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2025-2026学年人教版八年级数学下分层精练精析
专题2一次函数与图形面积专题解析
特征：直线y=kx+b与X轴、Y轴交于A、B两点。
解法：
求交点：A（ ,0）B（0，b）
直角边长为OA=｜-- ｜,OB=｜b｜
面积：s=OA.OB=｜-- ｜｜b｜=
1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A，B， 则的面积为________．
2．直线的图像与坐标轴围成的图形的面积为__________．
3．已知一次函数的图像经过点和．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若该函数图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积．
4．如图，直线与轴、轴分别相交于点A、B，点的坐标是，是直线在x轴上方这部分上的一点，连接．
(1)试求出的值；
(2)求的面积．
特征：已知两条直线l1，l2与x轴（或y轴）围成三角形或四边形。
解法：
求出所有关键点：(1)两条直线分别与坐标轴的交点；(2)两条直线的交点。
画出草图，判断图形形状（往往是三角形或梯形）。
用“割补法”或“直接求差”算面积。如果围成三角形，可用三角形面积公式，底、高用水平或竖直距离。如果围成梯形，用梯形面积公式。
5．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点C，且C点的横坐标为1，一次函数的图象经过C、两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点．
(1)求C点的坐标
(2)求一次函数的解析式及A、B两点的坐标．
(3)求的面积
6．如图，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若直线上的点C在第一象限，且，求点C的坐标；
(3)根据图象直接写出：当x取何值时，．
7．直线和分别交y轴于A、B两点，两直线交于点．
(1)求m，k的值；
(2)求的面积．
8．如图，直线分别交y轴，x轴于A，B两点，直线分别交y轴，x轴于C，D两点，直线，相交于P点．
(1)方程组的解是______；
(2)求直线，与x轴围成的三角形面积；
9．如图，已知一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，经过点，与轴、轴分别交于点．
(1)求点的坐标；
(2)求的面积．
特征：已知直线与坐标轴（或另一条直线）围成的三角形面积，求k或b。
解法：
用参数表示出交点坐标。
用参数表示出三角形面积。
列方程求解参数，注意多解（正、负，对应不同象限情况）。
10．如图，过点A两条直线和分别交x轴于点B，C，其中点B在x轴负半轴上，点C在x轴正半轴上，已知直线的解析式为．
(1)求点C的坐标；
(2)若的面积为12，求直线的解析式．
11．如图，已知正比例函数的图像经过点A，点A在第四象限，过A作轴，垂足为，点的横坐标为4，且的面积为6.
(1)求正比例函数的解析式；
(2)求经过点．把面积分为1：2的直线解析式．12．如图，直线的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，的垂直平分线l与x轴交于点C，与交于点D，连接．
(1)求的长；
(2)若点E在x轴上，且的面积为10，求点E的坐标；
(3)已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
13．定义：在平面直角坐标系中，一次函数图象与直线的交点记为点，作该一次函数图象上点及点左侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点及点左侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数的“对称函数”．
(1)如图1是一次函数的图象，则它的“对称函数”图象如图2所示．
①求点的坐标；
②当时，求函数的“对称函数”与轴的交点的坐标，并求出解析式；
(2)若函数的“对称函数”图象与轴围成的三角形面积等于4，请求出的值．
特征：常给定一条已知直线（如y=2x+4 ），和另一条未知直线（含参数），两直线相交，并与坐标轴围成多边形。
解法：
写出关键点坐标（用参数表示）。
用“割补法”，将多边形分割成规则图形（三角形、矩形、梯形）组合。
用坐标求各需要的底和高（通常用坐标差表示水平或竖直距离）。
列方程求解。
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点A，B，经过点B的直线与x轴正半轴交于点C，且，点D是线段上一个动点．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标及直线的表达式；
(2)过点D作x轴的垂线，交直线于点E，交直线于点F，设点D的横坐标为m．
①当时，求m的值；
②在点D的运动过程中，当的面积为14时，请直接写出点E的坐标．
15．如图，直线经过点，．
(1)求直线的解析式；
(2)求直线：与直线及轴围成的图形的面积．
