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第二十一章 四边形 单元测试卷
用时:120分钟总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.(2025·江苏扬州高邮期末)如图,在四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,∠ADE 是四边形ABCD 的一个外角.若∠B=75°,则∠ADE 的度数为( ).
A. 125° B. 105° C. 90° D. 75°
2.(2025·泸州中考)矩形具有而菱形不具有的性质是( ).
A.对角线相等 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角相等
3.(2025·广元中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB=8,对角线AC,BD交于点O,P是AB的中点,连接DP,E 是DP 的中点,连接OE,则OE 的长是( ).
A. 1 B. C. 2 D. 4
4.(2025·宿迁中考)如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,则下列结论错误的是( ).
A. DE∥BC B. ∠B=∠EFC
C. ∠BAF=∠CAF D. OD=OE
5.如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6,AB=5,则AE 的长为( ).
A. 4 B. 8 C. 6 D. 10
6.(2025·石家庄正定三模)如图,EF为△PBC的中位线,过点 P 作PQ⊥EF,垂足为Q,将△PBC分割后拼接成矩形ABCD.若EF=8,PQ=6,则矩形ABCD 的面积是( ).
A. 48 B. 24 C. 72 D. 96
7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD 相交于点O,CE⊥BD,垂足为E,CE=5,且EO=2DE,则AD 的长为( ).
A. 5 B. 6 C. 10 D. 6
8.(2025·山东济南槐荫区期末)如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,连接AC,BD,AC与BD交于点O,若OA=OD=5,AB=6,则四边形ABCD 的面积为( ).
A. 24 B. 36 C. 48 D. 60
9.(2025·安徽马鞍山含山期中)如图, 点 D 在 AB 上,△ACD 是边长为30的等边三角形,过点D 作与CD垂直的射线DP，过射线 DP上一动点G(不与D 重合)作矩形CDGH，记矩形 CDGH 的对角线交点为O，连接OB，则线段 BO 的最小值为( ).
A. 15 B. C. D.
10.(2025·北京密云区期末)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD 交于点O,M 是CD边上的一个动点(不与C，D两点重合)，过点 M 作射线MO交AB 边于点N，作线段 MN 的垂直平分线分别交AD，BC 边于点 P，Q，得到四边形 MPNQ.在点 M 的运动过程中，下列结论正确的是( ).
①存在无数个四边形 MPNQ 是平行四边形；
②存在无数个四边形 MPNQ 是矩形；
③存在无数个四边形 MPNQ 是菱形；
④至少存在一个四边形 MPNQ 是正方形.
A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.(2025·广东清远英德期末)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD 为平行四边形,则需添加一个条件，这个条件可以是 .
12.(2025·江苏宿迁宿城区期末)在平面直角坐标系中,有四个点O(0,0),A(4,0),B(1,3),C(x，3)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x= .
13.(2025·黑龙江中考)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四边形ABCD 为菱形.
14.(2024·湖南长沙第一中学期中)如图，在平行四边形ABCD 中，60°，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，适当的长为半径画弧，交AB 于点M，交AD 于点N；②分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在∠BAD 的内部相交于点E，连接AE 并延长交线段BC 于点 F，由作图的结果可得△ABF 的周长为 .
15.(2025·辽宁中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD 相交于点O,AC=8,BD=12,点 E 在线段OA 上,AE=2,点 F 在线段OC 上,OF=1,连接 BE,G 为BE 的中点,连接 FG,则 FG 的长为 .
16.如图,四边形ABCD 是边长为3的菱形,对角线AC+BD=8,E,F,G,H 分别为边AB,BC,CD,AD 的中点,顺次连接E,F,G,H,则四边形 EFGH 的面积为 .
17.(2025·北京中考)如图,在正方形ABCD中,点 E在边CD上,CF⊥BE,垂足为F.若AB=1,∠EBC=30°,则△ABF 的面积为 .
