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安徽宣城市郎溪县梅渚镇初级中学等校2025~2026学年度第二学期九年级素养监测调研数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个数中，有理数是（　　）
A． B． C． D．
2．一年365天有31536000秒．数31536000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，从左面看这个由5个相同的小正方体组成的立体图形，看到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．“六一儿童节”，文化路一小组织小朋友抽奖活动，用6张完全相同的卡片，上面分别写上1，2，3，4，5，6．随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，若第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍可以获奖，则获奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．一元二次方程的两根分别为和，则为（ ）
A． B．1 C．2 D．0
9．如图①，菱形的对角线与相交于点，，两点同时从点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点的运动路线为，点的运动路线为，设运动的时间为秒，，间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图②所示，当点在段上运动且，两点间的距离最短时，，两点的运动路程之和为（ ）厘米．
A． B． C．8 D．
10．如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
二、填空题
11．不等式的解集是_____．
12．分解因式：，结果为_______．
13．符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，两点都是的黄金分割点，若，则的长是______．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点O在上，交x轴于点E．①当A点坐标为时，D点的坐标为______；②当平分时，正方形的面积为______．

三、解答题
15．计算：．
16．如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，且三个顶点的坐标分别为．
(1)在图中画出将向右平移6个单位长度得到的．
(2)在图中画出将绕点C逆时针方向旋转得到的．
17．茶叶促销活动前后，，两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况如下表．已知促销时茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与茶叶打折前的价格相同．
茶叶销量 茶叶销量 销售额
打折前 300 200 6900
打折后 500 400 9360
(1)每两，茶叶的原价分别是多少？
(2)促销期间，王阿姨带了96元要买茶叶和打折后为8元的茶叶（两种茶叶的销量均为正整数），若所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案．
18．利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．你能利用数形结合的思想解决下列问题吗
(1)如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，，，…，，根据图示我们可以知道：_____________；那么____________；
(2)如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的，根据图示：计算：___________；
(3)如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：计算：_________．（用含的式子表示）
19．某山区为应对突发情况，设立救援指挥部．已知指挥部，补给点，山脚在同一条直线上，标记点在指挥部的东北方向，补给点的北偏西方向，瞭望塔在标记点的北偏东方向米处，且距补给点的距离与标记点距补给点的距离相等．瞭望塔距山脚米．（参考数据：，，）
(1)求指挥部A与山脚的距离（结果保留整数）；
(2)某次救援行动中，有求救者在山脚求救，巡逻队员发现后通知救援队并让求救者向补给点撤离，同时救援队员从瞭望塔出发，并以求救者倍的速度赶往补给点，当救援队员与求救者相距米时可建立联系．求救援队员行驶多少米后能与求救者联系．（结果保留小数点后一位）．
20．如图1，是半圆的直径，，，为半圆上的两点，且．连结并延长，与的延长线相交于点．

