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2026年广东省深圳市桃源居中澳实验学校高考数学二模试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数，则=（　　）
A. 1+i B. C. D.
2.集合，则A∩（ RB）=（　　）
A. {x|x＜-1} B. {x|x＞3} C. {x|-1＜x≤3} D. {x|-1≤x≤3}
3.已知向量满足，则与的夹角为（　　）
A. B. C. D.
4.过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF|=3，△OFP的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（　　）
A. B. C. D.
5.春节期间，某人计划去A，B，C，D，E，F六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求A在B之前，C与D相邻，则不同的游览顺序有（　　）
A. 24 B. 60 C. 120 D. 240
6.已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球体积为，则圆锥的侧面积为（　　）
A. B. 3π C. D. 6π
7.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象，若g（x）图象的一个对称中心为，则ω的最小值为（　　）
A. B. 1 C. D. 2
8.已知函数，f′（x）为f（x）的导函数，若 x1∈[m,+∞）， x2∈R，使得f（x1）=f′（x2），则实数m的最小值为（　　）
A. 1 B. 2 C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知第一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为1，第二组样本数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数为14，则（　　）
A. 第一组数据的平均数为4 B. 第二组数据的方差为3
C. 将两组数据合并后数据的平均数是9 D. 将两组数据合并后数据的方差是30
10.已知数列{an}满足a1=1，，则下列结论正确的是（　　）
A. {an}是递增数列 B. 当n＞2时，an＞n
C. D.
11.某市以“渤海湾畔、生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线C，其方程为x2+y2+2|x|-2|y|=0.对于曲线C，则下列结论正确的是（　　）
A. 若直线y=kx与曲线C有唯一公共点，则k取值范围为
B. 曲线C上存在唯一的点P，使得点P到点（0，5）与到点（0，-5）的距离之差为4
C. 曲线C所围成的封闭区域面积等于2π-4
D. 若曲线C上恰好存在4个不同点到直线y=x+m的距离为，则实数m的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（x-2y）（2x-y）5的展开式中x2y4的系数为 .
13.= .
14.已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，P为它们的一个公共点，且|PO|=|F2O|，O为坐标原点，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且2ccosA=acosB+bcosA.
（1）求角A；
（2）若△ABC的周长为，且△ABC外接圆的半径为1，求△ABC的面积.
16.(本小题15分)
如图，AC，BD是圆柱OO1下底面圆的两条直径，点E是该圆柱上底面圆周上一点，AE的中点为M.
（1）证明：CE∥平面BDM；
（2）CF是该圆柱的母线，若四边形CDEF是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，求直线BM与平面ACE所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=（2x-1）ex.
（1）证明：在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线y=3x的斜率相等；
（2）当x 1时，不等式f（x） kx-2恒成立，求实数k的取值范围.
18.(本小题17分)
已知抛物线Γ：y2=2px（p＞0）的焦点F到准线l的距离为2，点D（p,0），过F的直线交Γ于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为A1，B1，直线A1D，B1D与直线AB分别交于点M，N.
（1）求Γ的方程；
（2）记M，N的纵坐标分别为yM，yN，当时，求直线AB的斜率；
（3）设E为x轴上一点，记k1，k2分别为直线ME，ND的斜率.若为定值，求点E的坐标.
19.(本小题17分)
南昌二中一直有个优秀的传统“毕业学习经验分享会”：每届高考结束后，各班推荐优秀学生代表与下一届学生进行学习经验分享.2024届高三年级班号依次为0，1，2，…，27，高三0班推荐2名男生和2名女生，其余各班均推荐1名男生和1名女生参加分享会；第一场分享会的4名学生嘉宾是从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同形成，第二场分享会的4名学生嘉宾是从上一场4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同形成，…，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会.
（1）求在第一场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率；
（2）求在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率；
（3）记在第二十七场分享会学生嘉宾中男生人数为X，求X的分布列和期望.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】BC
12.【答案】90
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）∵2ccosA=acosB+bcosA，
由正弦定理得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA，
因为sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，
所以2sinCcosA=sinC，
因为C∈（0，π），所以sinC≠0，所以，
又A∈（0，π），所以．
（2）设△ABC外接圆的半径为R，则R=1，
由正弦定理得，
因为△ABC的周长为，所以，
由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cosA=（b+c）2-2bc-2bc cosA，
即，所以bc=3，
所以△ABC的面积 ．
16.【答案】证明：由已知点O为线段AC的中点，点M为线段AE的中点，
所以OM∥CE，
又OM 平面BDM，CE 平面BDM，
所以CE∥平面BDM
17.【答案】（1）证明：函数f（x）=（2x-1）ex的定义域为R．
f′（x）=2ex+（2x-1）ex=ex（2x+1）．
令g（x）=f′（x）=ex（2x+1），则g′（x）=ex（2x+1）+2ex=ex（2x+3）．
令g′（x）＞0，得2x+3＞0，所以；
令g′（x）＜0，得2x+3＜0，所以．
所以f′（x）=g（x）在上单调递减，在上单调递增．
所以f′（x）在处取得最小值，最小值为．
当时，，ex＞0所以f′（x）＜0．
又，所以当时，f′（x）＞0．
当x→+∞时，f′（x）→+∞．
其简图如下：
所以f′（x）=3有唯一解，即在曲线y=f（x）的图象上，有且仅有一个点处的斜率等于3，
即在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线y=3x的斜率相等．
（2）解：当x≥1时，不等式f（x）≥kx-2恒成立，即．
令，则
=
=．
令m（x）=ex（2x2-x+1）-2，x≥1，则m′（x）=ex（2x2-x+1）+ex（4x-1）=ex（2x2+3x）=x（2x+3）ex，x≥1．
因为x≥1，所以2x+3≥5＞0，
又ex＞0，所以m′（x）＞0．
所以m（x）是增函数，所以m（x）≥m（1）=2e-2＞0．
因为x2＞0，所以h′（x）＞0恒成立，所以h（x）是增函数，
所以h（x）≥h（1）=e+2，即h（x）的最小值为e+2．
所以实数k的取值范围是（-∞，e+2]．
18.【答案】y2=4x；
-1；
．
19.【答案】解：（1）设第i（i∈N+，i≤27）场分享会学生嘉宾中有1名男生为事件Ai，有2名男生为事件Bi，有3名男生为事件Ci，
则；
（2）P（B2）=P（A1） P（B2|A1）+P（B1） P（B2|B1）+P（C1） P（B2|C1）
=；
（3）当i≥2时，
P（Ai）=P（Ai-1） P（Ai|Ai-1）+P（Bi-1） P（Ai|Bi-1）+P（Ci-1） P（Ai|Ci-1）
=，
P（Bi）=P（Ai-1） P（Bi|Ai-1）+P（Bi-1） P（Bi|Bi-1）+P（Ci-1） P（Bi|Ci-1）
=
=，
P（Ci）=P（Ai-1） P（Ci|Ai-1）+P（Bi-1） P（Ci|Bi-1）+P（Ci-1） P（Ci|Ci-1）
=，
由P（Ai-1）+P（Bi-1）+P（Ci-1）=1，
故
=，
即有，又，则，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，即，
结合对称性可知，每次分享会学生嘉宾中有1名男生的概率与3名男生的概率相同，
故P（Ai）=P（Ci），又P（Ai）+P（Bi）+P（Ci）=1，
故有，
第二十七场分享会学生嘉宾中男生人数X的可能取值为1、2、3，
，
，
，
则其分布列为：
X 1 2 3
P
则．
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