资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025-2026学年人教版八年级数学下分层精练精析
23.2一次函数的图象和性质（二）
一次函数的平移、对称、旋转问题
1．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且，点A的坐标为，将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．将过原点和点的直线向上平移1个单位长度，得到的新的直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
3．将直线：向左平移m个单位长度后得到直线，若直线与交于点，则m的值为（ ）
A． B． C．1.5 D．3
4．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．已知直线．
（1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______；
（2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______．
6．若一次函数与一次函数的图象关于轴对称，则_____
7．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为_____．
8．在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象，并说出它们的位置关系．
(1)
(2)
9．一次函数的图象与直线平行，且过点，求这个一次函数的关系式．
10．已知是一次函数．
(1)求m的值；
(2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积；
(3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线对应的函数表达式．
11．已知一次函数．
(1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象；
(2)已知下列变换：①向上平移4个单位；②沿x轴翻折；③绕原点按顺时针方向旋转．能使该函数图象经过一种变换后过点的有 （ 填写所有符合要求的序号）．
一次函数的图象与字母系数的关系
12．一次函数的图象经过点，且该一次函数的图象经过第二象限．若点在该一次函数的图象上，则点的坐标不可能为（ ）
A． B． C． D．
13．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（ ）
A． B． C． D．
14．若一次函数的函数值随的增大而增大，则的值可以是（ ）
A． B．1 C．0 D．
15．已知一次函数（为常数）的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则当时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16．已知： 一次函数的图像经过点和点且， 则它的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知正比例函数随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．如图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数表达式分别为，，则下列关于与的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
一次函数的规律探究问题
19．如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
20．在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
21．若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，…在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，…在轴上，已知点，则的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
22．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
23．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，直线与轴交于点，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是（ ）
A．2024 B．4048 C． D．
1．已知关于的正比例函数．
(1)若函数图象经过第一、三象限，求的取值范围；
(2)若随的增大而减小，求的取值范围；
(3)若点在该函数的图象上，求的值．
2．已知一次函数（为常数）
(1)当函数是正比例函数时，的值为___________．
(2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________．
(3)当时，一次函数的最大值为，求的值．
3．已知一次函数，根据给定的条件，确定实数的值．
(1)图象经过第二、三、四象限；
(2)图象与轴的交点在轴上方．
4．在平面直角坐标系中，一次函数与的图象平行，且经过点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求出函数的图象与轴、轴的交点和的坐标，并画出函数图象；
(3)点在轴上，并且使得的值最小，请在图中标出点的位置，并写出最小值．
5．将直线向左平移个单位长度后，经过点，求的值．
6．已知是一次函数．
(1)求m的值；
(2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积；
(3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线对应的函数表达式．
7．对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中．
(1)画出函数的图象；
(2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）；
(3)在（2）的条件下，求出的面积．
