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高三数学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的)
1. 已知复数 ,则
A. B.
C. D.
2. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
3. 已知 ,使 成立的一个充分不必要条件是
A.
B.
C. D.
4. 在研究线性回归模型时,样本数据 所对应的点均在直线 上, 用 表示解释变量对于响应变量变化的线性相关度,则
A. -1 B. C. 0 D. 1
5. 在等比数列 中, 为其前 项和,若 ,则 的值为
A. -30 B. -20 C. 20 D. 30
6. 我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图. 假设“嫦娥四号”在月球附近一点 变轨进入以月球球心 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,其轨道的离心率为 ,设月球的半径为 ,“嫦娥四号” 到月球表面最近的距离为 ,则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为
A. B.
C. D.
7. 若直线 上存在点 ,圆 上存在点 ,使得 ,则实数 的最大值为
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8. 已知 为单位向量，且 ，则 的最小值为
A. 2 B. C. 4 D. 6
二、选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，至少有两项符合题 目要求，若全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错或不选得 0 分)
9. 如图所示,在棱长为 2 的正方体 中, 分别为棱 的中点,则下列结论正确的是
A. 直线 与 是平行直线
B. 直线 与 有一个公共点
C. 直线 与 所成的角为
D. 四边形 的面积为
10. 下列有关排列数、组合数的等式中, ,正确的是
A.
B.
C.
D.
11. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中, 因此又被称为 “大自然的几何学”. 按照如图 1 所示的分形规律，可得如图 2 所示的一个树形图. 若记图 2 中第 行白圈的个数为 ,其前 项和为 ,黑圈的个数为 ,其前 项和为 ,则下列结论正确的是
图 1 图2
A. B. C. D.
三、填空题(本大题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 不等式 的解集为_____.
13. 已知 分别是双曲线 的左、右焦点,关于原点对称的两点 均在双曲线 上, ,且 是锐角三角形,则双曲线 的离心率的取值范围为_____.
14. 若函数 有唯一极值点,则实数 的取值范围是_____.
四、解答题(本大题共 5 个小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
第 19 届亚运会于 2023 年 9 月 23 日在我国杭州举行，某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好亚运故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了 100 人，统计发现他们的竞赛分数均分布在 内,根据调查的结果绘制了竞赛分数的频率分布直方图,如图所示. 分数不低于 850 分的学生被称为“特优选手”.
(1)求 的值，并估计该校学生竞赛分数的第 70 百分位数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)现采用按比例分层抽样的方式从分数在 内的两组学生中共抽取 10 人，再从这 10 人中随机抽取 4 人，记被抽取的 4 名学生中“特优选手”的人数为随机变量 ,求 的分布列及数学期望.
16.(本小题满分 15 分)
如图，在平行六面体 中，棱 ，底面 是边长为 2 的正方形，且 .
(1)求证: 平面 ;
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. (本小题满分 15 分)
在 中,角 的对边分别为 ,满足 .
(1)证明: ；
(2)求 的内切圆半径 的取值范围；
(3)若 ， 的内切圆上有一点 ，求点 到 ， ， 三点的距离的平方和的最大值.
18. (本小题满分 17 分)
已知 ,其中 .
(1)若 ，求 在零点处图象的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)若 有三个极值点 ，求证: .
19. (本小题满分 17 分)
在平面直角坐标系 中,若圆 与抛物线 有公共点 ，且圆 与抛物线 在点 处有相同的切线，则称 为抛物线 的和谐数，圆 为 的和谐圆.
(1)试判断 3 是否为抛物线 的和谐数. 若是，求出 3 的和谐圆；若不是，请说明理由.
(2)设 均为抛物线 的和谐数，且 ，记 的和谐圆分别为圆 ,设圆 与抛物线 的公共点分别为 , ,已知 ,且 ,圆 与 外切.
(1)求数列 的通项公式；
( II ) 设点 ,记 的面积为 ,证明: .