(3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点．
(1)填空：，；
(2)求的面积；
(3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，正比例函数与一次函数（k，b是常数且）交于点C，一次函数与x，y轴分别交于点A与点B，已知．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)已知过点C的直线将的面积分为，求该直线的表达式．
18．已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点．

(1)求 a，b的值；
(2)方程组的解为 ；不等式的解集为 ；
(3)在的图象上是否存在点P，使得的面积比的面积少？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
特征：在平面直角坐标系中，一次函数图像与动点构成特殊图形，求面积或参数。
解法：
先确定特殊图形的条件（如等腰三角形，两腰相等，用距离公式）。
结合一次函数上的点坐标（设出横坐标为t，纵坐标为kt+b ），用代数式表示相关线段长。
列方程求解点坐标，再计算图形面积。
19．已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点．
(1)求出点的坐标；
(2)结合图象，直接写出时的取值范围；
(3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标．
20．如图，直线分别与x轴，y轴相交于点和点，与直线相交于点C．
(1)求k，b的值和点C的坐标；
(2)在直线上是否存在点M，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点C．
(1)求的值和点的坐标；
(2)求的面积；
(3)点是轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标．
22．如图，直线的解析式为，且与x轴交于点D，直线经过点，，直线，交于点C．

(1)求直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)在第一象限内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴，轴分别交于点，，两条直线交于点，且点的横坐标为；连接．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求的面积；
(3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2025-2026学年人教版八年级数学下分层精练精析
专题2一次函数与图形面积专题解析
特征：直线y=kx+b与X轴、Y轴交于A、B两点。
解法：
求交点：A（ ,0）B（0，b）
直角边长为OA=｜-- ｜,OB=｜b｜
面积：s=OA.OB=｜-- ｜｜b｜=
1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A，B， 则的面积为________．
【答案】9
【分析】分别令，，求出A、B两点坐标，再利用三角形面积公式即可求出面积．
【详解】当时，，
∴B点坐标为，即，
当时，，
∴A点坐标为，即，
∴,
故答案为：9．
【点睛】本题考查了求一次函数图象与坐标轴形成的三角形的面积，求出一次函数与坐标轴的交点坐标是解题关键．
2．直线的图像与坐标轴围成的图形的面积为__________．
【答案】1
【分析】分别求出直线与x轴和y轴的交点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数为：
当y=0时，x=1，
当x=0时，y=2
∴一次函数与x轴的交点为（1，0），与y轴的交点为（0，2）
∴其图象与两坐标轴围成的图形面积=×1×2=1．
故答案为：1．
【点睛】此题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
3．已知一次函数的图像经过点和．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若该函数图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点和代入解析式进行求解即可；
（2）先求出点A坐标，进而即可求出的面积．
【详解】（1）解：把，代入，得
解得，
∴解析式为；
（2）解：令，得，即，
由题意得，，
∴．
4．如图，直线与轴、轴分别相交于点A、B，点的坐标是，是直线在x轴上方这部分上的一点，连接．
(1)试求出的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）待定系数法即可求解；
（2）代入可得的坐标即可求出三角形的面积．
【详解】（1）解：将点代入，
得，
解得：，
（2）解：由（1）可知，，
则直线，
将代入，
得，
解得：，
则，
∵点，
∴，
则．
特征：已知两条直线l1，l2与x轴（或y轴）围成三角形或四边形。
解法：
求出所有关键点：(1)两条直线分别与坐标轴的交点；(2)两条直线的交点。
画出草图，判断图形形状（往往是三角形或梯形）。
