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第二十一章 四边形 提优测评卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1. (2025·河南洛阳伊川期末)如图,在七边形ABCDEFG 中,AB,ED 的延长线交于点O,若∠1,∠2,∠3,∠4的邻补角的和等于215°,则∠BOD 的度数为( ).
A. 20° B. 35° C. 40° D. 45°
2.(2025·河北张家口万全区期末)下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是( ).
3. (2025·石家庄模拟)现有一张平行四边形ABCD 纸片，AD>AB，要求用尺规作图的方法在边 BC，AD 上分别找点M，N，使得四边形 AMCN 为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是( ).
A.甲对、乙不对 B.甲不对、乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对
4.(2025·北京西城区期中)如图,在 ABCD 中,AC 交 BD 于点O,经过点 O 的直线分别交直线AB,CD,AD,BC于点E,F,M,N,下列结论错误的是( ).
A. AM=CF B. ∠E=∠F C. DM=BN D. EM=FN
5.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,分别以 AB,AC 为边向外作正方形ABDE 和AFGC.若想要求出△ACD 的面积，则只需知道以下哪个图形的面积( ).
A. △ABC B. △ABG C. 正方形ABDE D. 四边形 AFGB
6.如图,D 是△ABC 内一点,BD⊥CD,AD=7,BD=4,CD=3,E,F,G,H 分别是AB,BD,CD,AC的中点，则四边形EFGH 的周长为( ).
A. 12 B. 14 C. 24 D. 21
7.如图,AC,BD 是四边形 ABCD 的对角线,E,F 分别是AD,BC 的中点,M,N 分别是AC,BD 的中点,连接EM,MF,FN,NE,要使四边形 EMFN为正方形,则需添加的条件是( ).
A. AB=CD,AB⊥CD B. AB=CD,AD=BC
C. AB=CD,AC⊥BD D. AB=CD,AD∥BC
8.(2025·邯郸一模)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P 是对角线BD上的动点(不含端点),连接PC,E 是PC的中点,作 PF⊥AB 于点F,PG⊥AD 于点G,连接 FG.对于下列两个结论:
①当BP=2时,点 E在∠BDC 的平分线上;
②线段 FG 的长的最小值为 .下列判断正确的是( ).
A. ①②都对 B. ①②都错 C. ①错,②对 D. ①对,②错
9.如图,Rt△ABC≌Rt△CDE,∠ABC=∠CDE=90°,C在线段BD上,F是AE的中点,连接BF,DF,若AB=1,DE=2,则BF 的长是( ).
A. B. C. D.
10.如图,E为正方形ABCD的边BC上的一点,且AB=12,BE=4,M,N分别为边CD,AB 上的动点,且始终保持MN⊥AE,则AM+NE 的最小值为( ).
A. 8 B. C. D. 12
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.(2025·上海期中)如图，3×3的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 个.
12.(2025·青海中考)如图,在菱形ABCD中,BD=6,E,F分别为AB,BC的中点,且EF=2,则菱形ABCD 的面积为 .
13.(2025·新疆中考)如图,在 ABCD中,∠BCD的平分线交AB 于点E,若AD=2,则BE= .
14.(2025·凉山州中考)如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC,BD 相交于点O,E 是边CD 的中点,过点E作EF⊥BD 于点F,EG⊥AC 于点G,若AC=12,BD=16,则 FG的长为 .
15.如图,在平行四边形 ABCD中,AB=6cm,AD=10cm,点 P 在边AD 上以每秒1cm的速度从点A 向点 D 运动，点Q 在边 BC 上以每秒4cm的速度从点C 出发，在CB 间往返运动，两个点同时出发，当点 P 到达点D 时停止运动，同时点Q 也停止运动.设运动时间为 ts，开始运动以后，当t为 s时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形.
16.如图,已知菱形 ABCD 的边长为6,M是对角线AC上的动点,且∠ABC=120°,则MA+MB+MD的最小值是 .
17.(2025·北京海淀区期中)在 ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,E 是边BC上的一个动点(不与点C，B重合)，连接EO并延长，交AD 于点F，连接BF，DE，有下列四个结论：
①对于动点 E，四边形 BEDF 始终是平行四边形；
②若∠ABC>90°,则一定存在一个点 E,使得四边形 BEDF 是矩形;
③若AB>AD,则至少存在一个点 E,使得四边形 BEDF 是菱形;
④若∠BDA=45°,则一定存在一个点 E,使得四边形 BEDF 是正方形.
