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北师大版2025—2026学年八年级下册期中模拟核心考点突破卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若，且，则的值可能是（　　）
A．0 B．1 C． D．
2．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，在△ABC中，∠APC=114°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N.若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠ABC的度数为（　　）
A．48° B．52° C．62° D．66°
4．如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，将三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF，已知EF=8，BE=3，CG=3，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．12.5 B．19.5 C．32 D．45.5
5．如图，在中，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　）
A．，， B．
C． D．
7．如图，点是等边内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．下图是求作线段中点的作图痕迹，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．在浙江金华地区，清明期间人们有做清明颗的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏。在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加等原因，会使得质量增加10%，现有糯米x斤，若做成清明粿质量超过20斤，则可列出不等式（　　）
A． B．
C． D．
10．如图， 的外角 ， 的平分线 ， 相交于点P， 于E， 于F，下列结论：（1） ；（2）点P在 的平分线上；（3） ；（4）若 ，则 ，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，等腰三角形ABC中，，点在边AC上运动（可与点A，C重合将线段BP绕点逆时针旋转，得到线段DP，连结BD，则BD长的最小值为　 　.
12．如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC等于　 　．
13．如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为　 　．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是　 　．
15．如图，已知长方形纸片，点E在边上，点F、G在边上，连接、．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕，若点G在点F的右侧，且．则的度数为　 　．
16．如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠AFC，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°—∠ABD；④∠BDC= ∠BAC，其中正确的结论有　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）解方程组
（2）解不等式组
18．用一条长为35cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果底边长是腰长的一半，求腰长；
（2）能围成有一边长为11cm的等腰三角形吗 如果能，请求出它的底边长.
19．如图，，平分交于，．
（1）与平行吗？为什么？
（2）若，求的度数．
20．如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，且 CE⊥BD于点F，将△DEC沿从D到A的方向平移，使点D与点A重合，点E平移后的点记为G．
（1）画出△DEC平移后的三角形；
（2）若BC=，BD=6，CE=3，求AG的长．
21． 为鼓励学生加强强身健体，某校计划购买一批篮球和排球，根据学校实际，决定共购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元．
（1）求篮球和排球的单价；
（2）据不完全统计，每个学年篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍，若学期末这批篮球和排球最少剩下43个，求排球的最大损耗率．
22．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C，D在直线MN．上，连结AC，AD，∠PAC= 50°，∠ADC=30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示的位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC=50°，∠A1D1C=30，求∠A1EC的度数；
（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示的位置，其他条件与(2)相同，求此时∠A1EC的度数．
23．我们探究过三角形内角和等于 ， 四边形内角和等于 ， 请解决下面的问题：
（1）如图 1， ， 则 　 　 (直接写出结果)
（2）在图 1 的基础上， 连结 分别是四边形 的四个内角的平分线．
①如图 2， 如果 ， 那么 的度数为 ▲ (直接写出结果)
②如图 3， 若 与 平行吗？ 请写出理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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北师大版2025—2026学年八年级下册期中模拟核心考点突破卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若，且，则的值可能是（　　）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
∴四个选项中，只有B选项符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据不等式的两边同时除以一个负数，不等号的方向改变解题即可．
2．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：选项ACD不能在平面上找到一个点，使图形绕某该点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合，故ACD不是中心对称图形，选项B能在平面上找到一个点，使图形绕某该点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合，故B是中心对称图形，
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此得到答案.
3．如图，在△ABC中，∠APC=114°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N.若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠ABC的度数为（　　）
A．48° B．52° C．62° D．66°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，
∴AM=PM， PN=CN，
∴∠MAP=∠MPA， ∠CPN =∠PCN，
∵∠BMN =∠MAP+∠MPA， ∠BNM=∠CPN+∠PCN，
∴∠BMN = 2∠MPA， ∠BNM =2∠CPN，
又∵∠APC=114°，
∴∠BMN+∠BNM =2
(∠MPA+∠CPN)=2(180°-∠APC)
=132°，
∴∠ABC=180°-(∠BMN+∠BNM)=48°，
故答案为：A.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到∠MAP=∠MPA， ∠CPN =∠PCN， 由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得∠BMN =∠MAP+∠MPA， ∠BNM=∠CPN+∠PCN， 可得∠BMN=2∠MPA， ∠BNM=2∠CPN， 求出∠BMN+∠BNM =132°，根据三角形内角和定理即可求出答案.
