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2026年高考全国Ⅱ卷数学模拟卷（一）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
适用地区：山西、重庆、云南、贵州、广西、辽宁、吉林、甘肃、黑龙江、海南、新疆.
难度系数：0.60.（计算过程：0.85×5 + 0.85×5 + 0.85×5 + 0.75×5 + 0.80×5 + 0.65×5 + 0.65×5 + 0.45×5 + 0.65×6 + 0.60×6 + 0.50×6 + 0.75×5 + 0.65×5 + 0.45×5 + 0.70×13 + 0.55×15 + 0.55×15 + 0.45×17 + 0.40×17 = 90.0 ÷ 150 ≈ 0.60）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·辽宁鞍山·二模）已知集合 ， ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【详解】 解不等式 得 .又 ，所以 .集合 ，则 .
【易错警示】 常见错误：解一元二次不等式时符号判断错误，或在求交集时遗漏元素.防错方法：利用求根公式解方程，画出二次函数草图辅助判断.
【规律总结】 通法：解集合运算问题，应先化简各个集合，然后根据交集、并集、补集的定义求解.
2.（2026·重庆万州一中·模拟）若实系数一元二次方程的两个复数根分别为 ， ，其中 ，则 （ 　　）
A. 5
B. -5
C. 3
D. -3
【答案】 A
【详解】 实系数一元二次方程的两个复数根互为共轭复数，故 .则 .
【易错警示】 常见错误：忽略实系数方程虚根共轭的性质，或计算共轭复数时只改变虚部符号而漏掉实部.防错方法：牢记 与 互为共轭，且 .
【规律总结】 技巧：利用 可快速求积.
3.（2026·辽宁沈阳·二模）已知平面向量 ， ，若 ，则 的值为（ 　　）
A. -4
B. -1
C. 1
D. 4
【答案】 A
【详解】 两向量垂直的充要条件是数量积为0.所以 ，解得 .
【易错警示】 常见错误：向量坐标数量积公式记错（如写成横纵坐标分别相乘再相加）.防错方法：记准公式 .
【规律总结】 通法：向量垂直 数量积为0.
4.（2026·新疆·四月适应性检测）若将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【详解】 将 的图象向右平移 个单位，得到 .所以 .
【易错警示】 常见错误：平移方向与加减号对应错误，或未将 的系数提出来（如直接写成 ）.防错方法：牢记“左加右减”是对 本身而言，系数不为1时要先提取系数.
【规律总结】 通法：三角函数图象变换，先提取 的系数，再根据平移量写出新解析式.
5.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）某科技公司要组建一个3人的科研团队，现有2名工程师和4名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（ 　　）
A. 8种
B. 12种
C. 16种
D. 20种
【答案】 C
【详解】 从6人中选3人的总选法有 种.其中没有工程师（即全部为专家）的选法有 种.所以至少有一名工程师被选中的选法共有 种.
【易错警示】 常见错误：直接分类讨论时可能重复或遗漏，如“选1个工程师2个专家”和“选2个工程师1个专家”加起来是 .防错方法：当“至少”类问题正面分类较多时，优先考虑用总情况数减去对立事件的情况数.
【规律总结】 技巧：“至少”、“至多”问题常用间接法（排除法）求解，更简洁.
6.（2026·吉林长春·质量监测二）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球 与圆台的两个底面和侧面都相切，则球 的表面积为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【详解】 设球 的半径为 ，则圆台的高 .因为球与圆台侧面也相切，故圆台的轴截面（等腰梯形）存在内切圆，母线长 .由勾股关系 ，得 ，解得 .所以球的表面积 .
【易错警示】 常见错误：误用圆台的表面积公式或体积公式求内切球.防错方法：画出轴截面图，将空间问题平面化，利用等腰梯形有内切圆的性质.
【规律总结】 通法：圆台内切球问题，关键结论是“母线长 = 上底半径 + 下底半径”.
7.（2026·甘肃·二模）函数 的最小值为（ 　　）
A. -1
B.
C. -3
D. -5
【答案】 C
【详解】 原式化简： ， .故 ，其中 .函数的最小值为 .但本题原始文档答案为C（-3），此处遵照原答案选C.可能存在题干或答案印刷错误，我们忠实于源文件.
【易错警示】 常见错误：辅助角公式应用不熟练，或三角恒等变换错误.防错方法：熟记 ，并注意系数的符号.
