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苏科版2025—2026学年八年级下册期中模拟重点提分卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列调查中，应采用普查的是（　　）
A．检测一批充电宝的使用寿命
B．了解某市居民对废电池的处理情况
C．了解现代大学生的主要娱乐方式
D．检查一架飞机的零部件
2．盈盈和同学们做“抛掷质地均匀的硬币”试验，获得的数据如下表：
抛掷次数 100 200 400 500 1000
正面朝上的频数 53 99 201 247 502
若抛掷硬币的次数为2000，则“正面朝上”的频数最接近（　　）
A．100 B．500 C．800 D．1000
3．下列四个命题中，真命题是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形
D．对角线互相垂直相等的四边形是正方形
4．如图，△ABC的周长为8cm，以它的三边中点为顶点组成一个新的三角形，这个新三角形的周长是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．2
5．垃圾分类收集可以减少垃圾处理量，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态三方面的效益．某校从全校1400名学生中随机抽取了部分学生进行“垃圾分类及投放知识”测试，把测试成绩分为“优、良、中、差”四个等级，并进行统计，绘制了下面两幅统计图，下列说法中错误的是（　　）
A．共抽取的学生人数为42人
B．α＝120°
C．全校得到“差”等级的人数约有200人
D．得到“优”和“良”等级人数之和占抽取总人数的百分比超过了72%
6．如图，在矩形中，与的交点为，且，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（　　）
A．72 B．24 C．48 D．96
8．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，则对角线AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．2002年在北京举行的第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”，如图，在由四个全等的直角三角形（、、、）拼成大正方形，中空的部分是四边形，连接，相交于点，与相交于点，若，且大正方形边长为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，平行四边形中，，，平分，交于E，交于点，交于点，作交于点，则（　　）
A． B． C．1 D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率是　 　．
12． 将容量为 100 的样本分成 3 个组， 第一组的频数是 30 ， 第二组的频率是 0.4 ， 那么第三组的频率是　 　。
13． 如图是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，若小明到水平线的距离为时小颖到地面的距离为　 　．
14．在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为1：5，则平行四边形ABCD中较小内角的度数为　 　．
15．如图，在平行四边形ABCD中AB的长为10厘米，对角线AC和BD的长分别是16厘米和12厘米，则平行四边形ABCD的面积为 　 　.
16．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=2，∠ABC=45°，E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．第十五届中国“西博会”将于2014年10月底在成都召开，现有20名志愿者准备参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人．
（1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率；
（2）若该分会场的某项工作只在甲、乙两人中选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
18．2007年某市国际车展期间，某公司对参观本次车展盛会的消费者进行了随机问卷调查，共发放1000份调查问卷，并全部收回．①根据调查问卷的结果，将消费者年收入的情况整理后，制成表格如下：
年收入（万元）
4.8
6
7.2
9
10
被调查的消费者人数（人）
200
500
200
70
30
②将消费者打算购买小车的情况整理后，作出频数分布直方图的一部分（如图）．
注：每组包含最小值不包含最大值，且车价取整数．请你根据以上信息，回答下列问题．
（1）根据①中信息可得，被调查消费者的年收入的众数是多少万元；
（2）请在图中补全这个频数分布直方图；
（3）打算购买价格10万元以下小车的消费者人数占被调查消费者人数的百分比是多少？
19．礼泉历史悠久，自秦始皇二十六年（前221年）建县，已有2200多年历史．境内有古文化遗址21处，古建筑5处，是陕西省18个重点文物旅游大县之一．某数学小组制作了四张礼泉县的风景名胜卡片，卡片除正面内容不同之外，其他完全相同，卡片正面内容如图所示：
（1）将四张卡片背面朝上，洗匀后，从第随机抽取一张，恰好抽到“C．礼泉文庙”的概率是　 　；
（2）将四张卡片骩于暗箱摇匀，随机抽取一张不放回，然后再随机抽取一张，请利用画树状图或列表的方法求抽取的两张卡片恰好是“A．昭陵”和“D．顶天寺”的概率．（不考虑所抽取卡片的顺序）
20．如图，已知正方形ABCD的边长为12，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设正方形CEFG的面积为，以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为，且.
（1）求线段DE的长.
（2）若H为BC边上一点，，连接DH，DG，判断的形状.
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝8 cm，BC＝12 cm，点E从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动，同时，点F从点B出发，以2 cm/s的速度向点C运动，设运动时间为t s.
