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2025-2026学年人教版八年级数学下分层精练精析
23.3一次函数与方程（组）、不等式
已知直线与坐标轴的交点求方程的解
1．一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，一面朝右的平面镜贴在y轴上，一束光线从点处射出，射到平面镜上的点处，被平面镜反射后射到x轴上的点C处，则点C的坐标为（ ）
3．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
由一元一次方程的解判断直线与X轴的交点
4．若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　)
A． B． C． D．
5．已知方程的解是，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知一次函数（、是常数）的图象经过点和点，则下列说法中，不正确的是（ ）
A．图象不经过第四象限 B．函数值随自变量的增大而增大
C．方程的解是 D．不等式的解集是
利用图象法解一元一次方程
7．学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
【初步感知】
x … 0 1 2 …
… 6 m 2 n 2 4 6 …
(1)表格中m的值为________，n的值为________；
(2)在平面直角坐标系中画出函数的图象．
(3)【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题：
①该函数图象是轴对称图形；
②当时，y的值随x值的增大而增大；
③当时，该函数存在最小值，最小值为0；
④当时，．
其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号）
(4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________．
8．如图，已知一次函数的图象经过点和点，且与正比例函数的图象相交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)求点的坐标．
9．利用函数图象求方程的解．
10．已知一次函数．
(1)补充完整下列表格，并画出这个函数的图象．
… 0 1 …
… …
(2)结合函数图象，方程的解为___________．
由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
11．一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．如图，观察图象，可以得出不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
两直线的交点确定不等式的解集
14．如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，一次函数（，为常数）与正比例函数（为常数）的图象交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
16．如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
两直线的交点与二元一次方程组的解
17．已知关于，的二元一次方程组的解为，如图，若直线（，为常数，且）与直线相交于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（）
A． B． C． D．
19．如图，已知直线与直线相交于点，则关于的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
图象法解二元一次方程组
20．已知二元一次方程．
(1)画出二元一次方程表示的直线；
(2)求二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A，B的坐标；
(3)若（1）中的图像上有一点，求m的值．
21．（1）请在如图的直角坐标系中作出，的图象；
（2）利用你所画的图象，直接写出方程组的解．
22．利用一次函数的图象解二元一次方程组
求直线围成的图形面积
23．已知一次函数的图像经过点和．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若该函数图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积．
24．在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们垂直的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直，如直线与直线，因为，所以相互垂直．根据以上定义内容，解答下面的问题：
(1)求过点且与已知直线垂直的直线的函数表达式，并在如图所示的坐标系中画出直线的图象；
(2)求（）问中的两条直线与轴所围的三角形的面积．
25．如图，直线与轴、轴分别相交于点A、B，点的坐标是，是直线在x轴上方这部分上的一点，连接．
(1)试求出的值；
(2)求的面积．
1．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后得到直线，直线、直线与轴围成的三角形的面积为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
2．已知一次函数与（k是常数，）的图象的交点坐标是，方程组的解是，则________．
3．直线与直线如图，则下列结论：
①；②；③当时，；④方程的解是，，正确的有________．
4．一次函数的图象如图所示．当时，x的取值范围是________．当时，y的取值范围是________．
5．已知方程组无解，那么直线不经过第______象限．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过，两点，与一次函数交于点，一次函数与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点D，E，直线：分别交x轴、y轴于点C，．
