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2025-2026学年人教版七年级数学下分层精练精析
10.3实际问题与二元一次方程组
实际问题与几何图形列方程组
1．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（ ）

A． B．
C． D．
2．图中有条直线，请将1至这个数分别填在个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等．标有“★”的圆圈中所填的数是（ ）
A．2 B．5 C．7 D．8
3．将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________．
4．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____．
和、差、倍、分与数字问题
5．将这八个数分成两组，每组四个数，并且两组数之和相等．从A组拿一个数到B组后，B组五个数之和将是A组剩下的三个数之和的2倍；从B组拿一个数到A组后，B组剩下的三个数之和将是A组五个数之和的，则A组的四个数是____．
6．如图，这是工作表的一部分，字母依次表示列，数依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大，每一行中的数都比前一行相应的数大n．若，x与a的数量关系为：________．
7．某校组织学生参加植树活动，已知七年1班有28人在甲处植树，七年2班有21人在乙处植树．现调七年3班20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处人数的2倍，问应调往甲处多少人？
8．DeepSeek公司推出两款人工智能云服务套餐：基础版和增强版．已知增强版每月订阅费比基础版高50元．某科技团队订阅了5份增强版和3份基础版，共支付1850元．问增强版和基础版每月订阅费各是多少元？
9．在某工程建设中，有甲、乙两种卡车参加运土，3辆甲种卡车与2辆乙种卡车一次共可运土48立方米，2辆甲种卡车与3辆乙种卡车一次共可运土52立方米．求甲种卡车和乙种卡车一次可运土多少立方米？
分配问题
10．某工厂生产大型汽油桶，汽油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片构成现工厂共有名工人，其中每名工人每天可制作圆形铁片个或长方形铁片个为了使每天生产的铁片数量刚好配套成油桶，应如何安排工人进行生产？设安排人制作圆形铁片，人制作长方形铁片，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
11．某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料．
(1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组；
(2)求零件各生产多少个恰好把材料用完．
12．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计）
13．某宾馆客房部三人间300元/间/天，双人间280元/间/天，为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团体优惠期间到宾馆入住，本着“每间客房均正好住满人”的原则，租了一些三人间和双人间客房，若旅游团体一天共花去3020元，则租了三人间和双人间客房各多少间？
行程问题与工程问题
14．李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地．
(1)两人每小时分别行进多少千米？
(2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？
15．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）．
(1)甲、乙每小时各行多少千米？
(2)若甲出发后两人相距1km，求的值．
16．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒．
(1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
(2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？
17．某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
(1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案；
(3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费．
18． 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数．
19．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问：
(1)甲、乙两队每天费用各为多少？
(2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？
销售利润与方案选择问题
20．某商店销售A，B两种品牌的毛绒玩具，已知两种型号毛绒玩具单个成本价和为25元，且3个A型号毛绒玩具的成本价等于2个B型号毛绒玩具成本价．
(1)求A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为多少元？
(2)将A，B两种型号毛绒玩具按成本价均提高后标价出售．
①A型号毛绒玩具的标价为________元，B型号毛绒玩具的标价为________元；
②若商店分别购进两种毛绒玩具各10个，A型号毛绒玩具按标价出售，B型号毛绒玩具打折销售，要保证售完所有毛绒玩具后利润率达到，求B型号毛绒玩具打几折？（提示：利润率）
21．小红去文具店购买文具，如果购买3支钢笔和7本笔记本，要花81元；如果购买4支钢笔和6本笔记本要花88元．
(1)请你帮小红算算钢笔和笔记本的单价各多少元？
(2)如果购买17支钢笔和20本笔记本需要多少钱？
22．某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
甲 乙
进价（元/件） 22 30
售价（元/件） 29 40
(1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件
(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？
23．“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车．
(1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？
(2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
(3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？
24．已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)某物流公司现有货物若干吨要运输，计划同时租用型车3辆，型车5辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，请求出该物流公司有多少吨货物要运输．
25．王洋准备租车把一批梨子运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆甲型车和1辆乙型车都装满梨子一次可分别运货多少吨？
(2)现有30吨梨子，王洋计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆（均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满梨子，请你帮他设计共有多少种租车方案？
(3)若1辆甲型车需租金180元/次，1辆乙型车需租金150元/次，请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
几何问题与图表问题
26．如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒．
(1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积；
(2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积．
27．如图，线段，， ，点、分别是线段和线段的中点，求线段的长．
28．【阅读】
数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图，表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而，即也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示3的点与表示的点之间的距离．若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离用表示，且．
