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2025-2026人教版七年级数学下分层精析精练
专题1 二元一次方程组的题型分类及解题技巧
类型一 灵活运用代入消元法、加减消元法解方程
当某个方程中，一个未知数的系数为 1 或 -1时用代入消元法。
当相同未知数系数相同或相反或者成整数倍时用加减消元法解方程
1．解方程组：
(1)
(2)
2．解方程组：．
3．解二元一次方程组：．
4．解方程组：
5．解方程组：．
6．解方程组：
类型二、二元一次方程组特殊解法
角度一、 解两个未知数的系数互相交换的二元一次方程组
若方程组中两个未知数的系数互换，则可将两个方程组分别相加、相减，组成新方程组, ,再进行求解
1.解方程组：
2.解方程组：．
3．仔细阅读下面解方程组的方法，然后解决有关问题．
解方程组：
解：①-②，得，即．③
①+②，得，即．④
③+④，得．③－④，得，
所以原方程组的解为
请你仿照上面的解法解方程组：
4．小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单：
得：，即．
再得：，
最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法．
(1)方程组的解为___________；
(2)利用轮换对称解法解方程组
角度二 解系数较大的二元一次方程组
若方程组中两个未知数系数的绝对值较大时，先观察方程，找出它们系数的特点，然后进行加减变形化简，将问题化繁为简，最后进行消元。
1.解方程组
2．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题．
解方程组时，小明发现采用下面的方法比较简单：
②-①，得，即．③
③，得．④
①-④，得，解得．
把代入③，得，
所以这个方程组的解是
(1)请你运用小明的方法解方程组：
(2)已知，试根据上面的解题过程猜想关于x，y的方程组的解是________．
3．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：
解方程组时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便．
解：①-②，得，即．③
，得．④
②－④，得．
把代入③，得．
故原方程组的解是
(1)请用上述方法解方程组：
(2)直接写出关于的二元一次方程组的解．
4．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题．
解方程组，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单
，得，所以，
，，
，得，从而得，
所以原方程组的解是．
(1)请你运用上述方法，解方程组；
(2)请你运用上述方法，解方程组；
(3)请你直接写出方程组的解．
5．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组：
解：，得，即．③
，得．④
，得，解得．把代入③，解得，
∴原方程组的解是
(1)请你仿照上面的解法，解方程组：
(2)解关于x，y的二元一次方程组：（）．
6．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组：
解：，得，即
，得
，得．
将代入，得．
故原方程组的解是
请你仿照上面的解法，解方程组：
角度三 整体代入法
若方程组中都含有相同固定结构的式子时，常常将相同的固定结构的式子看作一个整体求解。
1．对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法．
例如，解方程组．小华的解法是，把②代入①，得
(1)把小华的解法补充完整：
解：把②代入①，得：
(2)请仿照小华的方法解方程组：
2．先阅读，然后解方程组．
解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”．
请用这样的方法解方程组：
3．【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组
解：将方程①移项，得③．
把方程③代入②，得．
解得．
把代入③，得．
解得．
∴原方程组的解为．
上面的解法中，将看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想．
【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组：
(1)
(2)
4．阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务：
整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法；
解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为．这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”．
请你利用“整体代入消元法”解方程组．
5．阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形，即③，把①代入③得．
解得，把代入①得，所以原方程组的解为
请你运用以上方法解决下列问题：
(1)模仿小红的方法解方程组
(2)已知x，y满足方程组，求的值．
角度四 换元法
若方程组中系数与已知方程的系数有共同特征时，将方程转化为与已知方程系数相同，就可以得到未知方程的式子与已知方程的解相等的方程。
1．阅读探索：解方程组
解：设，，原方程组可以化为解得
即【此种解方程组的方法叫做换元法】
(1)运用上述方法解方程组
(2)已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解．
2．解方程组
解：设，，原方程组可变为
解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法．
(1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组：
(2)【能力运用】已知关于x，y的方程组：的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为___________．
3．解方程组时若设，，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)知识迁移：请用这种方法解方程组；
(2)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
4．本册教材页中，我们曾探究过二元一次方程组的换元法：简单说：把方程组里某一个复杂的式子，用一个新字母代替，让方程变简单，再解．本质就是“简化式子”，再变回原来的未知数．