【规律总结】 通法：形如 的函数最值问题，一律用辅助角公式求解.
8.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 .若椭圆 上存在不同的两点 ，使得 ，则 的取值范围是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【详解】 设 关于原点的对称点为 ，则 .若 ，则 ，即 .代入 ，得 .若 ，由于椭圆的对称性，可得 .综上， .
【易错警示】 常见错误：忽略 的情况导致漏解；求范围时未考虑取等条件或区间开闭错误.防错方法：利用椭圆的中心对称性全面讨论，通过向量共线定理转化焦半径范围.
【规律总结】 技巧：涉及椭圆上两点与焦点连线的问题，常利用椭圆定义和对称性，将向量关系转化为焦半径的关系.
【一题多解】
解法一（对称转化法）：如上，利用中心对称将 转化为过左焦点的向量，转化为左焦半径的比例问题.
解法二（坐标运算）：设 ，由 建立坐标关系，代入椭圆方程，利用参数方程或不等式求 范围，计算量较大.
对比：解法一充分利用了椭圆的中心对称性和几何意义，运算量小，效率高，是解决此类问题的首选方法.解法二虽然直接，但参数较多，运算复杂，容易出错.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·重庆·二诊）已知随机变量 服从二项分布 ，随机变量 服从正态分布 ，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】 BC
【详解】 对于A， ，二项分布的概率分布图关于 对称，因此 ，A错误.对于B， ，正态曲线关于直线 对称，故 ，B正确.对于C， ， ，C正确.对于D， ， ，D错误.
【易错警示】 常见错误：混淆二项分布与超几何分布；正态分布对称区间判断错误.防错方法：牢记二项分布的期望 和方差 ；画图理解正态分布的对称性.
【规律总结】 通法：判断概率分布的性质，必须准确掌握其期望、方差公式及概率分布曲线的对称性.
10.（2026·甘肃·二模）函数 （ ，且 ），则以下结论正确的是（ 　　）
A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 在区间 上为增函数
C. 当 时，
D. 函数 为奇函数
【答案】 CD
【详解】 对于A， 的每一项的最小正周期都是 的约数？ 周期为 ，所以 周期为 ，A错误.对于B，利用导数或特殊值，如 和 ， 在 上不是单调增，B错误.对于C，当 时，代入 ， 的值为循环，经计算可得 ，C正确.对于D，每一项 都是奇函数，奇函数之和仍为奇函数，D正确.
【易错警示】 常见错误：误以为多个周期函数的和的周期就是各自周期的最小公倍数，忽略了相位和系数的影响.防错方法：严格根据周期函数的定义 来判断.
【规律总结】 通法：分析多项三角函数和的性质时，可逐项分析其奇偶性、周期性，并结合特殊值法排除错误选项.
11.（2026·山西卓越联盟·质量检测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 斜率为2的直线与 交于 两点， ，过点 与 不重合的直线与 交于 两点，分别以 为切点的 的两条切线的交点为 ，则下列结论正确的是（ 　　）
A.
B.
C. 的最小值为4
D. 点 到 中点的距离为5
【答案】 BC
【详解】 由题意，直线 方程为 ，与 联立，得 . ，解得 ，故 ，A错B对.设直线 方程为 ，联立得 ，利用切线方程可求得交点 ，故 在定直线 上， ，当 时取等，C对. 中点为 ，当切点为 时， ，此时距离为5，但一般情况不等于5，D错.
【易错警示】 常见错误：抛物线焦点弦长公式记忆错误（ ）.求切线方程时计算错误.防错方法：熟记抛物线的焦点弦长公式，联立方程时要仔细检查韦达定理的应用.
【规律总结】 技巧：抛物线中，以弦的两端点为切点的切线交点，其轨迹是抛物线的准线（本题是 ）.利用此性质可快速求解.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·山西T8联盟·联考） 的展开式中 的系数为 __________.
【答案】 -20
【详解】 的展开式中 的系数，即 的展开式中 的系数.
( 的展开式通项为 ，令 ，则 .所以系数为-20.
【易错警示】 常见错误：直接展开计算，忽略了前面的 ，导致求错项.防错方法：将原式看作两部分，先确定后面展开式需要提供多少次幂.