已知点在数轴上分别表示互不相同的三个数，其中．
【简单应用】
（1）若，且，则的值为______；
【深入探究】
（2）若，且，求的值；
【延伸扩展】
（3）若数轴上两点分别表示两个不同的数，，且，，求的值．
29．如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？
30．灵宝苹果和孟津梨都是河南著名的农产品，某超市购进灵宝苹果和孟津梨进行销售．
信息一：该超市用2700元购进灵宝苹果和孟津梨共300千克．
信息二：这两种水果的进价、售价如下表所示：
水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克）
灵宝苹果 7 10
孟津梨 10 14
(1)该超市购进灵宝苹果和孟津梨各多少千克？
(2)若该超市销售完灵宝苹果时，孟津梨还剩下，将剩余孟津梨打折出售，全部售完后，共获利1044元，求剩余孟津梨打了几折．
31．某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现小票有几个数据不清楚，如下表所示：
单位 数量 单价 金额
篮球 个 6 100.00 600.00元
钢笔 支 15.00 元
笔记本 本 5.00 元
合计 — 46 — 900.00元
请根据现有的信息，帮助采购员复原并求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
1．在万物皆可沉浸的时代，智慧旅游燃起了前所未有的热度．某景区借助和技术，开发了“红楼梦戏剧幻城”和“驾驶冲上云霄”两个项目．两个项目每次体验成本和收益如下表：已知某天这两个项目共体验140次，成本为4240元，则这天两个项目收益共多少元？
体验项目 成本（元/次） 收益（元/次）
红楼梦戏剧幻城 35 25
驾驶冲上云霄 24 20
2．请你根据下列素材，完成有关任务．
背景 云南省积极推进“双减”政策落地见效，某校为了丰富课后服务内容，计划采购一批甲、乙两种艺术器材，为学生提供优质的艺术教育资源．该校准备在某文具店购买这两种器材
素材一 购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元
素材二 购买3件甲种器材和2件乙种器材共需540元
素材三 该店对同时购买这两种器材推出两种优惠方案．方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折．方案二：甲、乙两种器材每件均打八折
请完成下列任务：
(1)任务一：求甲、乙两种器材的单价分别是多少元
(2)任务二：经核算，该校准备购买甲、乙两种器材共50件（甲、乙两种器材都要购买），且甲种器材不超过35件．设按方案一、方案二购买的总费用分别为元、元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少
3．张大伯新建了一个养殖场，需要去集市购买母鸡，鸡仔，鸭子共只．已知一只母鸡元，一只鸭子元，只鸡仔元．张大伯一共花费了元，已知鸡仔一共买了只，问母鸡和鸭子各买了多少只？
4．某商店购进两种商品共件， 商品每件进价元， 商品每件进价元，总进价为元．
(1)求两种商品各购进多少件？
(2)若商品每件售价元， 商品每件售价元，全部售完后，该商店共获利多少元？
5．庐山云雾茶是江西十大名茶之一，今年春茶季，庐山市甲、乙两个生态茶园依托当地优越的生态条件，大力发展茶叶种植与加工．据茶园负责人介绍：甲茶园的种植面积比乙茶园多4亩，甲茶园每亩产鲜叶300千克，乙茶园每亩产鲜叶350千克，且甲茶园的鲜叶总产量比乙茶园少200千克．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求甲、乙两个茶园各自的种植面积．
(2)甲、乙两茶园将鲜叶加工成干茶，甲茶园出茶率为（100千克鲜叶可制25千克干茶），干茶每千克的售价为800元，乙茶园出茶率为，干茶每千克的售价为750元．若甲、乙两个茶园生产的鲜叶全部制成干茶，求甲、乙两个茶园的干茶全部售出后的总销售额．
6．某专卖店销售“冰墩墩”和“雪容融”玩偶．学校为奖励同学，欲从该专卖店购买个玩偶作为奖品，如果购买个“冰墩墩”和个“雪容融”，共需花费元；如果购买个“冰墩墩”和个“雪容融”，共需花费元．
(1)求每个“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的售价各为多少元？
(2)学校在购买好之后，该专卖店还剩下个“冰墩墩”和个“雪容融”，专卖店将这些玩偶中的一部分按套装销售(个“冰墩墩”和个“雪容融”为个套装，每套价格为元)，其余按原价销售，当这个玩偶全部售出后，共计收入元．问套装销售了多少套？
7．某物流公司引进了两台智能分拣机器人——“快快”和“稳稳”，用于夜间自动化分拣包裹．机器人同时工作6小时需支付费用共180元．如果“快快”单独工作4小时，然后“稳稳”再单独工作8小时，需支付费用共168元．求“快快”和“稳稳”各自工作1小时，需要支付的费用分别是多少元？
8．某商场用相同的价格分三次购进A型和B型两种型号的电视机，前两次购进情况如下表：
A型（台） B型（台） 总进价（元）
第一次 20 30 90000
第二次 10 20 55000
(1)求该商场购进A型和B型电视机的单价各为多少元？
(2)已知商场第三次购进A型和B型电视机总进价为20500元，共有多少种进货方案？
(3)在（2）的情况下，商场A型电视机的标价为每台2000元，B型电视机的标价为每台3750元，不考虑其他因素，为了促销，A型电视机打九折、B型电视机打八折销售．若将第三次购进的电视机全部售出，通过计算说明，购进时哪种进货方案可获利润最大？最大利润是多少元？
9．为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表．
采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元
第一次购物 5 6 400
第二次购物 7 6 396
第三次购物 4 3 230
(1)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价；
(2)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？
10．如图，已知直线和直线相交于点，平分，是内部的一条射线．
(1)若，，则°．
(2)若比大比大，请结合二元一次方程组求的度数．
1．综合与实践：
【问题情境】某学校大力开展社团活动，其中该校“百变魔方”社团准备去商店购买A，B两种魔方．
【素材展现】
素材1：某商店在无促销活动时，若购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元；购买3个A种魔方所需款数和购买4个B种魔方所需款数相同．
素材2：该商店开展促销活动：
活动一：“疯狂打折”：A种魔方八折，B种魔方四折；
活动二：“买一送一”：购买一个A种魔方送一个B种魔方．
【解决问题】
（1）该商店在无促销活动时，求A、B这两种魔方的销售单价各是多少元？
【拓展提升】
（2）结合同学们的需求，社团决定购买A、B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个），设购买A种魔方个，按活动一购买所需费用为______元；按活动二购买所需费用为______元．（均用含的代数式表示）
【综合应用】
（3）请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A种魔方的数量在什么范围内时，活动二更实惠？
2．综合与实践
问题 如何设计购买奶茶方案？
背景 为了庆祝“元旦节”，某班级开展知识竞赛活动，对在竞赛活动中取得优异成绩的学生给予奖励，准备去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需260元．
解决问题
任务1：问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？任务2：如果购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花100元，请问有哪些购买方案？
3．【综合与实践】设计运动会物资的购买方案．
【背景素材】八年级（1）班要为运动会购买物资，计划从某超市购入A、B两种品牌的运动饮料．若买25瓶A品牌运动饮料，25瓶B品牌运动饮料共需325元；若买20瓶A品牌运动饮料，30瓶B品牌运动饮料共需340元．
【问题解决】为设计方案，可以逐步进行探究．
【确定售价】（1）A、B两种品牌的运动饮料的销售单价分别是多少元/瓶？
【方案探究】（2）购买A、B两种品牌的运动饮料（两种都要），班级预算是200元，要使预算刚好花完，有哪几种购买方案？
4．综合与实践
长方体纸盒的制作素材1：如图1，在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料纸板进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．素材2：现将52张原材料纸板全部裁剪（每张原材料纸板只能有一种裁法）得到A与B型纸板当长方体纸盒的侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝处忽略不计）
根据上述材料，完成下列任务.
