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江西师范大学附属中学 2026 届高三下学期数学周考三
一、选择题:本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知集合 ，则 的元素个数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. " "是" 成等比数列"的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知随机变量 ,且 ,则 的最小值为 ( )
A. B. C. 16 D. 48
4. 函数 的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
5. 在 中, 为 边上的中点,且 ,则 的面积为( )
A. B. C. D.
6. 某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高 (单位:cm)进行了测量，发现株高 近似服从正态分布. 已知测量的向日葵平均株高为 172.0cm，标准差为 14.5 . 现按株高将这批向日葵划分为四个等级:过矮(后10%)、正常偏矮(10% ~50%)、正常偏高(50% ~90%)、过高(前10%). 若 ，则“过高”等级中最矮株高可能为( )
A. 184.6cm B. 186.6cm C. 188.6cm D. 190.6cm
7. 已知正实数 满足 和 ，则( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数 ,若对任意的 ,存在唯一的 ,使得 ，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知异面直线 ，四点 不共面， 是线段 的中点, ,则( )
A. 当 时， B. 当 时，直线 所成角为 60
C. 点 到直线 的距离为 D. 三棱锥 的体积的最大值为 3
10. 双曲线具有丰富的光学性质. 例如,从双曲线的一个焦点 处发出的光线,经过双曲线在点 处反射后, 反射光线所在直线经过另一个焦点 ，且双曲线在点 处的切线平分 . 如图，已知等轴双曲线 经过点 ,其左、右焦点分别为 . 若从 发出的光线经双曲线右支上一点 反射后的光线为 , 双曲线 在点 处的切线交 轴于点 ，则下列结论正确的是( )
A. 双曲线 的方程为 B. 过点 且垂直于 的直线平分
C. 若 ,则 D. 若 ，则 的面积为
11. 已知抛物线 的焦点 ， ， 为抛物线上的两个动点， 为线段 的中点， ,则( )
A. B. 若 ，则点 到准线的距离为 4
C. 的最小值为 4 D. 若 ,则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 _____.
13. 已知数列 满足 ,则 的前 项和的最小值是_____.
14. 一个不均匀的骰子,掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列. 独立地先后掷该骰子两次,所得的点数分别记为 . 若事件“ ”发生的概率为 ，则事件“ ”发生的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)在 中，角 所对的边分别为 ，满足 .
(1)求角 ；
(2)若 恒成立,求实数 的最小值.
16. (15分)为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动. 活动规则如下:消费者成功闯过第一关获得基础券(获得 10 元基础券的概率为 0.6 ，获得 20 元基础券的概率为 0.4). 闯过第一关后， 可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券 20 元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品. 已知消费者闯过第一关的概率为 ，闯过第二关的概率为 . 某生产商将商品定价 100 元，成本 41 元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的 30%，进阶券面额的 50%.
(1)若 ， ，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为 (单位:元)，求 的分布列和数学期望 ;
(2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为 ，记生产商销售一件该商品的期望利润为 (单位:元).(期望利润=购买概率×(支付金额的期望-商品成本)- 优惠券成本的期望)
(i) 求 关于 的函数表达式;
(ii) 证明: 在 内存在唯一极大值点,并求当 为何值时,商家期望利润 最大 最大期望利润是多少 (结果保留 1 位小数)
17. (15 分) 设函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若 存在极值点 ,且存在 ,使得 ,证明: . 附
18.(17分)如图， 为圆锥的顶点， 为圆锥底面的圆心， 为底面直径，四边形 是梯形，且 为圆 上一点.
(1)若点 在线段 上，且 ，求证: 平面 ；
(2)当直线 与平面 所成的角为 时，求二面角 的正弦值.
19.(17分)在直角坐标系 中，设 为抛物线 的焦点， 为抛物线 上位于第一象限内的点. 当 时,有 .