高三数学参考答案
一、选择题(本大题共 8 个小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D A B B D B
1. C 因为 ,故 ,故 ,故选 C.
2. C 任取 ,则 ,其中 ,所以 ,故 ,因此 . 故选 C.
3. 对于 是充要条件;
对于 ,当 时,由 ,得 不是充分条件;
对于 ,可能有 ,如 不是充分条件;
对于 ,由 ,得 ,则 ; 若 ,则 是充分不必要条件. 故选 D.
4. A 由已知,样本数据 所对应的点均在直线 上, 则 ，又 ，所以满足负相关关系，即 . 故选 A.
5. B 设等比数列 的公比为 ,则 ， ， 是首项为 ，公比为 的等比数列， 若 ,则 ,所以 , 即 ,解得 (舍去) 或 . 故选 B.
6. 椭圆的离心率 ,设探测器在近地点、远地点离月球表面的距离分别为 ,
则 ,
. 故选 B.
7. 因为点 在直线 上,所以设 点坐标为 ,则 点坐标为 .
又 在圆上,所以 ,
整理得关于 的一元二次方程 ,
因为存在点 在直线上,所以关于 的一元二次方程有实数解,
故 ,
得 ,解得 ,所以实数 的最大值为 8 .
8. 为单位向量,有 ,得 ,
由 ,得 ,有 ,所以 ,
,由 ,有 ,
则 ,当且仅当 与 方向相反时 “ ” 成立,
如取 时,可使 “ ” 成立. 所以 . 故选 B.
二、选择题(本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 至少有两项符合题目要求, 若全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 选错或不选得 0 分.)
题 号 9 10 11
答 案 CD ACD AD
9. CD 对于 ,如图,取 的中点为 ,连接 ,由正方体性质可知 , 若直线 与 是平行直线,则可得 共线,显然这与 相交于点 矛盾, 故 A 错误;
对于 ,易知直线 与 是异面直线,故 错误;
对于 ,连接 ,如图,可得 ,则 为直线 与 所成的角, 而 ，则 ，可得直线 与 所成的角为 . 故 正确； 对于 ,连接 ,易知 ,所以四边形 为等腰梯形, 因为正方体的棱长为 2,可得 ,
则等腰梯形的高为 ,因此 ,故 D 正确. 故选 CD.
10. ACD 对于 ,由组合数性质知, 正确;
对于 ,当 时, , B 错误;
对于 正确；
对于 ,设 ,则 ,
导函数 ,
由 ,
可得 正确. 故选 ACD.
11. AD 由于每一个白圈产生的下一行为 1 白 1 黑两个圈,一个黑圈产生的下一行为 1 个白圈和 2 个黑图,第 行白圈的个数为 ,黑圈的个数为 ,所以 ,所以 B 错误;
由 ,得 ,所以 正确;
因为 ,所以 ,所以 ,
因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 正确;
因为 ,所以 ,因为 ,
所以 ,所以 ,所以 错误. 故选 AD.
三、填空题(本大题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. ,即 ,即 ,解得 . 故不等式的解集为 .
13. 关于原点对称,双曲线焦点 关于原点对称,
四边形 是平行四边形,则 ,
,
如图,设点 在左支,双曲线的焦距为 ,根据双曲线定义得 , 联立可得 ,
的三条边为 .
是锐角三角形, 的三个内角均为锐角,
由 ,得 ,
则 ,得 ;
由 ,得 ,不等式恒成立;
由 ,得 ,
则 ,得 , 综上,双曲线 的离心率的取值范围为 .
14. 因为 只有一个极值点,所以 ,
由 ,得 ,设 ,
则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
且 ,当 时, ,当 时, 的图象如图所示,
当 时,直线 与 的图象仅在区间 上有 1 个交点,
且该交点为变号零点,则 只有一个极值点;
当 时,直线 与 的图象在区间 和 处各有一个交点,
但在 处为不变号零点,则 在 上恒成立,则 只有一个极值点;
当 时,直线 与 的图象有 3 个交点,则 有 3 个极值点;
当 时,直线 与 的图象无交点, 无极值点,
所以当 时, 有唯一极值点,综上,实数 的取值范围是 .
