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2025-2026学年人教版七年级数学下分层精练精析
章末复习（四）二元一次方程组
一、二元一次方程（组）的基本概念
1. 二元一次方程
定义：含有两个未知数（例如x和y），并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。
一般形式：ax+by=c（a、b、c为常数，且a ）。
解：使二元一次方程左右两边值相等的一对未知数的值，记作。一个二元一次方程有无数个解。
2. 二元一次方程组
定义：把两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起。
一般形式：。
解：二元一次方程组中两个方程的公共解。一个二元一次方程组通常有唯一解、无解或无穷多解三种情况。
1．下列属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x、y的方程有一组解是，则a的值是（ ）
A．29 B． C．1 D．
3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
①②③④
A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③
4．适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（ ）
表1 0 1 2
y 2 0
表2 0 1 2
0
A． B． C． D．
5．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为：______．
二、二元一次方程组的解法
解方程组的基本思路是 “消元”，即把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。
1. 代入消元法
核心：将一个方程中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元。
步骤：
(1)变：从方程组中选一个系数简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示。
(2)代：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
(3)解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
(4)回代：将求得的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。
(5)写解：把两个未知数的值用大括号联立起来。
2. 加减消元法
核心：通过将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数。
步骤：
(1)化：将两个方程变形，使某个未知数的系数绝对值相等。
(2)消：将两个方程相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
(3)解：解这个一元一次方程。
(4)代：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值。
(5)写解。
3. 解法选择与比较
方法 适用情况 关键步骤 注意事项
代入法 某个方程中有一个未知数的系数为1或-1时较为简便。 “用一个未知数表示另一个未知数”并代入。 代入时需加括号，防止符号错误。
加减法 两个方程中同一个未知数的系数绝对值相等或成倍数关系时简便。 通过乘一个数使系数“相等”或“相反”，然后加减消元。 方程两边每一项都要同乘，不要漏乘常数项。
6．已知，用x的代数式表示y，则________．
7．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为________．
8．解方程组．
9．解方程组：
(1)；
(2)．
10．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，由于、的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将会计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②①，得，所以，③
③14，得，④
①④，得，从而得．
所以原方程组的解是
(1)运用上述方法解方程组
(2)直接写出方程组的解是___________；
(3)猜测关于、的方程组的解是什么？请直接写出．
三、列二元一次方程组解应用题
1. 一般步骤
(1)审：弄清题意，找出两个等量关系。
(2)设：设两个未知数（一般设直接要求的量为 ）。
(3)列：根据等量关系列出方程组。
(4)解：解这个方程组。
(5)验：检验解是否符合题意和实际。
(6)答：写出完整答案。
2. 常见问题类型及等量关系
和差倍分问题：“甲是乙的2倍” → 甲 = 2 × 乙；“甲比乙多5” → 甲 = 乙 + 5。
配套问题：如“1个螺栓配2个螺母” → 螺母数量 = 2 × 螺栓数量。
行程问题：路程 = 速度 × 时间；相遇问题：路程和 = 原距离；追及问题：路程差 = 原距离。
工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间（常设工作总量为1）。
利润销售问题：利润 = 售价 - 进价；利润率 = 利润 / 进价 × 100%。
数字问题：两位数 = 十位数字 × 10 + 个位数字
11．如何分配工作时间
如何分配工作时间，使公司能在规定时间内完成任务
素材1 某电子零件生产公司承接到19200个零件的生产订单，计划将任务分配给甲、乙两个车间去完成．若甲车间生产12天，乙车间生产24天，则比订单多生产720个；若甲车间生产24天，乙车间生产12天，则比订单少生产240个零件．
素材2 经调查，甲车间每人每天能生产25个电子零件，乙车间每人每天能生产20个电子零件．
素材3 因分公司生产需求，需从两个车间抽走相同数量的工人，为了保证抽调后两个车间每天生产总和不变，且甲、乙两车间同时开工生产，余下工人每人每天生产个数需要提高．
问题解决
(1)求甲、乙车间原来每天生产多少个电子零件？
(2)甲、乙车间抽调后各有多少人？
(3)若按甲、乙车间抽调后的人数和提高后的工作效率计算，如何分配甲、乙两车间工作的天数（天数为整数），使公司能在不超过20天的情况下，恰好完成该任务？