任务一：每张原材料纸板可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张；
任务二：根据素材1、素材2，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？
2025-2026学年人教版七年级数学下分层精练精析
10.3实际问题与二元一次方程组（解析版）
实际问题与几何图形列方程组
1．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为，宽又是75厘米，故，矩形的长可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．
【详解】解：根据图示可得，
故选：B．
2．图中有条直线，请将1至这个数分别填在个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等．标有“★”的圆圈中所填的数是（ ）
A．2 B．5 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据图片可列二元一次方程组，求解可得，，设标有★的圆圈中所填的数是，利用每条线上的数之和是标出其他圆圈中的数，根据和，求解后，分成三种情况讨论即可．
【详解】解：如图，设最下面圆圈中的数字为，每一条线上所有数字的和为，
∵属于条直线，
∴把这五条直线上的数相加，有，
整理可得①，
再把上图四条线上的数相加，有，
整理可得②，
联立方程①②，可得，解得，
设标有★的圆圈中所填的数是，利用每条线上的数之和是标出其他圆圈中的数，如图：
∵，
∴，即至多为，
∵，
∴，即至少为，
若，则出现两个，不符合题意；
若，则和都为，也不符合题意；
当时，圆圈中个各数字如下图所示，
符合题意．
故选：C．
3．将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________．
【答案】
【分析】设长方体木块的长为，根据图形中高度之间的数量关系列出方程组，利用加减消元法求解即可．
【详解】解：设长方体木块的长为，
由题意可知木块的宽为，
根据图和图可得方程：，即，
，得，
解得．
4．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形，找到合适的等量关系列出方程组是解题的关键．
设小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组．
【详解】解：小长方形的长为，宽为，
根据题意得：．
故答案为：．
和、差、倍、分与数字问题
5．将这八个数分成两组，每组四个数，并且两组数之和相等．从A组拿一个数到B组后，B组五个数之和将是A组剩下的三个数之和的2倍；从B组拿一个数到A组后，B组剩下的三个数之和将是A组五个数之和的，则A组的四个数是____．
【答案】
【分析】先求解出这八个数之和，再根据两组数之和相等，可分别求解出A组与B组的和，再根据已知条件分别求解出从A组拿的一个数和从B组拿的一个数，由此可解．
【详解】解：∵这八个数之和为，
又∵分成两组，每组四个数，并且两组数之和相等，
∴A组与B组的和都为，
设从A组拿一个数为x，从B组拿一个数为y，
∵从A组拿一个数到B组后，B组五个数之和将是A组剩下的三个数之和的2倍，
∴，解得，
∵从B组拿一个数到A组后，B组剩下的三个数之和将是A组五个数之和的，
∴，解得，
∴A组中有，B组中有，且A组其余三个数的和为，
满足和为的只有，
则A组的四个数是．
6．如图，这是工作表的一部分，字母依次表示列，数依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大，每一行中的数都比前一行相应的数大n．若，x与a的数量关系为：________．
【答案】
【分析】根据题意可列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：由已知得：，
得：，
∴．
即x与a的数量关系为．
7．某校组织学生参加植树活动，已知七年1班有28人在甲处植树，七年2班有21人在乙处植树．现调七年3班20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处人数的2倍，问应调往甲处多少人？
【答案】应调往甲处人
【分析】设调往甲处的人数为x人，调往乙处的人数为y人，根据一共有20人调往甲、乙两处，且支援后甲处植树的人数是乙处人数的2倍建立方程组求解即可．
【详解】解：设调往甲处的人数为x人，调往乙处的人数为y人，
由题意得，，
解得，
答：应调往甲处18人．
8．DeepSeek公司推出两款人工智能云服务套餐：基础版和增强版．已知增强版每月订阅费比基础版高50元．某科技团队订阅了5份增强版和3份基础版，共支付1850元．问增强版和基础版每月订阅费各是多少元？
【答案】增强版每月订阅费250元，基础版每月订阅费200元
【分析】设增强版每月订阅费元，基础版每月订阅费元，根据题意列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设增强版每月订阅费元，基础版每月订阅费元，
则，解得，
答：增强版每月订阅费250元，基础版每月订阅费200元．
9．在某工程建设中，有甲、乙两种卡车参加运土，3辆甲种卡车与2辆乙种卡车一次共可运土48立方米，2辆甲种卡车与3辆乙种卡车一次共可运土52立方米．求甲种卡车和乙种卡车一次可运土多少立方米？
【答案】甲种卡车一次可运土8立方米，乙种卡车一次可运土12立方米
【分析】设甲种卡车一次可运土x立方米，乙种卡车一次可运土y立方米，再根据题意列出二元一次方程组，解方程即可．
【详解】解：设甲种卡车一次可运土x立方米，乙种卡车一次可运土y立方米，
由题意得，
解得：，
答：甲种卡车一次可运土8立方米，乙种卡车一次可运土12立方米．
分配问题
10．某工厂生产大型汽油桶，汽油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片构成现工厂共有名工人，其中每名工人每天可制作圆形铁片个或长方形铁片个为了使每天生产的铁片数量刚好配套成油桶，应如何安排工人进行生产？设安排人制作圆形铁片，人制作长方形铁片，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题根据两个等量关系列方程组，一是总工人人数为42，二是配套时2个圆形铁片配1个长方形铁片，即圆形铁片总数量是长方形铁片总数量的2倍，据此整理得到方程组．
【详解】∵安排x人制作圆形铁片，y人制作长方形铁片，总共有42名工人，
∴，
∵每个油桶需要2个圆形铁片和1个长方形铁片，刚好配套时，圆形铁片总数量是长方形铁片总数量的2倍，
又∵x人每天生产圆形铁片共个，y人每天生产长方形铁片共个，
∴，
等式两边同时除以2，整理得，
∴可得方程组．
11．某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料．
(1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组；
(2)求零件各生产多少个恰好把材料用完．
【答案】(1)
(2)零件个，零件个
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．
根据甲、乙两种材料的总用量建立等量关系得到二元一次方程组，解方程组得到零件的个数．
【详解】（1）解：∵设生产零件个，零件个，
∴根据甲材料总用量：生产个零件需甲材料，生产个零件需甲材料，总共有，
乙材料总用量：生产个零件需乙材料，生产个零件需乙材料，总共有，
可列方程组为：；
（2）解：解方程组得：，
∴零件个，零件个．
12．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计）
【答案】可以制作乙种纸盒80个
【分析】设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可．
【详解】解：设能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个，
甲种无盖长方体纸盒需要1张正方形硬纸片和4张长方形硬纸片，
乙种无盖长方体纸盒需要2张正方形硬纸片和3张长方形硬纸片，
根据题意，得，
解得，
∴可以制作乙种纸盒80个．
13．某宾馆客房部三人间300元/间/天，双人间280元/间/天，为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团体优惠期间到宾馆入住，本着“每间客房均正好住满人”的原则，租了一些三人间和双人间客房，若旅游团体一天共花去3020元，则租了三人间和双人间客房各多少间？
【答案】三人间客房和双人间客房分别为8间和13间