以上所有正确说法的序号是 .
18.(2025·济宁泗水一模)如图，已知 P 是线段AB 上的动点(点 P 不与点A，B重合)，AB=6，分别以AP，PB 为边在线段AB 的同侧作等边三角形AEP 和等边三角形PFB，连接EF，设EF的中点为G，连接PG，当动点 P 从点A 运动到点B 时，则 PG 的最小值是 .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)(2025·山东临沂莒南期末)如图,在四边形ABCD中,E是AB 的中点,DB,CE 交于点F,DF=FB,AF∥DC.
(1)求证：四边形 AFCD 为平行四边形；
(2)若∠EFB=90°,AB=6,EF=1,求 BC 的长.
20.(6分)如图,在 ABCD中,DF 是∠ADC 的平分线,EF∥AD,交DC于点E.
(1)求证:四边形 AFED 是菱形;
(2)如果∠A=60°,AD=5,求菱形AFED 的面积.
21.(8分)如图,点 E 在 内部，
(1)求证:
(2)设 的面积为S，四边形AEDF 的面积为T，求 的值.
22.(8分)(2025·浙江台州椒江区期中)如图,在平行四边形ABCD 中,G 是CD 的中点,E是边AD上的动点(不与点A，D重合)，EG 的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE，DF.
(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形；
(2)填空:若 则当 时,四边形 CEDF 是菱形.
23.(8分)(2025·山东威海乳山期末)如图,四边形ABCD 和BGEF 均为菱形,G为AB 的中点,点F 在CB的延长线上,连接DE,P 为DE 的中点,连接BP.若 求BP 的长.
24.(8分)(2024·天津河东区期中)如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=16,点 P 从点 D出发向点A 运动，运动到点A 停止，同时，点Q 从点B 出发向点C 运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是每秒1个单位长度，连接PQ，AQ，CP.设点 P，Q运动的时间为t秒.
(1)当 t为何值时，四边形ABQP 是矩形
(2)当t=6时，判断四边形AQCP 的形状，并说明理由.
(3)整个运动当中，线段 PQ 扫过的面积是多少
25.(10分)(2025·河南洛阳偃师区期末)如图,在 中，D是边BC 的中点，F，E分别是AD 及其延长线上的点， 连接BF,CE.
(1)求证：四边形 BECF 是平行四边形.
(2)填空:
①若AB=5,，则AC 的长为 时，四边形 BECF 是菱形；
②若AB=5,BC=6且四边形 BECF 是正方形，则AE 的长为 .
26.(12分)(2025·河北唐山路南区期末)如图,已知四边形 ABCD 为正方形,点 E 在AD 上, 点A 与点 P 关于BE 对称,连接CP,AP.
(1)求证:PA=PC;
(2)求 的度数；
(3)若CD=2,求
1. B [解析]∵∠1,∠2,∠3,∠4的邻补角的和为215°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=505°.
∵五边形OAGFE 的内角和为( 即∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°,
.故选 B.
2. C
3. C [解析]甲:由作图可知,BM=BA,DN=DC.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∴BM=DN,
∴CM=AN,CM∥AN,∴四边形ANCM 是平行四边形.
乙:由作图可知,AM平分∠BAD,CN平分∠BCD,
∴∠BAM=∠DAM,∠BCN=∠DCN.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC,AB=DC,AD∥BC,
∴∠DAM=∠BMA,∠DNC=∠BCN.
∴∠BAM=∠BMA,∠DNC=∠DCN,
∴AB=BM,CD=DN,∴BM=DN,
∴AN=CM,AN∥CM,
∴四边形ANCM 是平行四边形.故选 C.
4. A [解析]∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,OA=OC,OB=OD,AD=BC,∴∠E=∠F.
在△BOE 和△DOF 中,
∴△BOE≌△DOF(AAS),∴OE=OF,
同理可证△AOM≌△CON(AAS),
∴AM=CN,OM=ON,∴EM=NF,DM=BN.
故选项 B,C,D正确.故选 A.
5. B [解析]如图,过点 D 作DH⊥BC 交CB 的延长线于点H,
∴∠ACB=∠ABD=∠BHD=90°,
∴∠CAB+∠ABC=∠ABC+∠DBH=90°,
∴∠CAB=∠DBH.