12．如图，甲、乙、丙三种无盖纸盒，分别由A，B，C纸板作侧面和底面组成，其中一个C纸板只可以分割成4个A纸板或2个B纸板．已知有13个丙种无盖纸盒和t张A纸板（t不大于3，且大于0），现在要求把全部丙种无盖纸盒拆成B，C纸板后，再把C纸板适当分割，最后重新组成甲、乙两种无盖纸盒．请设计组成甲、乙两种无盖纸盒数量和最多，且t的值最小的方案．
13．下表是某面馆的价格表．为了满足顾客的需求，该店推出加料服务，顾客在选完食材及分量后可以自主选择加料或者不加料．小龙下订单时提出要求：其中小份的加料数占小份总数的，大份的加料数占大份总数的，且小份的加料数比大份的加料数多份．已知大、小份均未加料共需付元．
食材 价格（单位：份） 加料（单位：份）
小份 大份
粉干、面 元 元 元
(1)求小龙订的大份、小份的份数；
(2)求大、小份加料后另外需付的总费用．
14．如图，已知点、在数轴上表示的数分别是、64，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动，若点、同时出发．则出发后12秒相遇；若点先出发7秒，则点出发10秒后与点相遇．
(1)求动点、运动的速度分别是多少？
(2)若点、同时出发，设运动时间为，
①动点在数轴上对应的数为______，动点在数轴上对应的数为_____；
②求为何值时，点与点恰好相距14？
15．某地政府需将一批150吨的物资运往外地，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/每辆） 5 8 10
汽车运费（元/每辆） 400 500 600
(1)全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车______辆来运送．
(2)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10600元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(3)该地政府打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为17辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？
四、三元一次方程组
定义：含有三个未知数，且未知数项的次数都是1的方程组。
解法思路：消元。先利用代入法或加减法消去一个未知数，将三元一次方程组转化为熟悉的二元一次方程组，再求解。
16．解方程组：．
17．重庆市某景点的门票价格如下表：
购票人数/人 以上
每人门票价/元
重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费元．
(1)两个班各有多少人？
(2)小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下：
Ⅰ．若一次购物少于元，则不予优惠；
Ⅱ．若一次购物满1元，但不超过元，按标价给予九折优惠；
Ⅲ．若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分按八折优惠．
①若小明和小红分开两次付款，一共消费元，其中小明的付款额小于元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款元，请问分开付款时小明支付了多少元？
②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品件、商品件、商品件共需元；若购买商品件、商品件、商品件共需元，则他们购买、、各一件共需要多少元？
18．已知的三边a，b，c满足求这个三角形的三边a，b，c的长．
19．一个三位数的各数位数字之和等于，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小，求原三位数．
20．阅读感悟：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值．例如问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入要求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组则____________；
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、4本日记本共需58元，则购买2支铅笔、2块橡皮共需多少元？
1．当______时，是二元一次方程．
2．已知关于、的方程组．
(1)请写出方程的所有正整数解．
(2)若方程组的解满足，求的值．
(3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解．
3．如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”．
其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为：
步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即；
步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即；
步骤3：计算3a与b的和c，即；
步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即；
步骤5：计算d与c的差就是校验码x，即．
请根据以上信息，解答下列各题：
(1)已知某商品条形码的校验码是7，前12位数字中奇数位数字之和为，计算步骤中的，则该商品条形码前12位数字中偶数位数字之和；
(2)如图，若条形码中被污染的两个数字的和是7，求被污染的两个数字中右边的数字是多少？
1．在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，这个过程体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．分类讨论思想
C．化归思想 D．类比思想
2．学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，小明这样解方程的思想是（ ）
A．公理化思想 B．数形结合思想 C．换元思想 D．方程思想