(1)【知识累计】解方程组；
(2)【拓展提高】运用换元法可以解下列方程组：
解方程组
解：设，原方程组可变为
由（1）中的解可得新方程组__________，解得_________，
(3)【能力运用】已知关于x，y的方程组的解为，
求关于m、n的方程组的解．
5．阅读材料：善于思考的小语同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得．
(1)学以致用，模仿小语同学的“整体换元”的方法，解方程组．
(2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，解方程组．
类型三 利用方程组的解求字母或代数式的值
解答此类问题就是把方程组的解代入原方程组中，得到一个关于含有所求代数式或字母的二元一次方程组，解这个方程组，求出相关字母的值，再把所得的值代入所求代数式求值。
1．在解方程组时，小明解得，求的值．
2．解关于x，y的方程组时，甲正确地解出，乙因为把c抄错了，误解为，求a，b，c的值．
3．已知关于、的方程组的解是
(1)求、的值；
(2)求的平方根．
4．运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题：
(1)若，则_________；
(2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值．
类型四 二元一次方程(组)的同解问题
角度一 二元一次方程组与二元一次方程的同解问题
解答一个二元一次方程组与一个二元一次方程同解问题两种方法
（1）将待定字母k看作已知数，求出方程组的解，然后将方程组的解代入二元一次方程中，求出k的值。
（2）由方程组的两个方程消去未知字母k，得到关于x、y的二元一次方程，再与另一个二元一次方程联立得方程组，求出x、y的值，进而求出未知字母的值。
1．已知方程组的解也是方程的解，求的值．
2．关于x，y的方程组的解也是方程的解，求k得值
3．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值．
(1)按照小云的方法，x的值_____，y的值为______；m的值为______．
(2)请按照小辉的思路求出m的值．
4．已知关于x，y的方程组的解也是方程的解，求k的值．
角度二 两个方程组的同解问题
解答两个方程组的同解问题的方法：因为两个方程组共有四个二元一次方程，且有公共解，所以它们中任意两个联立组成的方程组都可以求得两个方程组的公共解，进而可以求得参数的值。
1．已知方程组与有相同的解，求、的值及方程组的解．
2．已知关于x，y的方程组与有相同的解，求的值．
3．换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为．
(1)解方程组．
(2)解方程组
(3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________．
4．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．
（1）解方程组，利用加减消元法，很快可求得此方程组的解为______；
（2）如何解方程组呢？我们可以把，看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______；
由此请你解决下列问题：
若关于，的方程组与有相同的解，求、的值．
题型五 列二元一次方程组解决实际问题
二元一次方程组的应用中找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键。
1．某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
销售时段 销售数量 销售收入
种型号 种型号
第一周 3 5 1750元
第二周 4 10 3000元
(1)求、两种型号电风扇的销售单价；
(2)超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由．
2．如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度．
3．某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
(1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案；
(3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费．
4．某宾馆客房部三人间300元/间/天，双人间280元/间/天，为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团体优惠期间到宾馆入住，本着“每间客房均正好住满人”的原则，租了一些三人间和双人间客房，若旅游团体一天共花去3020元，则租了三人间和双人间客房各多少间？
5．如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形．
(1)求每一个小长方形的长与宽．
(2)求阴影部分的面积．
题型六 列二元一次方程组的综合问题
二元一次方程组的综合问题，根据题目条件把有关问题转化为二元一次方程组问题，求出二元一次方程组的解，进而利用二元一次方程组的解，解决其他问题。
1．【综合与实践】
主题：制作一个有盖长方体形纸盒．
素材：一张矩形纸板．
操作：如图，先将矩形纸板的阴影部分剪下，再将剩余部分的纸板折成有盖长方体形纸盒．
计算∶若矩形纸板的周长为，与的长度比为，且折成的长方体形纸盒的底面为正方形，求这个有盖长方体形纸盒的体积．
2．综合与实践
某学校组织爱心义卖，八（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案：
方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠
方案二 购买玩偶满50个时，立减10元
(1)若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？
(2)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？
(3)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案．
题型七 列二元一次方程组的探究性问题
二元一次方程组的探究问题，有探究条件型，有探究结论型，一般都是假定结论（或条件）成立，从结论（条件）成立出发进行推理论证，如果满足条件（或结论），则成立，反之则不成立。
1．综合与探究
明明为了探究关于x，y的二元一次方程解的规律，把x和y的部分值分别填入下表：
x 4 0 2 8
y 10 7 p 1
初步探究：
（1）求p的值．
深入探究：
（2）下列方程中，与组成方程组，在范围内有解的是________．（填序号）