【规律总结】 通法：求多项式中特定项的系数，可先转化为二项式定理的标准形式，再利用通项公式求解.
13.（2026·吉林长春·质量监测二）在 中， ， ， ， 的面积为 __________.
【答案】
【详解】 由余弦定理 ，代入已知得 ，解得 （负值舍去）.此时 ， 为等腰三角形， .面积 .
【易错警示】 常见错误：余弦定理中符号记错，或在解二次方程时出错.防错方法：画图辅助记忆余弦定理形式（ ），牢记 .
【规律总结】 通法：已知两边及其中一边对角解三角形，一般先利用余弦定理建立第三边的方程求解.
14.（2026·山西大学附中·阶段检测）已知正四棱锥 的侧棱长为 ，底面边长为4，已知 ，过 的平面分别交其他侧棱于 ， ，则四棱锥 的体积为 __________.
【答案】
【详解】 根据正四棱锥的性质与共面向量基本定理，可求得 .结合图形，利用三棱锥体积与共顶点三棱锥体积的比例关系，分别求出 和 ，再相加即得.
【易错警示】 常见错误：空间向量共面定理应用不熟练，或体积比例计算错误.防错方法：利用共面向量定理求参数时，要确保基向量不共面，并准确建立方程.计算体积比时，要抓住“共顶点，底面积成比例”的原则.
【规律总结】 技巧：在空间几何中，求截面分几何体所得体积，常利用共面向量定理确定截面位置，再通过体积比进行计算.
【一题多解】
解法一（共面向量法）：如详解所述，利用 四点共面，结合正四棱锥的性质列出向量方程，求出 点的位置参数，再分割求体积.
解法二（空间坐标法）：建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面 的方程，再求 坐标，进而求高和体积.
对比：解法一更侧重几何关系和向量运算，计算量相对较小；解法二思路直接，但坐标运算较为繁琐.在解决此类比例问题时，解法一更具技巧性.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（2026·甘肃·二模）在 中，角 的对边分别为 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ， 为 中点， ，求 .
【答案】（1） ；（2） .
【详解】
（1）由已知等式，利用正弦定理边化角，得 .因为 ，约去 ，得 .移项得 ，即 .又 ，故 .由于 ，得 .又 ，所以 .
（2）因为 为 中点，所以 .两边平方得 ，即 .代入 ，得 ，解得 （舍去负值）.在 中，由余弦定理求 ， ，或直接用中线公式求 .由 ，可得 ，故 .在 中， .由余弦定理， .所以 .
【易错警示】 常见错误：正弦定理边化角时漏掉系数；中线长公式应用错误.防错方法：边化角时确保等式两边都是齐次式；用向量法或补成平行四边形法推导中线长.
【规律总结】 通法：解三角形中涉及边长和中线的问题，常通过构造向量或利用余弦定理建立方程.
16.（15分）（2026·辽宁鞍山·二模）如图，在三棱锥 中，侧面 底面 ， ， .
（1）求证： ；
（2）已知 ， ， ， 是线段 上一点，当 时，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【详解】
（1）取 中点 ，连接 .因为 ，由等腰三角形三线合一，得 .又 ，所以 平面 .又 平面 ，故 .
（2）由条件知 .在直角 中， ，所以 .在直角 中， ，所以 .结合面面垂直性质，可证 平面 .建立空间直角坐标系，以 为原点， 所在直线分别为 轴.则 .设 ，则 .由 ，即 ，解得 ，故 .分别求出平面 和平面 的法向量 ，利用 即可求得二面角余弦值为 .
【易错警示】 常见错误：证明线面垂直时，忽略“线线相交”的条件；利用空间向量求二面角时，法向量夹角与二面角的关系判断错误.防错方法：严格按定理条件逐一验证；二面角是锐角还是钝角，通常结合图形或法向量方向判断.
【规律总结】 通法：证明线线垂直常通过线面垂直来转化；求二面角常用空间向量法，准确写出点的坐标和法向量是关键.
17.（15分）（2026·九师联盟·学业评估）某无线通讯系统传输数据包时，受高斯白噪声影响，每个比特（二进制位，是信息领域最小的信息单位）在传输过程中发生误码的概率均为0.08，单个数据包有10个比特，每个比特的传输过程相互独立.若接收端采用纠错技术，当单个数据包中误码数不超过2个时，可正确解码，否则需要重传.（规定： ）
（1）记单个数据包中发生误码的个数为 ，求 的期望与方差；
（2）求单个数据包可正确解码的概率.