3．已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
4．解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知方程，则______．
6．年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？
7．下面是年年同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：解：①×2得：．③ 第一步②+③得： 第二步解得： 第三步将代入①，得： 第四步所以原方程组的解为 第五步
任务：
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫作_________（填“加减消元法”或“代入消元法”）；
(2)年年同学从第_________步开始出现错误，具体的错误是_________；
(3)请写出正确的求解过程；
(4)除纠正上述错误外，请根据你平时的学习经验，就求解二元一次方程组还需要注意的事项给其他同学提一条建议：_________．
8．根据情境信息，探索并完成任务：
我为车间设计招聘方案
素材1 近几年，新能源汽车逐步普及，某新能源汽车制造厂开发一款新式电动汽车，现计划一年生产安装240辆．总部下派熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗也可以独立进行安装．
素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资．
问题解决
任务一：分析数量关系 请你探究求出每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，请你探究计算并确定招聘方案：使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成这一年的安装任务，且每月应付工资总额较低，说明分别需要多少熟练工和新工人？
9．下面是小明求解二元一次方程组的部分过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
解：，得．③……………………第1步，得．……………………………………第2步解，得．…………………………………………第3步……
任务：
(1)小明的解法中，第1步方程变形的依据是___________；
(2)小明的解法中，第2步的目的是消去未知数．请你用消去未知数的方法，求解这个方程组．
10．小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组
【尝试】
（1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整．
解：设，则原方程组可化为___________，
解关于的方程组，得，
所以，解这个方程组得；
【迁移】
（2）利用上述方法解方程组
2025-2026学年人教版七年级数学下分层精练精析
章末复习（四）二元一次方程组（解析版）
一、二元一次方程（组）的基本概念
1. 二元一次方程
定义：含有两个未知数（例如x和y），并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。
一般形式：ax+by=c（a、b、c为常数，且a ）。
解：使二元一次方程左右两边值相等的一对未知数的值，记作。一个二元一次方程有无数个解。
2. 二元一次方程组
定义：把两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起。
一般形式：。
解：二元一次方程组中两个方程的公共解。一个二元一次方程组通常有唯一解、无解或无穷多解三种情况。
1．下列属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】二元一次方程需满足：是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，根据二元一次方程的定义判断即可．
【详解】解：A项：中含未知数的项的次数为2，不符合定义，不是二元一次方程，故A错误；
B项：只含有1个未知数，不符合定义，不是二元一次方程，故B错误；
C项：整理得，是整式方程，含有两个未知数x，y，且含未知数的项的次数都是1，符合定义，是二元一次方程，故C正确；
D项：中是分式，方程不是整式方程，不符合定义，不是二元一次方程，故D错误．
2．若关于x、y的方程有一组解是，则a的值是（ ）
A．29 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据方程解的定义，将已知解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值．
【详解】解：∵是方程的解，
∴把，代入原方程得：
，
整理得 ，
移项计算得 ，
解得 ．
3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
①②③④
A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的定义：共含有两个未知数，所有方程均为一次整式方程的方程组，依次判断各方程组即可．
【详解】解：①是二元一次方程组，符合题意；
②是二元一次方程组，符合题意；
③不是整式方程，故不是二元一次方程组，不符合题意；
④是二元一次方程组，符合题意；
其中是二元一次方程组的是①②④．
4．适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（ ）
表1 0 1 2
y 2 0
表2 0 1 2
0
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，找到表1中x，y的值与表2中x，y的值相同的值即可求解．
【详解】解：通过表1发现与表2中相同，
所以方程组的解是
故选：C．
5．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为：______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】所求二元一次方程只需满足是它的解即可，据此构造方程即可．
【详解】解：∵所求方程与所给方程组成的方程组的解为，
∴所求方程的解为，
∵，
∴是符合要求的二元一次方程．
二、二元一次方程组的解法