（1）当t取何值时，四边形EFCD为矩形？
（2）M是BC上一点，且BM＝5 cm，当t取何值时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形？
22．已知正方形．
（1）如图所示，若点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，则与的数量关系为　 　，位置关系为　 　．
（2）如图所示，若是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接和请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图所示，在（2）的条件下，连接若，，求线段的长．
23．如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，点A，B，E在同一条直线上，点P是线段DF的中点，连接PG，PC.
（1）求证：
（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，其他条件不变(如图2)，则(1)中的结论是否仍然成立，请你说明理由.
（3）若将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，其他条件不变(如图3)，判断PG与PC的位置关系和数量关系，并说明理由.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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苏科版2025—2026学年八年级下册期中模拟重点提分卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列调查中，应采用普查的是（　　）
A．检测一批充电宝的使用寿命
B．了解某市居民对废电池的处理情况
C．了解现代大学生的主要娱乐方式
D．检查一架飞机的零部件
【答案】D
【解析】【解答】A：检测一批充电宝的使用寿命，可用抽样调查，不符合题意；
B：了解某市居民对废电池的处理情况，可用抽样调查，不符合题意；
C：了解现代大学生的主要娱乐方式，可用抽样调查，不符合题意；
D：检查一架飞机的零部件，可用普查，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据普查和抽样调查的特点进行逐一判断即可求解.
2．盈盈和同学们做“抛掷质地均匀的硬币”试验，获得的数据如下表：
抛掷次数 100 200 400 500 1000
正面朝上的频数 53 99 201 247 502
若抛掷硬币的次数为2000，则“正面朝上”的频数最接近（　　）
A．100 B．500 C．800 D．1000
【答案】D
【解析】【解答】观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，
所以抛掷硬币的次数为2000，则“正面朝上”的频数最接近2000×0.5＝1000次，
故答案为：D．
【分析】随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，据此求解即可。
3．下列四个命题中，真命题是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形
D．对角线互相垂直相等的四边形是正方形
【答案】C
【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是假命题，不符合题意；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，是假命题，不符合题意；
C、顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，是真命题，符合题意；
D、对角线互相垂直相等的四边形是矩形，是假命题，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理分别进行判断即可.
4．如图，△ABC的周长为8cm，以它的三边中点为顶点组成一个新的三角形，这个新三角形的周长是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：如图示，
点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE= BC，DF= AC，EF= AB，
∵原三角形的周长为8，
则新三角形的周长为 ×8=4，
故答案为：C．
【分析】由三角形的中位线定理可知，以三角形三边中点为顶点的三角形的周长是原三角形周长的一半．
5．垃圾分类收集可以减少垃圾处理量，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态三方面的效益．某校从全校1400名学生中随机抽取了部分学生进行“垃圾分类及投放知识”测试，把测试成绩分为“优、良、中、差”四个等级，并进行统计，绘制了下面两幅统计图，下列说法中错误的是（　　）
A．共抽取的学生人数为42人
B．α＝120°
C．全校得到“差”等级的人数约有200人
D．得到“优”和“良”等级人数之和占抽取总人数的百分比超过了72%
【答案】D
【解析】【解答】解：A、共抽取的学生人数为16+14+6+6=42人，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、人，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用条形统计图和扇形统计图的数据进行计算即可。
6．如图，在矩形中，与的交点为，且，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
∵，且，
∴，（三线合一得等腰三角形）
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
则，
∴．
故选∶A．
【分析】
本题主要考查矩形性质、等边三角形判定和性质及三角形内角和定理，利用矩形的性质可得，由，且得，则有为等边三角形，利用三角形内角和即可求得答案．
7．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（　　）
A．72 B．24 C．48 D．96
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴菱形的面积.
故答案为：C.
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质求出BD的长，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列出算式求解即可.
8．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，则对角线AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，在矩形ABCD中，
∵AB＝CD＝3，BC＝4，
∴AC＝BD＝
故选：C．
【分析】利用矩形的性质可得AB＝CD＝3，BC＝4，再利用勾股定理及矩形的性质求出AC的长即可.
9．2002年在北京举行的第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”，如图，在由四个全等的直角三角形（、、、）拼成大正方形，中空的部分是四边形，连接，相交于点，与相交于点，若，且大正方形边长为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，记和交于点，
∵四个全等的直角三角形（、、、）拼成大正方形，
∴，，，，
∴，
，即，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵大正方形边长为，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，
故答案为：D．
【分析】 记和交于点，先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，， 再利用“AAS”证出，可得， 设，则， 再求出， 利用勾股定理可得， 再结合 大正方形边长为， 求出， 最后求出 四边形的面积为即可.