(1)求点A的坐标和的面积；
(2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
8．如图，已知一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，经过点，与轴、轴分别交于点．
(1)求点的坐标；
(2)求的面积9．已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)求点、的坐标；
(2)当取何值时，函数值满足？
(3)结合图象，求方程的解，并直接写出不等式的解集．
10．【活动回顾】本册教材页中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式：的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．
(1)【解决问题】如图，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________．
(2)如图，观察图象，两条直线的交点坐标为__________，方程的解是__________，不等式的解集是__________．
(3)【拓展延伸】如图，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点，请你结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是_________．
1．综合与实践
同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象．
(1)列表：
… …
… …
表格中_______，________；
(2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；

(3)观察（2）中所画函数的图象，求出当取何值时该函数的有最小值．最小值是多少？
(4)写出关于的方程的解，并利用（2）中的图像简单说明此方程的解是如何得到的．
2．综合与实践
学习小组根据学习一次函数的经验，对函数和的交点问题进行了探究．下面是探究的过程，请补充完成：
【动手操作】
（1）如图所示，在同一坐标系中，作出这两个函数的图象：经过点（2， ）和画的图象；经过点（ ，0）和画的图象．
【观察实践】
（2）观察发现，这两个函数图象在第二象限内相交，请写出这个交点的坐标；
【应用迁移】
（3）结合图象，直接写出方程组的解；
（4）结合图象，直接写出当时x的取值范围．
3．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，与直线交于点．

(1)求点的坐标；
(2)根据图像，直接写出不等式的解集；
(3)若点为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴，轴分别交于点，，两条直线交于点，且点的横坐标为；连接．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求的面积；
(3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2025-2026学年人教版八年级数学下分层精练精析
23.3一次函数与方程（组）、不等式（解析版）
已知直线与坐标轴的交点求方程的解
1．一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将点代入一次函数解析式中，得到与的关系式，再将所求方程进行变形，求解即可．
【详解】解：观察图象可知，一次函数的图象经过点，
，
，
关于的方程可变形为：，
即，
，
．
2．如图，在平面直角坐标系中，一面朝右的平面镜贴在y轴上，一束光线从点处射出，射到平面镜上的点处，被平面镜反射后射到x轴上的点C处，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在延长线上取点，使得点与点关于直线对称，求出点，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点C的坐标．
【详解】解：根据题意得，直线与直线关于直线对称，
在延长线上取点，使得点与点关于直线对称，
∵，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
令，解得，
∴点C的坐标为．
3．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的应用，熟练掌握一次函数的图像性质是解题的关键．
根据一次函数的交点求出点P的坐标，据此解答即可．
【详解】解：把点代入与得，
，
，
，
直线与相交于点，
关于的方程的解是，
故选：B．
由一元一次方程的解判断直线与X轴的交点
4．若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为(a，b为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．
由方程的解可得与的关系，再令一次函数求解，即可得交点坐标．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，即．
令，即，
代入，得，
∴，
∵，
∴，解得．
∴交点坐标为．
故选：D．
5．已知方程的解是，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次方程之间的关系，正确理解一次函数的图象与一元一次方程之间的关系是解题的关键．由题意知函数的图象与x轴的交点坐标为，即得答案．
【详解】解：因为方程的解是，
所以函数的图象与x轴的交点坐标为，
所以C选项符合题意．
故选：C．
6．已知一次函数（、是常数）的图象经过点和点，则下列说法中，不正确的是（ ）
A．图象不经过第四象限 B．函数值随自变量的增大而增大
C．方程的解是 D．不等式的解集是