四、解答题(本大题共 5 个小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(1) 由频率分布直方图知 ,解得 . 2 分设第 70 百分位数为 ,前两组的频率为 ,
前三组的频率为 ,则 位于第三组数据中,
所以 ,解得 . 4 分
平均数为 . 6 分 (2)由(1)知分数在
所以各自抽取的人数分别为 ,则这 10 人中“特优选手”有 4 人,
故 的可能取值为 ,
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
1 1 8 2 4
11 分
数学期望 . 13 分
16.(1)如图，以 为坐标原点， ， 方向为 轴， 轴正方向，过点 且垂直于底面向上方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系，
则 , ,
设 ,依题意得, ,
则 解得
,又 ,
,故 .
又在正方形 中, ,且 ,
平面 . 7 分
(2)由题意得， ,
设平面 的法向量为 ,
则 得 取 ,则 ,
.
又由(1)知平面 的一个法向量为 ,
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 .
平面 与平面 的夹角的余弦值为 . 15 分
17.(1)在 中，由 知 ，由余弦定理得，
,
. 4 分
(2)由 ，可得 ，
又 ,
由( 1 )知， ， ，
而 . 9 分
(3) 由 代入 ,
解得 ,可知 为直角三角形,且 ,
如图，以 为原点， ， 分别为 ， 轴正方向建立平面直角坐标系，
则 ， ，设内心 ，有 ，解得 ，
设 ,则 ,
整理得 ,
当 ,即 时, 取得最大值 . 15 分
18.(1)当 时,函数为 ,求导得 , 令 ,得 ,解得 ,即零点为 ,
又切线斜率为 ,所以切线方程为 . 4 分
(2) ,记 ,则 , 记 ,分情况讨论:
① 当 时， ，故 在 上单调递增；
② 当 时， 为图象开口向下的二次函数，对称轴为直线 ，
若 ,即 ,
,即 在 上单调递减;
若 ,即 有两个正零点 ,
当 时, ,即 ,
当 时, ,即 ,
则 在 上单调递减, 上单调递增, 上单调递减,
综上,当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递减, 上单调递增. 10 分
(3) ,
因为 有 3 个极值点,由 (2) 可知 ,
记 ,
则 在 上递减, 上递增, 上递减,
由于 ,故 ,因此 1 是 的极小值点,记为 ,
由于 在 上递增,故 ,
当 时, ,故 在 内有唯一零点 ,即 为 的极大值点,
而 ，因此 为 的极大值点，即 ，
故当 时， 有 3 个极值点 ，且 ，
由于 在 上递增,
故 . 17 分
19.(1) 假设 3 是抛物线 的和谐数,则 3 的和谐圆为 ,
由对称性,不妨设圆 与抛物线 有公共点 ,
显然抛物线 在点 处的切线,即曲线 在点 处的切线,
易知该切线的斜率为 ,
圆 与抛物线 在点 处有相同的切线,
,解得 ,
圆 与抛物线 有公共点 ,
和谐圆的半径为 ,
是抛物线 的和谐数,且 3 的和谐圆为 . 5 分
( 2 )由对称性，只需考虑 均在 轴上方的情形，不妨设 ，
(i) 为抛物线 的和谐数, 的和谐圆为 ,
由 (1) 可知, ,解得 ,
在圆 上, ,
,圆 与 外切,且 ,
,
即 ,
,
数列 是等差数列,其公差为 2,首项为 ,
,即 ,
数列 的通项公式为 . 10 分
(ii) 证明: 显然点 为抛物线 的焦点, ,
易知 ,且 为等腰三角形,
易知 的面积 ,
当 时, ,
,
,
,
不等式 得证. 17 分

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