(4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式．
8．在平面直角坐标系中，已知直线经过点和．
(1)求直线的表达式；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于0，直接写出的取值范围．
9．已知函数．
(1)当为何值时，是的一次函数？并求出这个一次函数的表达式；
(2)判断点是否在这个函数图象上；
(3)点，在该函数图象上，若，用函数的性质说明，的大小关系．
10．含角的菱形，，，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，……，和点，，，，……，分别在直线和轴上．已知，，
【探究】
(1)点的坐标是______；
(2)点的坐标是______；
(3)点的坐标是______（为正整数）．
1．【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动．
(1)请你完成探究活动中的相关问题．
①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________；
②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象；
③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到．
(2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到；
(3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到．
(4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹）
2．综合与探究
如图，直线经过点．
(1)写出直线对应的函数表达式；
(2)将直线向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象，交轴于点，在右图中画出这个一次函数的图象，它的函数表达式为 ，点的坐标是 ，在这个一次函数中，的值随着值的增大而 ；
(3)点为直线上一个动点，过点作轴的平行线，交轴于点，交（2）中一次函数的图象于点．试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，，过点A的直线交于点D，交y轴于点G．的面积为面积的．
(1)点D的坐标为___________；
(2)过点C作，交交于F，垂足为E，求证：；
(3)请探究在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明提由．
4．综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C点P是直线AB上的一个动点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线BC的表达式，并直接写出点C的坐标；
（3）请从A，B两题中任选一题作答．我选择 　 　题．
A．试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
B．如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线AB上是否存在点P，使PQ＝BC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2025-2026学年人教版八年级数学下分层精练精析
23.2一次函数的图象和性质（二）（解析版）
一次函数的平移、对称、旋转问题
1．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且，点A的坐标为，将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用待定系数法求原直线解析式，再根据平移的性质确定参数的值，最后代数求解．
【详解】解：∵点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴点的坐标为，
假设直线的解析式为，
将和代入解析式得，
，
解得，
∴，
将直线向上平移2个单位长度后可得，，
∴，
∴．
2．将过原点和点的直线向上平移1个单位长度，得到的新的直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出原直线解析式，再根据一次函数图像的平移规律“上加下减”，可得答案．
【详解】解：设过原点和点的直线解析式为，
则，
∴该直线解析式为，
∴直线向上平移1个单位后得到的直线是．
3．将直线：向左平移m个单位长度后得到直线，若直线与交于点，则m的值为（ ）
A． B． C．1.5 D．3
【答案】A
【分析】先把代入求出n的值，然后利用平移规律写出直线的解析式，最后把代入求解即可．
【详解】解：∵经过，
∴，
∵直线：向左平移m个单位长度后得到直线，
∴直线为，
又直线经过，
∴，
解得．
4．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据题意得出旋转后的函数解析式为 然后根据解析式求得与 x轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论．
本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转后的函数解析式． 本题属于基础题，难度不大．
【详解】解：∵
∴函数的图象与坐标轴的交点坐标为， ，
故图象绕x轴上一点旋转后的新坐标，，
设新解析式为，
根据题意，得，
解得，
故函数的解析式为，
又图象经过，
∴
解得．
5．已知直线．
（1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______；
（2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象的对称变换，熟悉一次函数关于轴和轴的对称变换规律，是解题的关键．利用点关于坐标轴对称的性质求解对称直线表达式即可．
【详解】解：（1）关于轴对称时，点的对称点为，
代入原方程得，即．
（2）直线关于轴对称时，其上任意一点的对称点为，
代入原方程得，即，
6．若一次函数与一次函数的图象关于轴对称，则_____
【答案】