( 1 )求抛物线 的方程；
(2)设直线 与抛物线 的另一个交点为 ，点 ， 在直线 上的射影分别为点 ， ，过点 且与 垂直的直线与直线 相交于点 ,证明: 是线段 的中点;
(3)设过定点 的直线 与抛物线 交于 两点.若 ，且 两点的横坐标均与点 的横坐标不相等,试判断直线 的斜率之积是否为定值. 如果是定值，请求出该定值；如果不是定值， 请求出其取值范围.
参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。
1. 【答案】C
因为集合 ,集合 所以 ,所以 的元素个数为 5 . 故选:
2. 【答案】B
当 时,如 ,此时 不能成等比数列,故充分性不成立, 当 成等比数列,可以推出 ,故必要性成立,所以 “ ” 是 “ 成等比数列” 的必要不充分条件, 故选: B.
3. 【答案】C
因为 ，正态曲线关于直线 对称，又 ，所以 ，解得 . 所以 ,因为 ,所以 ,当且仅当 ,即 时取等号. 故选: C
4. 【答案】A
定义域为 ,又 ,故 为偶函数，排除 ; 当 时， ，故 ，排除 选项， 正确. 故选:A
5.【答案】D
在 中,由余弦定理得 , 而 ,则 , 两式联立解得 ，所以 的面积为 . 故选:D
6.【答案】D
因为 ,则 ,
可得 ，解得 ，
即“过高”等级中的株高 ，结合选项可知 正确， 错误. 故选:D.
7. 【答案】A
由 ,两边取对数, ,即 , 又由 ,两边取对数, ,即 , 令 ,则 , 由 ,可得 在 上单调递增,则 ,故 ; 又由 可得 ,则 ,故 . 故选: A.
8.【答案】B
由 可得 ,当 时, ; 当 时, ; 所以 在 单调递减,在 单调递增,所以 ， ，所以 在 上的值域为 ，记 ，
,的对称轴为 ,所以函数 的值域为 又 ，且 ，在 上单调递减，要使方程 有唯一解，则 的取值集合为 ,
若对任意的 ，存在唯一的 ，使得 ，则 ，所以 ，解得 ,所以实数 的取值范围是 .
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9.【答案】
过 点作 ，根据题意，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，
设 ,易知 ,若 ,则 ,由 ,此时 ,所以 ; 对于 ,易知 ,故 正确; 对于 ,所以直线 所成角为60,故 正确; 对于 ,易 ,则点 到直线 的距离 ,故 正确; 对于 ,当且仅当 时取得等号, 故 D 错误.
10. 【答案】BCD
对于 ,因为双曲线为等轴双曲线,设双曲线方程为 , 所以 ,解得 ,得到双曲线的方程为 , A 错误;
对于 ,如图,由题知 ,所以 ,
若 ,所以 , B 正确; 对于 ,记 ,
所以 ,
又 ，得到 ，又 ，
所以 ,又 ,由 ,得 , C 正确; 对于 D,因为 , 由 ,得 ,所以 , D 正确. 故选: BCD.
11. 【答案】ACD
对于 ,因为抛物线的焦点 ,所以 ,得 ,故 正确;
对于 ,分别过点 作准线的垂线,垂足为 ,
则由抛物线的定义可知 ,
因为 为线段 的中点,所以点 到准线的距离为 ,故 错误;
对于 ,因为 ,则当 三点共线时, 有最小值 ,故 正确;
延长 交准线于点 ，由 以及抛物线定义可知， ，则 为 的中位线， 设 ,则 , 由相似关系可知, ,则 ,得 ,故 ,故 D 正确. 故选: ACD
三、填空题:本题共3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.【答案】-1
: ,由题意可得 ,解得 . 故答案为: -1 .
13. 【答案】
由 ,可得 ,所以 为等差数列,首项为 ,公差为 2, 所以 ,则 ,则 ,当 时, ,所以数列 的前 项和的最小值为: ,故答案为: .
14. 【答案】
设掷出 点的概率分别为 ; 由于 成等差数列,且 ,故 ; 事件“ ”发生的概率为 ; 事件“ ”发生的概率为 ; 于是 ; 由于 ,所以 . 故答案为:
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)【答案】(1)
(1) 由 ,由正弦定理得, , 又 ,所以 , 即 ,又因为 ,所以 ,所以 ,又 ,所以 .
