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高二年级学情调研数 学
本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
*注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。考试结束后,将答题卡交回。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单选题(本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题所给的四个选项中, 有且只有一项 是符合题目要求的)
1.5 与 25 的等比中项为
A. B. 15 C. D.
2. 为了考察某种营养液对有机蔬菜的增产效果,某研究所进行试验,获得数据,经过计算得到 ,其中 ,那么可以认为该营养液对有机蔬菜的增产有效果的把握为
A. 90%以下 B. 90%以上 C. 95%以下 D. 95%以上
3. 已知公差为 9 的等差数列 的项数为偶数,其所有奇数项之和为 200,所有偶数项之和为 380,则数列 的项数为
A. 20 B. 40 C. 60 D. 80
4. 已知变量 之间具有线性相关关系,根据 10 对样本数据求得回归直线方程为 . 若 ,则
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5. 已知正项数列 是公比不为 1 的等比数列, ,则
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
6. 已知数列 中, ,则数列 的前 2026 项和为
A. 4 052 B. 4054 C. 2026 D. 2027
7. 我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(母是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始. 已知雨水所对的晷长为 9.5 尺，立冬所对的晷长为10.5R，则冬至所对的晷长为
A. 11.5 尺 B. 12.5 尺 C. 13.5 尺 D. 14.5 尺
8. 如图的 列联表中,定义 ,易知 越大越有利于结论 “ 与 有关系”. 若当 值大于常数 时,有 的把握认为 与 有关系,那么 的值为
(已知 ,其中
总计
C
总计
A. B.
C. D.
二、多选题(本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题所给的四个选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 给出下列实际问题, 其中用独立性检验可以解决的问题有
A. 长寿是否与经常运动有关系
B. 吸烟者得肺病的概率
C. 吸烟是否与患肺癌有关系
D. 某同学的数学成绩与物理成绩是否有关系
10. 某市气象部门对本市的温度 (单位: ) 与相对湿度 进行研究,记录了五组数据如表所示:
温度 28 25 22 19 16
相对湿度 41 48 62 65 70
已知 与 线性相关，根据表中的数据计算得到回归直线方程为 ，则
A. 与 负相关
B. 回归直线一定经过点
C. 当温度为 时，相对湿度大约为 87.2%
D. 相关系数
11. 设正项等比数列 的公比为 ,前 项和为 ,前 项积为 ,并且满足 ,则下列结论正确的是
A. B.
C. 的最大值为 D. 没有最大值
三、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分)
12. 已知数列 为递减的等比数列,且 ,则公比 _____.
13. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重 (单位:克) 与心率 (单位:次/分钟) 的对应数据 . 根据生物学常识和散点图得出 与 近似满足 为常数). 令 ,计算得 . 由最小二乘法得回归直线方程为 +7.4，则 的值为_____.
14. 已知等差数列 的各项均为正数,记其前 项和为 ,若数列 是等差数列，且 与 的公差相等，则 _____.
四、解答题(本大题共 5 小题,共 77 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
设 为等差数列 的前 项和,已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和.
16. (本小题满分 15 分)
已知椭圆 的离心率为 ，右顶点为 ，左焦点为 ，且 .
(1)求 的方程；
(2)点 在椭圆 上，且点 在第一象限内，直线 ，过点 且平行于 的直线交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，点 为线段 的中点，证明: .
17. (本小题满分 15 分)
某电商平台销售 两款同一价位的智能产品,近 5 个月的销售情况如下:
月份 2025 年 11 月 2025 年 12 月 2026 年 1 月 2026 年 2 月 2026 年 3 月
月份代号 1 2 3 4 5
销售总量 (万件) 0.5 0.6 0.9 1.2 1.8
已知可用线性回归模型拟合 与 的关系.
(1)根据表中数据求 关于 的回归直线方程，并根据所求的方程，预测 2026 年 4 月份该平台这两款智能产品的销售总量；
(2)已知该电商平台购进 、 两款智能产品的数量之比为 1:2,平台声明销售时 、 两款智能产品会随机发货. 现一客户购买了 4 件该产品，记 表示购买的 4 件产品中 款的数量，求 的分布列和数学期望 .
附:回归直线方程 的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为:
18. (本小题满分 17 分)
设 是数列 的前 项和,已知 .
(1)证明: 是等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ；
(3)记 ，若不等式 恒成立，求 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制(先胜三局者获胜)，每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局结果相互独立. 比赛计分规则如下:
若一方以 3:0 或 3:1 获胜,则胜者得 3 分,败者得 0 分;
若一方以 获胜,则胜者得 2 分,败者得 1 分.
(1)求甲获得 3 分的概率；
(2)若 ，设甲的总得分为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 ；
(3)已知甲在比赛中的总得分 的分布列由 决定. 定义意外指数为 .
① 求 的表达式，并比较 和 的大小关系；
② 求 在 上的最大值及取得最大值时 的值.
参考答案
高二数学
一、单选题
1. C 设等比中项为 ,所以 , 则 . 故选 C.
2. D 因为 ,所以认为该营养液对有机蔬菜的增产有效果的把握为 95% 以上. 故选 D.
3. B 设等差数列 共 项,则奇数项有 项,偶数项有 项,且各成等差数列,所有偶数项之和为 ,所有奇数项之和为 ,则 ,所以 20,则 . 故选 B.
4. C 因为 ,所以 ,因为 ,且过点 ,所以 ,解得 . 故选 C.
5. A 令等比数列 的公比为 1),由 ,得 ,则 ,即 ,所以 . 故选 A.
6. 因为 , 所以 , ,所以数列 是周期为 4 的周期数列,且 ，所以 × . 故选 D.