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，轴对称性质，待定系数法求函数解析式；由直线，知与x轴交于，与y轴交于，根据轴对称性质，直线经过点，，待定系数法求的值，即可求解．
【详解】解：直线，时，；时，；
∴直线与x轴交于，与y轴交于．
∴直线经过点，．
∴，解得，
∴．
故答案为：．
7．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为_____．
【答案】
【分析】本题考查一次函数解析式、关于轴对称点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求解析式和关于轴对称点的坐标特征是解题的关键．根据直线求得其关于y轴的对称点，然后利用待定系数法求出k和b的值，再计算的值．
【详解】解：∵直线
令得，解得，
令得，，
则直线与x轴的交点为，与y轴的交点为，
点关于y轴的对称点为，
∵直线（，是常数，）与直线关于轴对称，
将点和代入，得方程组：
，
解得，
则，
故答案为：．
8．在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象，并说出它们的位置关系．
(1)
(2)
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析，两条直线平行，函数是由沿轴向上平移个单位长度得到
【分析】（1）根据一次函数的图象是直线，只需确定直线上两个特殊点即可，描点、连线可画出函数图象；
（2）根据一次函数的图象是直线，只需确定直线上两个特殊点即可，描点、连线可画出函数图象；再观察图象即可确定两直线的位置关系．
【详解】（1）解：对于函数，
当时，，
当时，，
函数经过点，两点，函数图象如图所示；
（2）解：对于函数，
当时，，
当时，，
函数经过点，两点，函数图象如图所示；
观察图象可知，两条直线平行，函数是由沿轴向上平移个单位长度得到．
9．一次函数的图象与直线平行，且过点，求这个一次函数的关系式．
【答案】
【分析】设这个一次函数的关系式为，根据一次函数的图象与直线平行得到，进而将代入关系式求出即可．
【详解】解：设这个一次函数的关系式为，
∵一次函数的图象与直线平行，
∴，
∵过点，
∴，
解得：，
即．
10．已知是一次函数．
(1)求m的值；
(2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积；
(3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线对应的函数表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数的定义、一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式．
（1）根据一次函数的定义得到，，求解即可；
（2）先确定函数解析式，再分别令，，求出该函数图象与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可；
（3）根据直线l与一次函数的图象关于y轴对称，得到直线l过点，，运用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：∵函数是一次函数，
∴，，
由得，
由得或，
∴．
（2）解：∵，
∴一次函数的解析式为，
∵当时，，
∴该一次函数的图象与y轴的交点为，
∵当时，，解得，
∴该一次函数的图象与x轴的交点为，
∴该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为．
（3）解：∵直线l与一次函数的图象关于y轴对称，且一次函数的图象过点，，
∴直线l过点，，
设直线l的解析式为，
∴，解得，
∴直线l的解析式为．
11．已知一次函数．
(1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象；
(2)已知下列变换：①向上平移4个单位；②沿x轴翻折；③绕原点按顺时针方向旋转．能使该函数图象经过一种变换后过点的有 （ 填写所有符合要求的序号）．
【答案】(1)见解析
(2)①②③
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数的平移和轴对称、点的旋转变换等知识，熟练掌握各种变换是解题的关键．
（1）求出一次函数与y轴的交点和与x轴的交点，画直线即可得到答案；
（2）把函数变换后验证是否过点即可．
【详解】（1）解：当时，，得到直线与y轴的交点为，
当时，，，得到直线与x轴的交点为，
在直角坐标系中描出点和，过这两点画直线，即为的图象，如图所示：
；
（2）①向上平移4个单位，平移后解析式：，
代入得到，
∴函数图象经过变换后过点．
②沿x轴翻折
翻折后解析式：，即
代入得到，
∴函数图象经过变换后过点．
③绕原点按顺时针方向旋转，
设原函数上任意一点旋转后对应点为，旋转的坐标变换为，即，
代入原函数，得，整理得，
代入：，
∴函数图象经过变换后过点．
综上，能使函数图象经过变换后过点是①②③．
故答案为：①②③．
一次函数的图象与字母系数的关系
12．一次函数的图象经过点，且该一次函数的图象经过第二象限．若点在该一次函数的图象上，则点的坐标不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据一次函数过点M得到k与b的关系，再结合一次函数过第二象限得到k的取值范围，依次将各选项点坐标代入，验证是否满足条件即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数 的图象过点，
∴，可得
∵一次函数图象经过第二象限，
当时，需要才能经过第二象限，即，得
当时，无论b取何值，一次函数都经过第二象限
因此符合条件的k满足
对各选项依次验证：
A、代入得，联立，解得，符合条件，可能；
B、代入得，联立，解得，符合条件，可能；
C、代入得，联立，解得，不符合条件，不可能；
D、代入 得，联立，解得，符合条件，可能．
13．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据方程可知当时，，从而可判断直线经过点即可．
【详解】解：∵关于x的方程的解是，
∴当时，，即当时，，
∴直线一定经过点．
14．若一次函数的函数值随的增大而增大，则的值可以是（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】B
【分析】在直线中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，据此求解即可．