①；②；③．
探究应用：
（3）已知关于x，y的二元一次方程的部分解如下表：
x 0 8
y q 13
求方程组的解．
2．某校艺术舞台两侧（）有两台氛围射灯和，它们发出的光束分别从、方向开始，分别以秒、秒的速度在同一平面内逆时针旋转，分别到达、方向后立刻回转，并不断往返．将无人机拍摄到的画面抽象出如图、图的几何图形，若、满足，探究下列问题：
(1)填空：________，________；
(2)在图中，若灯先转动秒，灯才开始转动，在灯发出的光束到达之前，设灯转动时间为秒，求当为何值时，两灯的光束互相平行？
(3)在图中，连接，测得，若两灯同时转动，在灯发出的光束到达之前，两灯射出的光束交于点，过作交于点，且，探究与有怎样的数量关系？
题型八 关于二元一次方程组的阅读材料题
二元一次方程组中的阅读理解题型，一般是材料中提供一种解题方法，通过阅读解题方法应用所给出的方法解决问题，解决这类问题的关键是学会材料中提供的方法，并能正确地模仿使用。
1．阅读与思考
对于未知数是的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
(1)方程组的解与是否具有“邻好关系”呢？说明你的理由．
(2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值．
2．阅读与思考：对于未知数是x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”．
(1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”呢？说明你的理由．
(2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值．
2025-2026人教版七年级数学下分层精析精练
专题1 二元一次方程组的题型分类及解题技巧（解析版）
类型一 灵活运用代入消元法、加减消元法解方程
当某个方程中，一个未知数的系数为 1 或 -1时用代入消元法。
当相同未知数系数相同或相反或者成整数倍时用加减消元法解方程
1．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法计算，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，正确计算即可得到结果；
（2）利用代入消元法计算，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，正确计算即可得到结果．
【详解】（1）解：，
由得，
把代入得，
整理得，
解得，
把代入得，
原方程组的解为；
（2）解：，
由得，
把代入得，
整理得，
解得
把代入得，
原方程组的解为．
2．解方程组：．
【答案】
【分析】直接运用代入消元法求解即可．
【详解】解：，
将代入可得：，
解得，
将代入可得：，
所以该方程组的解为．
3．解二元一次方程组：．
【答案】
【分析】由得，代入得，把代入，可求出方程组的解．
【详解】解：
由得
把代入得，
，
解得，
把代入得，
原方程组的解为．
4．解方程组：
【答案】
【分析】运用加减消元法求解，先消去未知数y，求出x的值，再代入原方程求出y的值即可．
【详解】解：，
，得，
解得，
把代入①，得，
解得，
所以方程组的解为．
5．解方程组：．
【答案】
【详解】解：得，
解得
将代入①中得，
解得
故方程组的解．
6．解方程组：
【答案】
【分析】利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：
得：
解得
把代入①得：
解得
因此，原方程组的解为．
类型二、二元一次方程组特殊解法
角度一、 解两个未知数的系数互相交换的二元一次方程组
若方程组中两个未知数的系数互换，则可将两个方程组分别相加、相减，组成新方程组, ,再进行求解
1.解方程组：
【解】：①+②得: 60x+60y=180, 即x+y=3 ③
②-① 得：14x-14y=-14 即：x-y=-1 ④
③ +④ 得：x=1 把x=1代入③ 得y=2
所以原方程组的解为
2.解方程组：．
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：，
得，即③，
得，即④，
得，
解得，
把代入③得，
解得，
所以，方程组的解为．
3．仔细阅读下面解方程组的方法，然后解决有关问题．
解方程组：
解：①-②，得，即．③
①+②，得，即．④
③+④，得．③－④，得，
所以原方程组的解为
请你仿照上面的解法解方程组：
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，熟练掌握消元法是关键．
先把两式相加得出的值，再把两式相减得出的值，再用加减消元法求出的值即可；
【详解】解：①+②，得，即．③
①-②，得，
即．④
，得．，得，
所以原方程组的解为
4．小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单：
得：，即．
再得：，
最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法．
(1)方程组的解为___________；
(2)利用轮换对称解法解方程组．
【答案】(1)
(2)
【分析】题目主要考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键．
（1）根据例题过程，利用加减消元法求解即可；
（2）仿照例题方法求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
得：，
解得：，
将代入③得：，
∴方程组的解为，
故答案为：；
（2），
，得，即③，
，得④，
，得，解得，
把代入③，得，
．
角度二 解系数较大的二元一次方程组
若方程组中两个未知数系数的绝对值较大时，先观察方程，找出它们系数的特点，然后进行加减变形化简，将问题化繁为简，最后进行消元。
1.解方程组
【答案】
解：①+②得: 4047x+4047y=4047, 即x+y=1 ③
②-① 得：x-y=3 ④
③ +④ 得：x=1 把x=2代入③ 得y=-1
所以原方程组的解为
2．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题．
解方程组时，小明发现采用下面的方法比较简单：
②-①，得，即．③
③，得．④
①-④，得，解得．
把代入③，得，
所以这个方程组的解是
(1)请你运用小明的方法解方程组：
(2)已知，试根据上面的解题过程猜想关于x，y的方程组的解是________．
【答案】(1)
(2)
【分析】读懂材料中提供的解题方法，并结合加减消元法解二元一次方程组.
【详解】（1）
②-①，得，即．③
③，得．④
①-④，得，解得．
把代入③，得，
所以这个方程组的解是.
（2）
①-②，得，即．③
③，得．④
①-④，得，解得．
把代入③，得，
所以这个方程组的解是.
