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专题07 几何中的最值问题（6大题型）
几何中的最值问题是全国中考数学的核心高频考点，常以选择题、填空题压轴或解答题形式出现，综合性较强。该类问题以两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系、圆的基本性质为核心依据，结合对称、旋转、相似、轨迹等知识进行考查。题目侧重对几何模型的识别、转化思想与构造能力的运用，要求学生能快速判定模型、规范转化路径、准确计算结果，是中考区分中档生与高分生的关键题型。
题型一： 将军饮马模型
【例题1】（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，,,，直线垂直平分线段，若点为边BC的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（）
A．9 B．13 C．12 D．14
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质等知识，掌握将军饮马模型是解题关键．
连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题．
【详解】解：连接，，
∵直线垂直平分线段．
，
∵点为边的中点，，
周长，
周长的最小值为，
，点为边的中点，
∵,，
，
解得，
周长的最小值为，
故选：C．
核心依据：两点之间线段最短； 同侧定点作对称点转化为异侧定点； 连接对称点与另一定点，交对称轴于动点； 交点即为使线段和最小的位置； 5. 常考：两定一动、两动一定、周长最小值。
1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，是轴上方的一个动点．若的面积等于面积的，则当的值最小时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了最短路径问题、坐标与图形的性质，关键是利用坐标求解出和的面积，得到点的运动路径是在的直线上，然后，作点关于直线对称的点，连接，利用 “将军饮马” 模型即可得出结果．
【详解】解：∵点，的坐标分别为，
∴，
与同底边，且的面积等于面积的，
∴点P到的距离是3，即点的纵坐标为，
点在直线上运动，
作点关于直线对称的点，连接，则点，
．
当三点共线时，的值最小．
设直线的表达式为，
把点代入，得，
解得，
．令，则，
解得，
当的值最小时，点的坐标为．
故选：C．
2．（2025·四川遂宁·一模）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作E点关于的对称点，连接、 、，当、P、F三点共线，时，此时的值最小，由题意可得，则，根据勾股定理即可求出 的值，即的最小值．
【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，
连接，则，
∴，
当、P、F三点共线，且时，的值最小，
∵是正三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴的最小值．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了将军饮马问题，垂线段最短，等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质以及勾股定理．熟练掌握相关知识是解题的关键．
3．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，正方形的边长是5，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据可得，则，．延长至G，使，则G点与A点关于直线对称，连接交于， 此时的长就是的最小值．求出的长即可得解．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，以及将军饮马．正确的作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴, ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
延长至G，使，则G点与A点关于直线对称，
连接交于，连接，
则，
此时，的值最小，最小值为的长，
∵,，
∴，
∴的最小值为．
故选：D．
6．（2025·山东济宁·模拟预测）如图，矩形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到，作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴
，点G为的中点，
∴，
作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；
，，
，
∴，
∴；
∴的最小值为4；
故选：B．
题型二： 费马点模型
【例题1】如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长．
【详解】解：如图，
∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，
∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，
∴△BFG是等边三角形．
∴BF=BG=FG，．
∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．
根据“两点之间线段最短”，
∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBH=180°-120°=60°，
∴∠BEH=30°，
∵BC=4，
∴BE=4，
∴BH=2，EH=2，在Rt△EHC中，
∵EH2+HC2=EC2，
∴EC=4．
∵∠CBE=120°，
∴∠BEF=30°，
∵∠EBF=∠ABG=30°，
∴EF=BF=FG，
∴EF=CE=，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
解决问题：求三角形内一点到三顶点距离和 PA+PB+PC 最小； 方法：以三角形一边向外旋转 60 构造等边三角形； 利用两点之间线段最短求最小值； 4. 费马点处三向夹角均为 120 。
1．如图，在中，，P是内一点，求的最小值为______．
【答案】
【分析】将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，将转化为，此时当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长；根据勾股定理求解即可．
【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，连接PF、AD、DB，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E；
∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD，
∴△PCF、△ACD是等边三角形，
∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=
∴，
∴当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长；
∵，∠CAD=，
∴∠EAD=，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，将三条线段的长转化到一条直线上．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______．
【答案】/
【分析】如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，，可证是等边三角形，得到，当点四点共线且时，取得最小值，即可求解．
【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
当点四点共线且时，取得最小值，
∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，将绕点顺时针旋转得到，得到是解题的关键．
3．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
【答案】
【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，则MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，推出AM＝MM′可得MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共线时最短；由于点E也为动点，可得当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝DG＋GE的值；
【详解】
解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，
由性质的性质可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，
∴AM＝MM′，
∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，
∴D′M、MM′、ME共线时最短，
由于点E也为动点，
∴当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝D′G＋GE＝
∴MA＋MD＋ME的最小值为，
故答案为：