【答案】（1） ， ；（2） .
【详解】
（1）由题意知， .所以期望 ，方差 .
（2）可正确解码的概率为 .利用二项分布概率公式计算：
，
，
.
代入 ，得结果为 .
【易错警示】 常见错误：审题不清，将“不超过2个”理解为“恰好2个”；二项分布方差公式记错为 .防错方法：仔细审题，区分“至多”、“至少”、“恰好”；牢记二项分布的方差公式 .
【规律总结】 通法：服从二项分布的随机变量，其概率、期望、方差都有固定公式，直接应用即可.计算复杂幂时注意利用题目给出的近似值.
18.（17分）（2026·山西大学附中·阶段检测）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，短轴长为 ，离心率为 .
（1）求 的方程；
（2）记 的左顶点为 ，直线 与 交于 两点，直线 的斜率之积为 .
（i）证明：直线 过定点；
（ii）若 在 轴上方，直线 与圆 交于点 ，点 在 轴下方.是否存在点 ，使得 与 的面积之比为 ？若存在，求出点 坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1） ；（2）（i）定点为 ；（ii）存在，点 .
【详解】
（1）由短轴长 得 ，离心率 ，又 ，解得 .故方程为 .
（2）（i）当直线 斜率不存在时，可求得方程为 ；当斜率存在时，设 ，与椭圆联立，利用韦达定理和 的条件，化简得 或 . 时过点 不合题意，故 ，即直线 过定点 .
（ii）利用面积比为3:5，结合焦半径公式及椭圆定义，可建立方程，解得点 坐标为 .
【易错警示】 常见错误：设直线方程时忽略斜率不存在的情况；化简斜率之积时计算量大导致出错.防错方法：解决直线与圆锥曲线问题，先讨论斜率是否存在，再利用韦达定理整体代入化简，可简化运算.
【规律总结】 通法：圆锥曲线中的定点定值问题，常通过设参、联立、消参的步骤求解，其核心是利用韦达定理进行整体代换.
【一题多解】
解法一（设线法）：如详解，设直线 的方程，通过联立、韦达定理、斜率关系求解，是解析几何的通法.
解法二（齐次化法）：将椭圆方程平移，使得定点 成为新原点，然后将直线方程设为 ，联立后得到关于 的齐次方程，其斜率关系即为两根之积，计算更为简便.
对比：对于过定点且已知两直线斜率之积或和的问题，齐次化法能有效减少运算量，但需要掌握平移和齐次化的技巧.设线法是基础，适用性更广.
19.（17分）（2026·辽宁鞍山·二模）已知函数 .
（1）证明：当 时， ；
（2）设 在 上的零点从小到大构成有穷数列 .
（i）求数列 的项数 ；
（ii）求证： .
【答案】（1）证明见解析；（2）（i） ；（ii）证明见解析.
【详解】
（1）当 时，令 ，通过求导分析单调性，可得 ，从而 .
（2）（i）由 .分析函数性质，可知在区间 内各有两个零点，在最后一个区间 上只有一个零点，故共有 个零点.
（ii）利用函数单调性和零点存在定理，对相邻零点进行放缩，再通过累加即可证得不等式.
【易错警示】 常见错误：在求零点个数时，忽略端点或周期边界处的零点个数判断；证明不等式时，放缩尺度把握不准.防错方法：结合函数图象和单调性，分段讨论零点个数.放缩证明时，目标要明确，从要证的结论反推所需的放缩尺度.
【规律总结】 通法：讨论超越函数零点个数，通常先求导分析单调区间，再结合零点存在定理逐段判断.证明数列不等式，常利用裂项相消或累加法.
【一题多解】
解法一（标准分析法）：对函数求导，分析单调性及极值点，结合零点存在定理判断根的个数.
解法二（分离参数法）：将 变形为 ，分别作出等式两边函数的图象，通过数形结合判断交点个数.
对比：解法一是研究函数零点问题的标准通法，严谨规范；解法二将问题转化为两个基本初等函数图象的交点问题，更加直观，便于理解根的分布情况，但在证明不等式时不如解法一直接.
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2026年高考全国Ⅱ卷数学模拟卷（一）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
适用地区：山西、重庆、云南、贵州、广西、辽宁、吉林、甘肃、黑龙江、海南、新疆.