4．如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，将三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF，已知EF=8，BE=3，CG=3，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．12.5 B．19.5 C．32 D．45.5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵将三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF，
∴
∴
∴
∵
∴
∴图中阴影部分的面积为：
故答案为：B.
【分析】根据平移的性质得到进而利用梯形面积计算公式计算即可.
5．如图，在中，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由“SAS”可证△BED≌△CDF，可得∠CDF=∠BED，由三角形外角的性质可得∠EDF=∠B=48°，即可求∠A的度数．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BED和△CDF中，
，
∴△BED≌△CDF（SAS），
∴∠CDF=∠BED，
∵∠EDC=∠B+∠BED=∠CDF+∠EDF，
∴∠EDF=∠B=48°，
∴∠C=∠B=48°
∴∠A=180°-48°-48°=84°
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．
6．下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　）
A．，， B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵，
∴是直角三角形，不符合题意；
B、设，
∵，
∴不是直角三角形，符合题意；
C、∵，，
∴，解得：，
∴是直角三角形，不符合题意；
D、设，则，
解得：，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
【分析】
利用勾股定理的逆定理逐项判断，先假设其中最长的一条边为斜边，然后验证另外两条边的平方和是否等于这条斜边的平方。如果等于，则说明这三条边能构成一个直角三角形；如果不等于，则说明不能构成直角三角形。
7．如图，点是等边内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接，由题意可知
则，，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴
∴，
故答案为：D．
【分析】根据旋转性质可得出为等边三角形，即可得出，再根据勾股定理的逆定理可知∠PQC=90°。进而得出，再根据旋转性质得出可得出==150°。
8．下图是求作线段中点的作图痕迹，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得CD垂直平分AB，
.
故答案为：A.
【分析】由作图痕迹可得CD垂直平分AB，利用垂直平分线的定义与性质可得，，.
9．在浙江金华地区，清明期间人们有做清明颗的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏。在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加等原因，会使得质量增加10%，现有糯米x斤，若做成清明粿质量超过20斤，则可列出不等式（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，可列出不等式为：(1+10%)x>20；
故答案为：C.
【分析】根据做成清明粿质量超过20斤，列出不等式即可.
10．如图， 的外角 ， 的平分线 ， 相交于点P， 于E， 于F，下列结论：（1） ；（2）点P在 的平分线上；（3） ；（4）若 ，则 ，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：过点P作PG⊥AB，连接 ，如图：
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA， ， ，PG⊥AB，
∴ ；故（1）正确；
∴点 在 的平分线上；故（2）正确；
，
，
，
，
，
，
又 ，
∴ ；故（3）错误；
， ，
，
，
，
，
∴正确的选项有3个；
故答案为：C.
【分析】过点P作PG⊥AB，连接OP，由角平分线的性质得到PE= PG=PF，则可判断(1) (2)；由HL证明△PAE≌△PAG，△GPB≌△FPB，得出∠EPA=∠GPA，∠GPB=∠FPB，进而推出∠APB=∠EPF，∠EPF+∠AOB= 180°，则可得到∠APB=90°-∠AOB，可对(3)作判断；根据C△OAB=OA+ OB+ AB=OE+OF=17和OE=OF，求出OE可对(4)作判断 ，即可作答.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，等腰三角形ABC中，，点在边AC上运动（可与点A，C重合将线段BP绕点逆时针旋转，得到线段DP，连结BD，则BD长的最小值为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
当BP⊥AC时，BP的长最短，此时BD的长最短，
过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PH⊥BD于点H，
∴∠AEB=∠BHP=90°，
∵AB=AC，
∴BE=BC=3
∵
解之：AB=AC=9，
∴
∴
∴
解之：；
∵ 将线段BP绕点逆时针旋转，得到线段DP，
∴DP=BP，∠BPD=120°，
∴∠BPH=∠BPD=60°，BD=2BH
∴∠HBP=30°，
∴PH=BP=
在Rt△BPH中
，
∴.
∴BD的最小值为.
故答案为：.
【分析】当BP⊥AC时，BP的长最短，此时BD的长最短，过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PH⊥BD于点H，利用垂直的定义可证得∠AEB=∠BHP=90°，利用等腰三角形的性质可求出BE的长，再利用锐角三角函数的定义求出AB的长，利用勾股定理求出AE的长；根据三角形的面积公式可求出BP的长；再利用旋转的性质可证得DP=BP，∠BPD=120°，利用等腰三角形的性质可求出∠BPH的度数，BD=2BH，同时可求出∠HBP的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出PH的长；然后利用勾股定理求出BH的长，即可得到BD的最小值.