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的求法，理解题意，熟练掌握运用二元一次方程组的解法是解题关键．
3．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：
解方程组时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便．
解：①-②，得，即．③
，得．④
②－④，得．
把代入③，得．
故原方程组的解是
(1)请用上述方法解方程组：
(2)直接写出关于的二元一次方程组的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据例题进行解题即可；（2）根据例题进行解题即可．
【详解】（1）解：
①-②，得，即．③
，得．④
②－④，得．
把代入③，得．
故原方程组的解是；
（2）解：
①-②，得，即．③
，得．④
②－④，得．
把代入③，得．
故原方程组的解是.
【点睛】本题考查了特殊方法和加减消元法解二元一次方程组，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
4．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题．
解方程组，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单
，得，所以，
，，
，得，从而得，
所以原方程组的解是．
(1)请你运用上述方法，解方程组；
(2)请你运用上述方法，解方程组；
(3)请你直接写出方程组的解．
【答案】(1)
原方程组的解是；
(2)
原方程组的解是；
(3)
原方程组的解是．
【分析】本题考查解二元一次方程组．
（1），得，可得，，可得，可得，代入，可得，即可得原方程的解；
（2），得，可得，，可得，可得，代入，可得，即可得原方程的解；
（3），得，由，可得，从而可得，，可得，代入，可得，即可得原方程的解．
【详解】（1）解：，
，得，
∴，
，得，
，得，
∴，
将代入，得，
∴原方程组的解是．
（2）解：，
，得，
∴，
，得，
，得，
∴，
将代入，得，
∴原方程组的解是．
（3）解：，
，得，
∵，
∴，
∴，
，得，
，得，
将代入，得，
∴原方程组的解是．
5．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组：
解：，得，即．③
，得．④
，得，解得．把代入③，解得，
∴原方程组的解是
(1)请你仿照上面的解法，解方程组：
(2)解关于x，y的二元一次方程组：（）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二元一次方程组的解，能够仿照例题方法，结合加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．
（1）由得到③，由得到的值，再把的值代入③求出的值即可；
（2）仿照（1）的解法，用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：
，得．③
，得，
解得．
把代入③，得，解得，
∴原方程组的解是
（2）解：
，得．
∵，∴．③
，得，解得．
把代入③，得，解得，
∴原方程组的解是
6．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组：
解：，得，即
，得
，得．
将代入，得．
故原方程组的解是
请你仿照上面的解法，解方程组：
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练计算是解题的关键.
利用加减消元法，利用整体思想解方程即可得到答案．
【详解】解：得，
即，
，得，
，得，
解得．
将代入，
得．
故原方程组的解是
角度三 整体代入法
若方程组中都含有相同固定结构的式子时，常常将相同的固定结构的式子看作一个整体求解。
1．对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法．
例如，解方程组．小华的解法是，把②代入①，得
(1)把小华的解法补充完整：
解：把②代入①，得：
(2)请仿照小华的方法解方程组：
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）整体代入消去未知数，再求解即可；
（2）先整理方程，观察两个方程特征，整体代入消去未知数，再求解即可；
【详解】（1）解：，
把②代入①，得：，
解得，
把代入②，得：，
解得，
∴原二元一次方程组的解为；
（2）解：原方程组整理为，
把①代入②，得：，
解得，
把代入①，得：，
解得，
∴原二元一次方程组的解为．
【点睛】重点观察两个方程的特征，整体代入后能消去一个未知数．
2．先阅读，然后解方程组．
解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”．
请用这样的方法解方程组：
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程的求解，解题的关键是根据题意掌握“整体代入法”；
由题意可知先对①移项得，再将其整体代入②中，即可得到答案．
【详解】解：由①，得③，
把③代入②，得，解得，
把代入③，得，解得，
故原方程组的解为．
3．【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组
解：将方程①移项，得③．
把方程③代入②，得．
解得．
把代入③，得．
解得．
∴原方程组的解为．
上面的解法中，将看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想．
【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组．
（1）将方程①移项，得③，代入②求出，把代入③求出即可；
（2）由①得，③，把③代入②求出，把代入①求出即可．
【详解】（1）解：将方程①移项，得③
把方程③代入②得
解得
把代入③，得
∴方程组的解为
（2）解：由①得，③
把③代入②得
解得
把代入①得，
解得
∴方程组的解为．
4．阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务：
整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法；
解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为．这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”．
请你利用“整体代入消元法”解方程组．
【答案】
【分析】本题考查用二元一次方程组的特殊解法，先从一个方程中整理出可整体代入的代数式，再将其代入另一个方程，实现消元求解．
【详解】解：整理方程组得：
由②得③．
将③整体代入，得，解得，
将代入③，得，
解得．
所以原方程组的解为．
5．阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形，即③，把①代入③得．
解得，把代入①得，所以原方程组的解为
请你运用以上方法解决下列问题：
(1)模仿小红的方法解方程组
(2)已知x，y满足方程组，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整体代换法解方程组，解题的关键是读懂题意，明确整体思想．
（1）仿照小红的方法把②变形得：，把①代入求y，进而求x即可；
（2）由①得： ③，再把②变形得到④，再将③代入求出，进而代入求值即可．
【详解】（1）解：把②变形得：，
③，
把①代入③得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
所以原方程组的解；
（2）由①得： ③，
由②得：④，
把③代入④得： ，
解得：，
把代入得：
．
角度四 换元法
若方程组中系数与已知方程的系数有共同特征时，将方程转化为与已知方程系数相同，就可以得到未知方程的式子与已知方程的解相等的方程。
1．阅读探索：解方程组
解：设，，原方程组可以化为解得
即【此种解方程组的方法叫做换元法】
(1)运用上述方法解方程组
(2)已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照题干方法，利用换元法解方程组即可；
（2）根据题意易得方程组的解满足，进行求解即可．
【详解】（1）解：设，原方程组可化为，
解得，即，
∴；
（2）解：∵关于，的方程组的解为，
∴关于，的方程组的解满足，
解得.