【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而增大，
∴，
而四个选项中，只有B符合题意．
15．已知一次函数（为常数）的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则当时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的性质和轴交点位置求出的取值范围，进而求出整数的值，得到一次函数解析式，再根据的取值范围求解的范围即可．
【详解】解：∵一次函数随的增大而减小，
∴，
解得，
∵函数图象与轴负半轴相交，
∴当时，，
解得，
∴，
∵为整数，
∴，
∴一次函数，
当时，则，
解得．
16．已知： 一次函数的图像经过点和点且， 则它的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，结合一次函数的性质即可得出与y轴交于负半轴，再根据，，可得，此题得解．
【详解】解：∵一次函数，
当时，，
∴与y轴交于负半轴，
∵，，
∴，过二四象限，
可知B正确，
故选：B．
17．已知正比例函数随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查正比例函数图象的性质．理解直线所在的位置与的符号有直接的关系是解题的关键．当时，直线必经过一、三象限，随的增大而增大；时，直线必经过二、四象限，随的增大而减小．
根据正比例函数图象与系数的关系列出关于的不等式求解即可．
【详解】解：∵正比例函数中，的值随自变量的值增大而减小，
∴，解得．
故选：A．
18．如图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数表达式分别为，，则下列关于与的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数的性质，函数值大小比较；由图象知，正比例函数图象在第二、四象限，则均为负数，当时，，由此即可确定答案．
【详解】解：由图象知，均为负数，
当时，，
∴，
故选：C．
一次函数的规律探究问题
19．如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及规律探究与指数运算．根据直线的表达式为可得，直线平分第一象限，即直线与轴正半轴的夹角为，由点的坐标为，可得，由作图过程可知，是等腰直角三角形，，同理可得，，，，(为正整数)，将代入即可解答．
【详解】解：直线的表达式为，
直线平分第一象限，即直线与轴正半轴的夹角为，
点的坐标为，
，
由作图过程可知，，
又，
是等腰直角三角形，
，
同理可得，，，，
所以(为正整数)，
当时，，
点的横坐标为，
故选：．
20．在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点的坐标的规律．
首先，根据等腰直角三角形的性质求得点，的坐标；然后，将点，的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线的解析式为；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点，的横坐标为，即可求得点的坐标，进一步可得答案．
【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，
点的坐标为，
同理，在等腰直角三角形中，，，则，
和均在一次函数的图象上，
，
解得，
该直线的解析式为，
和的横坐标相同，都是3，
当时，，即，则，
，
……
以此类推，，的横坐标为，
当时，，
点的坐标为．
点的坐标为．
故选：D．
21．若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，…在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，…在轴上，已知点，则的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标规律问题，正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
求出直线解析式为，然后求出，，的坐标，探究规律后即可解决问题．
【详解】解：∵直线与轴的夹角为，，
∴直线与轴交点坐标为，
设直线解析式为，
代入点，，
得，
解得，
∴直线解析式为，
四边形是正方形，
∴，把代入，得，
∴的坐标为，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
同理可得的坐标为，
∴的坐标为，
∴的坐标为，
故选：A．
22．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，（为自然数）”，依此规律结合即可找出点的坐标．
【详解】解：当时，，
所以点的坐标为．
当时，，
所以点的坐标为．
同理可得，，，，，，，
所以，，，（为自然数）．
因为，
所以点的坐标为，即．
故选：C．
23．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，直线与轴交于点，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是（ ）
A．2024 B．4048 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列纵坐标得出一般规律，再按照规律求出的纵坐标即可得到答案．罗列纵坐标得出一般规律是解决问题的关键．
【详解】解：∵直线过点，
∴，解得，
∴直线解析式为，
作轴，轴，轴，，如图所示：
∵，
∴，的纵坐标为，
∵，…都是等腰直角三角形，
设，
∴，
将坐标代入直线解析式得，解得，
∴，的纵坐标为，
设，
∴，
将代入直线解析式得，解得，
，
∴综上所述，猜想的纵坐标规律为，
∴的纵坐标为，
故选：D．
1．已知关于的正比例函数．
(1)若函数图象经过第一、三象限，求的取值范围；
(2)若随的增大而减小，求的取值范围；
(3)若点在该函数的图象上，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数图象经过第一、三象限，可得不等式，解不等式即可求出的取值范围；
（2）根据正比例函数中随的增大而减小，可得不等式，解不等式即可求出的取值范围；
（3）根据点在该函数的图象上，把代入解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值．