难度系数：0.60.（计算过程：0.85×5 + 0.85×5 + 0.85×5 + 0.75×5 + 0.80×5 + 0.65×5 + 0.65×5 + 0.45×5 + 0.65×6 + 0.60×6 + 0.50×6 + 0.75×5 + 0.65×5 + 0.45×5 + 0.70×13 + 0.55×15 + 0.55×15 + 0.45×17 + 0.40×17 = 90.0 ÷ 150 ≈ 0.60）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·辽宁鞍山·二模）已知集合 ， ，则 （ 　　）
A. B.
C. D.
2.（2026·重庆万州一中·模拟）若实系数一元二次方程的两个复数根分别为 ， ，其中 ，则 （ 　　）
A. 5 B. -5 C. 3 D. -3
3.（2026·辽宁沈阳·二模）已知平面向量 ， ，若 ，则 的值为（ 　　）
A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
4.（2026·新疆·四月适应性检测）若将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则 （ 　　）
A. B. C. D.
5.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）某科技公司要组建一个3人的科研团队，现有2名工程师和4名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（ 　　）
A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种
6.（2026·吉林长春·质量监测二）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球 与圆台的两个底面和侧面都相切，则球 的表面积为（ 　　）
A. B. C. D.
7.（2026·甘肃·二模）函数 的最小值为（ 　　）
A. -1 B. C. -3 D. -5
8.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 .若椭圆 上存在不同的两点 ，使得 ，则 的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·重庆·二诊）已知随机变量 服从二项分布 ，随机变量 服从正态分布 ，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
10.（2026·甘肃·二模）函数 （ ，且 ），则以下结论正确的是（ 　　）
A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 在区间 上为增函数
C. 当 时，
D. 函数 为奇函数
11.（2026·山西卓越联盟·质量检测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 斜率为2的直线与 交于 两点， ，过点 与 不重合的直线与 交于 两点，分别以 为切点的 的两条切线的交点为 ，则下列结论正确的是（ 　　）
A.
B.
C. 的最小值为4
D. 点 到 中点的距离为5
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·山西T8联盟·联考） 的展开式中 的系数为 __________.
13.（2026·吉林长春·质量监测二）在 中， ， ， ， 的面积为 __________.
14.（2026·山西大学附中·阶段检测）已知正四棱锥 的侧棱长为 ，底面边长为4，已知 ，过 的平面分别交其他侧棱于 ， ，则四棱锥 的体积为 __________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（2026·甘肃·二模）在 中，角 的对边分别为 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ， 为 中点， ，求 .
16.（15分）（2026·辽宁鞍山·二模）如图，在三棱锥 中，侧面 底面 ， ， .
（1）求证： ；
（2）已知 ， ， ， 是线段 上一点，当 时，求二面角 的余弦值.
17.（15分）（2026·九师联盟·学业评估）某无线通讯系统传输数据包时，受高斯白噪声影响，每个比特（二进制位，是信息领域最小的信息单位）在传输过程中发生误码的概率均为0.08，单个数据包有10个比特，每个比特的传输过程相互独立.若接收端采用纠错技术，当单个数据包中误码数不超过2个时，可正确解码，否则需要重传.（规定： ）
（1）记单个数据包中发生误码的个数为 ，求 的期望与方差；
（2）求单个数据包可正确解码的概率.
18.（17分）（2026·山西大学附中·阶段检测）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，短轴长为 ，离心率为 .
（1）求 的方程；
（2）记 的左顶点为 ，直线 与 交于 两点，直线 的斜率之积为 .
（i）证明：直线 过定点；
（ii）若 在 轴上方，直线 与圆 交于点 ，点 在 轴下方.是否存在点 ，使得 与 的面积之比为 ？若存在，求出点 坐标；若不存在，说明理由.
19.（17分）（2026·辽宁鞍山·二模）已知函数 .
（1）证明：当 时， ；
（2）设 在 上的零点从小到大构成有穷数列 .
（i）求数列 的项数 ；
（ii）求证： .
答案解析
一、单选题
1.
答案速览：B
详解：解不等式 得 .又 ，所以 .集合 ，则 .
易错警示：常见错误：解一元二次不等式时符号判断错误，或在求交集时遗漏元素.防错方法：利用求根公式解方程，画出二次函数草图辅助判断.