【分析】本题考查二元一次方程组的应用；设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，根据每间客房正好住满，共50人，住宿费3020元列出方程组求解即可．
【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，
依题意，得，
解这个方程组，得，
答：该旅游团住了三人间普通客房8间，双人间普通客房13间．
行程问题与工程问题
14．李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地．
(1)两人每小时分别行进多少千米？
(2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？
【答案】(1)李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米
(2)相遇后经过刘伟到达A地
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．
（1）设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）根据路程速度时间解答即可．
【详解】（1）解：设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意得：
，
整理得：，
解得：，
答：李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米；
（2）解：，
答：相遇后经过刘伟到达A地．
15．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）．
(1)甲、乙每小时各行多少千米？
(2)若甲出发后两人相距1km，求的值．
【答案】(1)甲每小时行20km 乙每小时行16km
(2)或或
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，行程问题，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
（1）设甲每小时行，乙每小时行，则甲总共走了，乙总共走了，根据题意列方程组进行求解即可，注意单位换算；
（2）分相遇前；相遇后，甲未到终点；相遇后，甲到终点后三种情况，列方程求出所用的时间即可解答．
【详解】（1）解：设甲每小时行，乙每小时行．
根据题意，得
解得
故甲每小时行，乙每小时行．
（2）解：相遇前：，解得，，符合题意；
相遇后，甲未到终点：，解得，，符合题意；
相遇后，甲到终点后：，解得，，符合题意．
综上所述，的值为或或．
16．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒．
(1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
(2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？
【答案】(1)A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒
(2)完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用是解本题的关键．
（1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒，根据题意列方程组求解即可；
（2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可．
【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒．
，
解得，
答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒．
（2）解：设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步．
，
，
均为正整数，
或或，
①秒，
②秒，
③秒，
答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒．
17．某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
(1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案；
(3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费．
【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆B型车装满物资一次可运3吨
(2)有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，5辆B型车；方案3：租用7辆A型车，1辆B型车
(3)租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运吨，1辆型车装满物资一次可运吨，
依题意，得：，
解得：．
答：1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆型车装满物资一次可运3吨．
（2）解：依题意，得：，
∴．
∵，均为正整数，
∴或或，
所以该物流公司共有3种租车方案，
方案1：租用1辆A型车，9辆型车；
方案2：租用4辆A型车，5辆型车；
方案3：租用7辆A型车，1辆型车．
（3）解：方案1所需租金为（元）；
方案2所需租金为（元）；
方案3所需租金为（元）．
∵
∴方案3最省钱，即租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元．
18． 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数．
【答案】规定的时间为天，这批零件的总数为个
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设规定的时间为天，这批零件的总数为个，根据“如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件”列出方程组，解出即可．解题的关键是正确理解题意，设出未知数，利用等量关系列出方程组．
【详解】解：设规定的时间为天，这批零件的总数为个，
依题意，得：
解得：．
答：规定的时间为天，这批零件的总数为个．
19．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问：
(1)甲、乙两队每天费用各为多少？
(2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？
【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元
(2)乙队
【分析】本题考查了二元一次方程的应用．
（1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可．
【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得：
，
解得，
答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元；
（2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得：
，
解得，
即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成．
甲单独做需要元，
乙单独做需要元．
答：乙队单独完成费用较少．
销售利润与方案选择问题
20．某商店销售A，B两种品牌的毛绒玩具，已知两种型号毛绒玩具单个成本价和为25元，且3个A型号毛绒玩具的成本价等于2个B型号毛绒玩具成本价．
(1)求A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为多少元？
(2)将A，B两种型号毛绒玩具按成本价均提高后标价出售．
①A型号毛绒玩具的标价为________元，B型号毛绒玩具的标价为________元；
②若商店分别购进两种毛绒玩具各10个，A型号毛绒玩具按标价出售，B型号毛绒玩具打折销售，要保证售完所有毛绒玩具后利润率达到，求B型号毛绒玩具打几折？（提示：利润率）
【答案】(1)A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为10元和15元