∵四边形ABDE 是正方形，
∴AB=BD.
在△ACB 与△BHD 中
∴△ACB≌△BHD(AAS),∴BC=DH,AC=BH.
设AC=b,BC=a,则DH=a,BH=b,
∴△ACD 的面积=四边形ACHD 的面积-△CHD 的面积 的面积.故选 B.
6. A [解析]∵BD⊥CD,BD=4,CD=3,
∵E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,
∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC.
又AD=7,BC=5,∴四边形 EFGH 的周长为 7+5=12.故选 A.
7. A [解析]∵E,F 分别是AD,BC 的中点,M,N分别是AC,BD 的中点,∴EN,NF,FM,ME 分别是△ABD,△BCD,△ABC,△ACD 的中位线,
∴EN∥AB∥FM,ME∥CD∥NF,.EN= AB=FM,ME ∴四边形 EMFN 为平行四边形.
当AB=CD时,EN=FM=ME=NF,
∴平行四边形 EMFN 是菱形；
当AB⊥CD时,EN⊥ME,则
∴菱形 EMFN 是正方形.故选 A.
8. D [解析]如图,连接AP,DE.
∵CD=AB=3,BC=4,
∵BP=2,∴DP=3,
∴DP=CD=3.
∵E是PC的中点,
∴点E 在∠BDC 的平分线上,故①正确；
∵PF⊥AB,PG⊥AD,∠BAD=90°,
∴四边形AFPG 是矩形,∴AP=FG,
∴当AP⊥BD时,AP 有最小值,即为 FG 的最小值.
∴FGI的最小值为 ，故②错误.故选D.
9. D [解析]如图,延长BF,DE 交于点G.
∵∠ABC=∠CDE=90°,
∴AB∥DE,∴∠ABF=∠G.
∵AF=EF,∠AFB=∠EFG,
∴△AFB≌△EFG(AAS),
∴BF=FG,EG=AB=1,
∴DG=DE+EG=2+1=3.
∵Rt△ABC≌Rt△CDE,
∴CD=AB=1,BC=DE=2,
∴BD=BC+CD=2+1=3,
10. C [解析]过点 D 作DH∥MN,交AB 于点H,过点E作EG∥MN,过点 M 作MG∥NE,直线 EG,MG 交于点G,连接AG，如图所示.
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB∥CD,∠B=∠BAD=90°.
∵AB=12,BE=4,∴AE=
∵DH∥MN,AB∥CD,
∴四边形 DHNM 是平行四边形,∴DH=MN.
∵MN⊥AE,DH∥MN,EG∥MN,
∴DH⊥AE,AE⊥EG,
∴∠BAE+∠AHD=90°=∠AHD+∠ADH,∠AEG=90°,∴∠BAE=∠ADH.
在△ABE 和△DAH 中,
∴△ABE≌△DAH(ASA),∴DH=AE=4
∴MN=DH=AE=4
∵EG∥MN,MG∥NE,∴四边形 NEGM 是平行四边形,
∴NE=MG,EG=MN=4
∴AM+NE=AM+MG≥AG,
∴当A,M,G三点共线时,AM+NE 的最小值为AG.
又
∴AM+NE 的最小值为8.故选 C.
11.5 [解析]在直线AB 的右下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，如图所示.
12.12 [解析]∵E,F 分别为AB,BC 的中点,∴EF 是△ABC 的中位线,∴AC=2EF=2×2=4,
∴菱形ABCD 的面积
13.2 [解析]∵四边形ABCD 是平行四边形,且AD=2,
∴BC=AD=2,AB∥CD,∴∠DCE=∠BEC.
∵CE 平分∠BCD,∴∠BCE=∠DCE,
∴∠BCE=∠BEC,∴BE=BC=2.
14.5 [解析]连接OE.
∵四边形ABCD 是菱形,且AC=12,BD=16,
在 Rt△COD 中,由勾股定理,得 =10.
∵E 是边CD 的中点,
∴OE 是Rt△OCD 斜边上的中线,
∵EF⊥BD,EG⊥AC,∴∠OGE=∠OFE=∠COD=90°,
∴四边形 OGEF 是矩形,∴FG=OE=5.