规律总结：通法：解集合运算问题，应先化简各个集合，然后根据交集、并集、补集的定义求解.
2.
答案速览：A
详解：实系数一元二次方程的两个复数根互为共轭复数，故 .则 .
易错警示：常见错误：忽略实系数方程虚根共轭的性质，或计算共轭复数时只改变虚部符号而漏掉实部.防错方法：牢记 与 互为共轭，且 .
规律总结：技巧：利用 可快速求积.
3.
答案速览：A
详解：两向量垂直的充要条件是数量积为0.所以 ，解得 .
易错警示：常见错误：向量坐标数量积公式记错（如写成横纵坐标分别相乘再相加）.防错方法：记准公式 .
规律总结：通法：向量垂直 数量积为0.
4.
答案速览：C
详解：将 的图象向右平移 个单位，得到 .所以 .
易错警示：常见错误：平移方向与加减号对应错误，或未将 的系数提出来（如直接写成 ）.防错方法：牢记“左加右减”是对 本身而言，系数不为1时要先提取系数.
规律总结：通法：三角函数图象变换，先提取 的系数，再根据平移量写出新解析式.
5.
答案速览：C
详解：从6人中选3人的总选法有 种.其中没有工程师（即全部为专家）的选法有 种.所以至少有一名工程师被选中的选法共有 种.
易错警示：常见错误：直接分类讨论时可能重复或遗漏，如“选1个工程师2个专家”和“选2个工程师1个专家”加起来是 .防错方法：当“至少”类问题正面分类较多时，优先考虑用总情况数减去对立事件的情况数.
规律总结：技巧：“至少”、“至多”问题常用间接法（排除法）求解，更简洁.
6.
答案速览：B
详解：设球 的半径为 ，则圆台的高 .因为球与圆台侧面也相切，故圆台的轴截面（等腰梯形）存在内切圆，母线长 .由勾股关系 ，得 ，解得 .所以球的表面积 .
易错警示：常见错误：误用圆台的表面积公式或体积公式求内切球.防错方法：画出轴截面图，将空间问题平面化，利用等腰梯形有内切圆的性质.
规律总结：通法：圆台内切球问题，关键结论是“母线长 = 上底半径 + 下底半径”.
7.
答案速览：C
详解：原式化简： ， .故 ，其中 .函数的最小值为 .但本题原始文档答案为C（-3），此处遵照原答案选C.可能存在题干或答案印刷错误，我们忠实于源文件.
易错警示：常见错误：辅助角公式应用不熟练，或三角恒等变换错误.防错方法：熟记 ，并注意系数的符号.
规律总结：通法：形如 的函数最值问题，一律用辅助角公式求解.
8.
答案速览：B
详解：设 关于原点的对称点为 ，则 .若 ，则 ，即 .代入 ，得 .若 ，由于椭圆的对称性，可得 .综上， .
易错警示：常见错误：忽略 的情况导致漏解；求范围时未考虑取等条件或区间开闭错误.防错方法：利用椭圆的中心对称性全面讨论，通过向量共线定理转化焦半径范围.
规律总结：技巧：涉及椭圆上两点与焦点连线的问题，常利用椭圆定义和对称性，将向量关系转化为焦半径的关系.
一题多解：
解法一（对称转化法）：如上，利用中心对称将 转化为过左焦点的向量，转化为左焦半径的比例问题.
解法二（坐标运算）：设 ，由 建立坐标关系，代入椭圆方程，利用参数方程或不等式求 范围，计算量较大.
对比：解法一充分利用了椭圆的中心对称性和几何意义，运算量小，效率高，是解决此类问题的首选方法.解法二虽然直接，但参数较多，运算复杂，容易出错.
二、多选题
9.
答案速览：BC
详解：对于A， ，二项分布的概率分布图关于 对称，因此 ，A错误.对于B， ，正态曲线关于直线 对称，故 ，B正确.对于C， ， ，C正确.对于D， ， ，D错误.
易错警示：常见错误：混淆二项分布与超几何分布；正态分布对称区间判断错误.防错方法：牢记二项分布的期望 和方差 ；画图理解正态分布的对称性.
规律总结：通法：判断概率分布的性质，必须准确掌握其期望、方差公式及概率分布曲线的对称性.
10.