用“割补法”或“直接求差”算面积。如果围成三角形，可用三角形面积公式，底、高用水平或竖直距离。如果围成梯形，用梯形面积公式。
5．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点C，且C点的横坐标为1，一次函数的图象经过C、两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点．
(1)求C点的坐标
(2)求一次函数的解析式及A、B两点的坐标．
(3)求的面积
【答案】(1)
(2)，，
(3)6
【分析】（1）将代入，求出y的值即可；
（2）把，代入，求出k、b的值，即可得出答案．
（3）由，，得，即可得．
【详解】（1）解：将代入，
得,
∴．
（2）解：把，代入，
得，
解得，
∴，
令，则，解得；令，则，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
∴．
6．如图，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若直线上的点C在第一象限，且，求点C的坐标；
(3)根据图象直接写出：当x取何值时，．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式．
（1）设直线的解析式为，将，分别代入解析式即可组成方程组，从而得到的解析式；
（2）设点的纵坐标为，根据三角形面积公式以及求出的纵坐标，再代入直线即可求出横坐标的值，从而得到其坐标；
（3）根据图象即可求解．
【详解】（1）解：将，分别代入中，
得解得
故直线的解析式为．
（2）解：设点C的纵坐标为m（），
，
，解得．
将代入，得，解得，
．
（3）解：∵直线与轴的交点为，
∴由图象可知，当时，．
7．直线和分别交y轴于A、B两点，两直线交于点．
(1)求m，k的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，直线与坐标轴的交点坐标，正确求出直线的表达式是解题的关键．
（1）先利用直线求出点C坐标，再利用直线求出，的值．
（2）两个函数图象与y轴的交点为点，，即时，可以求出，坐标，即可得出三角形面积．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴点的坐标为．
∵点在直线上，
∴，
解得：，
∴，．
（2）解：∵点是直线与轴的交点，
∴令，则．
∴点的坐标为．
∵点是直线与轴的交点，
∴令，则．
∴，
∴．
8．如图，直线分别交y轴，x轴于A，B两点，直线分别交y轴，x轴于C，D两点，直线，相交于P点．
(1)方程组的解是______；
(2)求直线，与x轴围成的三角形面积；
【答案】(1)
(2)直线，与x轴围成的三角形面积为
【分析】本题考查了一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系、图象与坐标轴围成面积等知识点，一次函数知识点的熟练运用是解题关键，
（1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得；
（2）分别求出A、C两点的坐标，然后根据坐标求出长度，代入面积公式即可求得.
【详解】（1）解：∵直线与直线相交于点，
∴方程组的解是；
（2）解：当时，，
解得：，
，
当时，，
解得：，
，
，
∴直线，与x轴围成的三角形面积．
9．如图，已知一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，经过点，与轴、轴分别交于点．
(1)求点的坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）把代入，可求出，得，把，代入，求出的值，得出相应的解析式，再令，得出的值，可得点的坐标；
（2）求出点的坐标，再根据三角形面积公式解答即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，
解得：，
∴，
把，代入，得：，
解得，
∴一次函数解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：对于，当时，，解得：，
∴,
∴．
特征：已知直线与坐标轴（或另一条直线）围成的三角形面积，求k或b。
解法：
用参数表示出交点坐标。
用参数表示出三角形面积。
列方程求解参数，注意多解（正、负，对应不同象限情况）。
10．如图，过点A两条直线和分别交x轴于点B，C，其中点B在x轴负半轴上，点C在x轴正半轴上，已知直线的解析式为．
(1)求点C的坐标；
(2)若的面积为12，求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是关键．
（1）在函数中，当时，即可得到点C坐标；
（2）利用面积求出长，再确定点B坐标，根据待定系数法求出直线解析式即可．
【详解】（1）解：∵在函数中，
当时，，
解得，
∴．
（2）由函数可知，
当时，，
∴，
∵的面积为12，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，由条件可知，
解得，
∴直线的解析式为．
11．如图，已知正比例函数的图像经过点A，点A在第四象限，过A作轴，垂足为，点的横坐标为4，且的面积为6.