【详解】（1）解：函数图象经过第一、三象限，
，
解得：；
（2）解：正比例函数中随的增大而减小，
，
解得：；
（3）解：点在该函数的图象上，
，
解得：．
2．已知一次函数（为常数）
(1)当函数是正比例函数时，的值为___________．
(2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________．
(3)当时，一次函数的最大值为，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）一次函数中，，时，函数是正比例函数，据此列方程求解；
（2）一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，据此列不等式组求解；
（3）①一次函数中，时，随的增大而增大，则当时，最大值是，②函数中，时，随的增大而减小，则当时，最大值是，据此列方程求解．
【详解】（1）解：为正比例函数，
，
．
（2）解：不经过第一象限，
可得，
解得．
（3）解：分两种情况讨论，
当，即，随的增大而增大，
则当，，
可得，
解得；
当，即，随的增大而减小，
则当，，
可得，
解得；
综上或．
3．已知一次函数，根据给定的条件，确定实数的值．
(1)图象经过第二、三、四象限；
(2)图象与轴的交点在轴上方．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据一次函数图象经过的象限列出不等式组，解不等式组即可得到答案；
（2）根据一次函数的定义和图象与轴的交点在轴上方列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：∵图象经过第二、三、四象限，
，
解得
（2）∵图象与轴的交点在轴上方，
，，
，
4．在平面直角坐标系中，一次函数与的图象平行，且经过点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求出函数的图象与轴、轴的交点和的坐标，并画出函数图象；
(3)点在轴上，并且使得的值最小，请在图中标出点的位置，并写出最小值．
【答案】(1)
(2)；；图见解析
(3)图见解析；
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）分别令和令，即可得到点和的坐标，画图可用两点法进行画图即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的值最小，点即为所求，利用勾股定理求出的值即可得出答案．
【详解】（1）解：一次函数与的图象平行，
，
函数图象经过点，
，
．
一次函数的表达式为；
（2）解：对于，
令，则，解得，
令，则，
，，
画出函数的图象如图；
（3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的值最小，点即为所求，
的最小值为，，
由勾股定理得，
的最小值为．
5．将直线向左平移个单位长度后，经过点，求的值．
【答案】
【分析】先得出函数向左平移个单位后的函数表达式，再将点代入进行求值即可．
【详解】解：将函数向左平移个单位长度后得到函数，
∵点在函数上
代入得，
解得．
6．已知是一次函数．
(1)求m的值；
(2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积；
(3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线对应的函数表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数的定义、一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式．
（1）根据一次函数的定义得到，，求解即可；
（2）先确定函数解析式，再分别令，，求出该函数图象与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可；
（3）根据直线l与一次函数的图象关于y轴对称，得到直线l过点，，运用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：∵函数是一次函数，
∴，，
由得，
由得或，
∴．
（2）解：∵，
∴一次函数的解析式为，
∵当时，，
∴该一次函数的图象与y轴的交点为，
∵当时，，解得，
∴该一次函数的图象与x轴的交点为，
∴该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为．
（3）解：∵直线l与一次函数的图象关于y轴对称，且一次函数的图象过点，，
∴直线l过点，，
设直线l的解析式为，
∴，解得，
∴直线l的解析式为．
7．对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中．
(1)画出函数的图象；
(2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）；
(3)在（2）的条件下，求出的面积．
(4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式．
【答案】(1)见解析
(2)1，0；
(3)
(4)
【分析】本题考查了怎样在坐标轴上画函数，函数与坐标轴相交点的坐标，三角形面积的计算．
（1）分别令，，可求出与x轴、y轴的交点坐标，过两交点作直线即可．
（2）直接由（1）即可求解；
（3）根据三角形的面积公式解答即可；
（4）根据旋转的性质可得旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解．
【详解】（1）解：（1）当时，；当时，，画出图形如下：
（2）解：由（1）得：图象与x轴的交点A的坐标为，与y轴交点B的坐标为；
故答案为：1，0；
（3）解：
（4）解：∵该函数图象绕原点旋转，
∴旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，
设旋转后的图象的解析式为，
∴，解得：，
∴该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式为．
8．在平面直角坐标系中，已知直线经过点和．
(1)求直线的表达式；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于0，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）由题意得，当时，恒成立，恒成立，化简可得，对于一切都成立，对于一切都成立，再利用一次函数的增减性求解即可．