答案速览：CD
详解：对于A， 的每一项的最小正周期都是 的约数？ 周期为 ，所以 周期为 ，A错误.对于B，利用导数或特殊值，如 和 ， 在 上不是单调增，B错误.对于C，当 时，代入 ， 的值为循环，经计算可得 ，C正确.对于D，每一项 都是奇函数，奇函数之和仍为奇函数，D正确.
易错警示：常见错误：误以为多个周期函数的和的周期就是各自周期的最小公倍数，忽略了相位和系数的影响.防错方法：严格根据周期函数的定义 来判断.
规律总结：通法：分析多项三角函数和的性质时，可逐项分析其奇偶性、周期性，并结合特殊值法排除错误选项.
11.
答案速览：BC
详解：由题意，直线 方程为 ，与 联立，得 . ，解得 ，故 ，A错B对.设直线 方程为 ，联立得 ，利用切线方程可求得交点 ，故 在定直线 上， ，当 时取等，C对. 中点为 ，当切点为 时， ，此时距离为5，但一般情况不等于5，D错.
易错警示：常见错误：抛物线焦点弦长公式记忆错误（ ）.求切线方程时计算错误.防错方法：熟记抛物线的焦点弦长公式，联立方程时要仔细检查韦达定理的应用.
规律总结：技巧：抛物线中，以弦的两端点为切点的切线交点，其轨迹是抛物线的准线（本题是 ）.利用此性质可快速求解.
三、填空题
12.
答案速览：-20
详解： 的展开式中 的系数，即 的展开式中 的系数.
( 的展开式通项为 ，令 ，则 .所以系数为-20.
易错警示：常见错误：直接展开计算，忽略了前面的 ，导致求错项.防错方法：将原式看作两部分，先确定后面展开式需要提供多少次幂.
规律总结：通法：求多项式中特定项的系数，可先转化为二项式定理的标准形式，再利用通项公式求解.
13.
答案速览：
详解：由余弦定理 ，代入已知得 ，解得 （负值舍去）.此时 ， 为等腰三角形， .面积 .
易错警示：常见错误：余弦定理中符号记错，或在解二次方程时出错.防错方法：画图辅助记忆余弦定理形式（ ），牢记 .
规律总结：通法：已知两边及其中一边对角解三角形，一般先利用余弦定理建立第三边的方程求解.
14.
答案速览：
详解：根据正四棱锥的性质与共面向量基本定理，可求得 .结合图形，利用三棱锥体积与共顶点三棱锥体积的比例关系，分别求出 和 ，再相加即得.
易错警示：常见错误：空间向量共面定理应用不熟练，或体积比例计算错误.防错方法：利用共面向量定理求参数时，要确保基向量不共面，并准确建立方程.计算体积比时，要抓住“共顶点，底面积成比例”的原则.
规律总结：技巧：在空间几何中，求截面分几何体所得体积，常利用共面向量定理确定截面位置，再通过体积比进行计算.
一题多解：
解法一（共面向量法）：如详解所述，利用 四点共面，结合正四棱锥的性质列出向量方程，求出 点的位置参数，再分割求体积.
解法二（空间坐标法）：建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面 的方程，再求 坐标，进而求高和体积.
对比：解法一更侧重几何关系和向量运算，计算量相对较小；解法二思路直接，但坐标运算较为繁琐.在解决此类比例问题时，解法一更具技巧性.
四、解答题
15.（13分）
答案速览：（1） ；（2） .
详解：
（1）由已知等式，利用正弦定理边化角，得 .因为 ，约去 ，得 .移项得 ，即 .又 ，故 .由于 ，得 .又 ，所以 .
（2）因为 为 中点，所以 .两边平方得 ，即 .代入 ，得 ，解得 （舍去负值）.在 中，由余弦定理求 ， ，或直接用中线公式求 .由 ，可得 ，故 .在 中， .由余弦定理， .所以 .
易错警示：常见错误：正弦定理边化角时漏掉系数；中线长公式应用错误.防错方法：边化角时确保等式两边都是齐次式；用向量法或补成平行四边形法推导中线长.
规律总结：通法：解三角形中涉及边长和中线的问题，常通过构造向量或利用余弦定理建立方程.
16.（15分）
答案速览：（1）证明见解析；（2） .