18如图,在正方形ABCD中,AB=6,E,F,G分别为AD,AB,BC上的点,连接EG,DF,若AE=AF=CG,则2DF+EG的最小值为 .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)(2025·云南中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,O是AC的中点.延长BO至点D,使OD=OB.连接AD,CD.记AB=a,BC=b,△AOB 的周长为l ,△BOC 的周长为l ,四边形ABCD 的周长为l .
(1)求证:四边形 ABCD 是矩形;
(2)若 求AC 的长.
20.(8分)(2025·浙江中考)[问题背景]如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD 上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点 E 在对角线BD 上.
[数学理解](1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE 的证明过程；
(2)若裁剪过程中满足 DE=DA,求“机翼角”∠BAE 的度数.
21.(8分)(2025·山东德州庆云期末)如图,已知E 是 中边BC的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点 F,连接AC,BF,AF=BC.
(1)求证:四边形 ABFC 为矩形;
(2)若 是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC 的面积.
22.(8分)(2025·青岛二模)如图,AD 是 的中线，过点 D 作AB 的平行线交AC 于点E，O是AD的中点,连接EO 并延长,交AB 于点F,连接DF.
(1)求证:OE=OF.
(2)当 满足什么条件时，四边形 AEDF 为菱形 写出你的猜想并证明.
23.(8分)(2025·山东淄博期末)如图,在 中，AB=AC,,D,E分别是AB,BC的中点, EF//DB.
(1)求证:四边形 BDEF 是菱形;
(2)连接DF,若 求 DF 的长.
24.(8分)(2025·广东湛江麻章区期末)如图，在正方形 ABCD 中， E是对角线AC上的一点,连接DE,过点E作EF⊥ED,交AB 于点F,以DE,EF 为邻边作矩形DEFG,连接AG.
(1)求证:矩形 DEFG 是正方形;
(2)求AG+AE 的值;
(3)若 F 恰为AB 的中点,求正方形 DEFG 的面积.
25.(10分)在正方形ABCD 和正方形DEFG中,顶点 B,D,F在同一条直线上,H是BF 的中点.
(1)如图(1)所示,若AB=1,DG=2,求BH 的长;
(2)如图(2)所示,连接AH,GH,求证:AH=GH,AH⊥GH.
26.(12分) (2025·德阳中考)在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园ABCD 进行测量规划使用，如图，点E，F处是它的两个门，且 DE=CF,，要修建两条直路AF，BE，AF 与BE 相交于点O(两个门 E，F的大小忽略不计).
(1)请问这两条路是否等长 它们有什么位置关系 说明理由.
(2)同学们测得AD=4米，AE=3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形OBCF 地上再修一条2.5米长的直路，这条直路的一端在门 F 处，另一端 P 在已经修建好的路段OB 或花园的边界BC上，并且另一端P 与点B 处的距离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路 若能，能修建几条 并说明理由.
1. D [解析]∵∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°,∠A+∠C=180°,∠B=75°,∴∠ADC=360°-180°-75°=105°.
∵∠ADE+∠ADC=180°,
∴∠ADE=180°-105°=75°.故选 D.
2. A
3. C [解析]∵四边形ABCD 是平行四边形,对角线AC,BD交于点O,∴BO=DO.
∵AB=8,P 是AB 的中点,
∵O是DB 的中点,E 是DP 的中点,
故选 C.
4. C [解析]∵D,E,F 分别是边AB,AC,BC的中点,
∴DF,EF,DE 为△ABC 的中位线,
∴DE∥BC,DF∥AC,EF∥AB,
∴∠B=∠EFC,四边形 ADFE 是平行四边形,
∴OD=OE,故A,B,D正确,不符合题意;
∵AB≠AC,F 是边BC 的中点,∴∠BAF≠∠CAF,故C错误，符合题意.故选C.
5. B
6. D [解析]∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠A=90°.
∵EF 为△PBC 的中位线,∴EP=EB,BC=2EF=16.
∵PQ⊥AD,∴∠PQE=∠A=90°.
