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武汉二中 2028 届高一下数学周练 (二) 试卷 (A)
一、单选题
1. 在复平面内,复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称,则 ( )
A. B. C. D.
2. 在 中,已知 ,则 ( )
A. B. C. 2 D.
3. 已知 分别是 的三个内角 所对的边,若 ，则此三角形有( )
A. 两解 B. 一解 C. 无解 D. 无穷多解
4. 已知复数 满足 ，则 ()
A. B. C. D.
5. 已知平面内两个不共线的向量 和 ，且 和 的夹角为 ，若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. 设 是 的外心，点 满足 ，则 是 的( )
A. 内心 B. 任意一点
C. 垂心 D. 重心
7. 在非直角 中，设角 的对边分别为 ，若 ， 是角 的内角平分线,且 ，则 等于()
A. B. C. D.
8. 已知锐角 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ，若 存在最大值,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知非零复数 在复平面内对应的点分别为 为坐标原点，则()
A. 当 时,
B. 当 时,
C. 若 ,则存在实数 ,使得
D. 若 ,则
10. 在 中，角 所对的边分别为 ，则下列结论正确的是( )
A. 若 ，则 为锐角三角形
B. 若 为锐角三角形,则
C. 若 ,则 为等腰三角形
D. 若 ，则 是等腰三角形
11. 记 的内角 的对边分别为 ，则下列说法正确的有( )
A. 若 ，则
B. 若 ,则 的面积为 2
C. 若 ,则
D. 若 ,则
三、填空题
12. 在平行四边形 中, 三点对应的复数分别是 ,则点 对应的复数是_____；
13. 在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 的值为_____.
14. 平面四边形 中， ， ，则边 长度的取值范围是_____.
四、解答题
15. 计算:
(1)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;
(2) .
(3) ;
16. 已知 的内角 所对的边为 ，向量 ， ，且 ;
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的取值范围.
17. 如图，在凸四边形 中，已知 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，四边形 的面积为 4，求 的值.
18. 如图,某巡逻艇在 处发现北偏东 相距 海里的 处有一艘走私船,正沿东偏南 的方向以 3 海里/小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以 海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1 小时后，巡逻艇到达 C 处，走私船到达 D 处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 3、2 海里 1 小时的速度沿着直线追击
(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船
19. 人教 A 版必修 2 教材第 81 页阐述一个数学定理——代数基本定理: ，任何一元
次复系数多项式方程 至少有一个复数根,且在复数集中可以分解为 个一次因式的乘积. 比如: .
( 1 )写出方程 的复数根；
(2)下面我们探究 1 的立方根和四次方根的几何性质. 我们知道 1 的立方根有 3 个，可分别表示成 ，它们对应点将单位圆三等分；1 的四次方根有四个,可以分别表示成 ,
(i) 根据上述探究,请你猜想并证明 1 的 5 次方根; 提示: 若 , 则
(ii) 求 的值 (用 表示).
武汉二中 2028 届高一下数学周练 (二) 试卷 (A) 参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A B A D C D C BD
1.因为 ,故复数 在复平面内所对应的点的坐标为 , 因为在复平面内,复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称, 故复数 在复平面内所对应的点的坐标为 ,即 .
2.在 中,已知 ,
由余弦定理得: ,故选: A
3. ,
,
或
当 时, ,不符合三角形内角和定理,故舍去,
则 只有一个解,故此三角形只有一个解.
4.由复数的运算性质,可得 ,则 ,
所以 ,所以 .
5. ,
向量 与 夹角为钝角，则数量积小于 0 且两向量不反向，即 ，
展开: 代入: ,
再排除共线或反向的情况: 若两向量共线反向,则 ,整理得,
由于 不共线,则系数必为 0,即 ,代入 ,故 时需排除,综上所述,解得 的范围为 .