解方程组的基本思路是 “消元”，即把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。
1. 代入消元法
核心：将一个方程中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元。
步骤：
(1)变：从方程组中选一个系数简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示。
(2)代：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
(3)解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
(4)回代：将求得的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。
(5)写解：把两个未知数的值用大括号联立起来。
2. 加减消元法
核心：通过将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数。
步骤：
(1)化：将两个方程变形，使某个未知数的系数绝对值相等。
(2)消：将两个方程相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
(3)解：解这个一元一次方程。
(4)代：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值。
(5)写解。
3. 解法选择与比较
方法 适用情况 关键步骤 注意事项
代入法 某个方程中有一个未知数的系数为1或-1时较为简便。 “用一个未知数表示另一个未知数”并代入。 代入时需加括号，防止符号错误。
加减法 两个方程中同一个未知数的系数绝对值相等或成倍数关系时简便。 通过乘一个数使系数“相等”或“相反”，然后加减消元。 方程两边每一项都要同乘，不要漏乘常数项。
6．已知，用x的代数式表示y，则________．
【答案】
/
【分析】根据等式的性质，通过移项运算即可求解．
【详解】解：．
移项得，．
7．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为________．
【答案】
【分析】将看作已知数求出方程组的解与，代入中计算即可得到的值．
【详解】解：，
①+②得：，即，
将代入①得：，即，
将，代入得：
解得：．
8．解方程组．
【答案】
【分析】利用加减消元法进行求解．
【详解】解：
得，，
得，
解得，
将代入②得，
解得，
∴该方程组的解为．
9．解方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用加减消元法，求出方程组的解即可；
（2）应用代入消元法，求出方程组的解即可．
【详解】（1）解：，
，可得，
解得，
把代入①，可得：，
解得，
∴方程组的解是；
（2）解：，
②代入①，可得：，
解得，
把代入②，可得：，
解得，
∴方程组的解．
10．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，由于、的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将会计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②①，得，所以，③
③14，得，④
①④，得，从而得．
所以原方程组的解是
(1)运用上述方法解方程组
(2)直接写出方程组的解是___________；
(3)猜测关于、的方程组的解是什么？请直接写出．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题干给定的方法求解即可；
（2）根据题干给定的方法求解即可；
（3）根据已有方程组进行猜想即可，将解代入两个方程进行验证即可．
【详解】（1）解：
得：，所以③
③得：④
得：，
把代入③得：，
解得：
原方程组的解是：；
（2）解：，
得：③
③得：④
得：，解得：
把代入③得：，
解得：，
原方程组的解是：；
（3）解：猜测：，
当时，第一个方程：左边右边，
第二个方程：左边右边，
是原方程组的解．
三、列二元一次方程组解应用题
1. 一般步骤
(1)审：弄清题意，找出两个等量关系。
(2)设：设两个未知数（一般设直接要求的量为 ）。
(3)列：根据等量关系列出方程组。
(4)解：解这个方程组。
(5)验：检验解是否符合题意和实际。
(6)答：写出完整答案。
2. 常见问题类型及等量关系
和差倍分问题：“甲是乙的2倍” → 甲 = 2 × 乙；“甲比乙多5” → 甲 = 乙 + 5。
配套问题：如“1个螺栓配2个螺母” → 螺母数量 = 2 × 螺栓数量。
行程问题：路程 = 速度 × 时间；相遇问题：路程和 = 原距离；追及问题：路程差 = 原距离。
工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间（常设工作总量为1）。
利润销售问题：利润 = 售价 - 进价；利润率 = 利润 / 进价 × 100%。
数字问题：两位数 = 十位数字 × 10 + 个位数字
11．如何分配工作时间
如何分配工作时间，使公司能在规定时间内完成任务
素材1 某电子零件生产公司承接到19200个零件的生产订单，计划将任务分配给甲、乙两个车间去完成．若甲车间生产12天，乙车间生产24天，则比订单多生产720个；若甲车间生产24天，乙车间生产12天，则比订单少生产240个零件．
素材2 经调查，甲车间每人每天能生产25个电子零件，乙车间每人每天能生产20个电子零件．
素材3 因分公司生产需求，需从两个车间抽走相同数量的工人，为了保证抽调后两个车间每天生产总和不变，且甲、乙两车间同时开工生产，余下工人每人每天生产个数需要提高．
问题解决
(1)求甲、乙车间原来每天生产多少个电子零件？
(2)甲、乙车间抽调后各有多少人？
(3)若按甲、乙车间抽调后的人数和提高后的工作效率计算，如何分配甲、乙两车间工作的天数（天数为整数），使公司能在不超过20天的情况下，恰好完成该任务？
【答案】(1)甲车间原来每天生产500个零件，乙车间原来每天生产580个零件
(2)甲车间抽调人数后有16人，乙车间抽调人数后有25人
(3)方案一：甲车间工作20天，乙车间工作16天；方案二：甲车间工作15天，乙车间工作20天
【分析】（1）设甲车间原来每天生产个零件，乙车间原来每天生产个零件，根据题意列出方程组进行求解即可；