2．解方程组
解：设，，原方程组可变为
解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法．
(1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组：
(2)【能力运用】已知关于x，y的方程组：的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为___________．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照题干，设、，原方程组可变为，解方程组，再得到原方程组的解即可；
（2）设、，根据题意可得到，解方程即可．
【详解】（1）解：设、，
原方程组可变为，
解得：，
所以，
解得；
（2）解：设、，
原方程组可变为，
关于，的方程组的解为，
，
解得，
方程组的解为．
3．解方程组时若设，，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)知识迁移：请用这种方法解方程组；
(2)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解；
（2）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解．
【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为，
解得，
r，
解得，
即：方程组的解为；
（2）解：设，，则原方程组可化为，
化简，得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，
∴，
解得：，
故方程组的解为：．
4．本册教材页中，我们曾探究过二元一次方程组的换元法：简单说：把方程组里某一个复杂的式子，用一个新字母代替，让方程变简单，再解．本质就是“简化式子”，再变回原来的未知数．
(1)【知识累计】解方程组；
(2)【拓展提高】运用换元法可以解下列方程组：
解方程组
解：设，原方程组可变为
由（1）中的解可得新方程组__________，解得_________，
(3)【能力运用】已知关于x，y的方程组的解为，
求关于m、n的方程组的解．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）根据（1）和题意可得方程组，解之即可得到答案；
（3）仿照题（2）求解即可．
【详解】（1）解：
得，解得，
把代入①得，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：由（1）得，
解得；
（3）解：设，则方程组可变为，
∵关于x，y的方程组的解为
∴得新方程组，
解得．
5．阅读材料：善于思考的小语同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得．
(1)学以致用，模仿小语同学的“整体换元”的方法，解方程组．
(2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，解方程组．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键．
（1）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出x，y，代入求解即可；
（2）根据题意所给材料可得出，然后利用整体代换的思想求解．
【详解】（1）解：对于，
令，
则原方程组可化为，
解得：，
∴，
解得：；
（2）解：∵方程组的解是，
∴将两边同时除以3得：，
∴，
解得：．
类型三 利用方程组的解求字母或代数式的值
解答此类问题就是把方程组的解代入原方程组中，得到一个关于含有所求代数式或字母的二元一次方程组，解这个方程组，求出相关字母的值，再把所得的值代入所求代数式求值。
1．在解方程组时，小明解得，求的值．
【答案】
【详解】解：把代入方程组，
得，
解得，
所以．
2．解关于x，y的方程组时，甲正确地解出，乙因为把c抄错了，误解为，求a，b，c的值．
【答案】．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入求出，再将将代入，得，联立得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：将代入，得：，
解得：，
将代入，得：，
联立得：，
解得：，
∴．
3．已知关于、的方程组的解是
(1)求、的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了根据方程组的解求参数的值，求代数式的值，求一个数的平方根．列出关于、的二元一次方程组是解题的关键．
（1）把，代入方程组，得出关于，的方程组，解方程组求出、的值；
（2）将、的值代入求出的值，再求其平方根即可．
【详解】（1）解：∵关于、的方程组的解是，
把，代入，得，
解得：，
故，．
（2）解：将，代入，得，
∵的平方根是，
故的平方根是．
4．运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题：
(1)若，则_________；
(2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值．
【答案】(1)1
(2)8
【分析】本题主要考查了代数式求值，平方差公式，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握整体思想的应用．
（1）根据进行求解即可；
（2）设，则关于s，t的方程组的解为，可得，再利用平方差公式求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：设，
∴关于m，n的方程组即为关于s、t的方程组，
∵关于x，y的方程组的解为，
∴关于s，t的方程组的解为，
∴，
∴．
类型四 二元一次方程(组)的同解问题
角度一 二元一次方程组与二元一次方程的同解问题
解答一个二元一次方程组与一个二元一次方程同解问题两种方法
（1）将待定字母k看作已知数，求出方程组的解，然后将方程组的解代入二元一次方程中，求出k的值。
（2）由方程组的两个方程消去未知字母k，得到关于x、y的二元一次方程，再与另一个二元一次方程联立得方程组，求出x、y的值，进而求出未知字母的值。
1．已知方程组的解也是方程的解，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了方程组同解问题，解一元一次方程，解方程组得，将代入求解即可．
【详解】解：解方程组得，
，
解得．
2．关于x，y的方程组的解也是方程的解，求k得值