∵∠AEB=∠QEP,∴△AEB≌△QEP(AAS),
∴AB=PQ=6,∴矩形 ABCD 的面积=16×6=96.
故选 D.
7. A [解析]∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠ADC=90°,BD
∵EO=2DE,∴设DE=x,则OE=2x,
∴OC=OD=3x,∴AC=6x.
∵CE⊥BD,∴∠DEC=∠OEC=90°.在 Rt△OCE 中,
(负值已舍去)，
∴在Rt△DCE 中,
∴在Rt△ACD中, 故选 A.
8. C [解析]∵AB=CD,AD=BC,∴四边形 ABCD 是平行四边形,∴OA=OC,OD=OB.
∵OA=OD=5,∴AC=2OA=10,BD=2OD=10,
∴AC=BD,∴四边形 ABCD 是矩形,∴∠ABC=90°.
∴S四边形ABCD=BC·CD=8×6=48.故选 C.
9. B [解析]如图,连接AO.
∵四边形 CDGH 是矩形,对角线CG,DH 的交点为O,
∴CO=DO,∴点O 在CD 的垂直平分线上.
∵△ACD 是等边三角形，
∴AC=AD,∠CAD=60°,∴AO 垂直平分CD,
∴AO平分∠CAD,∴∠OAD= ∠CAD=30°,
∴当 BO⊥AO 时,BO 的值最小,此时∠AOB=90°.
∵∠OAB=30°,AB=40
故选 B.
10. C[解析]由题意，画出图形如图.
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB∥CD,AD∥BC,OA=OC,OB=OD,
∴∠OAN=∠OCM,∠OBQ=∠ODP.
在△OAN 和△OCM中,
∴△OAN≌△OCM(ASA),∴ON=OM.
∵PQ 是线段MN 的垂直平分线,
∴PQ 必经过MN 的中点O.
∵∠BOQ=∠DOP,∴△OBQ≌△ODP(ASA),
∴OP=OQ,
∴四边形 MPNQ 的对角线MN,PQ 互相平分,
∴四边形 MPNQ 是平行四边形.
又 PQ 是线段MN 的垂直平分线,∴PQ⊥MN,
∴平行四边形 MPNQ 是菱形.
∵M是CD 边上的一个动点(不与C，D两点重合)，
∴存在无数个四边形 MPNQ 是平行四边形，则结论①正确；存在无数个四边形 MPNQ 是菱形，则结论③正确；若菱形ABCD 是正方形(正方形是特殊的菱形，在此只证明存在性),则 OA=OB,∠OBN=∠OAP=45°,AC⊥BD,
∴∠BON+∠AON=90°.
∵PQ⊥MN,∴∠AOP+∠AON=90°,
∴∠AOP=∠BON,∴△AOP≌△BON(ASA),
∴OP=ON.
∵ON=OM,OP=OQ,∴OP=ON=OM=OQ,
∴PQ=MN,∵当菱形ABCD 是正方形时,菱形 MPNQ是正方形.
∵M是CD 边上的一个动点(不与C，D两点重合)，∴至少存在一个四边形 MPNQ 是正方形，则结论④正确；不存在无数个四边形 MPNQ 是矩形，则结论②错误.综上所述，结论正确的是①③④.故选 C.
11. AB=CD(或AD∥BC)
12.-3或5 [解析]∵B(1,3),C(x,3),∴BC∥x轴.
∵以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,O(0,0),A(4,0),∴BC=OA=4.
①当点C在点B左侧时,如图(1),则x=1-4=-3;
②当点C在点B右侧时,如图(2),则x=1+4=5.
综上所述，x=-3或5.
[解析]∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=6,BC∥AD,∴∠BFA=∠FAD.
根据作图可得AF 平分∠BAD，
∴∠BAF=∠BFA=30°,∴BA=BF.
如图,过点 B 作BH⊥AF 于点 H,
∴AF=2AH=6 ,∴△ABF 的周长为AB+BF+AF=
[解析]在菱形ABCD 中,对角线AC 与 BD 相交于点O,AC=8,BD=12,
∵AE=2,∴OE=OA-AE=4-2=2.