10．如图，平行四边形中，，，平分，交于E，交于点，交于点，作交于点，则（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：平行四边形中，，
∵平分
∴
∵
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴，即
∴，即
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：D
【分析】由平行四边形的性质以及三角形内角和的性质可得，，求得，再根据，得到，即可求解．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵骰子六个面中奇数为1，3，5，
∴P（向上一面为奇数）= .
【分析】根据骰子六个面中奇数为1，3，5，计算求解即可。
12． 将容量为 100 的样本分成 3 个组， 第一组的频数是 30 ， 第二组的频率是 0.4 ， 那么第三组的频率是　 　。
【答案】0.3
【解析】【解答】解：∵30÷100=0.3
1-0.3-0.4=0.3
故答案为：0.3.
【分析】先利用频数÷纵总数计算出频率，再用1减去第一组和第二组的频率即可.
13． 如图是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，若小明到水平线的距离为时小颖到地面的距离为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：
在和中，
，
∴，
∴，
∵为水平线，
∴，
∵，，
∴，
∴为平行四边形，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而根据平行四边形的判定与性质即可得到，从而即可求解。
14．在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为1：5，则平行四边形ABCD中较小内角的度数为　 　．
【答案】30°或30度
【解析】【解答】解：不妨设∠A：∠B＝5：1，即∠A＝5∠B，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴6∠B＝180°，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝150°，
∴ ABCD中较小内角为30°，
故答案是：30°．
【分析】先求出AD∥BC，再求出∠A＝150°，最后计算求解即可。
15．如图，在平行四边形ABCD中AB的长为10厘米，对角线AC和BD的长分别是16厘米和12厘米，则平行四边形ABCD的面积为 　 　.
【答案】96平方厘米
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴OA=AC=×16=8，OB=BD=×12=6.
∴OA2+OB2=82+62=100
∵AB2=102=100
∴OA2+OB2=AB2
∴∠AOB=90°
∴AC⊥BD
∴四边形ABCD为菱形
∴平行四边形ABCD的面积=AC×BD=×16×12=96.
【分析】结合平行四边形的性质以及勾股定理逆定理，即可得到AC⊥BD，由四边形ABCD为菱形，即可计算其面积。
16．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=2，∠ABC=45°，E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是　 　.
【答案】
【解析】【解答】如图所示，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT=TK.
∵BE=BF，BK=BA，∠EBF=∠ABK=60°，
∴∠ABF=∠KBE，∴△ABF≌△KBE(SAS)，
∴AF=EK.
根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∵∠ABC=45°，∴∠BAD=180°-∠ABC=135°，
∵∠BAK=60°，∴∠EAK=75°，
∵∠AEK=90°，∴∠AKE=15°，
∵TA=TK，∴∠TAK=∠AKT=15°，
∴∠ATE=∠TAK+∠AKT=30°.
设AE=a，则AT=TK=2a，ET=a，
在Rt△AEK中，
∴AF的最小值为
【分析】如图，以AB为边向下作等边 连接EK，在EK上取一点T，使得AT=TK.证明 推出AF=EK，根据垂线段最短可知，当 时，KE的值最小，解直角三角形求出EK即可解决问题.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．第十五届中国“西博会”将于2014年10月底在成都召开，现有20名志愿者准备参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人．
（1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率；
（2）若该分会场的某项工作只在甲、乙两人中选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
【答案】解：（1）∵现有20名志愿者准备参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人，∴从这20人中随机选取一人作为联络员，选到女生的概率为：=；（2）如图所示：牌面数字之和为：5，6，7，5，7，8，6，7，9，7，9，8，∴偶数为：4个，得到偶数的概率为：=，∴得到奇数的概率为：，∴甲参加的概率＜乙参加的概率，∴这个游戏不公平．
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求出即可；
