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东北师匠大学附属中学
2025-2026 学年下学期高一年级 (数学) 学科大练习 (六)
试时间:90 分钟 试卷满分:120 分
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分)
1. 若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是( )
A. B.
C. D.
2. 在 中,内角 的对边分别为 ,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
3.非零向量 满足 ，且向量 在向量 上的投影向量为 ，则 与 夹角为( )
A. B. C. D.
4. 若 为 所在平面内一点,且满足 ,则 为 ( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
5. 已知 ,则 ( )
A. B.
c. D.
6. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 在 中， 为边 上一点， 为边 的中点，且 与 相交于点 ， 若 ，则 ( )
A. B. C. D.
8. 如图，在 中， ， ， ， 为线段 的中点， ， 为线段 的中点， 为线段 上的动点，则 的最大值与最小值的差为( )
A. B. C. 3 D. 4
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求,全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 已知向量 满足 ，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 向量 与 的夹角为 D. 存在非零实数 ,使得
10.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为 的水车,一个水斗从水平面与水斗的交点 出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且 10 秒后水斗第一次旋转到最高点位置，设经过 秒后，水斗旋转到 点,设 ,其纵坐标满足 ,则 ( )
A.
B.
C. 当 时,
D. 当 时,点 到水面的距离的最大值为 2
11. 已知函数 ，则下列结论中正确的是( )
A. 函数 的最小正周期为 B. 函数 的图象是轴对称图形
C. 函数 的最大值为 D. 函数 的最小值为 -1
三、填空题 (本大题共 3 小题, 每题 5 分, 满分 15 分)
12. 已知正方形 的边长为 1,点 满足 ,则 _____.
13. 设 均为钝角，且 ，则 的值为_____.
14. 设点 是边长为 2 的正方形 内部及边界上的动点,则 的取值范围是_____.
四、解答题(本大题共 3 小题, 共 47 分)
15. (本小题满分 15 分)
已知向量 满足 ，且 与 的夹角为 .
(1). 若 ，求实数 的值；
(2)求 与 的夹角.
16. (本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)求函数 的对称中心；
(2)若 在 上存在零点，求实数 的取值范围.
17.(本小题满分 15 分)
如图，点 ， 分别是矩形 的边 ， 上的两点， ， .
(1)若 ，求 的范围；
(2)若 ，求 的最小值；
(3)若 ，连接 交 的延长线于点 ， 为 的中点，试探究线段 上是否存在一点 ，使得 最大. 若存在，求 的长；若不存在，说明理由.
高一年级(数学)学科大练习(六)答案
一、选择题
1. D 3.C 6. C 7. D 8. D
二、多选题
9. ABC. 10. ABD 11. BCD
三、填空题
12. 13. 14.
四、解答题(本大题共 3 小题，共 47 分)
15. 【小问 1 】由题意可得 ,
因为 ,所以 ,
即 ,解得 .
【小问 2 】设 与 的夹角为 ,由 (1) 可知, ,
由题意可得 ,
由 ,得 ,
所以 ,
.
16(I) 令 ,解得 ,
所以函数 的对称中心为 .
(II) 由 得 ,所以 ,则 . 令 ，得 ，则 ， 解得 或 ,所以 的取值范围是 .
17.( 1 )由 ，故 ， ，则
,由 ，故 ；
(2)如图所示，以 点为坐标原点， 为 轴，建立直角坐标系，
设 ，则 ，
,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
即 的最小值为 ;
(3)如图所示，以 点为坐标原点， 为 轴，建立直角坐标系，
由题意可得 ， ， ， 即 ，
假设存在点 ,使得 最大,由 ，即有 最大，
设 ,当 时,角度为 0,此时 不可能最大,故
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
即存在，且 .

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