【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
4．（2022·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________．
【答案】
【分析】如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图2，连接MC，证明AM垂直平分BC，证明AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，构建方程求出x可得结论．
【详解】解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，
∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，
∴△BQN是等边三角形，
∴BQ=QN，
∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，
∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，
此时，如图2，连接MC
∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，
∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，
∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形，
∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，
∵BM=CM，AB=AC，
∴AM垂直平分BC，
∵AD⊥BC，∠BQD=60°，
∴BD=QD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，
∴x=，
∴x=3+，
∴PD=3+．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题．
题型三： 隐圆模型
【例题1】（2023·安徽·一模）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
【答案】A
【分析】根据得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将进行转化即可求解．
【详解】解：如图，设点O为的中点，由题意可知，
点E在以为直径的半圆O上运动，作半圆O关于的对称图形（半圆），
点E的对称点为，连接,则，
∴当点D、P、、共线时，的值最小，最小值为的长，
如图所示，在中，，，
，
又，
，即的最小值为8，
故选：A．
【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将进行转化时解题的关键．
识别轨迹：定角对定边、定点定长、对角互补→轨迹为圆； 确定圆心与半径； 3. 线段最值：定点到圆心距离 ± 半径； 4. 最大弦长为直径，常结合圆周角定理与勾股定理计算。
1．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取的中点，连接，先判断出点在上运动，当共线时，有最小值，据此求解即可．
【详解】解：取的中点，连接，
由旋转的性质知：，
∴点在上运动，
∴当共线时，有最小值，
由旋转的性质知：，，
∴,，
∴，
∴的最小值为，
故选：A．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为( )
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】连接BD，证明△EDB≌△FCD，可得∠BPD＝120°，由于BD的长确定，则点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值．
【详解】解：连接AD，因为∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°，
因为CB＝CD，所以△CBD是等边三角形，
所以BD＝DC
因为DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°，
所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC，
因为∠FDC＋∠BDF＝60°，
所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°，
所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，
直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，所以AB＝2，AC＝4，
所以AP＝2
当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值，
CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2
故选D．
【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值．
3．如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（ ）
A． B． B． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动．由此可找出临界点，当点落在上时，最短，当点落在边上时，最长．根据轴对称的性质分别求解，可得出的取值，进而得最大值．
【详解】解：根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，
如图所示：
当点正好落在边上时，
，
是等边三角形，
，
最短，
此时；
当点落在边上时，最长，
过点作于点，分别过点作的垂线，交的延长线于点．
四边形是矩形，
在菱形中，，，
点在边上，且，
，，，，
，
，
，，，
在中，，，
，
，
，
设，则，，
在中，
由勾股定理可知，，
即，
解得，
，
故答案为：A．
【点睛】本题在折叠的背景下考查菱形的性质，矩形的性质，含角的直角三角形，勾股定理等知识，得出点N的运动轨迹并找到临界点是解题关键．
4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知正方形边长为2，点E是正方形边上的动点，点F在边上，，线段相交于点M，连接，则点E从点A运动到点B的过程中，线段扫过的面积是______．
【答案】
【分析】先证明≌得到，进而证得，利用圆周角定理得到点M在以AD为直径的圆上运动，如图，设圆心为N，连接相交于O，连接，利用正方形的性质和圆周角定理得到点O在圆N上，根据图形结合已知得到在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动，由线段扫过的面积求解即可．
【详解】解：正方形边长为2，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
点M在以为直径的圆弧上运动，
如图，连接相交于O，设圆心为N，连接，则，，，
，
点O在圆N上，
，，
，，
当点E在点A处时，点F在点B处，这时点M在点A处，当点E在点B处时，点F在点C处，这时点M在点O处，
在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动，
线段FM扫过的面积是，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，轨迹，正确地添加所需要的辅助线，得到点M的运动轨迹是解题的关键．
题型四： 胡不归模型
【例题1】如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长．
【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示：
在中，，
∴，
∵
＝，
∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，
此时，，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为12，
故选：D．
【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．
适用：PA+k PB（k<1），动点在直线上； 构造角使 sinθ=k； 3. 将 k PB 转化为垂线段； 4. 利用垂线段最短求最小值； 5. 核心：化折为直、化斜为垂。
1．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．
【答案】4
【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．
【详解】解：如图，
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此时PA+2PB最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF＝，
∴PA+2PB＝2＝＝2BF，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB sin45°＝4，
∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．
2．如图， 中，，，为边上一点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．
【详解】如图，过点作，交的延长线于，