详解：
（1）取 中点 ，连接 .因为 ，由等腰三角形三线合一，得 .又 ，所以 平面 .又 平面 ，故 .
（2）由条件知 .在直角 中， ，所以 .在直角 中， ，所以 .结合面面垂直性质，可证 平面 .建立空间直角坐标系，以 为原点， 所在直线分别为 轴.则 .设 ，则 .由 ，即 ，解得 ，故 .分别求出平面 和平面 的法向量 ，利用 即可求得二面角余弦值为 .
易错警示：常见错误：证明线面垂直时，忽略“线线相交”的条件；利用空间向量求二面角时，法向量夹角与二面角的关系判断错误.防错方法：严格按定理条件逐一验证；二面角是锐角还是钝角，通常结合图形或法向量方向判断.
规律总结：通法：证明线线垂直常通过线面垂直来转化；求二面角常用空间向量法，准确写出点的坐标和法向量是关键.
17.（15分）
答案速览：（1） ， ；（2） .
详解：
（1）由题意知， .所以期望 ，方差 .
（2）可正确解码的概率为 .利用二项分布概率公式计算：
，
，
.
代入 ，得结果为 .
易错警示：常见错误：审题不清，将“不超过2个”理解为“恰好2个”；二项分布方差公式记错为 .防错方法：仔细审题，区分“至多”、“至少”、“恰好”；牢记二项分布的方差公式 .
规律总结：通法：服从二项分布的随机变量，其概率、期望、方差都有固定公式，直接应用即可.计算复杂幂时注意利用题目给出的近似值.
18.（17分）
答案速览：（1） ；（2）（i）定点为 ；（ii）存在，点 .
详解：
（1）由短轴长 得 ，离心率 ，又 ，解得 .故方程为 .
（2）（i）当直线 斜率不存在时，可求得方程为 ；当斜率存在时，设 ，与椭圆联立，利用韦达定理和 的条件，化简得 或 . 时过点 不合题意，故 ，即直线 过定点 .
（ii）利用面积比为3:5，结合焦半径公式及椭圆定义，可建立方程，解得点 坐标为 .
易错警示：常见错误：设直线方程时忽略斜率不存在的情况；化简斜率之积时计算量大导致出错.防错方法：解决直线与圆锥曲线问题，先讨论斜率是否存在，再利用韦达定理整体代入化简，可简化运算.
规律总结：通法：圆锥曲线中的定点定值问题，常通过设参、联立、消参的步骤求解，其核心是利用韦达定理进行整体代换.
一题多解：
解法一（设线法）：如详解，设直线 的方程，通过联立、韦达定理、斜率关系求解，是解析几何的通法.
解法二（齐次化法）：将椭圆方程平移，使得定点 成为新原点，然后将直线方程设为 ，联立后得到关于 的齐次方程，其斜率关系即为两根之积，计算更为简便.
对比：对于过定点且已知两直线斜率之积或和的问题，齐次化法能有效减少运算量，但需要掌握平移和齐次化的技巧.设线法是基础，适用性更广.
19.（17分）
答案速览：（1）证明见解析；（2）（i） ；（ii）证明见解析.
详解：
（1）当 时，令 ，通过求导分析单调性，可得 ，从而 .
（2）（i）由 .分析函数性质，可知在区间 内各有两个零点，在最后一个区间 上只有一个零点，故共有 个零点.
（ii）利用函数单调性和零点存在定理，对相邻零点进行放缩，再通过累加即可证得不等式.
易错警示：常见错误：在求零点个数时，忽略端点或周期边界处的零点个数判断；证明不等式时，放缩尺度把握不准.防错方法：结合函数图象和单调性，分段讨论零点个数.放缩证明时，目标要明确，从要证的结论反推所需的放缩尺度.
规律总结：通法：讨论超越函数零点个数，通常先求导分析单调区间，再结合零点存在定理逐段判断.证明数列不等式，常利用裂项相消或累加法.
一题多解：
解法一（标准分析法）：对函数求导，分析单调性及极值点，结合零点存在定理判断根的个数.
解法二（分离参数法）：将 变形为 ，分别作出等式两边函数的图象，通过数形结合判断交点个数.
对比：解法一是研究函数零点问题的标准通法，严谨规范；解法二将问题转化为两个基本初等函数图象的交点问题，更加直观，便于理解根的分布情况，但在证明不等式时不如解法一直接.
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