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，同解方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先理解题意得出，再运用加减消元法解出，，再把它们分别代入，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵关于x，y的方程组的解也是方程的解，
∴，
由得，
解得，
把代入②，得：，
∴，
解得，
把，分别代入，
得．
3．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值．
(1)按照小云的方法，x的值_____，y的值为______；m的值为______．
(2)请按照小辉的思路求出m的值．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握消元以及整体代入的思想方法是解答本题的关键．
（1）根据题意列方程组求解即可；
（2）利用整体代入的方法求解即可．
【详解】（1）解：，得，
把代入①得，
解得，
将，代入②得，
解得：，
故答案为：；
（2），得，
即，
解得：．
4．已知关于x，y的方程组的解也是方程的解，求k的值．
【答案】
【分析】解二元一次方程组得，代入，即可求解，
本题考查了，同解方程组，解题的关键是：熟练掌握解二元一次方程组．
【详解】解：由①②，得．把代入②，得：，
将代入，得：，
解得：，
故答案为：．
角度二 两个方程组的同解问题
解答两个方程组的同解问题的方法：因为两个方程组共有四个二元一次方程，且有公共解，所以它们中任意两个联立组成的方程组都可以求得两个方程组的公共解，进而可以求得参数的值。
1．已知方程组与有相同的解，求、的值及方程组的解．
【答案】，，方程组的解为
【分析】根据两个方程组解相同，将不含、的方程联立求出、的值，再将、的值代入其余两个方程即可求出、的值．
【详解】解：根据题意，得，
由得，，
将代入得，，
解得，
将代入得，，
方程组的解为，
把代入方程组，
可得，
得，，
得，，
解得，
将代入得，，
解得，
，，方程组的解为．
2．已知关于x，y的方程组与有相同的解，求的值．
【答案】
【分析】先根据题意得到方程组，解方程组求出，进而得到关于a、b的方程组，求出a、b的值即可得到答案．
【详解】解：∵关于x，y的方程组与有相同的解，
∴，
解得：，
∵关于x，y的方程组与有相同的解，
∴，
∴，
解得，
∴．
3．换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为．
(1)解方程组．
(2)解方程组
(3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可；
（2）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可；
（3）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，根据题意得，把代入，，得，解方程即可．
【详解】（1）解：，
移项整理得，，
令，，
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，解得，
原方程组的解为；
（2）解方程组，
移项整理得，，
令，，原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，解得，
原方程组的解为；
（3）将关于x、y的方程组，
移项为，
整理得，
令，，原方程组化为，
根据题意得，
把代入，，
得，解得或，
原方程组的解为或．
4．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．
（1）解方程组，利用加减消元法，很快可求得此方程组的解为______；
（2）如何解方程组呢？我们可以把，看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______；
由此请你解决下列问题：
若关于，的方程组与有相同的解，求、的值．
【答案】（1）；（2）；，．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并利用整体思想解题是关键．
（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得；
（2）直接根据（1）的结论可得，由此即可得；根据两个方程组有相同的解求出，的值，继而求出的值即可得．
【详解】解：（1），
由得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
则方程组的解为，
故答案为：；
（2）由（1）得：，
解得：，
即原方程组的解为，
故答案为：；
，的方程组与有相同的解，
，
解得：，
将代入方程得：，解得：，
将代入方程得：，解得：，
则，，
解得：，．
题型五 列二元一次方程组解决实际问题
二元一次方程组的应用中找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键。
1．某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
销售时段 销售数量 销售收入
种型号 种型号
第一周 3 5 1750元
第二周 4 10 3000元
(1)求、两种型号电风扇的销售单价；
(2)超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由．
【答案】(1)种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元
(2)不能实现利润恰好为1200元的目标，理由见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解决问题的关键．
（1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解．
【详解】（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元．
依题意，得，
解得，
答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元；
（2）解：不能实现利润恰好为1200元的目标，理由如下：
设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，
，
解得，
∵根据题意，，都为正整数，
∴不合题意，舍去，
不能实现利润恰好为1200元的目标．
2．如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度．
【答案】车头长米，每节车厢长米；
【分析】根据题意，设车头米，车厢每节米，然后列出方程组，解方程组即可得到答案；