(2)①14，21；②打9折销售
【分析】（1）设A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为x、y，再根据等量关系“两种型号毛绒玩具单个成本价和为25元”和“3个A型号毛绒玩具的成本价等于2个B型号毛绒玩具成本价”列二元一次方程组求解即可；
（2）①根据A，B两种型号毛绒玩具按成本价均提高后标价出售，据此分别列式求解即可；②B型号毛绒玩具打z折，即按照标价的销售，再根据“售完所有毛绒玩具后利润率达到”列一元一次方程求解即可；
【详解】（1）解：设A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为x元和y元，
由题意可得：，解得：．
答：A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为10元和15元．
（2）解：①A型号毛绒玩具的标价为元；
B型号毛绒玩具的标价为元；
②B型号毛绒玩具打z折，即按照标价的销售，
由题意可得：，
解得：，
答：B型号毛绒玩具打9折销售．
21．小红去文具店购买文具，如果购买3支钢笔和7本笔记本，要花81元；如果购买4支钢笔和6本笔记本要花88元．
(1)请你帮小红算算钢笔和笔记本的单价各多少元？
(2)如果购买17支钢笔和20本笔记本需要多少钱？
【答案】(1)钢笔的单价为13元，笔记本的单价为6元
(2)341元
【分析】（1）设钢笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，根据购买3支钢笔和7本笔记本，要花81元；如果购买4支钢笔和6本笔记本要花88元，列出方程组，解方程组即可；
（2）根据钢笔的单价为13元，笔记本的单价为6元，列式计算即可．
【详解】（1）解：设钢笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：钢笔的单价为13元，笔记本的单价为6元；
（2）解：（元），
答：购买17支钢笔和20本笔记本需要341元．
22．某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
甲 乙
进价（元/件） 22 30
售价（元/件） 29 40
(1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件
(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？
【答案】(1)该超市购进甲商品150件，乙商品90件
(2)以五折售出的乙商品有70件
【分析】（1）设购进甲，乙商品分别为m，n件，根据题意列方程求解即可；
（2）设以五折售出的乙商品有y件，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：设购进甲，乙商品分别为m，n件，
依题意可知：，
解得：，
答：该超市第一次购进甲种商品件、乙种商品件；
（2）解：设以五折售出的乙商品有y件，
根据题意得：，
解得：，
故以五折售出的乙商品有70件．
23．“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车．
(1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？
(2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
(3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？
【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车
(2)共有3种新工人的招聘方案，方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工
(3)千公里
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据工程问题公式：甲的工程量+乙的工程量=总工程量，工作效率×工作人数=对应工程量，列方程即可，
（1）鸡兔同笼类二元一次方程组，根据题意列方程组即可；
（2）整数类问题，先计算出每日需安装的自行车数量，再通过凑整数，找到对应的工人数量即可；
（3）最长路程，即完全利用到轮胎的所有性能，计算出每千公里前后轮一共的轮胎损耗，再用一对轮胎的总寿命除以这个损耗，即可求出最长路程．
【详解】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车，
由题意，可列方程组
解得
故每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车；
（2）解：由题意，可知每日需安装（辆），
设抽调熟练工m名，则每日可安装辆自行车，
令，则，
∵m，n均为非负整数，且，
∴共有3种新工人的招聘方案，分别是或或，即方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工；
（3）解：由题意可知，安装在前轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命，安装在后轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命，
则每1千公里，共损耗的轮胎安全寿命，
通过行驶一段时间后，交换前后轮的轮胎，可以使得两个轮胎同时到达安全寿命，将轮胎充分利用，
故一对轮胎能行驶的最长路程是（千公里）．
24．已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)某物流公司现有货物若干吨要运输，计划同时租用型车3辆，型车5辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，请求出该物流公司有多少吨货物要运输．
【答案】(1)1辆A型车满载为3吨，1辆B型车满载为4吨
(2)该物流公司有29吨货物要运输
【分析】（1）设1辆A型车运x吨，1辆B型车运y吨，根据用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨建立方程组求解即可；
（2）根据（1）所求结合恰好每辆车都载满货物列式求解即可．
【详解】（1）解：设1辆A型车运x吨，1辆B型车运y吨，
由题意得，解得，
答：1辆A型车满载为3吨，1辆B型车满载为4吨．
（2）解：依题意得：（吨）．
答：该物流公司有29吨货物要运输．
25．王洋准备租车把一批梨子运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆甲型车和1辆乙型车都装满梨子一次可分别运货多少吨？
(2)现有30吨梨子，王洋计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆（均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满梨子，请你帮他设计共有多少种租车方案？
(3)若1辆甲型车需租金180元/次，1辆乙型车需租金150元/次，请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)1辆甲型车装满梨子一次可运货4吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货3吨
(2)共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，6辆乙型车；方案2：租用6辆甲型车，2辆乙型车
(3)租用6辆甲型车和2辆乙型车最省钱，最少租车费用为1380元
【分析】（1）设1辆甲型车装满梨子一次可运货x吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货y吨，根据用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨，列出方程组，解方程组即可；
（2）根据一次运完30吨梨，列出方程，求出方程的正整数解即可；
（3）分别求出两种方案的租金，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：设1辆甲型车装满梨子一次可运货x吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：1辆甲型车装满梨子一次可运货4吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货3吨．
（2）解：依题意，得：，
∴，
∵m，n均为正整数，
∴当时，；当时，．