12．如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC等于　 　．
【答案】8
【解析】【解答】解：作PE⊥OA于E， ∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD=4，
∵OP平分∠AOB，∠AOP=15°，∴∠AOB=30°，∵PC∥OB，∴∠ECP=∠AOB=30°，∴PC=2PE=8，
故答案为8．
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD=4，再根据角平分线和平行线的性质可得∠ECP=∠AOB=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得PC=2PE=8。
13．如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为　 　．
【答案】7.5°或75°或97.5°或120°
【解析】【解答】解：设直线E'F'与直线AC、BC交于P、Q，
①当为顶角时，如下图：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
如下图2：
∵为等腰三角形，且为顶角，
∴
∵
∴
∴
∴
②当为顶角时，如下图：
∴
∵
∴
∴
③当为顶角时，如图：
∴
∴
∴
综上所述，的值为7.5°或75°或97.5°或120°，
故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．
【分析】由题意知需分三种情况讨论：①：当为顶角时，②当为顶角时，③当为顶角时，分别根据等腰三角形的性质求解即可.
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是　 　．
【答案】110°或80°
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝ （180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°，
故答案为：110°或80°．
【分析】分为三种情况：AD＝AE或DA＝DE或当EA＝ED，根据等边对等角，结合三角形内角和定理求解即可。
15．如图，已知长方形纸片，点E在边上，点F、G在边上，连接、．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕，若点G在点F的右侧，且．则的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：当点在点的右侧，
由翻折性质得平分，平分，
，，
，
，，
，
；
∴
故答案为：．
【分析】本题考查角的计算，翻折性质，以及角平分线的定义，当点在点的右侧，由翻折性质得平分，平分，得到和，求得，结合，求出的度数，即可得到答案．
16．如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠AFC，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°—∠ABD；④∠BDC= ∠BAC，其中正确的结论有　 　．
【答案】①②③④
【解析】【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC＋∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，∴①符合题意；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，∴②符合题意；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC＝ ∠EAC，∠DCA＝ ∠ACF，
∵∠EAC＝∠ABC＋∠ACB，∠ACF＝∠ABC＋∠BAC，∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，
∴∠ADC＝180° （∠DAC＋∠ACD）
＝180° （∠EAC＋∠ACF）
＝180° （∠ABC＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC）
＝180° （180°+∠ABC）
＝90° ∠ABC
＝90°—∠ABD，∴③符合题意；
∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC＋∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC＋∠BDC，
∴∠BAC＝2∠BDC，∴④符合题意，
故答案为①②③④.
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC＋∠BAC，∠EAC＝∠ABC＋∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）解方程组
（2）解不等式组
【答案】（1）解：
把①代入②得，，
解得，
把代入①得，，
∴；
（2）解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集是．
【解析】【分析】（1）将第一个方程代入第二个方程中可求出y的值，将y的值代入第一个方程中求出x的值，据此可得方程组的解；
（2）分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分即为不等式组的解集.
18．用一条长为35cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果底边长是腰长的一半，求腰长；
（2）能围成有一边长为11cm的等腰三角形吗 如果能，请求出它的底边长.
【答案】（1）解：设底边长为 xcm，则腰长为 2xcm，
由题意可得， x+2x+2x=35，
解得x=7，
∴2x=14，
即各边的长为7cm、14cm、14cm；
（2）解：能围成有一边长为11cm的等腰三角形，
当腰长为11cm时，则底边长为35-11×2=13(cm)，
∵11+11>13，
∴能围成有腰长为11cm的等腰三角形，
∴三角形的另外两边长为11cm、13cm；
当底边长为11cm时，则腰长为(35-11)÷2=12(cm)，
显然成立 ∴三角形的另外两边长为12cm、12cm；
由上可得，三角形的另外两边长为11cm、13cm或12cm、12cm.
故底边长为11cm或13cm.
【解析】【分析】 （1）根据题意和底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长；
（2）利用分类讨论，令11cm分别为腰和底边的方法求出是否可以组成三角形，然后得出底边长度.