【详解】解：设车头米，车厢每节米，根据题意，
可列方程组：，
解得：；
答：车头长米，每节车厢长米．
3．某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
(1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案；
(3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费．
【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆B型车装满物资一次可运3吨
(2)有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，5辆B型车；方案3：租用7辆A型车，1辆B型车
(3)租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运吨，1辆型车装满物资一次可运吨，
依题意，得：，
解得：．
答：1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆型车装满物资一次可运3吨．
（2）解：依题意，得：，
∴．
∵，均为正整数，
∴或或，
所以该物流公司共有3种租车方案，
方案1：租用1辆A型车，9辆型车；
方案2：租用4辆A型车，5辆型车；
方案3：租用7辆A型车，1辆型车．
（3）解：方案1所需租金为（元）；
方案2所需租金为（元）；
方案3所需租金为（元）．
∵
∴方案3最省钱，即租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元．
4．某宾馆客房部三人间300元/间/天，双人间280元/间/天，为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团体优惠期间到宾馆入住，本着“每间客房均正好住满人”的原则，租了一些三人间和双人间客房，若旅游团体一天共花去3020元，则租了三人间和双人间客房各多少间？
【答案】三人间客房和双人间客房分别为8间和13间
【分析】本题考查二元一次方程组的应用；设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，根据每间客房正好住满，共50人，住宿费3020元列出方程组求解即可．
【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，
依题意，得，
解这个方程组，得，
答：该旅游团住了三人间普通客房8间，双人间普通客房13间．
5．如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形．
(1)求每一个小长方形的长与宽．
(2)求阴影部分的面积．
【答案】(1)小长方形的长为12，宽为4
(2)60
【分析】（1）设小长方形的长为x，宽为y，根据图形找到等量关系，列出二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，即可得出答案；
（2）由大长方形面积减去5个小长方形面积即可得出结论．
【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y，由题意得：
，
解得：，
答：小长方形的长为12，宽为4；
（2）解：阴影部分的面积为：．
题型六 列二元一次方程组的综合问题
二元一次方程组的综合问题，根据题目条件把有关问题转化为二元一次方程组问题，求出二元一次方程组的解，进而利用二元一次方程组的解，解决其他问题。
1．【综合与实践】
主题：制作一个有盖长方体形纸盒．
素材：一张矩形纸板．
操作：如图，先将矩形纸板的阴影部分剪下，再将剩余部分的纸板折成有盖长方体形纸盒．
计算∶若矩形纸板的周长为，与的长度比为，且折成的长方体形纸盒的底面为正方形，求这个有盖长方体形纸盒的体积．
【答案】
【分析】本题考查矩形的周长公式、比例关系以及长方体的相关知识．解题关键在于利用矩形的周长和边长比例求出矩形的边长，再通过分析图形中矩形边长与长方体棱长的关系，确定长方体的长、宽、高，最后运用长方体体积公式计算体积．先根据矩形的周长和边长比例关系求出矩形纸板的长和宽，再结合折成的长方体底面是正方形这一条件，确定长方体的长、宽、高，最后根据长方体体积公式计算体积．
【详解】解：∵矩形纸板的周长为，
∴．
又∵与的长度比为，设，，
∴，即，
解得．
∴，．
设折成的长方体底面正方形的边长为．
观察图形可知，的长度等于底面正方形的两条边长加上长方体的两条高，的长度等于底面正方形的边长加上长方体的两条高．
即（为长方体的高）
∴，即，
解得．
把代入，可得，
解得．
∴长方体的长、宽均为、高为．
∴．
2．综合与实践
某学校组织爱心义卖，八（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案：
方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠
方案二 购买玩偶满50个时，立减10元
(1)若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？
(2)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？
(3)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案．
【答案】(1)一共花费180元
(2)班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个
(3)方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个
【分析】本题考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键．
（1）利用总价=单价×数量，结合题意即可求出结论；
（2）设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共个，其中钥匙扣超过个，一共花费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合“，均为正整数，且，”，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：（元）．
答：一共花费180元．
（2）解：设班委购买了钥匙扣个、玩偶个．
根据题意得，
解得；
答：班委购买了钥匙扣个、玩偶个．
（3）解：设购买钥匙扣个、玩偶个，
根据题意得，
．
，均为正整数，且，，
或或，
∴共有以下3种购买方案：
方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个．
