三角形.
(1)求 的解析式,及 为偶函数时的最小正实数 ；
(2)求 的值.
16.(15分)
近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型(处理、理解和生成人类语言)和多模态模型(处理、 理解和生成文本、图像、音视频等)是其中两个重要的领域, 某研究机构对 2025 年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了 14 款进行标准化测试, 由测试数据得到下面的散点图:
(1)用频率估计概率，根据 2025 年该区域的企业发布大模型的分布情况，估计该区域 2026 发布的大模型是多模态模型的概率;
(2)若 为时间变量， 为分数，根据多模态模型数据 表示 2025 年 1 月份, 表示 2025 年 6 月份, ),计算得 .
(i) 建立 关于 的线性回归方程;
(ii) 根据语言模型的数据建立的回归方程为 ,该区域的某家企业在 2026 年 4 月发布了1 款标准化测试得分为 68 分的大模型,定义统计量 值越小的大模型发生的可能性越大, 则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型, 并说明理由.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: .
17. (15 分)
如图，在三棱锥 中， 与 均为等边三角形， .
(1)证明: ；
(2)若点 到平面 的距离为1，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (17 分)
已知函数 为 的导函数,曲线 关于点 对称.
(1)求 的值；
(2) 恒成立.
(i) 求 的值并探究 的零点个数;
(ii) 若 ,且 ,证明: .
19. (17 分)
椭圆的光学性质是:从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点. 已知椭圆 的左顶点为 ，点 在 上，且在 轴的上方，从 的左焦点 发出的光线 ,经过 反射后,交 于点 . 按照如下方式依次构造点 和 : 光线 经过 反射后,交 于点 ; 光线 经过 反射后,交 于点 .
(1)求 的方程；
(2)设直线 的斜率为 ，求证:数列 是等比数列，并求出其公比；
(3)求证:直线 恒过定点，并求出该定点的坐标.
2025 ~2026 学年佛山市普通高中教学质量检测(二) 高三数学试题参考答案与评分标准
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C D C A B B
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 BD ACD ABD
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 0.7 ;
13. ; 14. 2 .
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(1) 依题意得,
, 3 分
因为 为等腰直角三角形,斜边 边上的高为 2,所以 , 4 分
故函数 的最小正周期 ,即 ,所以 ,
所以 的解析式为 . 6 分
若 为偶函数,则 ,
得 ,所以最小正实数 为 . -8 分
(2)方法一:由 得 ，解得 ， 9 分
结合图象可得 , 10 分
所以 . 13 分
方法二: 易知 ,
在 中，由余弦定理可得 ， 10 分所以 分
16.(1) 一共发布 14 款大模型,其中有 6 款多模态模型,所以概率估计值为 . 3 分
(2) (i) ,
所以线性回归方程为 . 9 分
(ii) 2026 年 4 月对应的 ,
若该大模型是多模态模型,则预测分数为 分,残差为 ,
若该大模型是语言模型,则预测分数为 ,
残差为 ,因为语言模型的 值更小,所以更有可能是语言模型. 15 分
17.(1)证明: 取 中点 ,连接 ,由题意可得 , 1 分所以 , 2 分
又 ,所以 平面 , 3 分
又 平面 ,所以 . 4 分
(2)过点 作 平面 于点 ，
由对称性可知, 中点 在直线 上,则 . ......5 :
由 ,可得 ,所以 ,
所以 . 6 分
由题意可得 ,所以 . 7 分
以 为原点,建立空间直角坐标系 如图所示, 8 分
则 ,所以 , 9 分
设平面 与平面 的法向量分别为 ,则 11 分
,即 ,令 ,得 ; 13 分
所以 , 14 分
即平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
18.(1) ,由 ,得
2 分
即 ,所以 . .93 分
(2)(i) 由 ,得 ,
设 ,
若 ，取 ，则 ，不满足题意； -5 分
若 ，即 ，则 ，满足题意； 6 分
所以 , 7 分
记 ,则 ,当 时, 单调递增,且
,故存在 ,使得 .
当 时, ,所以 ,无零点;
当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增;
又 ,所以当 时, 有且仅有一个零点 ,
由对称性可得当 时, 有且仅有一个零点 ,故 有且仅有三个零点; 一 10 分
(ii) ,
故 的图象关于直线 对称. 11 分
由 (i) 得,当 时, 递增; 当 时, 递减; 由对称性可知,当 时, 递增; 当 时, 递减. 12 分当 时, ,下证此时 ,设 , 则 ,所以当 时, 单调递增,
所以 ,即 ,又 ,所以 ,即 分
当 时,显然 ; 15 分
当 时, ; 16 分
综上: . 17 分
19.(1) 依题意, ,故 的方程为 . 4 分
(2)对 上异于左右顶点的任意两点 ， ，设直线 的方程为 .
由 15 分
所以 -6
分直线 的斜率之积为
分
设直线 的斜率为 ,依题意可知 均存在且不为零. 由直线 过 的右焦点 ,知 . ① .9 分
由直线 过 的左焦点 ,知 . ② 10 分
② ①得 ，故数列 是等比数列，公比为 9 . 12 分
(3)设直线 的方程为 ，由 (2) 知 ，③ 13 分
,④ ,⑤ 15 分
故 ,解得 . 16 分
因此,直线 恒过定点 . 17 分

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