15.4或 或8 [解析]∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴BC=AD=10cm,AD∥BC,即 PD∥BQ.
若PD=BQ,则以 P,D,Q,B 为顶点的四边形是平行四边形.易得点 P 到点 D 的时间为t=10÷1=10(s),点 Q到点B 的时间为t=10÷4=2.5(s).
根据题意，分四种情况：
①当0∴10-4t=10-t,解得t=0,不符合题意,舍去;
②当2.5③当5④当7.5综上所述，当t为4或 或8时,以P,D,Q,B 为顶点的四边形是平行四边形.
16.6 [解析]如图,过点 M 作 ME⊥AB 于点 E,连接 BD.
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AD∥BC,AD=AB.
∵∠ABC=120°,
∴∠DAB=60°,
∴△ABD 为等边三角形.
∴∠MAE=30°,
∴AM=2ME.
∵AC 垂直平分BD,∴MD=MB,
∴MA+MB+MD=2ME+2MD≥2DE.
根据垂线段最短可知,D,M,E 三点共线时,MA+MB+MD 的值最小.
∵菱形的边长为6,∴AD=6,AE=3,
∴MA+MB+MD 的最小值为 6
17.①② [解析]①如图(1).
∵四边形 ABCD 为平行四边形，对角线 AC 与 BD 交于点O,∴CB∥DA,BC=DA,OA=OC,OB=OD,
∴∠OCE=∠OAF.
∵∠COE=∠AOF,∴△COE≌△AOF(ASA),
∴CE=AF,∴BE=DF.
又BE∥DF,∴四边形 BEDF 为平行四边形,即点 E 在BC上任意位置(不与点 C，B重合)时，四边形 BEDF 恒为平行四边形，故结论①正确；
②如图(2).当∠ABC>90°时,存在点 E,使 DE⊥BE,此时四边形 BEDF 是矩形，故结论②正确；
③如图(3).
当EF⊥BD时,四边形 BEDF 为菱形,此时点 E 不在边 BC上，故结论③错误；
④如图(4).当∠BDA=45°时,
如果∠ABC<90°,就不存在点 E 在边 BC 上,使得四边形BEDF 为正方形，故结论④错误.
综上所述，正确的结论有①②.
[解析]如图，分别延长AE，BF交于点H。
有两个角是60°想到延长构造等边三角形
∵∠A=∠FPB=60°,∴AH∥PF.
∵∠B=∠EPA=60°,∴BH∥PE,
∴四边形 EPFH 为平行四边形，∴EF 与HP 互相平分.
∵G为EF的中点，∴G正好为PH 的中点，即在点 P 的运动过程中，G始终为PH 的中点，∴点G 的运行轨迹为△HAB 的中位线MN,∴MN∥AB.
∵当点 P 在AB 的中点处时,PH⊥AB,∴当点 P 在AB的中点处时，PG的值最小.
∵△AEP 和△PFB 是等边三角形,
∴∠A=∠B=60°,∴△AHB 是等边三角形,
∴AH=AB=6,∴当点 P 在AB 的中点处时,PH=3
∴PG 的最小值是
基础引导 分别延长AE，BF 交于点 H，易证四边形EPFH 为平行四边形，得出G 为 PH 的中点，则点 G 的运行轨迹为△HAB 的中位线MN，得出 MN∥AB，从而求得PG 大于或等于 MN 与 AB 间垂线段的长，进而可以解决问题.
19.(1)∵E 是AB 的中点,DF=FB,即F是DB 的中点,
∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD,∴CF∥AD.
∵AF∥CD,∴四边形 AFCD 是平行四边形.
(2)∵EF 是△ABD 的中位线,∴AD=2EF=2.
∵四边形 AFCD 是平行四边形,∴CF=AD=2.
∴在 Rt△EFB 中,由勾股定理,得 在 Rt△BCF 中,由勾股定理,得 的长是2
20.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴DE∥AF,
∴∠EDF=∠AFD.
∵EF∥AD,∴四边形 AFED 是平行四边形.
∵DF 是∠ADC 的平分线,∴∠ADF=∠EDF,
∴∠AFD=∠ADF,∴AD=AF,
∴四边形 AFED 是菱形.
(2)∵∠A=60°,AD=5,且由(1)知,AD=AF,
∴△AFD 为等边三角形,∴DF=5.