如图,取OE 的中点 H,连接GH,则
∵G为BE 的中点,H 为OE 的中点,
∴GH 是三角形 EBO 的中位线,
∵OF=1,∴HF=OH+OF=1+1=2.
在直角三角形GFH 中，由勾股定理得
16.3.5 [解析]设菱形ABCD 的对角线的交点为O,
即
∴AC·BD=14.
∵E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点,
EF//AC∥HG,∴四边形 EFGH 为平行四边形.
∵AC⊥BD,∴EF⊥EH,∴四边形EFGH为矩形,
∴四边形 EFGH 的面积为
17. [解析]如图,过点F 分别作FM⊥BC,FN⊥AB,垂足为M,N,连接AM,则∠FMC=90°,>通过作垂线构造面积相等的两个三角形，从而实现面积的转换
∵四边形 ABCD 为正方形,
∴∠ABC=90°,
∴∠ABC=∠FMC,
∴AB∥FM,∴FN=BM.
∴S△ABF=S△ABM.∵CF⊥BE,BC=AB=1,∠EBC=30°,
∴∠CFM=90°-∠BCF=30°,
[解析]如图,延长 BA 到点 H,使 HA=BA,延长CD到点I,使 ID=CD,延长DC 到点J,使JC=CD,连接HJ,HI,HE,GJ.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB = CD = AD = 6,∠HAD =∠ADI=∠BCJ=90°,AB//CD,
∴HA=AB=CD=ID,HA∥ID,
∴四边形 HADI 是平行四边形.
∵∠ADI=90°,∴平行四边形 HADI是矩形.
∵HA=BA=AD=CD=DI,
∴矩形 HADI 是正方形,
∴HA=HI=ID=CJ=AD=6.
∵AE=AF=CG,∠HAE=∠DAF=∠GCJ=90°,HA=DA=JC,∴△HAE≌△DAF(SAS),△HAE≌△JCG(SAS),∴DF=HE=JG,即2DF=HE+JG,
∴2DF+EG=HE+JG+EG≥HJ,
∴2DF+EG 的最小值为 HJ 的长度.
在Rt△HJI中,IJ=ID+DC+CJ=6+6+6=18,
19.(1)∵O是AC的中点,∴OA=OC.
∵OB=OD,∴四边形ABCD 是平行四边形.
∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD 是矩形.
(2)∵记AB=a,BC=b,△AOB 的周长为l ,△BOC 的周长为l ,四边形ABCD 的周长为l ,
+b)=28,∴b+a=14.
联立 解得{a=6,∴AB=6,BC=8,
20.(1)∵四边形ABCD 是正方形,
∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=45°.
又 BE=BE,∴△ABE≌△CBE(SAS).
(2)∵四边形ABCD 是正方形,
∴∠BAD=90°,∠ADB=45°.
∵DE=DA,∴∠DAE=∠DEA.
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°,
∴∠DAE=∠DEA=67.5°,
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°.
21.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠BAE=∠CFE.
∵E 是□ABCD中BC边的中点,∴BE=CE.
在△ABE 和△FCE 中,
∴△ABE≌△FCE(AAS),∴AB=FC.
∵AB∥FC,∴四边形ABFC是平行四边形.
∵AF=BC,∴平行四边形 ABFC 为矩形.
(2)由(1),得四边形ABFC 为矩形,∴∠ACF=90°.
∵△AFD 是等边三角形,.
∴四边形 ABFC 的面积=
22.(1)∵DE∥AB,∴∠ADE=∠DAF.
∵O是AD的中点,∴AO=DO.
在△AOF 与△DOE 中:
∴△AOF≌△DOE(ASA),∴OE=OF.
(2)当AB=AC时,四边形AEDF 为菱形.证明如下:
∵AO=DO,OE=OF,∴四边形AEDF 是平行四边形.
∵AB=AC,AD 是△ABC 的中线,∴∠BAD=∠CAD.