∴共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，6辆乙型车；方案2：租用6辆甲型车，2辆乙型车．
（3）解：方案1所需租金（元）；
方案2所需租金（元）．
∵，
∴租用6辆甲型车和2辆乙型车最省钱，最少租车费用为1380元．
几何问题与图表问题
26．如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒．
(1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积；
(2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列代数式，整式的运算，代入求值，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）由题意，先表示出阴影部分长方形的长与宽，然后列代数式计算面积即可；
（2）长方形纸板长为，宽为，即，解方程求出的值，
利用长方体体积公式计算出体积，代入求值即可．
【详解】（1）解：根据题意，阴影部分长方形长为，宽为，
则阴影部分长方形的面积；
（2）解：由题意，
解得，
长方体体积；
当时，
（）
答：长方体纸盒的体积为．
27．如图，线段，， ，点、分别是线段和线段的中点，求线段的长．
【答案】
【分析】本题考查两点间的距离，线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，根据题目中的已知条件设置适当的未知数构造方程组是解题的关键．
设，，，则，根据得到，再根据得，由此解出，，继而得到，，然后根据线段中点定义及线段的和差可得答案．
【详解】解：设，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
联立，
解得：，
∴，，，
∴，
∵点、分别是线段和线段的中点，
∴，，
∴，
即线段的长为．
28．【阅读】
数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图，表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而，即也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示3的点与表示的点之间的距离．若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离用表示，且．
已知点在数轴上分别表示互不相同的三个数，其中．
【简单应用】
（1）若，且，则的值为______；
【深入探究】
（2）若，且，求的值；
【延伸扩展】
（3）若数轴上两点分别表示两个不同的数，，且，，求的值．
【答案】（1）；（2）1或；（3）点表示的数是1011，点表示的数是
【分析】本题考查数轴表示有理数、数轴上两点之间距离表示，读懂题意，按要求列方程（组）求解是解决问题的关键．
（1）由数轴上两点之间距离表示方法，列方程求解即可得到答案；
（2）由绝对值意义，得到，分情况，数轴上两点之间距离表示方法，列方程求解即可得到答案；
（3）由数轴上两点之间距离表示方法，列方程组求解即可得到答案．
【详解】解：（1）点表示的数是，，，，
，
解得，
故答案为：；
（2），
，
当时，
由可得，
解得；
当时，
由可得，
解得；
综上所述，的值为1或；
（3）数轴上两点分别表示两个不同的数，，且，，
，
解得
点表示的数是1011，点表示的数是．
29．如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？
【答案】这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨．
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，再结合图形信息列出方程组解题即可．
【详解】解：设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，则
，
解得：，
答：这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨．
30．灵宝苹果和孟津梨都是河南著名的农产品，某超市购进灵宝苹果和孟津梨进行销售．
信息一：该超市用2700元购进灵宝苹果和孟津梨共300千克．
信息二：这两种水果的进价、售价如下表所示：
水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克）
灵宝苹果 7 10
孟津梨 10 14
(1)该超市购进灵宝苹果和孟津梨各多少千克？
(2)若该超市销售完灵宝苹果时，孟津梨还剩下，将剩余孟津梨打折出售，全部售完后，共获利1044元，求剩余孟津梨打了几折．
【答案】(1)该超市购进灵宝苹果100千克，购进孟津梨200千克
(2)九五折
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用．
（1）设该超市购进灵宝苹果千克，则购进孟津梨千克，根据表格信息建立方程求解即可．
（2）设剩余孟津梨打折，根据获利1044元建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设该超市购进灵宝苹果千克，则购进孟津梨千克．
根据题意，列方程为．
解得．
（千克）．
答：该超市购进灵宝苹果100千克，购进孟津梨200千克．
（2）解： 设剩余孟津梨打折．
根据题意，列方程为
．
解得．
答：剩余孟津梨打了九五折．
31．某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现小票有几个数据不清楚，如下表所示：
单位 数量 单价 金额
篮球 个 6 100.00 600.00元
钢笔 支 15.00 元
笔记本 本 5.00 元
合计 — 46 — 900.00元
请根据现有的信息，帮助采购员复原并求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
【答案】购置钢笔支，金额元；购置笔记本本，金额元．
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
设购买钢笔支，笔记本本，根据钢笔的数量笔记本的数量篮球的数量，购买钢笔的金额购买笔记本的金额购买篮球的金额，列出方程组，进行求解即可．
【详解】解：设购买钢笔支，笔记本本．
依题意得
解得
当时，（元）
当时，（元）
答：购置钢笔支，金额元；购置笔记本本，金额元．
1．在万物皆可沉浸的时代，智慧旅游燃起了前所未有的热度．某景区借助和技术，开发了“红楼梦戏剧幻城”和“驾驶冲上云霄”两个项目．两个项目每次体验成本和收益如下表：已知某天这两个项目共体验140次，成本为4240元，则这天两个项目收益共多少元？
体验项目 成本（元/次） 收益（元/次）
红楼梦戏剧幻城 35 25
驾驶冲上云霄 24 20
【答案】3200元
【分析】设体验“红楼梦戏剧幻城”x次，体验“驾驶冲上云霄”y次．根据题意列二元一次方程组，求出x，y，再计算收益即可．
【详解】解：设体验“红楼梦戏剧幻城”x次，体验“驾驶冲上云霄”y次．
根据题意得，
解得，
（元）
答：这天两个项目收益共3200元．
2．请你根据下列素材，完成有关任务．
背景 云南省积极推进“双减”政策落地见效，某校为了丰富课后服务内容，计划采购一批甲、乙两种艺术器材，为学生提供优质的艺术教育资源．该校准备在某文具店购买这两种器材
素材一 购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元
素材二 购买3件甲种器材和2件乙种器材共需540元
素材三 该店对同时购买这两种器材推出两种优惠方案．方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折．方案二：甲、乙两种器材每件均打八折
请完成下列任务：
(1)任务一：求甲、乙两种器材的单价分别是多少元
(2)任务二：经核算，该校准备购买甲、乙两种器材共50件（甲、乙两种器材都要购买），且甲种器材不超过35件．设按方案一、方案二购买的总费用分别为元、元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少
【答案】(1)甲种器材的单价为120元，乙种器材的单价为90元
(2)当时，方案二花费少；当时，两种方案花费一样；当时，方案一花费少
【分析】（1）设甲种器材的单价为x元，乙种器材的单价为y元，根据题意构造方程组求解即可；
（2）设购买甲种器材m件，则购买乙种器材件，用含m的代数式分别表示两种方案的费用，然后分类求解即可．
【详解】（1）解：设甲种器材的单价为x元，乙种器材的单价为y元，