方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个．
方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个．
题型七 列二元一次方程组的探究性问题
二元一次方程组的探究问题，有探究条件型，有探究结论型，一般都是假定结论（或条件）成立，从结论（条件）成立出发进行推理论证，如果满足条件（或结论），则成立，反之则不成立。
1．综合与探究
明明为了探究关于x，y的二元一次方程解的规律，把x和y的部分值分别填入下表：
x 4 0 2 8
y 10 7 p 1
初步探究：
（1）求p的值．
深入探究：
（2）下列方程中，与组成方程组，在范围内有解的是________．（填序号）
①；②；③．
探究应用：
（3）已知关于x，y的二元一次方程的部分解如下表：
x 0 8
y q 13
求方程组的解．
【答案】（1）；（2）③；（3）
【分析】本题考查二元一次方程的解和解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入消元法．
（1）先根据表格中的值，建立关于a、b的二元一次方程组，解方程组得到a、b的值，即可求出二元一次方程，再将代入方程即可求得答案；
（2）依次将三个选项与原方程组成方程组，求出方程组的解进行判断即可；
（3）根据表格的数据，建立关于c、d的二元一次方程组，解方程组得到c、d的值，即可得到原方程组，再解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：当，时，，
当，时，，
∴
解方程组得，
∴二元一次方程为，
当时，，
故；
（2）解：∵方程为：，
∴①当方程为时，
方程组为：，
解方程组得：，
∵不在范围内，
故①不符合题意；
②当方程为时，
方程组为：，
解方程组得：，
∵不在范围内，
故②不符合题意；
③当方程为时，
方程组为：，
解方程组得：，
∵在范围内，
故③符合题意；
（3）解：二元一次方程中，当，时，方程为；
当，，方程为；
∴，
解方程组得，
则方程为，即，
∴方程组为：，
解方程组得．
2．某校艺术舞台两侧（）有两台氛围射灯和，它们发出的光束分别从、方向开始，分别以秒、秒的速度在同一平面内逆时针旋转，分别到达、方向后立刻回转，并不断往返．将无人机拍摄到的画面抽象出如图、图的几何图形，若、满足，探究下列问题：
(1)填空：________，________；
(2)在图中，若灯先转动秒，灯才开始转动，在灯发出的光束到达之前，设灯转动时间为秒，求当为何值时，两灯的光束互相平行？
(3)在图中，连接，测得，若两灯同时转动，在灯发出的光束到达之前，两灯射出的光束交于点，过作交于点，且，探究与有怎样的数量关系？
【答案】(1)，；
(2)秒或秒；
(3)．
【分析】根据绝对值的非负性和平方的非负性，可得关于、的方程组，解方程组即可求出、的值；
由可知灯每秒转，灯每秒转，从而可知灯从转到需要秒，灯从转到需要秒，又因为灯先旋转了秒，还剩下秒，所以灯从转到又从往回旋转了秒，所以要分灯还未到达时和当灯旋转到后又返回时两种情况讨论；
过点作，设两灯旋转的时间是秒，则，，根据平行线的性质可知，根据，可得：，又因为，可得，从而可得．
【详解】（1）解：，
整理得：，
解得：，
故答案为：，；
（2）解：由可知灯每秒转，灯每秒转，
灯从转到需要秒，
灯从转到需要秒，
灯先旋转了秒，还剩下秒，
，
灯从转到时，灯从转到后又从回转了秒，
如下图所示，灯还未到达时，
，
，
，
，
，
当灯旋转秒时，灯旋转了秒，
此时，，
，
解得：；
如下图所示，当灯旋转到后又返回时，
此时，，
，
，
，
，
，
，
则有，
解得：；
综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行；
（3）解：设两灯旋转的时间是秒，
则，，
如下图所示，过点作，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、绝对值的定义、平方的定义、二元一次方程组的解法，解决本题的关键是根据平行线的性质探究角之间的关系．
题型八 关于二元一次方程组的阅读材料题
二元一次方程组中的阅读理解题型，一般是材料中提供一种解题方法，通过阅读解题方法应用所给出的方法解决问题，解决这类问题的关键是学会材料中提供的方法，并能正确地模仿使用。
1．阅读与思考
对于未知数是的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
(1)方程组的解与是否具有“邻好关系”呢？说明你的理由．
(2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值．
【答案】(1)具有“邻好关系”，理由见解析
(2)或
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
（1）利用加减消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义判定即可；
（2）利用加减消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义列出关于m的方程，解方程即可得出结论．
【详解】（1）解：具有“邻好关系”，理由如下：
，
由得，，
解得：，
将代入①得，，
解得：，
∴原方程组的解为：，
满足，故具有“邻好关系”；
（2）解：
解方程组得：，
∵方程组的解与具有“邻好关系”，
∴，
解得：或．
2．阅读与思考：对于未知数是x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”．
(1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”呢？说明你的理由．
(2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值．
【答案】(1)方程组的解与具有“邻好关系”；
(2)或
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
（1）利用加减消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义判定即可；
（2）利用加减消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义列出关于的方程，解方程即可得出结论．
【详解】（1）解：方程组的解与具有“邻好关系”，理由：
，
由②+2×①得：，
解得：，
把代入①中得：
．
原方程组的解为：．
，
方程组的解与具有“邻好关系”；
（2）解：，
解方程组得：．
方程组的解与具有“邻好关系”，
，
解得：或．
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