【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，以及利用一次函数图象解不等式等知识，求出函数解析式是解答本题的关键．
先求出一次函数解析式，然后根据一次函数的性质逐项分析即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得，
∴．
A．∵，∴图象不经过第四象限，故正确；
B．∵，∴函数值随自变量的增大而增大，故正确；
C．令，解得，∴方程的解是，故正确；
D． 令，解得，∵函数值随自变量的增大而增大，∴不等式的解集是，故不正确；
故选D．
利用图象法解一元一次方程
7．学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
【初步感知】
x … 0 1 2 …
… 6 m 2 n 2 4 6 …
(1)表格中m的值为________，n的值为________；
(2)在平面直角坐标系中画出函数的图象．
(3)【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题：
①该函数图象是轴对称图形；
②当时，y的值随x值的增大而增大；
③当时，该函数存在最小值，最小值为0；
④当时，．
其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号）
(4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________．
【答案】(1)m的值为4，n的值为0
(2)作图见解析
(3)①②③
(4)作图见解析；，
【分析】（1）分别将和代入求解即可；
（2）利用描点法作图即可；
（3）根据画出的函数图象分析即可；
（4）方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，求出交点坐标即可．
【详解】（1）解：把代入，
得，
故；
把代入，
得，
故；
（2）解：作图如图：
（3）解：由图可知 函数图象关于直线对称，是轴对称图形，故①正确；
由图可知 当时，，随的增大而增大，故②正确；
由图可知当时，取得最小值，故③正确；
当时，，解得或，并非只有，故④错误；
综上，正确的是①②③；
（4）解：作图如图：
当时，，解得，
当时，，解得，
方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，
因此方程组的解为： 和 ．
8．如图，已知一次函数的图象经过点和点，且与正比例函数的图象相交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了一次函数的交点问题．
（1）直接根据待定系数法求解即可；
（2）根据一次函数与正比例函数的图象相交于点列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点，
∴，
解得：，
即直线的解析式为；
（2）解：∵一次函数与正比例函数的图象相交于点，
∴，
解得：，
∴，
即点的坐标为．
9．利用函数图象求方程的解．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一元一次方程的解就是一次函数的图象与轴交点的横坐标是解题的关键．
将一元一次方程的解转化为一次函数图象与轴交点的横坐标，通过观察函数图象与轴的交点坐标来确定方程的解．
【详解】解：函数的图象如图所示．
由图可知，直线与x轴的交点坐标为，
所以方程的解为．
10．已知一次函数．
(1)补充完整下列表格，并画出这个函数的图象．
… 0 1 …
… …
(2)结合函数图象，方程的解为___________．
【答案】(1)填表见解析，图见解析
(2)
【分析】本题考查画一次函数的图象，图象法求方程的解，正确的画出函数图象，是解题关键：
（1）把自变量的值代入函数解析式，求出相应的函数值，描点，连线画出函数图象即可；
（2）直接利用图象法求出方程的解即可．
【详解】（1）解：当时，；
当时，；
填表如下：
… 0 1 …
… 3 1 …
描点，连线，画出图象如图：
（2）由图象可知，方程的解为；
故答案为：．
由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
11．一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据一次函数与不等式的关系分别判断各选项即可．
【详解】选项①： 从图象可得，一次函数与轴的交点在的左侧，当小于该交点横坐标时，，因此不是所有都满足，结论①错误；
选项②： 一次函数与轴的交点在原点右侧（横坐标大于0），随增大而减小，因此对所有小于交点横坐标，都有，
因为，0小于交点横坐标，
所以时，，结论②正确；
选项③： 两个函数的交点横坐标为，当时，的图象在的图象上方，
因此，结论③正确；
综上，正确的结论有2个．
12．如图，观察图象，可以得出不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象，找出两条直线都在x轴上方时对应的x的取值范围即可．
【详解】解：∵直线与x轴交于，直线与x轴交于，
∴不等式组，即的解集是．
13．如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图象过点，且，即可确定不等式的解集．
【详解】解：根据函数图象可知，不等式的解集是：．
两直线的交点确定不等式的解集
14．如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图象交点右侧直线图象在直线图象的上面，即可得出的解集．
【详解】解：∵直线和直线交于点，
∴由图象可得，不等式的解集为．
即关于的不等式的解集为．
15．如图，一次函数（，为常数）与正比例函数（为常数）的图象交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据两函数图象的交点即可得出结论．
【详解】解：由函数图象可知，当时，函数的图象在直线的上方，
关于的不等式的解集是．
16．如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】不等式即，根据图象可知当时，，即可判断答案．
【详解】解：，
，
，