四边形是平行四边形，
，
∴
∵PH丄AD
∴
∴，，
∴
当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，
此时 ，，，
∴ ，
则最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键．
3．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________．

【答案】
【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值．
【详解】解：如图，过点D作于，过点C作于．

∵，
∴，
∵，
设，，
∴，
∴，
∴或（舍弃），
∴，
∵，，，
∴（等腰三角形两腰上的高相等）
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为,
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______．
【答案】/
【分析】作∠OCE=120°，过点P作PG⊥CE于点G，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG=PC；当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，
∴OA=3，OC=3，
作∠OCE=120°，
∵∠OCB=60°，
则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，
过点P作PG⊥CE于点G，如图：
在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，
∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC，
∴AP+PC= AP+PG，
当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小，
延长AG交y轴于点F，
∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，
∴∠CFG=30°，
∴CF=2CG，GF=CF，
在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，
∴AF=2OA=6，OF=，
∴CF=OF-OC=，
∴GF=()=，
∴AG=AF-FG=，
即AP+PC的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小是解题的关键．
题型五：阿氏圆模型
【例题1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）

A．7 B．5 C． D．
【答案】B
【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，
∴PC2＝CM CA，
∴，
∵∠PCM＝∠ACP，

∴△PCM∽△ACP，
∴，
∴PMPA，
∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，
在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，
∴AP+BP≥5，
∴AP+BP的最小值为5．
故选：B．
适用：PA+k PB，动点在圆上； 构造母子相似三角形，将 k PB 转化为定线段； 连接定点，交点即为最优位置； 4. 用相似比确定半径与位置。
1．如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ___________．
【答案】
【分析】取点，连接，．根据，有，即可证明，即有，进而可得，则有，利用勾股定理可得，则有，问题得解．
【详解】解：如图，取点，连接，．
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，（当B、P、T三点共线时取等号）
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
2．如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 __．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长到T，使得，连接，．利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．利用两点之间线段最短得到，利用勾股定理求出即可解题．
【详解】解：延长到T，使得，连接，．
，
，
点D是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又在中，，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
3．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________．
【答案】
【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答．
【详解】解：设⊙O半径为r，
OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，
取OB的中点I，连接PI，
∴OI＝IB＝，
∵， ，
∴ ，∠O是公共角，
∴△BOP∽△POI，
∴，
∴PI＝PB，
∴AP＋PB＝AP＋PI，
∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小，
作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，
∴IE＝BE＝BI＝1，
∴AE＝AB BE＝3，
∴AI＝，
∴AP＋PB最小值＝AI＝，
∵PA＋PB＝（PA＋PB），
∴PA＋PB的最小值是AI＝．
故答案是．
【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．
4．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
【答案】
【分析】如图，连接，在上取一点，使得 ，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得．
【详解】如图，连接，在上取一点，使得 ，
，
在△PDM中，PD-PM＜DM，
当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，
四边形是正方形
在中，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键．
题型六： 瓜豆模型
【例题1】（2019江苏宿迁中考真题）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____．
【答案】
【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值．
【详解】由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动
将绕点旋转，使与重合，得到，
从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上，
作，则即为的最小值，
作，可知四边形为矩形，
则.
故答案为．
【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键．
核心：种瓜得瓜，种豆得豆； 确定主动点、从动点、定点； 确定旋转角与相似比； 主动点轨迹→从动点同形状轨迹（直线→直线，圆→圆）； 5. 按轨迹求最值。
1．（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、，由旋转的性质得到，，，，通过证明得到，利用菱形的性质和等边对等角得到，，则有，分析可得点在过点且与夹角为的直线上运动，当时，有最小值，再利用等腰直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、，
由旋转的性质得到，，，，
，即，
，
，
菱形的边长为4，
，
，
，
E是的中点，
，
，，
，
，
点在过点且与夹角为的直线上运动，
当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，则，
的最小值为，即的最小值为．
故选：A．
2．（2024四川宜宾中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则_____________．