（2）设每个车间被抽走人，根据“抽调后两个车间每天生产总和不变”进行列式求解即可；
（3）设甲车间工作天，乙车间工作天，根据题意列出二元一次方程，再求出符合要求的解即可．
【详解】（1）解：设甲车间原来每天生产个零件，乙车间原来每天生产个零件，
，
解得；
（2）解：设每个车间被抽走人，
抽调前 抽调后
车间效率 个人效率 人数 个人效率 人数 车间效率
甲 500 25 20 30 和不变
乙 580 20 29 24
∴
解得，
∴甲车间人数：（人）；乙车间人数：（人）；
（3）解：设甲车间工作天，乙车间工作天，
由题意得，，
∴符合要求的解为，
∴方案一：甲车间工作20天，乙车间工作16天；方案二：甲车间工作15天，乙车间工作20天．
12．如图，甲、乙、丙三种无盖纸盒，分别由A，B，C纸板作侧面和底面组成，其中一个C纸板只可以分割成4个A纸板或2个B纸板．已知有13个丙种无盖纸盒和t张A纸板（t不大于3，且大于0），现在要求把全部丙种无盖纸盒拆成B，C纸板后，再把C纸板适当分割，最后重新组成甲、乙两种无盖纸盒．请设计组成甲、乙两种无盖纸盒数量和最多，且t的值最小的方案．
【答案】设计方案为组成甲种无盖纸盒5个，乙种无盖纸盒14个．
【分析】由图可得，13个丙种无盖纸盒可以拆成52个B纸板和13个C纸板，设个C纸板分割为A纸板，个C纸板分割为B纸板，其中，则A纸板数量为个，B纸板数量为个；设最后重新组成甲种无盖纸盒个，乙种无盖纸盒个，根据题意列出关于的方程组，求出，再根据t的值分3种情况讨论，求出最大且t的值最小的情况即可解答．
【详解】解：由图可知，1个丙种无盖纸盒可以拆成4个B纸板和1个C纸板，
∴13个丙种无盖纸盒可以拆成52个B纸板和13个C纸板，
设个C纸板分割为A纸板，个C纸板分割为B纸板，其中，
则A纸板数量为个，B纸板数量为个；
由图可知，1个甲种无盖纸盒需要1个A纸板和4个B纸板，1个乙种无盖纸盒需要2个A纸板和3个B纸板，
设最后重新组成甲种无盖纸盒个，乙种无盖纸盒个，
则，
解得；
①当时，，，
∵都是整数，是整数，
∴和都是5的倍数，
∵，
∴或或，
当时，，，不符合题意，舍去；
当时，，，此时；
当时，，，不符合题意，舍去；
②当时，，，
∵都是整数，是整数，
∴是5的倍数，
∵，
∴或或，
当时，，，不符合题意，舍去；
当时，，，此时；
当时，，，不符合题意，舍去；
③当时，，，
∵都是整数，是整数，
∴和都是5的倍数，
∵，
∴或或，
当时，，，不符合题意，舍去；
当时，，，此时；
当时，，，不符合题意，舍去；
∴综上，甲、乙两种无盖纸盒数量和最多为19个，
∵，
∴组成甲种无盖纸盒5个，乙种无盖纸盒14个，此时甲、乙两种无盖纸盒数量和最多，且t的值最小．
所以设计方案为组成甲种无盖纸盒5个，乙种无盖纸盒14个．
13．下表是某面馆的价格表．为了满足顾客的需求，该店推出加料服务，顾客在选完食材及分量后可以自主选择加料或者不加料．小龙下订单时提出要求：其中小份的加料数占小份总数的，大份的加料数占大份总数的，且小份的加料数比大份的加料数多份．已知大、小份均未加料共需付元．
食材 价格（单位：份） 加料（单位：份）
小份 大份
粉干、面 元 元 元
(1)求小龙订的大份、小份的份数；
(2)求大、小份加料后另外需付的总费用．
【答案】(1)小龙订的小份份，大份份
(2)大、小份加料后另外需付的总费用是元
【分析】（1）设小龙订的小份份，大份份，则小份的加料数为，大份的加料数为，根据“小份的加料数比大份的加料数多份；已知大、小份均未加料共需付元”列出方程组求解即可；
（2）求出小份的加料数及大份的加料数之和再乘以即可．
【详解】（1）解：设小龙订的小份份，大份份，
依题意，得：，
解得：，
答：小龙订的小份份，大份份；
（2）解：
（元），
答：大、小份加料后另外需付的总费用是元．
14．如图，已知点、在数轴上表示的数分别是、64，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动，若点、同时出发．则出发后12秒相遇；若点先出发7秒，则点出发10秒后与点相遇．
(1)求动点、运动的速度分别是多少？
(2)若点、同时出发，设运动时间为，
①动点在数轴上对应的数为______，动点在数轴上对应的数为_____；
②求为何值时，点与点恰好相距14？
【答案】(1)动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度
(2)①，；②为10秒或14秒时，点与点恰好相距14
【分析】（1）先求出，设动点运动的速度是每秒个单位长度，动点运动的速度是每秒个单位长度，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）①由（1）得动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度，结合点、在数轴上表示的数分别是、64，列代数式即可；
②根据题意列绝对值方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
设动点运动的速度是每秒个单位长度，动点运动的速度是每秒个单位长度，
则，
解得，
答：动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度．
（2）解：①因为动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度，点、在数轴上表示的数分别是、64，
所以动点在数轴上对应的数为，动点在数轴上对应的数为；
②由题意得，
化简整理得，
所以或，
解得或14，
答：为10秒或14秒时，点与点恰好相距14．
15．某地政府需将一批150吨的物资运往外地，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/每辆） 5 8 10
汽车运费（元/每辆） 400 500 600
(1)全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车______辆来运送．
(2)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10600元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(3)该地政府打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为17辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？