6.由题可得 ,
由于 是 的外心，设 为线段 的中点，
故 且 ,即 ,
所以 ,同理 ,故 是 的垂心。
7.由已知 ,
根据正弦定理得 ,
则 ,
为非直角三角形, ,
又 ,
,即 ,
,
,
,故选: D.
8.由余弦定理可得 ,则 ,
由正弦定理可得
,
因为 为锐角三角形,则 ,所以, ,
又因为函数 在 内单调递增,所以, ,可得 ,
由于 为锐角三角形,则 ,即 ,解得 ,
,
因为 ，则 ，因为 存在最大值，则 ，解得 . 故选: C.
9.对 即 ,两边平方可得 , 对;
对 ,取 ,则 ,当 错;
对 即 ,两边平方可得 , 故 ,故 ,因此存在实数 ,使得 对; 对 ,取 ,但 , D 错. 故选: AC
10.对于 ,若 ,则 ,则 为锐角,
不能判定 为锐角三角形，故 A 错误；
对于 ,若 为锐角三角形,则 ,且 ,
所以 ,故 正确;
对于 ,因为 ,
所以 或 ,即 或 ,
所以 是等腰三角形或直角三角形,故 错误;
对于 ,因为 ,所以 ,
即 ,所以 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 是等腰三角形,故 正确. 故选: .
11.对于 ,因为 ,所以 ,
当且仅当 时第二个大于等于号中的等号成立,
故当 时, ,所以 , A 正确;
对于 ,根据余弦定理的推论有 ,所以 .
整理得 ,则 ,则 ,
故 的面积为 ，B错误；
对于 ,由正弦定理和余弦定理的推论得 ,
所以 ,
正确;
对于 ,若 ,则 ,则 ,其中“ ”,当且仅当 时,成
次复系数多项式方程 至少有一个复数根,且在复数集中可以分解为 个一次因式的乘积. 比如: .
(1)写出方程 的复数根;
(2)下面我们探究 1 的立方根和四次方根的几何性质. 我们知道 1 的立方根有 3 个，可分别表示成 ,它们对应点将单位圆三等分; 1 的四次方根有四个,可以分别表示成 ,
(i) 根据上述探究，请你猜想并证明 1 的 5 次方根；提示:若 ， 则
(ii) 求 的值 (用 表示). 原式
(3)原式 .
16.【答案】
(1) 且 .
由正弦定理 ，得 ，
代入上式得 ，
,又 .
(2)在 中， ， ，
由正弦定理得 .
.
又 .
.
,
.
即 的取值范围为 .
17.【答案】 .
(1) 在 中, ,
.
在 中,由正弦定理得, ,
.
,
.
(2)在 中，由余弦定理得，
,
,
从而 ①，
由 得,
②,
得, ,
.
18.【答案】(1)两船相距、3 海里.
(2)巡逻艇应该北偏东75°方向去追，才能最快追上走私船.
(1)由题意知,当走私船发现了巡逻艇时,走私船在 处,巡逻艇在 处,此时 ,
由题意知 在 中，
由余弦定理得
,所以
在 中,由正弦定理得 ,即
所以 舍去 ,所在
又 ,在 中,
由余弦定理得 ,
故当走私船发现了巡逻艇时,两船相距 海里.
(2)当巡逻艇经过 小时经 方向在 处追上走私船, 则 ,在 中,由正弦定理得: 则 ,所以 在 中,由正弦定理得: ,则 ,故
(150°舍)
故巡逻艇应该北偏东 方向去追，才能最快追上走私船.
19.【答案】( 1 ) ( 2 )( i )答案见解析；( ii )
(1) 由题意有 ,
所以 ;
(2)(i)由已知有 1 的 5 次方根为:
易知 是方程 的根,
由提示, ,则 是方程 的根,
又 ,
依次类推 均为 1 的五次方根,命题得证;
(ii) ,
由(2)易证:若 ，则 均为方程 的根.
由代数基本定理可知 ,
所以 ,
所以
又 均为方程 的根， ，
所以 ,
则 等于 ,
因为 ,
所以
.

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