(1)求证：；
(2)如图2，过点作，垂足为点．与分别交于点．
①若，求的面积；
②若是半圆上一动点（不与重合），当是等腰三角形时，求的值．
21．某校开展了以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“”这组的数据如下：82，83，83，84，84，85，85，86，86，86，87，89．
竞赛成绩分组统计表
组别 竞赛成绩分组 频数 平均分
1 8 65
2 a 76
3 b 85
4 c 94
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)____________；
(2)“”这组数据的众数是____________分；
(3)随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是____________分；
(4)若学生竞赛成绩达到85分以上（含85分）为优秀，请你估计全校4000名学生中优秀学生的人数．
(5)该校九年级（3）班追梦小组的四名同学（1名男生，3名女生）在该竞赛中均成绩优秀，从这四名同学中任选两人参加学校的五四青年节活动，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
22．（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____．
（2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长．
23．综合与探究：
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页2025~2026学年度第二学期九年级素养监测调研
数学试题参考答案&评分标准
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
题号1
2
3
4
5
6
8
9
10
答案
D
B
A
C
B
C
D
B
A
B
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分)
11.x<-1;
12.a20m-5m2;13.5-1;
14.(1)(22,-1).(2)12
注：（第14题第1问2分，第2问3分，合计5分）
15.【解答】解：(2-π)°+1-2W51-2+分=1+25-1-23+2=2
…8分
16.【解答】解：(1)如图1，△AB,C即为所求
…4分
3456
图1
(2)如图2，△A,B,C,即为所求，
…8分
y
-6
B.5
….3
7入C
…2
5432g官王4华68x
……2
…3
图2
17.【解答】解：(1)由题意，每两A茶叶的原价是x元，则每两B茶叶的原价是y元，
300x+200y=6900
[x=15
2分
y=0.8x
y=12
答：每两A,B茶叶的原价分别是15元，12元…3分
第1页（共6页）
(2)由题意，促销期间，A茶叶单价为12元/两，C茶叶单价为8元/两，
设购买A茶叶a两，C茶叶c两(a,c为正整数)，
12a+8c=96.2c=24-3a,24-3a为正偶数…4分
.3a为偶数，即a为偶数.
l,c,3a<24,则a<8…
…5分
又1≤a<8,.a=2,4,6.
:a=2或a4或a=6
…7分
c=9c=6c=3
共有3种方案
8分
18.【解答】解：(1)~第1次截取后剩余}，
第2次截取后剩余上×1=1
2222’
第3次截取后剩余上××上-上，
2222
…1
第n次截取后剩余；××…×
2222”
个
.1.1.11
1字器好安好1量
+…十
24+g+16
26=64’
2
故答案为：
6
1
6’1
…2分
2
(2)第1次截取后剩余，
3
第2次截取后剩余×，
3332
第3次截取后剩余上××上=1
3333
…1
第：次酸取后利余兮
11
330
不
2.2.2,2
3+9+27
31、
1
…5分
3”
(3)“第1次截取后剩余召
第2次截取后剩余2x2_2
3332
第3次截取后剩余2×x2_兰
求3333’
…
第2页（共6页）
第n次截取后剩余2××…
2_2”
33
33’
.1,248,2
2
59+27+8+3-1
十
3
…8分
19.【解答】解：(I)如图，过点C作FGLAE交AE于点G,过点B作MB⊥AE,过点D作DN⊥AE交
于点N,
由题意可得∠A=45°，∠FCD=75°，∠MBC=60°，BC=BD,
.∠CBG=30°，
.∠GCB=180°-∠CGB-∠CBG=60°，
.∠DCB=180°-∠FCD-∠GCB=45°，
.∠BCD=∠BDC=45°，
G
:△BCD为等腰直角三角形，
:∠DBN=180-∠CBG-∠CBD=60,BC=BD=CP=600米
…2分
√2
在Rt△BCG中，CG=BC.sim30°=300米，BG=BC·sim60°=300W3米，
在Rt△BND中，BN=BD,sin30°=300米，DN=BD.$in60°=300v√5米，
.∠A=45°，∠CGA=90°，
AG=CG=300米，在Rt△DB中，NE=√DE2-DW2=100米.…4分
AE=AG+GB+BW+NE=300+300W3+300+100=700+300W3≈1219米.…5分
(2)如图，设求救者为点Q,救援队为点P,过点Q作QH1BD于点H,
北
设QE=x米，则PD=1.5x米，BP=BD-PD=(600-1.5.x)米，=BE-QE=(400-x)米，
D
西东
'∠DBE=60°，
梦
Qh=0snm=e0w5-9)米，8服0=00刘米
H升
Q
PH=BH-PB=(K-400)米，
:PF+0=Pg,当PQ=100米时，可得c-400+2005-5
)2=1001
…7分
2
解得%-280+205，X-280-205
7
2800+800W
7
>400,故舍去，：x=2800-200V5
…9分
7
则15x=15×2800-20054864米，即救援队员行驶约486.4米后能与求救者联系
…10分
7
20.【解答】(1)证明：如图1，连接AD,
AB是直径，∠ADB=90°，：CD=BD,
.∠DAE=∠BAD,.∠B=∠E,
·四边形ABDC是O的内接四边形，
∠B=∠BCD,∠DCB=∠CBD,CD=ED…2分
0
第3页（共6页）
图1

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