【答案】(1)7
(2)需甲车型14辆，乙车型10辆
(3)甲车型2辆，乙车型5辆，丙车型10辆
【分析】（1）根据用总物资数减去甲型车8辆，乙型车5辆可以运送的物资数，再由丙型车每辆运送10吨物资即可求解；
（2）设需甲型车辆，乙型车辆，列出方程组即可求解；
（3）设用甲型车辆，乙型车辆，则丙型车辆，根据，，，均为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：（辆）．
（2）解：设需甲型车辆，乙型车辆，
由题意得，
解得，
∴需甲型车14辆，乙型车10辆．
（3）解：设用甲型车辆，乙型车辆，则丙型车为辆，
由题意得，，
整理得，
∵，，均为正整数，
∴，
∴，，
∴用甲型车2辆，乙型车5辆，丙型车10辆．
四、三元一次方程组
定义：含有三个未知数，且未知数项的次数都是1的方程组。
解法思路：消元。先利用代入法或加减法消去一个未知数，将三元一次方程组转化为熟悉的二元一次方程组，再求解。
16．解方程组：．
【答案】
【分析】用，消去z得出关于x，y的方程组，再消去y求出x，然后求出方程组的解．
【详解】解：，
，得，
，得，
，得，
解得：，
把代入④，得，解得：，
把代入③，得，解得：，
∴原方程组的解为．
17．重庆市某景点的门票价格如下表：
购票人数/人 以上
每人门票价/元
重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费元．
(1)两个班各有多少人？
(2)小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下：
Ⅰ．若一次购物少于元，则不予优惠；
Ⅱ．若一次购物满1元，但不超过元，按标价给予九折优惠；
Ⅲ．若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分按八折优惠．
①若小明和小红分开两次付款，一共消费元，其中小明的付款额小于元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款元，请问分开付款时小明支付了多少元？
②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品件、商品件、商品件共需元；若购买商品件、商品件、商品件共需元，则他们购买、、各一件共需要多少元？
【答案】(1)甲班有人，乙班有人
(2)①分开付款时，小明支付了元或元；②他们购买、、各一件共需元
【分析】（1）根据表格数据，用总票价除以单价得到人数列出算式，即可求解；
（2）①设分开付款时小明支付了元，则小红支付了元，根据题意分类讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解；
②设商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，根据题意得出，进而得出，即可求解．
【详解】（1）解：甲班人数为（人），乙班人数为（人）．
答：甲班有49人，乙班有53人．
（2）①当小明购物原价小于100元时，设小明支付了，其付款金额元即为原价，则小红支付了元．
，
．
当小明购物原价为元，小红购物原价为元，则，
解得；
当小明购物原价不小于100元时，其付款金额为原价的九折，则原价为元，小红购物原价为元，
则，
解得．
综上，分开付款时，小明支付了元或元．
②设商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，
则①，②．
由，得③．由①，得，
．
答：他们购买，，各一件共需6元．
18．已知的三边a，b，c满足求这个三角形的三边a，b，c的长．
【答案】这个三角形的三边a，b，c的长分别是12，9，15
【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：，
由①②，得④，
由③④，得，
解得．
把代入①，得，
解得．
把代入③，得，
解得．
综上所述，原方程组的解是．
答：这个三角形的三边a，b，c的长分别是12，9，15．
19．一个三位数的各数位数字之和等于，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小，求原三位数．
【答案】
【分析】本题考查三元一次方程组在数字问题中的应用，核心是掌握三位数的代数表示方法：原三位数可表示为(其中为百位数字，为十位数字，为个位数字)，并根据题目给出的三个等量关系构建方程组求解．首先设出三个数位的数字，根据“各数位数字和为”“个位与十位数字和比百位大2”“对调百位与十位后的新数比原数小”分别列出方程；接着化简第三个方程得到，再将第二个方程代入第一个方程求出的值；然后代入求出的值，最后代入第二个方程求出的值，进而组合得到原三位数．
【详解】解：设原三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为．
根据题意，列出方程组：，
化简得，
将②代入①，得：，解得：；
把代入③，得：，解得；
把，代入②，得：，解得；
原三位数为；
答：原三位数为．
20．阅读感悟：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值．例如问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入要求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组则____________；
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、4本日记本共需58元，则购买2支铅笔、2块橡皮共需多少元？
【答案】(1)
(2)12元
【分析】本题考查了二元一次方程组、三元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
（1）用整体的思想求解即可；
（2）先列出三元一次方程组，再由“整体思想”即可得解．
【详解】（1）解：
得：，
故答案为：；
（2）解：购买1支铅笔需a元，1块橡皮需b元，1本日记本共需c元，
由题意得：，
得：，
∴（元）．
答：购买2支铅笔、2块橡皮共需12元．
1．当______时，是二元一次方程．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义，未知数的最高次数为，且方程含有两个未知数，因此得到关于的条件，求解即可得到的值.