【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长，截取，连接，，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，再证明，根据相似三角形的性质，求出结果即可．
【详解】解：延长，截取，连接，，如图所示：

∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，

∵，
∴，
∴，即，
解得．
故答案为：．
3．（2024山东济南一模）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为______．
【答案】
【分析】过点作于点，连接，则可得，进而可知为定值，所以当时，最小，利用三角函数和相似比列式可表示出、，即可求出结果．
【详解】解：过点作于点，连接，如图所示：
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即在点的运动过程中，的大小不变且等于，
当时，最小，
设此时，
，
，
，
，
，
代入，解得，
，
，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查相似三角形综合，熟练掌握手拉手相似模型是解题关键，确定点G的运动路径是本题的难点．
4．（2025·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是___________．
【答案】
【分析】以为边作等边，连接．证明，得到，从而，因此是定值，即点G在与成定角的直线上运动．过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长．当点E与点A重合时，过点G作于点M，过点F作于点N，求出，，的面积，得到，根据勾股定理求出，再由三角形的面积求出，即可解答．
【详解】解：如图，以为边作等边，连接．
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵在矩形中，，，
∴，
∴，
∴是定值，即点G在与成定角的直线上运动．
过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长．
如图，当点E与点A重合时，
过点G作于点M，过点F作于点N，
∴，
∴．
∵是等边三角形，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
，，
∴在中，
∵，
又，
∴，
∴，
∴点从点运动到点的过程中，线段的最小值是．
故答案为：
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确找出点G的运动轨迹，根据三角形的面积求解是解题的关键．
1．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案．
【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，
∴
∴
∵
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
2．（2020·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，

设Q(，)，则PM=，QM=，
∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，
∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，
∴∠QPM=∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，
，
∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，
∴PN=QM=，Q′N=PM=，
∴ON=1+PN=，
∴Q′(，)，
∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，
当m=2时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
3．（2024山东泰安中考真题）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【分析】如图：过E作于点M，作于点H，作于点I，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到，因为，所以求出的值即可解答．
【详解】解：如图，过E作于点M，作于点H，作于点I，
∵，
∴点E、M、F、G四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴最小值是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识点，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键．
4．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题．
【详解】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，，如图所示，
则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，
∴△APP′是等边三角形，
∴AP=PP′，
∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，
∵PP′+P′B′+PC≥CB′，
∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，
即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，
∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2，
∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB cos∠BAC=2×cos30°=，
∴CB′=，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
5．（2023山东泰安中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵点M为中点，点A为中点，
∴是的中位线，
∴；
在中，，
∴，
∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，
∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，
∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值为3，
故选A．

【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
6．（2024四川泸州中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）