(1)求正比例函数的解析式；
(2)求经过点．把面积分为1：2的直线解析式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了一次函数图象的性质、待定系数法求一次函数的解析式．
（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；
（2）分交点在线段上和交点在线段上两种情况，利用三角形的面积公式求得点的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式即可．
【详解】（1）设点A的坐标为，则，，
∴，
解得：，
∴正比例函数的解析式为；
（2）解：当交点在线段上时，设过点的直线交于点C，设点C的坐标为，
∴，
又∵，或，
∴或，
解得：或（舍去），
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为；
当交点在线段上时，设过点的直线交于点D，设点D的坐标为，
∴，
又∵，或，
∴或，
解得：或（舍去），
∴点D的坐标为，
设直线的解析式为，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为；
∴直线解析式为或．
12．如图，直线的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，的垂直平分线l与x轴交于点C，与交于点D，连接．
(1)求的长；
(2)若点E在x轴上，且的面积为10，求点E的坐标；
(3)已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)满足条件的P点坐标为或或或．
【分析】（1）先求出直线与两轴交点坐标，，再由垂直平分线性质得，设，由勾股定理得，则，解得：，所以，即可求解；
（2）点，则；根据，则，求解即可；
（3）分三种情况∶①当B为顶点，时，②当C为顶点，时，③当P为顶点，时，分别求解即可．
【详解】（1）解：令时，则；令，则；
所以直线与两轴交点分别为，．
∵垂直平分；
∴．
设，在中，根据勾股定理得：，
则解得：；
∴，
∴．
（2）解：设点，则；
∵D为的中点；
∴；
A、E在x轴上，，；
∴，
∴，
解得：或18．
∴点E坐标为：或．
（3）解：P在y轴上，设．分别以B、C、P为等腰三角形的顶点，分三种情况：
①当B为顶点，时，由（1）得；
∴，解得：或9．
∴或，
②当C为顶点，时，
又∵，，
∴．
∴，即．
∴
③当P为顶点，时，
在中，根据勾股定理得：
，即：．
解得：．
综上：满足条件的P点坐标为或或或．
【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴交点，一次函数图象与性质，直线围成的三角形面积，勾股定理，等腰三角形判定与性质，坐标与图形，熟练掌握一次函数图象与性质是解题的关键．
13．定义：在平面直角坐标系中，一次函数图象与直线的交点记为点，作该一次函数图象上点及点左侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点及点左侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数的“对称函数”．
(1)如图1是一次函数的图象，则它的“对称函数”图象如图2所示．
①求点的坐标；
②当时，求函数的“对称函数”与轴的交点的坐标，并求出解析式；
(2)若函数的“对称函数”图象与轴围成的三角形面积等于4，请求出的值．
【答案】(1)①，②，
(2)或
【分析】本题考查一次函数的综合应用，轴对称性质，理解并运用新定义“对称函数”，能够将图象的对称转化为点的对称是解题的关键．
（1）①将代入到中求解，即可解题；
②先求出直线与轴的交点，进而得到其关于直线对称的点，设“对称函数”的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题；
（2）先求出直线与轴的交点，进而得到其关于直线对称的点，再求出时，点坐标，结合三角形面积公式建立方程讨论求解，即可解题．
【详解】（1）解：①将代入到中，得，
；
②令中，则，
，
直线与轴交于点，
关于直线对称的点为，
即时，函数的“对称函数”与轴的交点坐标为．
设“对称函数”的解析式为，将点代入解析式，
，
解得，
时，函数的“对称函数”解析式为．
（2）解：函数中，令，
则，则，则与轴交于点，
关于直线对称的点为，
令，则．
与轴围成的三角形面积为：，
若，则，
；
若，则，
．
特征：常给定一条已知直线（如y=2x+4 ），和另一条未知直线（含参数），两直线相交，并与坐标轴围成多边形。
解法：
写出关键点坐标（用参数表示）。
用“割补法”，将多边形分割成规则图形（三角形、矩形、梯形）组合。
用坐标求各需要的底和高（通常用坐标差表示水平或竖直距离）。
列方程求解。
