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高三数学
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选 项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合 ，集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知 ，则 ( )
A. 25 B. 16 C. 4 D. 5
3. 函数 的极大值点为( )
A. -3 B. 3 C. (-3,54) D. (3,-54)
4. 在同一坐标系下, 下面 4 条抛物线中开口最大的为 ( )
A. B. C. D.
5. 已知函数 ，则该函数的值域为( )
A. B. C. D.
6. 在 中,角 的对边分别为 的面积记为 ,若 且 ，则 的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形
C. 等边三角形 D. 钝角三角形
7. 已知圆 ，直线 ，过直线 上一动点 作圆 的两条切线， 切点记作 ，则 的最小值为( )微信搜 《高三标答公众号》获取全科
A. B. C. D.
8. 定义在 的函数 满足: ,且 时, , 若 ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求. 全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知复数 是方程 的两根，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D. 若 ，则
10. 已知数列 满足 ，且 ，则 的值可能是( )
A. 1
B. 2026
C.
D.
11. 已知对勾函数 的图象是双曲线,焦点分别为 ,直线 与对勾函数的图象交于 两点,且 和 在第一象限,过 作直线 的垂线,垂足为 ,则( )
A. 对勾函数的离心率为
B.
C.
D. 若 ，则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 多项式 的展开式的各二项式系数的和等于_____.
13. 三棱锥 中， 与底面 所成的线面角相等，二面角 的大小也相等，且 ，则三棱锥 的外接球体积为_____. 微信搜《高三标答公众号》获取全科
14. 已知函数 ，且 对 恒成立，则 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
若函数 的最大值为 3 .
(1)求 的值及函数 的单调递减区间；
(2)求不等式 的解集.
16. (15 分)
某篮球运动员在训练中进行投篮练习. 已知其 2 分球的命中率为 0.8 , 3 分球的命中率为 0.5 , 且每次投篮结果相互独立. 在每次投篮前, 他可以根据场上情况选择投 2 分球或 3 分球.
(1)若该运动员等可能地选择投 2 分球或 3 分球，求他投一次篮命中的概率；
(2)现该运动员拥有连续 2 次投篮的机会，他制定了如下策略:
若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮, 求该策略下, 这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大.
17. (15分)
如图，菱形 的边长为2， . 现将 沿 折起，得到四面体 ，设二面角 等于 . 微信搜《高三标答公众号》获取全科
(1)求证: ；
(2)若三棱锥 的体积为 ，
(i) 求直线 与平面 所成的角;
(ii) 当 时,求二面角 的余弦值.
18. (17 分)
函数 .
(1)当 时，求函数 在 的单调区间；
(2)若存在 ，使得 成立，求 的取值范围；
(3)若函数 有两个零点 ，且 ，求 的取值范围.
19. (17 分)
如图，有一个“果圆”， 轴左边为一个半圆， 轴右边为一个半椭圆(焦点在 轴上)， 且它与 轴正半轴的交点为 ,椭圆的离心率为 .
(1)求半椭圆的标准方程；
(2)过点 作直线 与果圆交于另一点 ( 与 不重合)，若 的面积为1， 求直线 的方程；
(3)若 轴上方有一条斜率为 0 的直线 与果圆相交于 、 两点，连接 、 并延长， 分别交果圆于点 、点 ，连接 ，记 、 的面积分别为 、 ，求 的最大值.
高三 4 月数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B D A D B C D D AD ACD ABD
1.答案: B
令 ,则 ,即 ,故选 B.
2. 答案: D
,则 ,故选 D.
3.答案: A
,易得 在 递增,在 递减,则极大值点为 ,故选 A.
4.答案: D
根据抛物线的性质, 中, 越大,抛物线开口方向越大,故选 D.
5. 答案: B
令 则 ,则原函数的值域等价于函数 的值域, 恒成立,即 单调递增,所以值域为 ,故选 B. 微信搜《高三标答公众号》获取全科
6.答案:
中,由 可得 ,从而 ; 利用余弦定理和面积公式可将 化为 , ,从而 ,故 是等边三角形.故选 C.
7. 答案: D
根据对称性易得 , ,圆心 到直线的距离 , ， ，故选 D.
8.答案: D
,令 得 ,即函数 是奇函数, 下面判断函数 的单调性,令 ,则 ,微信搜《高三标答公众号》获取全科 即 ,即 ,
在 单调递增;
构造函数 ,则 ,易得 在 递增,在 递减,
则 ,即 ,
，又 在 单调递增，
,故选 D.
