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高三数学
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1. 某班 8 名学生一次物理测试的成绩如下:67,73,76,81,85,88,89,92,则这组数据的中位数为
A. 81 B. 83 C. 84 D. 85
2. 已知复数 满足 ,则 的虚部为
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
3. 已知集合 ,则集合 中的元素个数为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 函数 的一个零点为
A. B. C. D.
5. 已知圆 与直线 相交于 两点, 为坐标原点, 若 ,则
A. B. C. D.
6. 已知 是定义域为 的偶函数,且满足 ,当 时, ,则
A. -1 B. 3 C. D.
7. 如图,圆台 的高为 是母线, . 现在将圆台的侧面沿 剪开, 并展开成平面图形,点 在侧面展开图中对应的点为 ,则线段 的长度为
A. 8 B. C. 16 D.
8. 已知函数 ,若对任意的 ,均有 ,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知等比数列 的首项为 2,公比为 ,前 项和为 ,则
A. 是等比数列 B. 是等差数列
C. 是等比数列 D. 是等比数列
10. 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，则下列说法正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则 的周长为 3
C. 若 ,则 的面积为 D. 若 ，则 边上的高为
11. 已知抛物线 的焦点 也是椭圆 的一个焦点,过点 作 的两条切线,斜率分别为 ,对应的切点分别为 ,则
A. B.
C. 点 在直线 上 D. 的中点到 轴的距离为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知向量 ， ， ，若 ，则 _____.
13. 甲、乙、丙、丁、戊五人一起去电影院看电影，他们选了一排的连续 5 个座位，座位号分别为1,2,3,4,5，若要求甲坐在偶数号位置上，且乙和丙相邻而坐，则不同的坐法共有_____种.
14. 已知数列 满足 ,令 ,则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知函数 .
(1)若 ，且 ，求 的值；
(2)设函数 ，求 的值域和单调区间.
16. (15 分)
已知 为双曲线 上的两点.
(1)求 的离心率；
(2)过点 的直线 与 的下支交于点 ，若 的面积为 12，求 的方程.
17. (15 分)
如图，在四棱锥 中， 底面 ，且 ,点 满足 .
(1)当 时，证明: 平面 ；
(2)当 时，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
18.(17分)
已知函数 .
(1)若 ，
(i) 求曲线 在 处的切线方程；
(ii) 设 的极小值为 ,证明: .
(2)若 在定义域内恒成立，求实数 的取值范围.
19. (17 分)
甲、乙两人进行冬奥会知识竞猜游戏,每轮竞猜两人获胜的概率均为 .
(1)若进行 4 轮竞猜，记事件“甲获胜 2 轮”为 ，“甲第 2 轮获胜”为 ，判断 与 是否相互独立.
(2)记进行 轮竞猜时甲获胜 2 轮的概率为 .
( i ) 求满足 的 的取值集合;
(ii)若两人的竞猜游戏在满足以下任一条件时终止:①甲获胜 2 轮，②竞猜总轮数达到 ,记结束游戏时竞猜的轮数为 ,证明: .
高三数学 答案
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 答案
中位数为 .
2. 答案 A
,其虚部为 -2 .
3. 答案
集合 中满足 的元素有-1,0,1,2,共 4 个,故集合 中的元素个数为 4 .
4. 答案
令 ,则 ,符合该式的只有 .
5. 答案
由题意可知,直线 过点 ,圆 与 轴相切于原点 ,如图,若 ,则 是圆 的直径,即直线 过点 ,所以 ,得 .
6. 答案 D
.
7. 答案
命题透析 本题考查圆台的结构特征及相关计算.
解析 如图 1,在圆台的轴截面中作 于点 . 设 ,由题意得 ,由勾股定理可得 ,解得 ,所以 . 侧面展开图如图 的长为 的长为 ,所以 ,又 ,所以 ,所以 ,所以 .
图1
图2
8. 答案
由 ,得 ,整理得 ,即 ,即 . 设 ,这是关于 的一次函数,要对任意 ,需满足 两个等号不能同时成立,解得 .
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分，共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 答案
对于 ,由题意得 ,得 ,故 不是等比数列,故 错误;
对于 ,所以 ,故 是等差数列,故 正确;
对于 ,所以 ,故 是等比数列,故 正确;
对于 ,故 不是等比数列,故 错误.
10. 答案 ABD
由正弦定理及 ,得 .