即，
一次函数与的图象交于点，
当时，，
即不等式的解集为．
两直线的交点与二元一次方程组的解
17．已知关于，的二元一次方程组的解为，如图，若直线（，为常数，且）与直线相交于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据方程组的解就是交点坐标即可求解．
【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为，
∴，
∴，
∴，的二元一次方程组的解为，
二元一次方程组的解就是两个一次函数和图象的交点坐标，
∴点的坐标为：．
故选：A．
18．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵直线与直线相交于点，
∴点的坐标同时满足两个直线的解析式，
∴方程组的解是．
19．如图，已知直线与直线相交于点，则关于的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出的值，根据两条直线的交点坐标即为由两条直线对应的解析式构成的二元一次方程组的解，即可得出结果．
【详解】解：把代入，得：，
解得，
∴；
∴关于的二元一次方程组的解是．
图象法解二元一次方程组
20．已知二元一次方程．
(1)画出二元一次方程表示的直线；
(2)求二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A，B的坐标；
(3)若（1）中的图像上有一点，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)、
(3)
【分析】（1）二元一次方程所对应的直线为，根据描点法画出函数图像即可；
（2）当时，，当时，，解得，即可求出答案；
（3）把点C的坐标代入函数解析式，即可得到答案．
【详解】（1）解：二元一次方程变形为，所对应的直线为．
列表如下：
x … 0 1 2 …
y … …
描点并连线，
（2）解：当时，，
当时，，
解得，
∴一次函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标分别为、．
（3）解：把代入得到，
即m的值为．
21．（1）请在如图的直角坐标系中作出，的图象；
（2）利用你所画的图象，直接写出方程组的解．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，考查了函数图象的画法：列表、描点、连线．
（1）根据函数图象的画法：描点、连线分别画出两个一次函数的图象．
（2）观察图象，两直线的交点坐标即为对应方程组的解．
【详解】解：（1）函数，当时，；当时，；
则函数图象经过点，；
函数，当时，；
则图象经过点，．
作图如下：
（2）根据图象可得：两直线交点为，
则方程组的解为．
22．利用一次函数的图象解二元一次方程组
【答案】
【分析】此题考查一次函数与二元一次方程组的联系，在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点．先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解．
【详解】解：画出函数与的图象，
列表：
0 2
2
0 2
描点，连线，如图所示，
两个一次函数与与的交点坐标为；
因此方程组的解．
求直线围成的图形面积
23．已知一次函数的图像经过点和．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若该函数图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点和代入解析式进行求解即可；
（2）先求出点A坐标，进而即可求出的面积．
【详解】（1）解：把，代入，得
解得，
∴解析式为；
（2）解：令，得，即，
由题意得，，
∴．
24．在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们垂直的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直，如直线与直线，因为，所以相互垂直．根据以上定义内容，解答下面的问题：
(1)求过点且与已知直线垂直的直线的函数表达式，并在如图所示的坐标系中画出直线的图象；
(2)求（）问中的两条直线与轴所围的三角形的面积．
【答案】(1)，画图见解析
(2)
【分析】（）根据垂直的定义设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出的解析式，再求出直线与轴的交点坐标，即可画出直线的图象；
（）求出直线与轴和轴的交点坐标，画出直线的图象，再求出两条直线的交点坐标，最后结合图形，即可求出与轴所围的三角形的面积．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
把代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
∴直线过点，
画图如下：
；
（2）解：由得，当时，；当时，；
∴直线过点和，如图，
由得，，
∴两条直线的交点坐标为，
∴两条直线与y轴所围的三角形的面积为．
25．如图，直线与轴、轴分别相交于点A、B，点的坐标是，是直线在x轴上方这部分上的一点，连接．
(1)试求出的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）待定系数法即可求解；
（2）代入可得的坐标即可求出三角形的面积．
【详解】（1）解：将点代入，
得，
解得：，
（2）解：由（1）可知，，
则直线，
将代入，
得，
解得：，
则，
∵点，
∴，
则．
1．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后得到直线，直线、直线与轴围成的三角形的面积为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【分析】先根据平移性质得到的解析式．再求出两条直线与轴的交点，以及和的交点，最后用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，得到的解析式为，