9. 答案:AD
解析: 正确,由韦达定理可知 ,所以 错误; 对于 ,
, C 错误,对于 ,可得 ,由韦达定理可知 ,所以 正确. 综上答案为 AD.
10.答案: ACD
解析: 原式因式分解可得 ,故 或 都可成立. 数列每一项都满足 时，选 A；每一项都满足 时，选 D； ，且 时，选 C；B 不能成立.故选 ACD.
11.答案: ABD
解析: 对勾函数的两条渐近线分别为y轴和 ,所以它的对称轴为 , 设双曲线的实轴长为 ,虚轴长为 ,且 ,由双曲线的性质可知 ，化简可得离心率 ，故 A 正确；对称轴 与 的交点坐标为 和 ,所以 ,因为 关于原点
对称,所以 ,故 正确; 由图可知 ,且 ,所以 ,故 错误; 若 ,则四边形 为矩形,所以 ,设 故有 解得 ,故 D 正确.
12.答案为 32
解析: 多项式 的展开式的各二项式系数的和等于 . 微信搜《高三标答公众号》获取全科 13. 答案为
解析: 由题意可知,顶点 在底面 的射影既是 的外心,又是 的内心,从而 是等边三角形，该三棱锥是正三棱锥，其外接球球心落在过 的高线上，利用方程 可直接得解.
14.答案为
解析: 不等式 对 恒成立,可转化为 对 恒成立,然后在同一坐标系下画出函数 和 的图象,要满足不等式且 取得最大值,直线 必须要和 的图象相切,观察图象分析可知,当 时, 取得最大值 ,从而 最大值 .
方法二: 当直线 和 的图象相切时,设切点为 ,写出切线方程,与 对比,可以用 将 和 表示出来,然后再构造函数求最大值.
15. 解:(1) 3 分因为 的最大值为 3,所以 , 4 分
的单调递减区间为 7 分
(2) ,
可得 或 即 或 , .9 分
所以 或 , 11 分
解得 或 ,
所以解集为 或 13 分
16. 解: (1) 记选择 2 分球为事件 ,选择 3 分球为事件 ,投一次篮命中为事件 ,
则 微信搜《高三标答公众号》获取全科
6 分
(2)当该运动员第一次选择 2 分球时，记他两次投篮的得分为 ， 可取值有0,2,3,4
的分布列如下
ξ 0 2 3 4
0.1 0.16 0.1 0.64
10 分
当该运动员第一次选择 3 分球时,记他两次投篮的得分为 可取值有0,2,3,6
的分布列如下
0 2 3 6
0.1 0.4 0.25 0.25
14 分
该运动员第一次选择 2 分球可以使得两次投篮总得分的期望最大. 15 分
17. 解: (1) 由题意可知 为等边三角形,如图所示取 的中点 ,连接 .
所以 平面 ,
4 分
(2)(i)由(1)可知 ，且 ，
菱形 的边长为 ,
解得 ，所以 或
平面 平面
平面 平面
平面 ， 平面
平面 平面 点在平面 的投影在直线 上
即为直线 与平面 所成角.
所以直线 与平面 所成角为 或 . 9 分
(ii) 10 分
如图，过 点作平面 的垂线为 轴， 所在直线为 轴， 轴建立空间直角坐标系.
设平面 的法向量为
可得
令 可得 12 分
设平面 的法向量为
可得
令 可得 14 分
二面角 为锐角, 二面角 的余弦值为 . 15 分
18. 解: (1) 当 时, ,
,显然, 在 单调递增,
在 单调递增,又
时, 时, ; 微信搜《高三标答公众号》获取全科
所以函数 的单调递减区间是 ,单调递增区间是 4 分
(2)由题可得， 有解，令 ，则 有解， 构造函数 ,则 ,易得 在 递减,在 递增,所以 ,
即 ,又函数 在 单调递增,
所以 时, ,即 . 10 分
(3)函数 有两个零点 ，即 有两个不同的解，转化为
由(2)得 且 的两个解为 ,即 则 ,即
令 ,则
构造函数 ,则
令 ,
则 ,
即 在 单调递增, ,则 恒成立,
在 单调递增,则 ,
又因为当 趋于正无穷大时, 也趋于正无穷大
17 分
19. 解: (1) 3 分
(2)由 可得
点 在直线 或 (舍) 上
联立直线 和半椭圆的方程可解得 或
的方程为 或 9 分
(3) 微信搜《高三标答公众号》获取全科 10 分
设直线 ,不妨设点 在点 的右边,
可算得
联立 可得 12 分
联立 可得 14 分
当且仅当 即 时,等号成立 16 分
的最大值为 . 17 分

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