对于 ,若 ,则 ,所以 是等腰直角三角形,所以 ,故 A 正确; 对于 ,若 ,则 ,所以 或 ,若 ,则 ,舍去,若 ,则 是等边三角形,周长为 3,故 正确;
对于 ,若 ,则 ,则 或 ,若 ,则 , 若 ,则 ,故 错误;
对于 ,若 ,则 ,因为 ,所以 ,此时 边上的高为 , 故 D 正确.
11. 答案 ACD
椭圆的右焦点为 ,即为 的焦点 ,所以 .
对于 ,设过点 的切线方程为 ,代入 ,得 ,令 ,化简得 ,根据题意, 是此方程的两个实数根,所以 ,故 A 正确;
对于 是 的实数根,所以 ,同理 ,故 错误;
对于 ,点 的坐标分别为 ,所以直线 的方程为 ,化简得 ,将 代入,得 ,将 代入,得 ,该直线过点 ,即点 在直线 上,故 正确;
对于 的准线方程为 ,设 分别为 到准线的距离,由抛物线的定义知, 的中点到准线的距离为 ,所以 的中点到 轴的距离为 ,故 D 正确.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 答案 10
,因为 ,所以 ,故 .
13. 答案 16
若甲坐 2 号位,则乙和丙可以坐 3,4 或 4,5,其有 种坐法; 若甲坐 4 号位,则乙和丙可以坐 1,2 或 2,3,同样有 种坐法. 故不同的坐法共有 16 种.
14. 答案 3
由 ,得 ,则 ,所以 ,即 . 由 ,易得当 为奇数时, 为偶数; 当 为偶数时, 为奇数. 不妨设 ,则 . 要使该值最小,即使 更接近 11,故当 时,值为 ,即 取得最小值 3,举例: 当 的前 19 项中奇数项均为 0,偶数项均为 -1, 时满足题意.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1) 因为 ,所以 ,
又 ,所以 . (2 分)
故 . (5 分)
(2)
. (7 分)
当 时, ,所以 ,
故 的值域为 . (9 分)
由 ,解得 的单调递增区间为 ; (11 分)
由 ,解得 的单调递减区间为 . (13 分)
16. (1) 将 代入 的方程,得 . (1 分)
将 代入 的方程,得 . (2 分)
故离心率为 . (4 分)
(2) . 直线 的方程为 . (5 分)
设点 到直线 的距离为 ,则 .
由点到直线的距离公式得 ,所以 . (8 分)
又点 在 的下支上,由 (1) 知 ,且 .
由 解得 或 (10 分)
由 得 ,解得 ,舍去. (12 分)
所以点 的坐标为 或 , (13 分)
对应直线 的方程为 或 . (15 分)
17. (1) 设 与 交于点 ,连接 ,如图.
由 ,易得 ,又 ,所以 .
当 时, ,所以 , (2 分)
又 底面 ,所以 底面 ,又 平面 ,所以平面 底面 . (3 分) 由题意知 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,即 , (5 分)
又平面 底面 ,所以 平面 . (6 分)
(2)如图，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系. (7 分)
由已知得 ,当 时, ,
所以 . (9 分)
设平面 的法向量为 ，
则 即 可取 . (11 分)
同理可得平面 的一个法向量为 . (13 分)
因为 ,
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 . (15 分)
18. (1)(i) 当 时, , (1 分)
则 ,
故所求的切线方程为 ,即 . (3 分)
(ii) 易知 单调递增,且函数 与 的图象在 上仅有一个交点,
所以 在 上存在唯一的零点 ,即 . (5 分)
当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,
所以 的极小值 . (7 分)
因为 ,所以 ,所以 ,
因为 ,所以 ,所以 . (9 分)
(2)由 ,得 ,
设 ,再令 ,得 . (10 分)
设 ,则 .
与 (1) 同理,可知 在 上存在唯一的零点 ,满足 ,即 , (12 分) 当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,
所以 . (14 分)
设 ,则 ,
所以 在 上单调递减.
又注意到 ,因此, 当且仅当 .
所以 时 恒成立,此时 ,
又 ，所以 的取值范围是 . (17 分)
19 (1) 由题意得 ,
(3 分)
因为 ,所以 与 相互独立. (4 分)
(2)(i)由题意知 . (5 分)
等价于 .
当 时, ; 当 时, ; 当 时, ; 当 时, . (7 分)
下面证明: 当 时, .
当 时,
.
综上,满足 的 的取值集合为 . (9 分)
另解:构造函数 ,
则 ,
当 时, ,
所以 ,从而 .
(ii) 由题意知 ,
(11 分)
记 ,则 ,
作差,得 ,
所以 ,所以 . (13 分)
所以 . (14 分)
由 ( i ) 知 . (15 分)
所以
所以 . (17 分)

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