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湖南省长沙市第一中学2026届高三下学期4月阶段检测
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则=（　　）
A． B．
C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B．T C．S D．Z
3．已知，使成立的一个充分不必要条件是（　　）
A． B．
C． D．
4．在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，则解释变量和响应变量之间的相关系数（　　）
A． B． C．0 D．1
5．在等比数列中，为其前n项和，若，，，则的值为（　　）
A． B． C．20 D．30
6．我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ）
A． B．
C． D．
7．若直线上存在点，圆上存在点，使得，则实数的最大值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．已知为单位向量，且，则的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．6
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．如图所示，在棱长为2的正方体 中. M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．直线AM与BN 是平行直线
B．直线 AB 与MN 有一个公共点
C．直线 MN与AC 所成的角为60°
D．四边形 的面积为
10．下列有关排列数、组合数的等式中，，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第行白圈的个数为，其前n项和为，黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．不等式 的解集为_______.
13．已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是锐角三角形，则的离心率的取值范围为___________．
14．若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是__________.
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”．
(1)求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)现采用分层抽样的方式从分数在，内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
16．（15分）如图，在平行六面体 中，棱 底面ABCD是边长为2的正方形，且
(1)求证:BD⊥平面 ACC1A1；
(2)求平面AB1C与平面ACC1A1夹角的余弦值.
17．（15分）中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
(1)证明：
(2)求的内切圆半径r的取值范围；
(3)若的内切圆上有一点P，求点P到A，B，C三点的距离的平方和的最大值.
18．（17分）.
(1)若，求在零点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若有三个极值点，求证：.
19．（17分）在平面直角坐标系中，若圆与抛物线有公共点，且圆与抛物线在点处有相同的切线，则称为抛物线的和谐数，圆为的和谐圆.
(1)试判断3是否为抛物线的和谐数.若是，求出3的和谐圆；否则，请说明理由.
(2)设，，…，均为抛物线的和谐数，且，记，，…，的和谐圆分别为圆，，…，，设圆，，…，与抛物线的公共点分别为，，…，，已知，且，圆与外切.
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设点，记的面积为，证明：.
参考答案
1．答案：C
2．答案：C
3．答案：D
4．答案：D
5．答案：B
6．答案：B
7．答案：D
8．答案：B
9．答案：CD
10．答案：ACD
11．答案：AD
12．答案：
13．答案：
14．答案：
15．（1）由频率分布直方图知，
设第70百分位数为x，前两组所占频率为，
前三组所占频率为，则x位于第三组数据中，
所以，
平均数
；
（2）由（1）知分数在，内的两组学生分别有
人，
所以各自抽取的人数分别为人，
显然“特优选手”有4人，
故X可取，，
，
所以其分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
.
16．（1）在平行六面体中，令，，，
由正方形边长为2，得，而，，
则，，
因，
则，则，即，
又底面ABCD是边长为2的正方形，则，，平面，
所以平面.
（2）由（1）得，
设平面的法向量，
则，
不妨取，得，则，
由（1）知平面的法向量，
又，
，
，
故，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．（1）由 ，得 ， ，结合已知，
由余弦定理得，化简得 ，
所以
要证，即证，
因为，等价于，即，
又，即，解得，
所以，故成立，得证；
（2）三角形面积 ，内切圆半径 ，
代入化简得 ，，
是开口向下的二次函数，对称轴 ，最大值为 ，且，
故的取值范围是；
（3）当 时，得 ， ，三边长满足，
则为直角三角形，为直角，内切圆半径，
建立坐标系，如图所示
则，，，内心，
内切圆方程：，
设，则，即，
平方和，
展开化简得 ，
由内切圆的范围 ，当时最大，最大值为.
18．（1）当时，函数为，求导得，
令，得，解得，即零点为，
又切线斜率为，所以切线方程为；
（2），记，则，
记，分情况讨论：
①当时，，故在上单调递增；
②当时，为开口向下的二次函数，对称轴，
1）若，即时，
，即，在上单调递减；
2）若，即时，有两个正根，
当时，，即，
当时，，即，
则在单调递减，单调递增，单调递减，
综上，当时， 在上单调递增；
当时， 在上单调递减；
当时，在单调递减，单调递增，单调递减；
（3），
因为有3个极值点，由（2）可知，记，
则在递减，递增，递减，
由于，故，因此是的极小值点，记为，
由于在上递增，故，
当时，，故在内有唯一零点，
即为的极大值点，
，而，
因此为的极大值点，即，
故当时，有3个极值点，且，
由于在上递增，
故.
19．（1）假设3是抛物线的和谐数，则3的和谐圆为，
由对称性，不妨设圆与抛物线有公共点，
显然抛物线在点处的切线，即曲线在点处的切线，
易知该切线的斜率为，
∵圆与抛物线在点处有相同的切线，
∴，解得，
∴圆与抛物线有公共点，
∴和谐圆的半径为
∴3是抛物线的和谐数，且3的和谐圆为.
（2）由对称性，只需考虑，，…，均在轴上方的情形，不妨设，
（ⅰ）∵为抛物线的和谐数，
∴的和谐圆为，
∴由（1）可知，，解得，
∴，
∵在圆上，∴，
∵，圆与外切，且，
∴，即，
∴，
∴数列是等差数列，其公差为2，首项为，
∴，即，
∴数列的通项公式为.
（ⅱ）证明：显然点为抛物线的焦点，∴，
易知，且，∴为等腰三角形，
易知的面积，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴不等式得证.

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