7. C 设相邻两个节气晷长减少或增加的量为 ,则立冬到冬至晷长增加 ,冬至到雨水长减少 ,设冬至所对的晷长为 尺,则 ,解得 ,则冬至所对的晷长为 13.5 尺. 故选 C.
8. B 当有 的把握认为 与 有关系,则 ,故 ,此时临界条件为 ,此时对应的 刚好为 ,即此时 ,即 ,故 ,则 ,故 . 故选 B.
二、多选题
9. AC 独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的方法. A. 长寿和经常运动是两个分类变量, 独立性检验可以判断两者是否有关系,故 A 正确; B. 吸烟者得肺病的概率是单一变量的概率计算问题, 故 B 错误; C. 吸烟和患肺癌是两个分类变量, 独立性检验可以判断二者是否有关系, 故 C 正确; D. 某同学的数学成绩和物理成绩是两个定量, 不适用于独立性检验, 故 D 错误. 故选 AC.
10. AC 由表格可知,温度 越小,相对湿度 越大,所以 与 负相关,故 正确; 2,所以回归直线一定经过点 ,故 B 错误; 57.2 ,得 -2.5,所以 ,当 时, 87.2,故 正确; 因为 与 负相关,所以相关系数 ,故 错误. 故选 AC.
11. CD 由题意得 ,若 ,则对任意的 ,都有 ,则 ,不合题意，故 A 错误；当 时， ,又 ,所以 0,即 ,又 ,故 满足要求,则 ,故 B 错误; 故当 时, ,当 时， ，故 有最大值，最大值为 ，故 正确; 等比数列前 项和 ,因为 ,所以当 时, ,即 ,故 没有最大值,故 D 正确. 故选 CD.
三、填空题
12. 因为 为等比数列,且 ,所以 ,又 ,可得 8 或 ,因为 递减,所以 2,且 ,所以 ,则 或 (舍). 故答案为 .
13. 0.3 将 代入回归直线方程 ,得 ,解得 ,由 ,得 ,所以 . 故答案为-0.3.
14. 设等差数列 的公差为 ,则等差数列 的公差也为 ,设 ,则 ,当 时, ,当 时, ,因为 需满足 ,即 ,故 ,所以 ,因为数列 的公差为 ,所以 ,解得 或 ,若 ,则 ,与等差数列 各项均为正数不符,舍去; 若 ,则 ,对任意的 ,符合题意, 故 . 故答案为 .
四、解答题
15. 解: (1) 设等差数列 的公差为 ,由条件可知, (2 分)
解得 , (4 分)
所以 的通项公式为 . (6 分)
(2) , (9 分)
所以数列 的前 项和为
(13 分)
16. 解: (1) 由题意 , (2 分) 解得 .
所以 的方程为 . (4 分)
(2)
依题意, ,因为点 是椭圆上一点,可得 ,且 ,直线 的斜率 ,直线 的方程为 , (7 分)
令 ,得 . 直线 的斜率为 ,直线 方程为 ,令 , 得 . (9 分)
法一: 因为 ,
(11 分)
,
所以 , (14 分)
所以 为等腰三角形,因为点 为底边 的中点,所以 . (15 分)
法二: 点 为线段 的中点,
(11 分)
所以 ,
所以 ,
, (14 分)
所以 ,
所以 . (15 分)
17. 解: (1) ,
(1 分)
(3 分)
所以 , (4 分) (5 分)
故 关于 的回归直线方程为 . (6 分)
当 时, ,
故预测 2026 年 4 月份该平台这两款智能产品的销售总量为 1.96 万件. (7 分)
(2)因为 、 两款智能产品的数量之比为 1:2,所以购买的产品是 款的概率为 ， (9 分)
由题意可知, , (10 分)
的可能取值分别为0,1,2,3,4,
则 ,
(12 分)
所以 的分布列为:
0 1 2 3 4
16 32
(13 分)
故 . (15 分)
18. 解: (1) 由 ,当 时, ,两式相减得 ,
即 , (1 分)
所以 , (2 分)
由 ,得 ,
所以 , (3 分)
所以 , (4 分)
故 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列.
(5 分)
(2)由(1)可知， ，
所以 ,
则 , (6 分)
, (7 分)
设 ,
则 ,
两式相减得
,
所以 , (9 分)
故 . (10 分)
(3)由(2)可知， ，
,
(11 分)
由题意可知, ,(12 分) 令 ,
则 , (13 分)
令 ,解得 ,
所以数列 在 上单调递减; (14 分)
令 ,解得 ,
所以数列 在 上单调递增, (15 分)
又 ,
故 ,
所以 的最大项为 , (16 分)
故 的取值范围为 . (17 分)
19. 解: (1) 根据题意,每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局结果相互独立.
所以甲以 获胜的概率为 ,(2 分) 甲以 获胜的概率为 ,
所以甲获得 3 分的概率为 . (5 分)
(2)由题意可知，随机变量 为甲的总得分，其所有可能取值为 ,若 ,即甲、乙获胜的概率都是 , (6 分)
所以 ,
(10 分) 所以随机变量 的分布列为:
0 1 2 3
5 16
所以 . (12 分)
(3)①由题意，
, (13 分)
所以
则 , 所以 . (15 分)
② 由 ① 可得， ,
令 ,
因为 ,可得 恒成立,
所以 单调递增,
又当 时, 取得最大值,即 (16 分)
所以 ,
即当 时, 取得最大值 . (17 分)

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