(2) 恒成立，即 恒成立，即求 的最大值，
由余弦定理得 ,所以
,因为 ,
所以 ,当且仅当 ,即 时,等号成立,所以 ,所以实数 的最小值为 .
16. (15分)(1)分布列见解析，80.8
(2) (i) ；(ii) 证明见解析， 时，商家期望利润最大，最大期望利润约为 6.7 元.
( 1 )由题可知， 的可能取值为100,90,80,70,60，
. 分布列为:
100 90 80 70 60
0.2 0.24 0.16 0.24 0.16
数学期望为: .
(2)(i) 期望利润 购买概率 (支付金额的期望一商品成本)一优惠券成本的期望, 则支付金额的期望为: ； 优惠券成本的期望为 .
(ii) ,令 . 解得 , 当 时 在 上单调递增; 当 时 在 上单调递减; 在 内存在唯一极大值点 ,又 , 当 时,商家期望利润最大,最大期望利润约为 6.7 元.
17. (15 分) (1) 时, 的增区间为 ,无减区间; 时,增区间为 ,减区间为 . (2)证明见解析
( 1 )解: ，当 时， (不恒为零)， 的增区间为 ， 无减区间; 若 ,则当 时, ,当 时, ,故 的增区间为 ,减区间为 ,
综上: 时, 的增区间为 ,无减区间;
时, 的增区间为 ,减区间为 .
(2)证明:因为 是 的极值点，故 ，故 ，所以 ，
因为存在 ,使得 ,所以 ,即
,因为 ,
所以 ,因为 ,
所以 ,因为
所以 ,即 ,
所以 ,即 ,
因为 ,所以 ,即 .
18.(17分)(1)证明见解析(2)
( 1 )解法一:取线段 的中点 ，连接 ， . 因为 ， ，所以 且 ，因此四边形 是平行四边形，所以 . 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 因为 ， ，所以 ，于底过于 ， 平面 ， 所以 平面 . 而 平面 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以 平面 .
解法二:在线段 上取点 ,使得 ,连接 又 ,所以 ,且 ,又 ,且 ,所以 ,且 .
所以四边形 PCEM 是平行四边形, 所以 PM //CE, 又 平面 平面 ,所以 平面 .
(2)由圆锥的对称性不妨取点 为如图所示位置，在圆锥底面内过点 作 于点 ，连接 ， 因为平面 平面 ,平面 平面 ,所以 平面 ,
所以 就是直线 与平面 所成的角,所以 ,
因为 ，所以 . 连接 ，则 ，即点 为 的中点. 以 为坐标原点, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴,建立空间直角坐标系,
则 ,于是
.
设平面 的法向量为 ,则 ,得 ,
取 ，可得 . 设平面 的法向量为 ，则 ，得
,取 ,可得 . 所以 ,
故二面角 的正弦值为 .
(3)是定值 -2
(1)由 ，得 ， 为抛物线 上位于第一象限内的一点，
设 ,则 ,即 ,由题知, ,
解得 ， 抛物线 的方程为 ；
(2)由上可知，点 的坐标为 ，
若直线 的斜率不存在,则直线 垂直于 轴, 是 与 轴的交点,显然是 的中点,
若直线 的斜率存在,易知该直线斜率不为 0,可设直线 的方程为 ,
联立 整理得 ,设点 的坐标分别为 ,则 ,
则 的坐标分别为 ,直线 的方程为 ,于是点 的坐标为 ,
三点在同一直线上, 是线段 的中点;
(3)可设 ，由上可得 ， ，由 ，得 ,解得 点 的坐标为 ,由题意得直线 必不垂直于 轴,
可设 ,联立 整理得 , 其中 恒成立,设 , 由韦达定理,有 ,进而得 , , 综上可得,直线 的斜率之积为定值-2.

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