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数学试卷 (一)
一、选择题 :本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.复数 的共轭复数为
A. B. C. D.
2.设集合 ，则满足 的不同集合 共有
A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个
3.点 在抛物线 上， 为 的焦点， 轴，过 且与 轴平行的直线
与 的准线交于点 的面积为 2,则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.已知函数 .设甲: ；乙: 是偶函数，则
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲是乙的既不充分也不必要条件
5.设函数 在 单调递增,则 的取值范围是
A. B. C. D.
6.已知非零向量 满足 ，且 ， ，若 与 的夹角为 ，则
与 的夹角为
A. 60° B. 105° C. 135° D. 155°
7平面直角坐标系 中,曲线 与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的
圆在 轴上截得的弦长为
A. B. 4 C. D. 5
8已知实数 满足 ,则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分。
9.如图，在平行六面体 中，底面 是正方形，且 ，
，则
A.
B. 与 所成的角为
C.
D.平行六面体的体积是
10.已知 分别为双曲线 的左、右焦点,过 的直线交 的右支于 两
点,若 ,则
A. B.
C. 的渐近线方程为 D. 的面积为
11.已知函数 ,则
A.当 时, 是 的一个周期
B. 的图象关于直线 对称
C.不存在整数 ,使得 的最大值为 2
D.当 时, 在 上共有 12个零点
三、填空题:本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.函数 在 处的导数 _____.
13.已知等比数列 的各项都为正数,且 ,则 的值
为_____.
14.如图,一个质点在随机外力的作用下,从原点 0出发,每隔 等可能地向左或向右移动一个单
位长度，移动 6次后质点对应的数为 ，则( 1 ) _____，( 2 )在 “ ”的条件下，事
件 “有且仅有一次经过 1 ”的概率是_____.
四、解答题:本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.重庆城市足球超级联赛(简称 “渝超”)引发了广泛关注.某地区随机抽取了部分市民，调查他
们对赛事的关注情况,得到如下表格:
性别 不关注赛事 关注赛事
男性 25 150
女性 50 75
(1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为关注 “渝超”赛事与性别有关？
(2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取 3名市民参加
“渝超”赛事知识问答.已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为 ,每个人是否顺
利完成相互独立.求 3人中顺利完成知识问答的总人数 的分布列及其期望.
附: .
0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
16.如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形，平面 平面 ， .
(1)证明: 平面 ；
(2)若 ， 为 中点， ，点 在平面 上，求直线 与平面
所成角的正弦值的取值范围.
17、设 ,其中 是正整数,记 的展开式中
的系数为 的系数为 .
(1)求数列 的通项公式:
(2)证明: ；
(3)是否存在等比数列 和正数 ，使得 对任意正整数 成立？若
存在,求出通项 和正数 :若不存在,说明理由.
18.已知椭圆 的右焦点为 ，下顶点为 ，离心率 ， 直线
交椭圆于 两点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 平分 ，且 ，垂足为 .
(i)求 的取值范围:
(ii)证明:存在定点 ,使得 为定值.
19.(17分)
已知函数
(1)当 时,求 在 的最小值;
(2)讨论 在区间 零点的个数;
(3)若存在 ,当 时,总有 成立,求符合条件的 的最小值.

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