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点A，B，经过点B的直线与x轴正半轴交于点C，且，点D是线段上一个动点．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标及直线的表达式；
(2)过点D作x轴的垂线，交直线于点E，交直线于点F，设点D的横坐标为m．
①当时，求m的值；
②在点D的运动过程中，当的面积为14时，请直接写出点E的坐标．
【答案】(1)，，，
(2)①或；②点E的坐标为或
【分析】（1）令和，计算即可求得各点坐标，利用待定系数法即可求得直线的表达式；
（2）①由题意得，，，求得，，根据，列式计算即可求解；
②分两种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可求解．
【详解】（1）解：令，则，令，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设直线的表达式为，
将代入得，解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：①∵轴，且点D的横坐标为m，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，解得或；
②∵，，，
∴，
当点在线段上时，
，
∴，
解得；
点E的坐标为
当点在射线上时，
，
∴，
解得；
点E的坐标为；
综上，点E的坐标为或．
15．如图，直线经过点，．
(1)求直线的解析式；
(2)求直线：与直线及轴围成的图形的面积．
(3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将点，代入直线中求解、，得到直线解析式；
（2）根据直线的解析式求出，联立，求出点的坐标，利用三角形的面积公式求解即可；
（3）根据图象，得出的取值范围即可．
【详解】（1）解：将点，代入中得：
，
解得：，
直线的解析式为；
（2）解：令，则，
；
在中，令，则，
，
，
联立，
解得：，
，
，
即直线与直线及轴围成图形的面积为；
（3）解：由图象可知，直线与直线交于点，
关于的不等式的解集为．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点．
(1)填空：，；
(2)求的面积；
(3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3，6
(2)50
(3)存在，
【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．
（1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出；
（2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到的长，从而算出的面积；
（3）由已知条件可得的面积，进而得出的长，即可得点M的坐标．
【详解】（1）解：是一次函数与的图象的交点，
，
解得，
，
解得，
故答案为：3，6；
（2）解：由（1）可知，，
当时，，解得，，即，
当时，，解得，，即，
，
，
的面积为50；
（3）解：的面积与四边形的面积比为，，
，
当时，，即，
设，则，
，解得，，
，
存在，且
17．如图，正比例函数与一次函数（k，b是常数且）交于点C，一次函数与x，y轴分别交于点A与点B，已知．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)已知过点C的直线将的面积分为，求该直线的表达式．
【答案】(1)；
(2)6
(3)或．
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
（1）依据题意，由，从而，，利用待定系数法即可得解；
（2）依据题意，联立方程组，求得C的坐标为，利用三角形面积公式计算可得解；
（3）依据题意，得或，则或，进而可得D的坐标为或，利用待定系数法即可得解．
【详解】（1）解：由题意，，
∴，．
∴．
∴，．
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由题意，联立方程组，
解得，
∴C的坐标为．
∴；
（3）解：由题意，如图，
∵过点C的直线将的面积分为，
∴或，
∴或，
∴D的坐标为或，
又∵C的坐标为，
同理，由待定系数法求得直线的解析式为或．
18．已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点．

(1)求 a，b的值；
(2)方程组的解为 ；不等式的解集为 ；
(3)在的图象上是否存在点P，使得的面积比的面积少？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；
(3)存在，点P的坐标为或