∵AB∥DE,∴∠FAD=∠ADE,∴∠DAE=∠ADE,
∴AE=DE,∴四边形AEDF 为菱形.
23.(1)∵BF∥DE,EF∥DB,∴四边形 BDEF 是平行四边形.∵D是AB 的中点,E 是BC 的中点,
∴四边形 BDEF 是菱形.
(2)如图,连接DF 交BC 于点 M.
∵四边形 BDEF 是菱形,BE=4,
∵D,E 分别是AB,BC 的中点,
24.(1)如图(1),作 EM⊥AD 于点M,EN⊥AB 于点 N.
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠EAD=∠EAB.
∵EM⊥AD 于点M,EN⊥AB 于点N,∴EM=EN.
∵∠EMA=∠ENA=∠DAB=90°,
∴四边形 ANEM 是矩形.
∵EF⊥DE,
∴∠MEN=∠DEF=90°,∴∠DEM=∠FEN.
∵∠EMD=∠ENF=90°,
∴△EMD≌△ENF(ASA),∴ED=EF.
∵四边形 DEFG 是矩形,∴四边形 DEFG 是正方形.
(2)∵四边形 DEFG 是正方形,四边形ABCD 是正方形,∴DG=DE,DC=DA=AB=3,∠GDE=∠ADC=90°,∴∠ADG=∠CDE,∴△ADG≌△CDE(SAS),
∴AG=CE,∴AE+AG=AE+EC=AC==6.
(3)如图(2),连接DF.
∵四边形ABCD 是正方形,
∴AB=AD=3 ,AB∥CD.
∵F是AB 中点,
∴正方形 DEFG 的面积
25.(1)∵四边形ABCD 和DEFG 是正方形,
∴△ABD,△GDF 为等腰直角三角形.
∵AB=1,DG=2,
∴由勾股定理求得
∵B,D,F 三点共线,∴BF=3
∵H 是BF 的中点,
(2)如图所示,延长AH,交 EF 于点M,连接AG,GM.
∵四边形 ABCD 和DEFG 是正方形,且 B,D,F 三点共线,∴AB∥EF,∴∠ABH=∠MFH.
在△ABH 和△MFH 中, ∴△ABH≌△MFH(ASA),∴AH=MH,AB=MF.
∵AB=AD,∴AD=MF.
在△ADG和△MFG中, ∴△ADG≌△MFG(SAS),∴∠AGD=∠MGF, AG=MG.又∠DGM+∠MGF = 90°,∴∠AGD+∠DGM=90°.
∴△AGM 为等腰直角三角形.
∵AH=MH,∴AH=GH,AH⊥GH.
26.(1)这两条路等长，它们的位置关系是互相垂直.理由如下：
∵四边形ABCD 是正方形，
∴BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°.
∵DE=CF,∴AD-DE=CD-CF,∴AE=DF.
在△BAE 和△ADF 中,
∴△BAE≌△ADF,∴BE=AF,∠ABE=∠DAF.
∵∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°,
∴∠BAO+∠ABE=90°,
在△AOB 中,∠AOB=180°-(∠BAO+∠ABE)=90°,∴AF⊥BE,∴道路AF 与BE 等长,且它们相互垂直.
(2)能，能建成一条这样的直路.理由如下：
∵AD=AB=CD=4米,AE=3米,∴DE=CF=1米.
在 Rt△ABE 中,由勾股定理,得 (米),
由(1)得AF=BE=5米,AF⊥BE,
由三角形的面积公式得 AE,
∴OA=AB·AE=3×4=5=2.4(米),∴OF=AF-OA=5-2.4=2.6(米).
根据“垂线段最短”得点 F 到路段 OB 的最短距离为2.6米，∴路段OB 上不存在点 P，使点 P 到点 F 的距离等于2.5米,∴点 P 不在路段OB 上.
当点 P 在边界BC上时,在 Rt△PCF 中,由勾股定理,得 (米),
米.
∴此时点 P 符合题意，即能建成一条这样的直路.

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