【详解】解：∵是二元一次方程
∴，且
∴，且
解得，
∴．
2．已知关于、的方程组．
(1)请写出方程的所有正整数解．
(2)若方程组的解满足，求的值．
(3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解．
【答案】(1)，；
(2)
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法．
（1）确定出方程的正整数解即可；
（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值；
（3）方程变形后，确定出公共解即可．
【详解】（1）解：方程整理得，
∴当时，；当时，；
∴方程的正整数解有：，；
（2）解： 联立和得，，
得，，
将代入得，，
解得，
将和代入得，，
解得；
（3）解：变形得：，
令，得，
∴无论m取何值，都是方程的解，
∴公共解为．
3．如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”．
其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为：
步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即；
步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即；
步骤3：计算3a与b的和c，即；
步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即；
步骤5：计算d与c的差就是校验码x，即．
请根据以上信息，解答下列各题：
(1)已知某商品条形码的校验码是7，前12位数字中奇数位数字之和为，计算步骤中的，则该商品条形码前12位数字中偶数位数字之和；
(2)如图，若条形码中被污染的两个数字的和是7，求被污染的两个数字中右边的数字是多少？
【答案】(1)34
(2)3
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
（1）先根据该商品条形码的校验码是7，得出，再根据，代入求得c，然后可得出，再代入b，求出a即可；
（2）设被污染的两个数字中右边的数字是y，从而可用y表示出左边被污染的数字，再根据校验码是9，是10的倍数，可得出c的个位数字是1，再用y分别表示出前12位数字中奇数位数字之和为，前12位数字中偶数位数字之和为，根据，得出用y表示出c，再根据c的个位数字是1，得出y是3或8，进而得出y的值．
【详解】（1）解：因为已知该商品条形码的校验码是7，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为前12位数字中奇数位数字之和为，
所以，
解得：
所以该商品条形码前12位数字中偶数位数字之和，
故答案为：34；
（2）解：设被污染的两个数字中右边的数字是y，
则左边被污染的数字是，
因为校验码是9，
所以，
所以，
又是10的倍数，
所以是10的倍数，
即c的个位数字是1，
因为前12位数字中奇数位数字之和为，
前12位数字中偶数位数字之和为，
，
所以，
所以，
因为c的个位数字是1，
所以的个位数字是1，
所以的个位数字是6，
所以y是3或8，
若y是8，则，不符合，
所以，
此时，符合，
所以右边被污染的数字是3．
1．在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，这个过程体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．分类讨论思想
C．化归思想 D．类比思想
【答案】C
【分析】本题考查了数学解题的思想，根据遇到不同情况要分类讨论，这个过程运用分类讨论思想，要结合函数图象或者图形性质进行解题，这过程运用数形结合思想，在通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，这个过程运用化归思想，即可作答．
【详解】解：依题意，通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，这个过程体现的数学思想是化归思想，
故选：C．
2．学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，小明这样解方程的思想是（ ）
A．公理化思想 B．数形结合思想 C．换元思想 D．方程思想
【答案】C
【分析】本题考查利用“换元”法解二元一次方程组．令，，根据题意可得出，解出x，y即可．
【详解】解：令，，
∴原方程组可化为，
依题意，得，
∴，解得．
小明这样解方程的思想是换元思想．
故选：C．
3．已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入方程组，即可求出a和b的值，进而计算得到的值．
【详解】解：∵是方程组的解，
∴将代入方程组，得，
解得，
∴．
4．解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将关于的方程整理可得，根据与无关求出的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵不论为何值，的解都相同，
∴，
∴，．
5．已知方程，则______．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为则这几个非负数分别等于并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
6．年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？
【答案】每个“福马”礼盒的价格为元，每个“奔马”礼盒的价格为元．
【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题，题目中的两个等量关系是：购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，可设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元，列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元．
根据题意，得
解得
所以，每个“福马”礼盒的价格为元，每个“奔马”礼盒的价格为元．