【详解】（1）解：∵直线经过点和
∴，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：由题意得，当时，恒成立，
∴对于一切都成立，
令，
可得随着的增大而增大，
当时，，
∴满足对于一切都成立时，则；
由题意得，当时， 恒成立，
∴对于一切都成立，
令，
可得随着的增大而减小，
当时，，
∴满足对于一切都成立时，则，
综上：的取值范围为．
9．已知函数．
(1)当为何值时，是的一次函数？并求出这个一次函数的表达式；
(2)判断点是否在这个函数图象上；
(3)点，在该函数图象上，若，用函数的性质说明，的大小关系．
【答案】(1)当时，是的一次函数；
(2)在，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，比较一次函数值的大小，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出当时，所对应的的值，即可得到答案；
（3）根据一次函数的增减性进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
，
解得，
即当时，是的一次函数；
此时，，
∴y与x之间的函数解析式为．
（2）解：对于，
当时，，
∴点在这个函数图象上．
（3）解：对于，
∵，
∴y随x的增大而减小．
∵点，在该函数图象上，且，
∴＜．
10．含角的菱形，，，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，……，和点，，，，……，分别在直线和轴上．已知，，
【探究】
(1)点的坐标是______；
(2)点的坐标是______；
(3)点的坐标是______（为正整数）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过作轴于，由菱形的性质可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，再通过勾股定理可求，即可求得的坐标；
（2）过作轴于，四边形是菱形可证，是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，再通过勾股定理可求，即可求得的坐标；
（3）由（1）（2）的证明，同理可得，，进而可得．
【详解】（1）过作轴于，则，
四边形是含的菱形，
，
是等边三角形，
，
，，
，，
，，
，
在中，，
．
故答案为：．
（2）过作轴于，则，
四边形是含的菱形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，，
，
，
在中，，
；
故答案为：．
（3）由（1）（2）同理可得，，，，则点，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是由特殊到一般，得到的坐标规律；
1．【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动．
(1)请你完成探究活动中的相关问题．
①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________；
②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象；
③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到．
(2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到；
(3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到．
(4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹）
【答案】(1)①；②见解析；③左，2
(2)左，9
(3)右，
(4)见解析
【分析】本题考查一次函数图象的平移，以及左右平移规律的探索，关键是通过与坐标轴的交点解决．
（1）①利用一次函数“上加下减”(截距增减)的平移规律，直接给的截距加4，得平移后解析式；
②求出直线与坐标轴的交点，过两点作直线即可；
③求与各自与轴的交点、，对比交点横坐标变化，确定左移2个单位；
（2）先求“下减”求向下平移3个单位后的解析式，再分别求两直线与轴的交点，通过横坐标变化确定即可；
（3）先求与平移后各自与轴的交点，计算横坐标差值，确定平移方向和平移距离；
（4）根据“上加下减”，将上移个单位画，再根据与坐标轴的交点变化画．
【详解】（1）解：①根据“上加下减”的平移规律，直线向上平移4个单位，得；
故答案为：；
②当时，；当时，，
过点，作直线，即为直线：的图象，如图所示：
③∵直线与轴的交点是，与轴的交点是，将点向左平移2个单位得到，
∴直线可以看作由的图象向左平移2个单位得到．
故答案为：左，2；
（2）解：令，解得，
∴直线与轴的交点坐标为．
将向下平移3个单位，得到．
令，解得，
∴直线与轴的交点坐标为．
∵将点向左平移9个单位得到，
∴直线相当于将向左平移9个单位得到．
故答案为：左，9；
（3）解：同理，直线与轴的交点是．
直线向下平移个单位后的函数为，
令，得，解得，
∴新交点为．
∵，即点向右平移个单位得到，
∴将向下平移个单位，相当于将向右平移个单位得到．
故答案为：右，；
（4）解：如图所示：
2．综合与探究
如图，直线经过点．
(1)写出直线对应的函数表达式；
(2)将直线向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象，交轴于点，在右图中画出这个一次函数的图象，它的函数表达式为 ，点的坐标是 ，在这个一次函数中，的值随着值的增大而 ；
(3)点为直线上一个动点，过点作轴的平行线，交轴于点，交（2）中一次函数的图象于点．试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)函数图像见详解，，，增大
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）根据题意可设，根据题意把代入即可求出直线对应的函数表达式；
（2）根据一次函数平移的性质作出一次函数的图象，根据平移的性质可得出的函数解析式，再根据一次函数的性质即可求出点B的坐标以及增减性；