19．如图，，平分交于，．
（1）与平行吗？为什么？
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：
平分，
，
，
，
，
，
，
∴AD∥BC；
∵∠FEC=∠ECB，
∴EF∥BC，
∴AD∥EF；
（2）解：∵， ，
．
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质得到∠ECB=∠FCE，根据角的和差可以得到∠ACB的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行即可证明AD∥BC，再由内错角相等，两直线平行得EF∥BC，最后根据平行于同一直线的两条直线互相平行可得结论；
（2）利用图形中的和差关系得到∠ACB的度数，再根据三角形内角和得到答案.
20．如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，且 CE⊥BD于点F，将△DEC沿从D到A的方向平移，使点D与点A重合，点E平移后的点记为G．
（1）画出△DEC平移后的三角形；
（2）若BC=，BD=6，CE=3，求AG的长．
【答案】解：（1）△AGB为△DEC平移后的三角形，如下图所示；
（2）∵△AGB为△DEC平移后的三角形，
∴BG=CE=3，BG∥CE，
∵CE⊥BD，
∴BG⊥BD．
在Rt△BDG中，∵∠GBD=90°，BG=3，BD=6，
∴DG==3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，
∴AG=DG﹣AD=3﹣2=．
【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得出AD∥BC，AD=BC，将△DEC沿从D到A的方向平移，使点D与点A重合，则C与B重合，延长DA到G，使AG=DE，连结BG，则△AGB为所求；
（2）由平移的性质可得BG=CE=3，BG∥CE，而CE⊥BD，得出BG⊥BD．在Rt△BDG中利用勾股定理求出DG的长，进而得到AG的长．
21． 为鼓励学生加强强身健体，某校计划购买一批篮球和排球，根据学校实际，决定共购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元．
（1）求篮球和排球的单价；
（2）据不完全统计，每个学年篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍，若学期末这批篮球和排球最少剩下43个，求排球的最大损耗率．
【答案】（1）解：设篮球单价是x元，排球的单价是y元，根据题意，得
解得：，
答：篮球单价是56元，排球的单价是48元
（2）解：设排球的损耗率是m，则篮球的损耗率的，根据题意得：
解得：，
当损耗率损耗率最大，
排球的最大损耗率为
【解析】【分析】（1）设篮球单价是x元，排球的单价是y元，根据“共购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，篮球和排球的单价之和为104元”即可列出二元一次方程组，从而即可求解；
（2）设排球的损耗率是m，则篮球的损耗率的，根据“每个学年篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍，学期末这批篮球和排球最少剩下43个”即可列出不等式，进而即可求解。
22．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C，D在直线MN．上，连结AC，AD，∠PAC= 50°，∠ADC=30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示的位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC=50°，∠A1D1C=30，求∠A1EC的度数；
（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示的位置，其他条件与(2)相同，求此时∠A1EC的度数．
【答案】（1）解：∵直线PQ∥MN，∠ADC=30°，
∴∠ADC=∠QAD=30°，
∴∠PAD=180°-∠QAD=150°，
又∵ AE平分∠PAD ，
∴∠PAE=∠PAD=75°，
又∵∠PAC=50°，
∴∠CAE=∠PAE-∠PAC=25°，
∵直线PQ∥MN， ∠PAC= 50°，
∴∠ACD=∠PAC=50°，
又∵ CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ACD=25°，
∴∠AEC=180°-∠ACE-∠CAE=130°；
（2）解：∵ ∠A1D1C=30， 线段AD沿MN向右平移到A1D1 ，PQ∥MN，
∴∠QA1D1=∠A1D1C=30°，
∴∠PA1D1=180°-∠QA1D1=150°，
又∵ A1E平分∠PA1D1 ，
∴∠PA1E=∠PA1D1=75°，
∵直线PQ∥MN， ∠PAC= 50°，
∴∠CAQ=180°-∠PAC=130°，∠ACD1=∠PAC=50°，
又∵ CE平分∠ACD1，
∴∠ACE=∠ACD1=25°，
∴∠A1EC=360°-∠ACE-∠CAQ-∠PA1E=130°；
（3）解：如图，过点E作FE∥PQ，
∵∵∠A1D1C=30， 线段AD沿MN向右平移到A1D1 ，PQ∥MN，
∴∠QA1D1=∠A1D1C=30°，
又∵ A1E平分∠AA1D1 ，
∴∠AA1E=∠A1EF=∠AA1D1=15°，
∵直线PQ∥MN， ∠PAC= 50°，
∴∠ACD1=∠PAC=50°，
又∵ CE平分∠ACD1，
∴∠ACE=∠ECD1=∠ACD1=25°，
∵EF∥PQ，PQ∥MN，
∴EF∥MN，
∴∠FEC=∠ECD1=25°，
∴∠A1EC=∠A1EF+∠FEC=15°+25°=40°.