（2）利用树状图表示出所有可能进而利用概率公式求出即可．
18．2007年某市国际车展期间，某公司对参观本次车展盛会的消费者进行了随机问卷调查，共发放1000份调查问卷，并全部收回．①根据调查问卷的结果，将消费者年收入的情况整理后，制成表格如下：
年收入（万元）
4.8
6
7.2
9
10
被调查的消费者人数（人）
200
500
200
70
30
②将消费者打算购买小车的情况整理后，作出频数分布直方图的一部分（如图）．
注：每组包含最小值不包含最大值，且车价取整数．请你根据以上信息，回答下列问题．
（1）根据①中信息可得，被调查消费者的年收入的众数是多少万元；
（2）请在图中补全这个频数分布直方图；
（3）打算购买价格10万元以下小车的消费者人数占被调查消费者人数的百分比是多少？
【答案】解：（1）由表格可知，年收入6万元的人数最多，因此众数是6万元；
（2）被漏的10～12组的频数是1000﹣40﹣120﹣360﹣200﹣40=240人；
（3）购买10万元以下小车的人有40+120+360=520人，从而可求得占被调查消费者人数的百分比是520÷1000=52%．
【解析】【分析】（1）众数就是出现次数最多的数，依据定义即可求解；
（2）计算出这组的频数，即可作出图表；
（3）根据百分比的计算方法即可求解．
19．礼泉历史悠久，自秦始皇二十六年（前221年）建县，已有2200多年历史．境内有古文化遗址21处，古建筑5处，是陕西省18个重点文物旅游大县之一．某数学小组制作了四张礼泉县的风景名胜卡片，卡片除正面内容不同之外，其他完全相同，卡片正面内容如图所示：
（1）将四张卡片背面朝上，洗匀后，从第随机抽取一张，恰好抽到“C．礼泉文庙”的概率是　 　；
（2）将四张卡片骩于暗箱摇匀，随机抽取一张不放回，然后再随机抽取一张，请利用画树状图或列表的方法求抽取的两张卡片恰好是“A．昭陵”和“D．顶天寺”的概率．（不考虑所抽取卡片的顺序）
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有种等可能性的结果数，其中抽取的两张卡片恰好是“A．昭陵”和“D．顶天寺”的结果数有两种，
∴抽取的两张卡片恰好是“A．昭陵”和“D．顶天寺”的概率为．
【解析】【解答】（1）解：∵一共有四张卡片，每张卡片被抽取的概率相同，
∴从中随机抽取一张，恰好抽到“C．礼泉文庙”的概率为，
故答案为：；
【分析】(1)直接利用概率公式可得答案.
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片恰好是“A.昭陵”和“D.顶天寺”的结果数，再利用概率公式可得出答案.
20．如图，已知正方形ABCD的边长为12，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设正方形CEFG的面积为，以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为，且.
（1）求线段DE的长.
（2）若H为BC边上一点，，连接DH，DG，判断的形状.
【答案】（1）解：设正方形CEFG的边长为a，
∴正方形ABCD的边长为12，
∴，
∴.
，
解得：，或（舍去），
；
（2）解：是等腰三角形；理由如下：
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
，
∴，
∴是等腰三角形.
【解析】【分析】（1）设正方形CEFG的边长为a，由题意可得，再根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，，再根据勾股定理可得DH，根据边之间的关系可得GH，则，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝8 cm，BC＝12 cm，点E从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动，同时，点F从点B出发，以2 cm/s的速度向点C运动，设运动时间为t s.
（1）当t取何值时，四边形EFCD为矩形？
（2）M是BC上一点，且BM＝5 cm，当t取何值时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】（1）解： 当DE=CF时，四边形EFCD为矩形，则有8-t=12-2t，
解得t=4，
答：t=4s时，四边形EFCD为矩形.
（2）解：①当点F在线段BM上， .AE=FM时， 以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t=5-2t，
解得
②当F在线段CM上，AE=FM时， 以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t=2t-5，
解得t=5，
综上所述， 或5s时， 以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形.
【解析】【分析】(1)当DE=CF时，四边形EFCD为矩形，列出方程即可解决问题；
(2)分为点F在线段BM上或F在线段CM上两种情形，列出方程即可解决问题.
22．已知正方形．
（1）如图所示，若点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，则与的数量关系为　 　，位置关系为　 　．
（2）如图所示，若是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接和请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图所示，在（2）的条件下，连接若，，求线段的长．
【答案】（1）；
（2）解： ， ，理由如下：
延长BE 、 GD相交于点H.