A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴；
如图所示，在延长线上截取，连接，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为5，
故选：B．
7．（2024黑龙江大庆中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（ ）
A．15 B． C． D．18
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解．
【详解】解：过点作，交于，过点作垂足为，
∵矩形，
∴，
∴，
∴四边形和都是矩形，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴，
∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为，
∵，，
∴，
故选：B．
8．（2024四川乐山中考真题）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】该题主要考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上点M的运动路径．
过点C作交于点H，根据，四边形是菱形，得出 垂直平分，再证明垂直平分，点M在上运动，根据解直角三角形 ．即可求解．
【详解】解：过点C作交于点H，连接，
∵，四边形是菱形，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∵点P和点Q关于点C对称，
∴，即垂直平分，
∵交于点M．
∴
∴点M在上运动，
当点P与点B重合时，点M位于点，
此时，∵，四边形是菱形，，
∴，
∴．
故点M的运动路径长为．
故选：B．
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专题07 几何中的最值问题（6大题型）
几何中的最值问题是全国中考数学的核心高频考点，常以选择题、填空题压轴或解答题形式出现，综合性较强。该类问题以两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系、圆的基本性质为核心依据，结合对称、旋转、相似、轨迹等知识进行考查。题目侧重对几何模型的识别、转化思想与构造能力的运用，要求学生能快速判定模型、规范转化路径、准确计算结果，是中考区分中档生与高分生的关键题型。
题型一： 将军饮马模型
【例题1】（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，,,，直线垂直平分线段，若点为边BC的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（）
A．9 B．13 C．12 D．14
核心依据：两点之间线段最短； 同侧定点作对称点转化为异侧定点； 连接对称点与另一定点，交对称轴于动点； 交点即为使线段和最小的位置； 5. 常考：两定一动、两动一定、周长最小值。
1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，是轴上方的一个动点．若的面积等于面积的，则当的值最小时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川遂宁·一模）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，正方形的边长是5，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．
6．（2025·山东济宁·模拟预测）如图，矩形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型二： 费马点模型
【例题1】如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　）
A． B． C． D．
解决问题：求三角形内一点到三顶点距离和 PA+PB+PC 最小； 方法：以三角形一边向外旋转 60 构造等边三角形； 利用两点之间线段最短求最小值； 4. 费马点处三向夹角均为 120 。
1．如图，在中，，P是内一点，求的最小值为______．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______．
3．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
4．（2022·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________．
题型三： 隐圆模型
【例题1】（2023·安徽·一模）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
识别轨迹：定角对定边、定点定长、对角互补→轨迹为圆； 确定圆心与半径； 3. 线段最值：定点到圆心距离 ± 半径； 4. 最大弦长为直径，常结合圆周角定理与勾股定理计算。
1．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为( )
A．1 B． C． D．2
3．如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（ ）
A． B． B． D．
4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知正方形边长为2，点E是正方形边上的动点，点F在边上，，线段相交于点M，连接，则点E从点A运动到点B的过程中，线段扫过的面积是______．
题型四： 胡不归模型
【例题1】如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
适用：PA+k PB（k<1），动点在直线上； 构造角使 sinθ=k； 3. 将 k PB 转化为垂线段； 4. 利用垂线段最短求最小值； 5. 核心：化折为直、化斜为垂。
1．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．
2．如图， 中，，，为边上一点，则的最小值为______．
3．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________．

4．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______．
题型五：阿氏圆模型
【例题1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）

A．7 B．5 C． D．
适用：PA+k PB，动点在圆上； 构造母子相似三角形，将 k PB 转化为定线段； 连接定点，交点即为最优位置； 用相似比确定半径与位置。
1．如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ___________．
2．如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 __．
3．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________．
4．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
题型六： 瓜豆模型
【例题1】（2019江苏宿迁中考真题）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____．
核心：种瓜得瓜，种豆得豆； 确定主动点、从动点、定点； 确定旋转角与相似比； 主动点轨迹→从动点同形状轨迹（直线→直线，圆→圆）； 5. 按轨迹求最值。
1．（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024四川宜宾中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则_____________．

3．（2024山东济南一模）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为______．
4．（2025·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是___________．
1．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)

A． B． C． D．
3．（2024山东泰安中考真题）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．4
4．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________．
5．（2023山东泰安中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．2
6．（2024四川泸州中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）

A．4 B．5 C．8 D．10
7．（2024黑龙江大庆中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（ ）
A．15 B． C． D．18
8．（2024四川乐山中考真题）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
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