由题意，得，
解得，
答：甲种器材的单价为120元，乙种器材的单价为90元．
（2）解：设购买甲种器材m件，则购买乙种器材件，
由题意，得，
．
∴．
当，即时，解得，此时两种方案花费一样；
当，即时，解得，此时方案一花费少；
当，即时，解得，此时方案二花费少，
又∵，
∴当时，方案二花费少；
当时，两种方案花费一样；
当时，方案一花费少．
3．张大伯新建了一个养殖场，需要去集市购买母鸡，鸡仔，鸭子共只．已知一只母鸡元，一只鸭子元，只鸡仔元．张大伯一共花费了元，已知鸡仔一共买了只，问母鸡和鸭子各买了多少只？
【答案】母鸡买了只，鸭子买了只．
【分析】先求出母鸡和鸭子共买了只，再根据一只母鸡元，一只鸭子元，只鸡仔元共花费了元列方程组，解方程组求出、的值即可．
【详解】解：设母鸡买了只，鸭子买了只，
∵母鸡，鸡仔，鸭子共买只，鸡仔一共买了只，
∴母鸡和鸭子共买了（只），
∵一只母鸡元，一只鸭子元，只鸡仔元．张大伯一共花费了元，
∴，
解得：，
∴母鸡买了只，鸭子买了只．
4．某商店购进两种商品共件， 商品每件进价元， 商品每件进价元，总进价为元．
(1)求两种商品各购进多少件？
(2)若商品每件售价元， 商品每件售价元，全部售完后，该商店共获利多少元？
【答案】(1)商品购进件， 商品购进件；
(2)元．
【分析】（）设商品购进件，商品购进件，根据题意得，然后解方程即可；
（）分别求出商品的获利，然后相加即可．
【详解】（1）解：设商品购进件，商品购进件，
根据题意得： ，
解得：，
答：商品购进件，商品购进件；
（2）解：获利：（元），获利：（元），
总获利：（元）．
5．庐山云雾茶是江西十大名茶之一，今年春茶季，庐山市甲、乙两个生态茶园依托当地优越的生态条件，大力发展茶叶种植与加工．据茶园负责人介绍：甲茶园的种植面积比乙茶园多4亩，甲茶园每亩产鲜叶300千克，乙茶园每亩产鲜叶350千克，且甲茶园的鲜叶总产量比乙茶园少200千克．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求甲、乙两个茶园各自的种植面积．
(2)甲、乙两茶园将鲜叶加工成干茶，甲茶园出茶率为（100千克鲜叶可制25千克干茶），干茶每千克的售价为800元，乙茶园出茶率为，干茶每千克的售价为750元．若甲、乙两个茶园生产的鲜叶全部制成干茶，求甲、乙两个茶园的干茶全部售出后的总销售额．
【答案】(1)甲茶园的种植面积为32亩，乙茶园的种植面积为28亩
(2)总销售额为3537000元
【分析】（1）设甲茶园的种植面积为x亩，乙茶园的种植面积为y亩，根据甲茶园的种植面积比乙茶园多4亩，且甲茶园的鲜叶总产量比乙茶园少200千克建立方程组求解即可；
（2）分别求出两个茶园的销售额，二者求和即可得到答案．
【详解】（1）解：设甲茶园的种植面积为x亩，乙茶园的种植面积为y亩，
由题意得，，
解得，
答：甲茶园的种植面积为32亩，乙茶园的种植面积为28亩；
（2）解：
元，
答：总销售额为3537000元．
6．某专卖店销售“冰墩墩”和“雪容融”玩偶．学校为奖励同学，欲从该专卖店购买个玩偶作为奖品，如果购买个“冰墩墩”和个“雪容融”，共需花费元；如果购买个“冰墩墩”和个“雪容融”，共需花费元．
(1)求每个“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的售价各为多少元？
(2)学校在购买好之后，该专卖店还剩下个“冰墩墩”和个“雪容融”，专卖店将这些玩偶中的一部分按套装销售(个“冰墩墩”和个“雪容融”为个套装，每套价格为元)，其余按原价销售，当这个玩偶全部售出后，共计收入元．问套装销售了多少套？
【答案】(1)每个“冰墩墩”售价元，每个“雪容融”售价元；
(2)套装销售了套．
【分析】（1）设每个“冰墩墩”玩偶售价元，每个“雪容融”玩偶售价元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设套装销售了套，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设每个“冰墩墩”玩偶售价元，每个“雪容融”玩偶售价元．
解得
答：每个“冰墩墩”售价元，每个“雪容融”售价元；
（2）设套装销售了套，则
解得
答：套装销售了套．
7．某物流公司引进了两台智能分拣机器人——“快快”和“稳稳”，用于夜间自动化分拣包裹．机器人同时工作6小时需支付费用共180元．如果“快快”单独工作4小时，然后“稳稳”再单独工作8小时，需支付费用共168元．求“快快”和“稳稳”各自工作1小时，需要支付的费用分别是多少元？
【答案】快快和稳稳各自工作1小时，支付的费用分别是18元和12元
【分析】设“快快”和“稳稳”各自工作1小时，支付的费用分别是x、y元，根据机器人同时工作6小时需支付费用共180元．如果“快快”单独工作4小时，然后“稳稳”再单独工作8小时，需支付费用共168元，列出方程组求解即可．
【详解】解：设“快快”和“稳稳”各自工作1小时，支付的费用分别是x、y元，
根据题意，得 ，
解得： ，
答：“快快”和“稳稳”各自工作1小时，支付的费用分别是18元和12元．
8．某商场用相同的价格分三次购进A型和B型两种型号的电视机，前两次购进情况如下表：
A型（台） B型（台） 总进价（元）
第一次 20 30 90000
第二次 10 20 55000
(1)求该商场购进A型和B型电视机的单价各为多少元？
(2)已知商场第三次购进A型和B型电视机总进价为20500元，共有多少种进货方案？
(3)在（2）的情况下，商场A型电视机的标价为每台2000元，B型电视机的标价为每台3750元，不考虑其他因素，为了促销，A型电视机打九折、B型电视机打八折销售．若将第三次购进的电视机全部售出，通过计算说明，购进时哪种进货方案可获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)A型电视机单价为1500元，B型电视机单价为2000元
(2)共有3种进货方案
(3)购进A型电视机3台，B型电视机8台时，获得最大利润，且最大利润为8900元
【分析】 （1）设A型电视机单价为x元，B型电视机单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组，解方程组即可；
（2）设商场第三次购进A型电视机m台，则购进B型电视机n台，根据商场第三次购进A型和B型电视机总进价为20500元，列出方程，求出方程的整数解即可；
（3）分别求出三种方案的利润，然后进行比较，得出答案即可．
【详解】（1）解：设A型电视机单价为x元，B型电视机单价为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：A型电视机单价为1500元，B型电视机单价为2000元；
（2）解：设商场第三次购进A型电视机m台，购进B型电视机n台，根据题意得：
，
整理得：，
∵m、n为整数，
∴，，，
∴共有3种进货方案；
（3）解：当购进A型电视机3台，B型电视机8台时，可获利润：
（元）；
当购进A型电视机7台，B型电视机5台时，可获利润：
（元）；
当购进A型电视机11台，B型电视机2台时，可获利润：
（元）；
∵，
∴购进A型电视机3台，B型电视机8台时，获得最大利润，且最大利润为8900元．
9．为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表．
采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元
第一次购物 5 6 400
第二次购物 7 6 396
第三次购物 4 3 230
(1)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价；
(2)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？
【答案】(1)运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元
(2)打9折
【分析】（1）设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元，列出方程组求出x和y的值；
（2）设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元，
根据题意知第一、三次购物为原价，则，
解得：，
答：运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元；
（2）解：设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的，
由题意得，，
解得：．
答：商场打折促销期间是打九折出售这两种商品的．
10．如图，已知直线和直线相交于点，平分，是内部的一条射线．
