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高二数学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容:人教 A 版选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册第六章止。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. -9 是数列 的
A. 第 15 项 B. 第 16 项
C. 第 17 项 D. 第 18 项
2. 已知数列 为等差数列,且 ,则
A. 11 B. 22 C. 44 D. 88
3. 已知函数 满足 ,则
A. 8 B. -8 C. 2 D. -2
4. 若在数列 中, ,则
A. 9 B. 1 C. 10 D.
5. 下列求导错误的是
A.
B.
C.
D.
6. 某黄山旅游团共有 10 人(含小张一家三口和小李一家四口)，当他们到达迎客松景点时，要站成一排拍照留念，则小张一家站在一起且小李一家站在一起的排法种数为
A. B.
C. D.
7. 已知函数 的大致图象如图所示,则
A.
B.
C. 1
D.
8. 已知正项数列 满足 ,则数列 的前 10 项和为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在 的展开式中,下列结论正确的是
A. 展开式共 21 项
B. 含 的项的系数为 760
C. 只有第 10 项的二项式系数最大
D. 展开式的各项系数的和为 1
10. 小张读完某本书共需要 10 个小时, 若他在 3 月 1 日、3 月 2 日均未读这本书, 且在 3 月 3 日读了 28 分钟, 从 3 月 4 日开始, 每天读这本书的时间比前一天多 4 分钟, 已知他在 3 月份只读这一本书, 则
A. 他在 3 月 5 日读了 32 分钟
B. 他在 3 月 6 日读了 40 分钟
C. 他在 3 月 11 日读了 1 个小时
D. 他在 3 月 14 日正好读完这本书
11. 已知函数 ,则
A.
B. 有 4 个极值点
C. 在 上有零点
D. 在 上单调递增
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 等比数列 满足 ,则公比 _____▲_____.
13. 若直线 与圆心为 的圆相离，则该圆的半径的取值范围是_____▲_____.
14. 已知数列 满足 ，且 ，则 _____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知 是 所在平面外一点, .
(1)证明: 是平面 的一个法向量.
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值.
16.(15 分)
已知函数 ，点 在曲线 上.
(1)求 的值；
(2)求曲线 在点 处的切线方程；
(3)求曲线 过点 的切线方程.
17. (15分)
已知等差数列 满足 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的通项公式；
(3)求数列 的前 项和 .
18. (17分)
已知双曲线 的右焦点为 ，且 的离心率为 2 .
(1)求 的方程.
(2)设点 ， 都在 的渐近线上，且直线 与 相切，切点为 ， . 证明: .
19.(17 分)
已知函数 ,其中 .
(1)当 时; 求 的单调区间.
(2)设 有四个零点 ， .
(i)求 的取值范围；
(ii) 证明: .
高二数学参考答案
1. C 由 ,解得 .
2. C 根据等差数列的性质可得 ,所以 .
3. A 根据导数的定义可得 .
4.B 由题意得 ，以上全部累加得 .
5. 正确. 错误. 正确. 正确.
6. 由捆绑法可得小张一家站在一起且小李一家站在一起的排法种数为 .
7. 由图可知, ,解得 ,所以 ,则 ,则 是方程 的两个不同实数根,则 .
8. A 根据题意可得 ,即 ,所以 ,则当 时, , 因为 ,所以 ,
所以 ,则数列 的前 10 项和 .
9. ABD 由题意得 的展开式共 21 项, A 正确. 展开式的通项 ,由 ,得 ,则含 的项的系数为 , B 正确. 的展开式中只有第 11 项的二项式系数最大, 错误. 令 ,得展开式的各项系数的和为 , 正确.
10. BCD 设小张在 3 月 3 日、3 月 4 日、3 月 5 日……当天读这本书的时长分别为 分钟、 分钟、 分钟……，依题意可知数列 成等差数列，且首项为 28，公差为 4，则 ,所以他在 3 月 5 日读了 36 分钟,在
3 月 6 日读了 40 分钟,在 3 月 11 日读了 1 个小时. 因为 10，所以他在 3 月 14 日正好读完这本书.
11. 正确.
,所以 在 上有零点, 正确.
,当 时,
,因为 ,所以 在 上恒成立,所以 在 上单调递增, D 正确. 令函数 ,则 ,所以 为偶函数, ,令函数 ,则 -6,令函数 ,则 ,当 时, ,所以 在 上单调递减,即 在 上单调递减,所以 ,则 在 上单调递减,所以 ,即 ,所以 在 , 上单调递减，则 在 上单调递增，即 在 上单调递增，在 (0, 上单调递减，因为 , ,所以 在 上有 1 个极值点,在 上有 1 个极值点,所以 只有 2 个极值点, B 错误.
12.3 由 ,解得 .
13. 因为点 到直线 的距离 ,所以该圆的半径的取值范围是 .
14. 设 ,即 ,所以 ,所以 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,所以 ,所以 .
15.(1)证明:因为 ，所以 . 2 分
因为 ,所以 . 4 分
因为 ,所以 是平面 的一个法向量. 6 分
(2)解:由题意得 ， 8 分
因为四边形 为平行四边形,所以 , 10 分
则 .
故异面直线 与 所成角的余弦值为 . 13 分
16. 解:(1)因为点 在曲线 上，所以 ， 1 分解得 . 2 分
(2)由(1)得 ，所以 ， 4 分
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,即 . ... 7 分
(3)设切点坐标为 ，则 ， 8 分
所以曲线 在点 处的切线方程为 , 即 . 9 分
将点 的坐标代入切线方程,可得 ,解得 或 . 11 分
当 时,所求切线方程为 ; 13 分
当 时,所求切线方程为 . 14 分
综上所述，曲线 过点 的切线方程为 或 . 15 分
17. 解: (1) 设公差为 ,则 , 1 分
解得 , 2 分
所以 . 4 分
(2)当 时， , 5 分
所以 . 7 分
当 时, ,满足 , 8 分
所以 . 9 分
(3)依题意得 ， 10 分
11 分
两式作差得 13 分
故 . 15 分
18.(1)解:由题意得 ， ， 2 分
则 , 4 分
故 的方程为 . 5 分
(2)证明:当直线 的斜率不存在时,由对称性可知， 为 的中点，则 , 则 . 6 分
当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 .
由 得 . 7 分
由 ,得
0,即 . 9 分
因为 ,所以 ,
所以 ,即 ,解得 , 11 分
所以直线 的方程为 ,因为 ,所以
12 分
由 得 ,即 .
15 分
易得 是关于 的方程 的两个根,所以 . 17 分 (注:若此小问学生用二级结论直接得出直线 的方程,且未作证明,扣 3 分)
19. 解: (1) 当 时, ,
所以 的导数 . 1 分
当 时, 单调递减; 当 或 时, 单调递增. 3 分
故 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 . 4 分
(2)(i) ，显然 0 是 的一个零点. 5 分
令函数 ,则 有三个非零的零点,则 .
,令 ,得 ,其中 . 6 分
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增. 7 分
因为 ,所以 , 8 分
即 ,即 ,整
理得 . 9 分
设 ,则 ,即 . 10 分
因为 ,所以 ,所以 ,即 ,则 . 11 分
(ii) 证明: 由 (i) 可知, ,则 的三个零点所在区间依次为 (一 , , 12 分
所以 ,其中 是 的三个零点, 13 分
则
,对比系数可得 , 14 分
所以 ,则 , 15 分
要证 ,只需证 ,因为 ,所以只需证 . 16 分
因为 , 且 ,所以 ,所以 . 17 分

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