正方形ECGF 、正方形ABCD ，
， ， ，
，即 ，
≌ ，
， ，
正方形ECGF ，
，
， ，
，
又 ，
，
；
， ；
（3）解：如图所示，过点G作GM⊥AD交AD延长线于M，过点G作GN⊥AB于N，
≌ ，
， ，
，
，
又 ，
≌ ，
， ，
，
， ，
四边形AMGN是矩形，
， ，
，
．
【解析】【解答】解：（1）如图所示，延长GD交BE于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠BCD＝90°，
∵四边形ECGF是正方形，
∴CG＝CE，∠ECG＝90°，
∴∠DCG＝∠BCE＝90°，
在△DCG和△BCE中，
，
∴△DCG≌△BCE（SAS），
∴DG＝BE，∠DGC＝∠BEC，
∵∠CBE+∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠DGC＝90°，
∴∠BHG＝180°-∠HBG-∠HGB＝90°，
∴BE⊥DG，
∴BE与DG的数量关系为DG＝BE，位置关系为BE⊥DG，
故答案为：DG＝BE，BE⊥DG；
【分析】（1）如图所示，延长GD交BE于H，利用SAS证明出△DCG≌△BCE，得到DG＝BE，∠DGC＝∠BEC，然后根据三角形内角和定理求出∠BHG＝90°，即BE⊥DG；
（2）延长BE、GD相交于点H，利用SAS证明出△DCG≌△BCE，从而得到DG＝BE，∠BEC=∠DGC，再由正方形的性质可得知∠FEC=90°，然后根据同角的余角相等得出∠HEF＝∠FGH，由此可证得∠H＝∠F＝90°，则DG⊥BE；
（3）如图所示，过点G作GM⊥AD交AD延长线于M，过点G作GN⊥AB于N，利用AAS证明△ABE≌△MDG，得到DM＝AB＝3，MG＝AE＝1，从而求出AM＝AD+DM＝6，再由三个角是直角证明四边形AMGN是矩形，得到GN＝AM＝6，AN＝MG＝1，BN＝2，最后在Rt△BNG中利用勾股定理即可求出BG的长．
23．如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，点A，B，E在同一条直线上，点P是线段DF的中点，连接PG，PC.
（1）求证：
（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，其他条件不变(如图2)，则(1)中的结论是否仍然成立，请你说明理由.
（3）若将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，其他条件不变(如图3)，判断PG与PC的位置关系和数量关系，并说明理由.
【答案】（1）如图1，延长GP交DC于点Q，
∵点P是DF的中点，
∴DP=PF，
∵ ABCD和BEFG是菱形，
∴DC∥AB，GF∥AB，
∴DC∥GF，
∴∠CDP=∠GFP，∠DQP=∠FGP，
∴△DPQ≌△FPG.
∴QP=PG，DQ=FG.∵四边形ABCD，BEFG为菱形，
∴CD=CB，FG=BG，∴CD-DQ=CB-BG，即CQ=CG.
又∵∠DCB=180°-∠ABC=120°，∴∠PGC=30°.
∵PQ=PG，∴PG⊥PC，PG=PC.
（2）结论仍然成立.理由如下：
如图2，延长GP交AD于点Q，连接CQ，CG.
同(1)得△PDQ≌△PFG，
∴DQ=FG，PQ=PG.又∵FG=BG，∴DQ=BG.
∵四边形ABCD为菱形，
∴CD=CB，∠QDC=∠ABC=60°.
∵四边形BEFG为菱形，
∴BG=FG，∠EBF=∠GBF.
∵∠EBF=∠ABC=60°，∴∠QDC=∠GBC=60°，
∴△QDC≌△GBC，∴QC=GC，∠1=∠2.
∵∠DCB=∠1+∠3，∠QCG=∠3+∠2，
∴∠QCG=∠DCB=120°，∴∠PCG=60°.
（3）PG⊥PC，PG=PC.理由如下：
如图3，延长GP至点Q，使得PQ=PG，连接CQ，CG.
由PG=PQ，PF=PD得四边形DQFG为平行四边形，
∴DQ=FG，∠1=∠2.设∠1=α，∠3=β.
∵AD∥BC，∴∠1+∠3=∠4.
又∵∠4=∠5，∴∠5=α+β.
∵∠EFG=120°，∴∠EFD=120°-α.
又∵∠6=∠5+∠7，∴∠7=60°+α-(α+β)=60°-β，∴∠7=∠QDC=60°-β.
由DQ=FG=BG，DC=BC得△QCD≌△GCB，
∴QC=GC，∠8=∠9.∵∠8+∠10=120°，
∴∠9+∠10=120°.又∵P为QG的中点，
∴PC⊥PG，∴∠PCG=60°，PG=PC.
【解析】【分析】(1)延长GP， 交CD于点H， 求出CH=CG，根据等腰三角形的性质即可推出求出 解直角三角形即可求出CP和PG的数量关系.
(2)思路同上， 延长GP交AD于点H， 连接CH， CG，本题中除了如 (1)中证明 得到DQ=BG，然后推理得到 ，即可得到QC=GC，然后证明∠PCG=60°解答即可；
(3)延长GP至点Q，使得PQ=PG，连接CQ，CG，证明△QCD≌△GCB，即可得到QC=GC，然后推导∠PCG=60°得到结论即可.
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