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等，得∠ADC=∠QAD=30°，由邻补角定义得∠PAD=150°，由角平分线定义得∠PAE=∠PAD=75°，再根据角的和差可得∠CAE=25°，由二直线平行，内错角相等，得∠ACD=∠PAC=50°，由角平分线定义得∠ACE=∠ACD=25°，最后根据三角形的内角和定理 可算出∠AEC的度数；
（2）由二直线平行，内错角相等，得∠QA1D1=∠A1D1C=30°，由邻补角定义得∠PA1D1=150°，由角平分线定义得∠PA1E=∠PA1D1=75°，再由邻补角定义得∠CAQ=130°，由二直线平行，内错角相等，得∠ACD1=∠PAC=50°，由角平分线定义得∠ACE=∠ACD1=25°，最后根据四边形的内角和定理可算出答案；
（3）过点E作FE∥PQ，由二直线平行，内错角相等，得∠QA1D1=∠A1D1C=30°，由角平分线定义得∠AA1E=∠A1EF=∠AA1D1=15°，由二直线平行，内错角相等，得∠ACD1=∠PAC=50°，由角平分线定义得∠ACE=∠ECD1=∠ACD1=25°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥MN，再由二直线平行，内错角相等，得∠FEC=∠ECD1=25°。最后根据∠A1EC=∠A1EF+∠FEC可算出答案.
23．我们探究过三角形内角和等于 ， 四边形内角和等于 ， 请解决下面的问题：
（1）如图 1， ， 则 　 　 (直接写出结果)
（2）在图 1 的基础上， 连结 分别是四边形 的四个内角的平分线．
①如图 2， 如果 ， 那么 的度数为 ▲ (直接写出结果)
②如图 3， 若 与 平行吗？ 请写出理由．
【答案】（1）180°
（2）解：①70°
②AB∥CD，理由如下：
∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，
∴∠OAB＝∠DAB，∠OBA＝∠CBA，∠OCD＝∠BCD，∠ODC＝∠ADC，
∴∠OAB＋∠OBA＋∠OCD＋∠ODC＝×360°＝180°，
在△OAB中，∠OAB＋∠OBA＝180° ∠AOB，
在△OCD中，∠OCD＋∠ODC＝180° ∠COD，
∴180°-∠AOB＋180°-∠COD＝180°，
∴∠AOB＋∠COD＝180°；
∴∠AOD＋∠BOC＝360°-（∠AOB＋∠COD）＝360°-180°＝180°，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°．
在∠AOD中，∠DAO＋∠ADO＝180°-∠AOD＝180°-90°＝90°，
∵∠DAO＝∠DAB，∠ADO＝∠ADC，
∴∠DAB＋∠ADC＝90°，
∴∠DAB＋∠ADC＝180°，
∴AB∥CD
【解析】【解答】解：(1)∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°
∴∠A+∠B+∠AOB+∠C+∠D+∠COD=360°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=180°
∴180°+∠AOB+∠COD=360°.
∴∠AOB+∠COD=180°.
故答案为：180°.
(2)①∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠AOB=110°，
∴∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB=70°
∵OA、OB 分别平分∠DAB与∠ABC，
∴∠DAB=2∠OAB，∠ABC=2∠OBA，
∴∠DAB+∠ABC=2(∠OAB+∠OBA)=140°
∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠BAD=360°
∴∠ADC+∠BCD=360°-(∠DAB+∠ABC)=220°
∵OC、OD 分别平分∠BCD与∠ADC，
∴，，
∴，
∴∠COD=180-(∠ODC+∠OCD)=70°
故答案为：70°.
【分析】(1)根据三角形内角和定理得∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，将两式相加后再结合已知可求出∠AOB+∠COD的度数；
(2)①由三角形的内角和定理求出∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB=70°，由角平分线定义求出∠DAB+∠ABC=140°，由四边形的内角和定理求出∠ADC+∠BCD=220°，由角平分线定义求出，最后再根据三角形的内角和定理可求出∠COD的度数；
②由交平分线定义及三角形内角和定理可得∠AOB+∠COD=180°，从而根据周角定义得出∠ADO+∠BOD=180°，结合已知可得∠AOD=∠BOC=90°，进而得出∠DAB+∠ADC=180°，然后根据同旁内角互补，两直线平行得出AB//CD.
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