令，分别求两条直线与轴的交点坐标：
对，，解得
，
即与轴的交点为；
对，，
解得，
即与轴的交点为；
∴三角形在轴上的底边长为．
联立与的方程求交点：
解得，即两直线交点纵坐标为，三角形的高为．
∴三角形面积．
2．已知一次函数与（k是常数，）的图象的交点坐标是，方程组的解是，则________．
【答案】1
【分析】一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，据此进行解答即可．
【详解】解：∵一次函数与（k是常数，）的图象的交点坐标是，
∴联立与的方程组的解为：，
∴，
∴，
∴．
3．直线与直线如图，则下列结论：
①；②；③当时，；④方程的解是，，正确的有________．
【答案】①④
【分析】根据一次函数的图象经过的象限，可判断①；
根据一次函数的图象与轴的交点位置，可判断②；
根据一次函数与的图象交点的横坐标，及图象的位置，可判断③；
根据一次函数与的图象交点的横坐标，可判断④．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，故①正确；
∵一次函数的图象与轴交于负半轴，
∴，故②错误；
一次函数与的图象交点的横坐标为，
当时，的图象在的上方，
即，故③错误；
∵一次函数与的图象交点的横坐标为，
∴关于的方程的解是，故④正确．
4．一次函数的图象如图所示．当时，x的取值范围是________．当时，y的取值范围是________．
【答案】
【分析】依据题意，由函数的图象，可以得到该函数时x的值和时的值，结合图象即可求解．
【详解】解：根据函数图象可知，时，，时，，
则当时，x的取值范围是；当时，y的取值范围是．
5．已知方程组无解，那么直线不经过第______象限．
【答案】一
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握方程组无解等价于两条直线平行且不重合，再根据一次函数的斜率和截距判断其经过的象限．
根据方程组无解，得出两条直线平行，由此列方程求出的值；再将代入目标直线的解析式，根据一次函数解析式判断其不经过的象限．
【详解】解：方程组无解，
直线与平行且不重合，
，
解得，
将代入，得，
直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故答案为：一．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过，两点，与一次函数交于点，一次函数与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，图象法解不等式组．
（1）直接将A、B坐标代入，求解即可；
（2）分别求出C、D的横坐标，再根据图象求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数经过，两点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：当时，，
∴，
令，可得，
∴C点横坐标为2，
由图象可知：当时，．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点D，E，直线：分别交x轴、y轴于点C，．
(1)求点A的坐标和的面积；
(2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
【答案】(1)；的面积为
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求出直线的表达式，联立两直线解析式可得点A的坐标，然后再根据列式计算即可；
（2）求出，利用一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴直线的表达式为，
联立，
解得，
∴点，
对于直线，
令，则，
∴点
令，则，
∴点，
，
对于直线，
令，则，
∴点，
∴，
；
（2）点在线段AB上，点，点，点在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴的值随t的增大而减小，
∵，
当时，取最大值，最大值为．
8．如图，已知一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，经过点，与轴、轴分别交于点．
(1)求点的坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）把代入，可求出，得，把，代入，求出的值，得出相应的解析式，再令，得出的值，可得点的坐标；
（2）求出点的坐标，再根据三角形面积公式解答即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，
解得：，
∴，
把，代入，得：，
解得，
∴一次函数解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：对于，当时，，解得：，
∴,
∴．
9．已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)求点、的坐标；
(2)当取何值时，函数值满足？
(3)结合图象，求方程的解，并直接写出不等式的解集．
【答案】(1)点；
(2)当时，
(3)；
【详解】（1）解：令，则，解得，
∴ 点；
令，则，
∴ 点；
（2）解：解不等式：
由，
即
解(1)得：；
解(2)得：．
∴ 当时，；
（3）解：如图，
由图可知：
方程的解为；
不等式的解集为．
10．【活动回顾】本册教材页中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式：的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．
(1)【解决问题】如图，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________．
(2)如图，观察图象，两条直线的交点坐标为__________，方程的解是__________，不等式的解集是__________．