(1)若，，则°．
(2)若比大比大，请结合二元一次方程组求的度数．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据角平分线，由的度数求出的度数，再利用对顶角相等得到的度数，最后结合角的和差运算，用减去的度数，即可求出的度数；
（2）设、，根据角平分线得出，再通过角的和差分别表示出、，然后根据与、与的度数关系列出二元一次方程组，解出方程组的解后，代入求出的度数，最后利用对顶角相等即可得到的度数．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：设，．
∵平分，
∴，
∴，
．
根据“比大”，得：；
根据“比大”，得：，
联立，得方程组：，
解得，
则，
∴．
1．综合与实践：
【问题情境】某学校大力开展社团活动，其中该校“百变魔方”社团准备去商店购买A，B两种魔方．
【素材展现】
素材1：某商店在无促销活动时，若购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元；购买3个A种魔方所需款数和购买4个B种魔方所需款数相同．
素材2：该商店开展促销活动：
活动一：“疯狂打折”：A种魔方八折，B种魔方四折；
活动二：“买一送一”：购买一个A种魔方送一个B种魔方．
【解决问题】
（1）该商店在无促销活动时，求A、B这两种魔方的销售单价各是多少元？
【拓展提升】
（2）结合同学们的需求，社团决定购买A、B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个），设购买A种魔方个，按活动一购买所需费用为______元；按活动二购买所需费用为______元．（均用含的代数式表示）
【综合应用】
（3）请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A种魔方的数量在什么范围内时，活动二更实惠？
【答案】（1）A、B两种魔方的单价分别为20元、15元；（2），；（3）当时，活动二更实惠
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据题意列出二元一次方程组即可；
（2）根据两种活动的优惠规则表示即可；
（3）令活动二的值小于活动一的值，列出一元一次不等式．
【详解】解：（1）设、两种魔方的单价分别为元、元．
根据题意，得
解得：
答：、两种魔方的单价分别为20元、15元；
（2）活动一：，
活动二：，
故答案为：，；
（3）由题意，得，
解得：，
又，
，
答：当时，活动二更实惠．
2．综合与实践
问题 如何设计购买奶茶方案？
背景 为了庆祝“元旦节”，某班级开展知识竞赛活动，对在竞赛活动中取得优异成绩的学生给予奖励，准备去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需260元．
解决问题
任务1：问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？任务2：如果购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花100元，请问有哪些购买方案？
【答案】任务1：A款奶茶的销售单价为12元，B款奶茶的销售单价为8元；任务2：一共有4种购买方案：方案一，购买A款奶茶1杯，购买B款奶茶11杯；方案二，购买A款奶茶3杯，购买B款奶茶8杯；方案三，购买A款奶茶5杯，购买B款奶茶5杯；方案四，购买A款奶茶7杯，购买B款奶茶2杯．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键．
（1）设A款奶茶的销售单价为x元，B款奶茶的销售单价为y元，根据买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需260元建立方程组求解即可；
（2）设购买A款奶茶a杯，购买B款奶茶b杯，根据刚好花100元建立方程，解方程求出方程的正整数解即可得到答案．
【详解】解：任务1：设A款奶茶的销售单价为x元，B款奶茶的销售单价为y元，
由题意得，，
解得，
答：A款奶茶的销售单价为12元，B款奶茶的销售单价为8元；
任务2：设购买A款奶茶a杯，购买B款奶茶b杯，
由题意得，，
∴，
∵a、b都是正整数，
∴必须是大于0的偶数，
∴a必须是奇数，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，不符合题意；
答：一共有4种购买方案：方案一，购买A款奶茶1杯，购买B款奶茶11杯；方案二，购买A款奶茶3杯，购买B款奶茶8杯；方案三，购买A款奶茶5杯，购买B款奶茶5杯；方案四，购买A款奶茶7杯，购买B款奶茶2杯．
3．【综合与实践】设计运动会物资的购买方案．
【背景素材】八年级（1）班要为运动会购买物资，计划从某超市购入A、B两种品牌的运动饮料．若买25瓶A品牌运动饮料，25瓶B品牌运动饮料共需325元；若买20瓶A品牌运动饮料，30瓶B品牌运动饮料共需340元．
【问题解决】为设计方案，可以逐步进行探究．
【确定售价】（1）A、B两种品牌的运动饮料的销售单价分别是多少元/瓶？
【方案探究】（2）购买A、B两种品牌的运动饮料（两种都要），班级预算是200元，要使预算刚好花完，有哪几种购买方案？
【答案】（1）A品牌运动饮料的销售单价是5元，B品牌运动饮料的销售单价是8元；（2）共有4种购买方案，方案1：购买32瓶A品牌运动饮料，5瓶B品牌运动饮料；方案2：购买24瓶A品牌运动饮料，10瓶B品牌运动饮料；方案3：购买16瓶A品牌运动饮料，15瓶B品牌运动饮料；方案4：购买8瓶A品牌运动饮料，20瓶B品牌运动饮料．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设A品牌运动饮料的销售单价是x元，B品牌运动饮料的销售单价是y元，根据“买25瓶A品牌运动饮料，25瓶B品牌运动饮料需325元；买20瓶A品牌运动饮料，30瓶B品牌运动饮料需340元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m瓶A品牌运动饮料，n瓶B品牌运动饮料，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】解：（1）设A品牌运动饮料的销售单价是x元，B品牌运动饮料的销售单价是y元，
根据题意得，
解得，
答：A品牌运动饮料的销售单价是5元，B品牌运动饮料的销售单价是8元；
（2）设购买m瓶A品牌运动饮料，n瓶B品牌运动饮料，
根据题意得：，
∴，
又∵m,n均为正整数，
∴或或或，
∴共有4种购买方案，
方案1：购买32瓶A品牌运动饮料，5瓶B品牌运动饮料；
方案2：购买24瓶A品牌运动饮料，10瓶B品牌运动饮料；
方案3：购买16瓶A品牌运动饮料，15瓶B品牌运动饮料；
方案4：购买8瓶A品牌运动饮料，20瓶B品牌运动饮料．
4．综合与实践
长方体纸盒的制作素材1：如图1，在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料纸板进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．素材2：现将52张原材料纸板全部裁剪（每张原材料纸板只能有一种裁法）得到A与B型纸板当长方体纸盒的侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝处忽略不计）
根据上述材料，完成下列任务.
任务一：每张原材料纸板可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张；
任务二：根据素材1、素材2，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？
【答案】任务一：3，5；任务二：用40张原材料纸板裁A型纸板，12张原材料纸板裁B型纸板，可以恰好用完，能做30个纸盒
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程组，解方程组即可．
（1）根据原材料纸板纸板的尺寸和A、B两种型号纸板的尺寸进行解答即可；
（2）设用张原材料纸板裁A型纸板，张原材料纸板裁B型纸板，根据有52张原材料纸板，有盖长方体纸盒有4个侧面，2个底面，列出方程，解方程即可．
【详解】解：任务一：每张原材料纸板可以裁得A型纸板3张或裁得B型纸板5张；
故答案为：3，5；
任务二：设用张原材料纸板裁A型纸板，张原材料纸板裁B型纸板，
根据题意，得：，
解得，
能做纸盒的数量为：，
答：用40张原材料纸板裁A型纸板，12张原材料纸板裁B型纸板，可以恰好用完，能做30个纸盒．
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