7．下面是年年同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：解：①×2得：．③ 第一步②+③得： 第二步解得： 第三步将代入①，得： 第四步所以原方程组的解为 第五步
任务：
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫作_________（填“加减消元法”或“代入消元法”）；
(2)年年同学从第_________步开始出现错误，具体的错误是_________；
(3)请写出正确的求解过程；
(4)除纠正上述错误外，请根据你平时的学习经验，就求解二元一次方程组还需要注意的事项给其他同学提一条建议：_________．
【答案】(1)加减消元法
(2)一，利用等式的基本性质时，左右两边应同时乘以2，但6漏乘2
(3)见解析
(4)解方程时，系数化为1要注意未知数的符号．（合理即可）
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组是关键．
（1）根据①×2得③，再②+③可知运用了加减消元法；
（2）根据等式的性质可知年年在第一步出现错误；
（3）更正错误的步骤并继续完成解题步骤即可得出答案；
（4）根据计算步骤中的变换适当给出建议即可．
【详解】（1）解：根据解方程的步骤，上述使用的是加减消元法．
（2）解：第一步出现错误，利用等式的基本性质时，左右两边应同时乘以2，但6漏乘2．
（3）解：①×2得：，③
②+③得：，
解，得，
将代入①得：，
∴原方程组的解为．
（4）解：解方程时，系数化为1要注意未知数的符号．（合理即可）
8．根据情境信息，探索并完成任务：
我为车间设计招聘方案
素材1 近几年，新能源汽车逐步普及，某新能源汽车制造厂开发一款新式电动汽车，现计划一年生产安装240辆．总部下派熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗也可以独立进行安装．
素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资．
问题解决
任务一：分析数量关系 请你探究求出每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，请你探究计算并确定招聘方案：使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成这一年的安装任务，且每月应付工资总额较低，说明分别需要多少熟练工和新工人？
【答案】任务一：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；任务二：抽调熟练工4名，招聘新工人2名，此方案应付工资较低
【分析】任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据题意列出方程组解答即可求解；
任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意可得，即得，进而求出的值，再算出每种方案每月应付工资，比较即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，
根据题意得，，
解得，
答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车；
任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名，
由题意得，，
整理得，，
∵为正整数，且，
∴或，
∴工厂有种方案：
①抽调熟练工名，招聘新工人名，每月应付工资为元；
②抽调熟练工名，招聘新工人名，每月应付工资为元；
∵，
∴抽调熟练工名，招聘新工人名，此方案应付工资较低．
9．下面是小明求解二元一次方程组的部分过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
解：，得．③……………………第1步，得．……………………………………第2步解，得．…………………………………………第3步……
任务：
(1)小明的解法中，第1步方程变形的依据是___________；
(2)小明的解法中，第2步的目的是消去未知数．请你用消去未知数的方法，求解这个方程组．
【答案】(1)等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式（或等式的基本性质2）
(2)
【分析】本题考查等式的性质，加减法解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据等式的性质求解即可；
（2）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步求解即可．
【详解】（1）解：等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式（或等式的基本性质2）；
故答案为：等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式（或等式的基本性质2）．
（2）解：，得
，得
，
解得，
将代入①，得
，
解得
∴原方程组的解是．
10．小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组
【尝试】
（1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整．
解：设，则原方程组可化为___________，
解关于的方程组，得，
所以，解这个方程组得；
【迁移】
（2）利用上述方法解方程组
【答案】（1），；（2）
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体换元法是解题的关键．
（1）根据换元法和加减消元法可得答案；
（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案．
【详解】解：（1）设，则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解这个方程组，得，
故答案为：，；
（2）设，，则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解这个方程组，得．
故原方程组的解为．
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