（3）设点，则，，根据题意结合绝对值的性质列出方程解一元一次方程即可．
【详解】（1）解：根据题意可设，
∵直线经过点，
∴，
解得：，
故直线对应的函数表达式为．
（2）解：将直线向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象，交轴于点，则这个一次函数的图象如下图所示：
则的函数表达式为：，则点．
∵，
∴的值随着值的增大而增大．
故答案为：，，增大．
（3）解：设点，则，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，或，则，或，
则，或．
【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数、一次函数的平移、与坐标轴的交点、绝对值的性质以及解一元一次方程，解题的关键是熟悉一次函数的性质和绝对值的性质．
3．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，，过点A的直线交于点D，交y轴于点G．的面积为面积的．
(1)点D的坐标为___________；
(2)过点C作，交交于F，垂足为E，求证：；
(3)请探究在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明提由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据可求出的面积，即可得出在边上的高，即可得出点D的纵坐标，用待定系数法求出直线的函数解析式，最后求出点D的横坐标即可；
（2）通过证明即可得出结论；
（3）根据题意，进行分类讨论，一共有三种情况．
【详解】（1）解：过点D作轴于点M，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
设直线的函数解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴直线的函数解析式为，
把代入得：，解得：，
∴点D的坐标为．
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）①过点C作x轴的平行线，过点D作y轴的平行线，两平行线相交于点，
∵，，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，即为等腰直角三角形，
∵，
∴；
②延长，过点B作轴，交延长线于点，
∵
∴，
∴，则，
∵，轴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
设直线的函数解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴直线的函数解析式为，
把代入得：，
∴；
③过点C作x轴的平行线，过点D作交x轴平行线于点，
∵轴，，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：存在．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质的应用、等腰直角三角形的性质、三角形面积公式、全等三角形的判定和性质、线段的和差、直角三角形两锐角互余、同角的余角相等、矩形正方形的判定和性质等，解题的关键是正确熟练掌握想过内容，并灵活运用．
4．综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C点P是直线AB上的一个动点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线BC的表达式，并直接写出点C的坐标；
（3）请从A，B两题中任选一题作答．我选择 　 　题．
A．试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
B．如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线AB上是否存在点P，使PQ＝BC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）（﹣6，0），（0，3）；（2）y＝﹣x+3，（3，0）；（3）选A，存在，点P的坐标为（2，4）或（﹣14，﹣4）；选B，存在，点P的坐标为（2，+3）或（﹣2，﹣+3）．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标；
（2）将B点坐标（0，3）代入一次函数y＝ x＋b即可求解；
（3）A．过点P作PH⊥x轴于H，设点P（x，x+3），则PH＝，根据S△ACP＝AC PH＝18可得PH的值，即可求解．
B．过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．设点P（x，x+3），则Q（x， x＋3），根据PQ＝BC列方程求解即可．
【详解】解：（1）当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣6，则A点坐标为（﹣6，0）；
当x＝0时，y＝x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；
（2）将B点坐标（0，3）代入一次函数y＝﹣x+b得：b＝3，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则C点坐标为（3，0）；
（3）A．过点P作PH⊥x轴于H，
设点P（x，x+3），
∴PH＝，
∵A点坐标为（﹣6，0），C点坐标（3，0），
∴AC＝9，
∵S△ACP＝AC PH＝×9 PH＝18，
∴PH＝4，
∴x+3＝±4，
当x+3＝4时，x＝2；当x+3＝﹣4时，x＝﹣14，
∴存在，点P的坐标为（2，4）或（﹣14，﹣4）；
B．如图，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．
设点P（x，x+3），则Q（x，﹣x+3），
∴PQ＝，
∵B点坐标（0，3），C点坐标（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴BC＝，
∵PQ＝BC，
∴，解得：x＝或﹣，
∴存在，点P的坐标为（2，+3）或（﹣2，﹣+3）．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积，勾股定理，待定系数法，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