(3)【拓展延伸】如图，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点，请你结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是_________．
【答案】(1)
(2)，，
(3)
【分析】（）根据函数图象解答即可求解；
（）根据函数图象解答即可求解；
（）求出点的坐标，再结合函数图象解答即可求解；
本题考查了一次函数与不等式，一次函数的交点问题，一次函数与二元一次方程组，掌握数形结合思想是解题的关键．
【详解】（1）解：由函数图象可知，不等式的解集是，
故答案为：；
（2）解：由函数图象可知，两条直线的交点坐标为，方程的解是，不等式的解集是，
故答案为：，，；
（3）解：由，解得，
∴，
把代入，得，
∴，
由函数图象可知，当时，；当时，，
∴不等式组的解集是．
1．综合与实践
同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象．
(1)列表：
… …
… …
表格中_______，________；
(2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；

(3)观察（2）中所画函数的图象，求出当取何值时该函数的有最小值．最小值是多少？
(4)写出关于的方程的解，并利用（2）中的图像简单说明此方程的解是如何得到的．
【答案】(1)1；1
(2)见解析
(3)；
(4)，；见解析
【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的意义是解题的关键．
（1）分别把和代入函数解析式，即可求解；
（2）根据表格选取点，点作射线，选取点，点作射线，即可解答；
（3）观察（2）中的函数图象，即可求解；
（4）画出函数和的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解．
【详解】（1）解： ，
故答案为：1；1
（2）解：如图，

（3）解：根据图像得：当时
函数有最小值，最小值为；
（4）解：方程的解为：，，
理由如下：
画出函数和的图象，如图所示：

函数和的图象交点坐标分别为，，
关于的方程的解为：，．
2．综合与实践
学习小组根据学习一次函数的经验，对函数和的交点问题进行了探究．下面是探究的过程，请补充完成：
【动手操作】
（1）如图所示，在同一坐标系中，作出这两个函数的图象：经过点（2， ）和画的图象；经过点（ ，0）和画的图象．
【观察实践】
（2）观察发现，这两个函数图象在第二象限内相交，请写出这个交点的坐标；
【应用迁移】
（3）结合图象，直接写出方程组的解；
（4）结合图象，直接写出当时x的取值范围．
【答案】（1）3；；图见解析；（2）；（3）；（4）
【分析】此题考查一次函数的图象与性质以及一次函数和不等式的关系．
（1）将代入，令，求出坐标，再根据要求画出图象即可；
（2）观察图象，写出交点的坐标即可；
（3）根据交点的坐标即可得到结论；
（4）根据图象的交点，写出当一次函数位于图象上时求x的取值范围即可．
【详解】解：（1）当时，，
当时，，
两个函数的图象如图所示：
故答案为：3；；
（2）观察图象知，交点的坐标为；
（3）观察图象知，交点的坐标为，
∴方程组的解为；
（4）满足时自变量x的取值范围是．
3．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，与直线交于点．

(1)求点的坐标；
(2)根据图像，直接写出不等式的解集；
(3)若点为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为，，，
【分析】（1）根据点是两直线的交点，联立方程求解即可；
（2）根据图中一次函数的图象在一次函数的图象上方的取值范围求解；
（3）根据等腰直角三角形的性质，结合点的坐标分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与直线交于点，
故联立方程组，得，
解得：，
∴点的坐标为．
（2）解：根据图象可得一次函数的图象在一次函数的图象上方时，，
故不等式的解集为．
（3）解：①若是以为腰的等腰直角三角形，且O为直角顶点时，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图：

当时，
②若，为等腰直角三角形，则轴，且，
∴点与点关于轴对称，
∴；
若，为等腰直角三角形，则轴，且，
∴点与点关于轴对称，
∴；
当时，是等腰直角三角形，则点在轴或轴上，
∵，
∴，
若，点在轴上，
∴；
若，点在轴上，
∴；
综上，点的坐标为，，，．
【点睛】本题考查了一次函数的与二元一次方程组的关系，一次函数与不等式的关系，等腰直角三角形的性质，勾股定理，运用分类讨论是解题关键．
4．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴，轴分别交于点，，两条直线交于点，且点的横坐标为；连接．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求的面积；
(3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为，
【分析】（1）根据题意得出，进而求得的解析式；
（2）由，当时，；当时，，可得点，，进而得出，根据三角形的面积公式即可求解．
（3）当时，可得，根据，，，即可求解，勾股定理的逆定理可得，进而可得，当时，，则点与点重合，根据矩形的性质以及平移的性质即可求解．
【详解】（1）解：点在上，点的横坐标为，
当时，，
，
将点和代入中，
得：，
解得．
直线的函数解析式为：；
（2）直线与轴，轴分别交于点，，
当时，；当时，
点，，
，
．
，；
（3）当时，轴，则的纵坐标为，
将代入，解得：，即，
∵，，
∴
，，，
∴，，，
∴，即，
则
当时，，则点与点重合，
∵到可以看作向左平移个单位，向上平移个单位，
则点可以看作点向左平移个单位，向上平移个单位，得到
∴满足条件的点的坐标为，．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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