连接AE 与DF 相交于点O.
由(1)知,四边形 AFED 是菱形,
21.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵AF∥BE,∴∠EBA +∠BAF =180°,∴∠CBE +∠EBA+∠BAD=∠EBA+∠BAD+∠DAF,
∴∠CBE=∠DAF.同理可得∠BCE=∠ADF.
在△BCE 和△ADF 中, ∴△BCE≌△ADF(ASA).
(2)∵点 E 在 ABCD 内部,
由(1)知,△BCE≌△ADF,∴S△BCE=S△ADF,
∵□ABCD 的面积为S,四边形AEDF 的面积为
22.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BC∥AD,∴CF∥ED,∴∠FCD=∠EDG.
∵G 是CD 的中点,∴CG=DG.
在△FCG 和△EDG 中,
∴△FCG≌△EDG(ASA),∴FG=EG.
∵CG=DG,∴四边形 CEDF 是平行四边形.
(2)2 [解析]∵四边形 CEDF 是菱形,∴CE=DE.
∵∠CDE=∠B=60°,∴△CDE 是等边三角形,
∴DE=CD=AB=3,∴AE=AD-DE=2.
23.如图,连接BD,BE,过点 C 作CO⊥BD 于点O.
∵四边形ABCD 和BGEF 均为菱形,
90°.∵∠BCD=120°,∴∠CBD=∠CDB=30°,
∴在 Rt△BOC 中,
∵CO⊥BD,∴BD=2BO=2
同理可得
∵P 为 DE 的中点,
24.(1)∵在矩形ABCD 中,AB=8,BC=16,∴AD=BC=16,CD=AB=8.
由题意,可得BQ=DP=t,∴AP=CQ=16-t.
在矩形ABCD 中,∠B=90°,AD∥BC,
∵当 BQ=AP 时,四边形 ABQP 为矩形,
∴t=16-t,解得t=8,
∴当t=8时,四边形 ABQP 是矩形.
(2)四边形 AQCP 是菱形.理由如下:当t=6时,BQ=DP=6,AP=CQ=10.
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠B=90°,AD∥BC,即 AP∥CQ,
∴四边形 AQCP 是平行四边形.
在 Rt△ABQ 中,由勾股定理,得 ∴AP=AQ,∴四边形 AQCP 为菱形.
(3)如图,连接AC,BD,AC 与BD 相交于点E,则整个运动当中，线段 PQ 扫过的面积是△AED 的面积+△BEC的面积.
∴整个运动当中，线段 PQ 扫过的面积 16=64.
25.(1)∵CF∥BE,∴∠DCF=∠DBE,∠DFC=∠DEB.
∵D 是边 BC 的中点,
∴CD=BD.
在△DFC 和△DEB 中,
∴△DFC≌△DEB(AAS),∴CF=BE.
又CF∥BE,∴四边形 BECF 是平行四边形.
(2)①5
②7 [解析]∵BC=6,D 是BC边的中点,
∵四边形 BECF 是正方形,
∴EF⊥BC,DF=DE=BD=CD=3,
∴△ABD 是直角三角形.
在 Rt△ABD 中,由勾股定理,得
26.(1)如图,连接BP,
有对称点就有垂直平分线，也就需要连接线段垂直平分线上的点与线段的两个端点
∵四边形ABCD 是正方形,
∴AB=CB=CD,∠ABC=90°.
∵点 A 与点 P 关于 BE 对称,∠ABE=22.5°,
∴AB= PB,∠PBE = ∠ABE=22.5°,
∴∠ABP = ∠PBE + ∠ABE=45°,
∴∠CBP=∠ABC-∠ABP=90°-45°=45°,
∴∠ABP=∠CBP=45°.
在△ABP 和△CBP 中,
∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC.
(2)∵AB=CB,AB=PB,∴CB=PB,
∴△BPC 是等腰三角形,∴∠BCP=∠BPC.
∵∠BCP+∠BPC+∠CBP=180°,∠CBP=45°,
∴2∠BCP+45°=180°,∴∠BCP=67.5°.
(3)如图,过点 P 作PH⊥BC 于点 H.
∵CD=2,∴PB=BC=2.
∵PH⊥BC,∠CBP=45°,
∴△BHP 是等腰直角三角形,∴PH=BH.
由勾股定理，得

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