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2025-2026学年山西省太原师范学院附中高二（下）月考数学试卷（4月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（4）=-2，则的值为（　　）
A. -2 B. -1 C. 2 D. 4
2.下列求导结果正确的是（　　）
A. （sin3）′=cos3 B. （cosx）′=sinx
C. D.
3.观察（x2）′=2x,（x4）′=4x3，（cosx）′=-sinx,（ex+e-x）′=ex-e-x，由归纳推理得：定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（-x）=（　　）
A. -f（x） B. f（x） C. -f′（x） D. f′（x）
4.函数f（x）的大致图象如图所示，设f（x）的导函数为f′（x），则的解集为（　　）
A. （-∞，0）∪（1，3）
B. （1，3）
C. （0，1）∪（3，+∞）
D. （-∞，0）∪（3，+∞）
5.已知函数f（x）=x2-alnx+1在（1，3）内不是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）
A. （2，18） B. [2，18]
C. （-∞，2]∪[18，+∞） D. [2，18）
6.各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的十进制．通常我们用函数表示在x进制下表达M（M＞1）个数字的效率，则下列选项中表达M个数字的效率最高的是（　　）
A. 四进制 B. 三进制 C. 八进制 D. 七进制
7.对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则g（-2023）+g（-2024）+g（2025）+g（2026）=（　　）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
8.设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）-ax-1有三个零点，则a的取值范围为（　　）
A. （0，） B. （e，+∞）
C. （0，）∪（e，e2） D. （0，）∪（e，+∞）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数f（x）=（x+1）ex，则（　　）
A. f′（0）=1 B. f（x）在（-∞，-2）上单调递减
C. 当x＜-1时，f（x）＜0 D. f（x）的最小值为
10.已知x∈[-π，π]，函数，则（　　）
A. f（x）的图象关于原点对称 B. f（x）恰有2个零点
C. f（x）恰有2个极值点 D. f（x）在上单调递增
11.已知函数f（x）的导函数为f′（x），f（x）与f′（x）的定义域都是R，且满足f′（2x）+f′（-2x）=0，f（2-x）-f′（x）=1，则下列结论正确的是（　　）
A. f（x）的图象关于（2，1）中心对称 B. y=f′（2-x）是奇函数
C. f′（x）为周期函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当x→0时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在.早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.
如：，则= .
13.已知函数f（x）=x3-x,曲线f（x）经过点P（1，0）的切线方程为 .
14.已知实数x1，x2满足，，则x1+3x2= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数.
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值.
16.(本小题15分)
已知函数.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在x∈[-3，4]的最大值与最小值.
17.(本小题15分)
对于正数a,b,当a≠b时，定义为a,b的对数平均值，且，我们把上述不等式称为对数平均不等式.人工智能DeepSeek给出了不等式右端的证明：
（ⅰ）不妨设a＞b＞0，则等价于，
即证：，令，即证：对一切t∈（1，+∞）恒成立.
记，则，
所以g（t）在（1，+∞）上单调递增，从而有g（t）＞g（1）=0证毕.
（1）请参照以上方法证明：；
（2）已知函数
①若f（x）有两个极值点x1，x2，求a的取值范围；
②在①的条件下利用“对数平均不等式”证明：.
18.(本小题17分)
已知函数.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＜0时，f（x）≤3b-ln（-a）-a恒成立，求实数b的最小值.
19.(本小题17分)
若函数f（x）在[a,b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），使得，，则称f（x）是[a,b]上的“双中值函数”，其中x1，x2称为f（x）在[a,b]上的中值点.
（1）判断函数h（x）=x3-3x2+1是否是[0，3]上的“双中值函数”，并说明理由；
（2）已知函数f（x）=（x-2）ex-（ex）2+ωx,x∈（1，+∞），存在m＞n＞1，使得f（m）=f（n），且f（x）是[n,m]上的“双中值函数”，x1，x2是f（x）在[n,m]上的中值点.
①求ω的取值范围；
②证明：x1+x2＜4
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】2
13.【答案】y=2x-2或
14.【答案】4
15.【答案】x+ey-1=0 极小值为，无极大值
16.【答案】单调递增区间为（-∞，-4），（2，+∞），单调递减区间为（-4，2） 最大值为，最小值为-8
17.【答案】证明：不妨设a＞b＞0，则等价于，
即，令，即证，
令，则，所以函数g（t）在（1，+∞）上单调递减，
所以g（t）＜g（1）=0，所以，即成立 ①；②证明：由函数f（x）有两个极值点x1，x2，
可得x1，x2满足2x2-ax+1=0，所以，
不妨设0＜x1＜x2，则，
要证，
即证．
由对数平均不等式，
又，故，所以成立，
因此，得证
18.【答案】当0＜a＜1时，函数f（x）在（0，1），上单调递增，在上单调递减；当a＞1时，函数f（x）在，（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；当a=1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减
19.【答案】不是，理由如下：
由题意，，h′（x）=3x2-6x，
由h′（x）=3x2-6x=0，解得x1=0，x2=2，
因为x1 （0，3），x2∈（0，3），
所以函数h（x）=x3-3x2+1不是[0，3]上的“双中值函数” ①（2e2，3e2）；②不妨设1＜x1＜2＜x2，
令，
设，
F′（x）=3e2（x-2）-xex+2e2，
令G（x）=F′（x）=3e2（x-2）-xex+2e2，则G′（x）=3e2-（x+1）ex，
当x∈（1，2）时，G′（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，G′（x）＜0，
所以G（x）在（1，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
又G（2）=0，所以当x∈（1，+∞）时，F′（x）≤0，
即F（x）在（1，+∞）上单调递减，
又F（2）=0，所以当x∈（1，2）时，F（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，F（x）＜0，
即t（x1）+ω＞g（x1），t（x2）+ω＜g（x2），
又因为g（x1）=g（x2），所以t（x1）+ω＞t（x2）+ω，
即，
即（x1+x2-4）（x1-x2）＞0，
因为x1＜x2，所以x1+x2＜4
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