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二元一次方程组、不等式的关系，三角形的面积，明确函数与方程组的关系是解题的关键．
（1）把分别代入和即可求得、的值；
（2）根据两函数的交点坐标，即可求得方程组的解；通过图象点坐标，直接得到答案；
（3）求得、的坐标，设点的坐标为，作轴于点，轴于点，根据的面积为，三角形面积公式得到的面积为，设边上的高为h，得，可求得，当点P在第一象限时，点P纵坐标为2，当点P在第三象限时，点P纵坐标为，从而可求得点P坐标．
【详解】（1）解：由题知，点在的图象上，
所以，
所以点的坐标为，
因为点在的上，
所以，
所以．
（2）解：一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，
方程组的解为；
由图象可知，的解答为：；
故答案为：；．
（3）解：存在，理由：
由（1）得：一次函数的表达式为：，点的坐标为，
当时，，
∴，
∴，
当时，，
解得：，
∴，
∴的面积为：，
∴的面积为：，
设边上的高为h，
∴，
∴，
解得：，
当点P在第一象限时，点P纵坐标为2，
∴
解得：，
∴；
当点P在第三象限时，点P纵坐标为，
∴
解得：，
∴；
综上，存在，点P的坐标为或．
特征：在平面直角坐标系中，一次函数图像与动点构成特殊图形，求面积或参数。
解法：
先确定特殊图形的条件（如等腰三角形，两腰相等，用距离公式）。
结合一次函数上的点坐标（设出横坐标为t，纵坐标为kt+b ），用代数式表示相关线段长。
列方程求解点坐标，再计算图形面积。
19．已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点．
(1)求出点的坐标；
(2)结合图象，直接写出时的取值范围；
(3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)当时，
(3)点坐标为或
【分析】本题考查了一次函数图象和性质，解题的关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标．
（1）把，分别代入两个解析式，求出，的解析式，联立两个解析式，解方程组即可；
（2）观察图象直接判断即可；
（3）根据求出点的纵坐标，代入解析式求解即可．
【详解】（1）解：由题意，过点，
，
解得,
，
又过，
，
解得，
，
联立方程组得，，
，
；
（2）由图象可得：当时，；
（3）由（1）知，，，
，
，
设点坐标为，
，
，
，
当时，，
，
点坐标为；
当时，，
，
点坐标为；
综上，点坐标为或．
20．如图，直线分别与x轴，y轴相交于点和点，与直线相交于点C．
(1)求k，b的值和点C的坐标；
(2)在直线上是否存在点M，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，或
【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质，面积的计算，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．
（1）利用待定系数法求出直线的解析式即可得到k，b的值，再联立两直线解析式成方程组，解方程组即可求出点C的坐标；
（2）先求出，设，当M在x轴下方时的面积是面积的2倍，的面积等于的面积，；当M在x轴上方时的面积是面积的2倍，的面积等于的面积的3倍，；即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，
∴；
（2）解：存在；
∵，
∴，
∴，
设，
当M在x轴下方时，
∵的面积是面积的2倍，
∴的面积等于的面积，
∴，
解得：，
∵点在直线上，
∴，
解得：，
∴；
当M在x轴上方时，
∵的面积是面积的2倍，
∴的面积等于的面积的3倍，
∴，
∴，
∵点在直线上，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，点M的坐标为或．
21．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点C．
(1)求的值和点的坐标；
(2)求的面积；
(3)点是轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标．
【答案】(1)，点的坐标为；
(2)；
(3)或
【分析】本题考查一次函数的交点求解、三角形面积计算及勾股定理求平面直角坐标系中的线段长，关键是灵活运用一次函数解析式求点坐标，结合等腰三角形的边长关系列方程．
（1）将点的坐标代入直线，代入计算可求出的值；联立两条直线的解析式组成二元一次方程组，解方程组即可得到交点的坐标；
（2）先求出直线与轴交点的坐标，计算出线段的长度，再以为底，点的纵坐标的绝对值为高，利用三角形面积公式计算面积；
（3）设点的坐标为，先根据两点间距离公式计算的长度，由以为底的等腰三角形可知，据此列出关于的绝对值方程，求解得到的值，进而得到点的坐标．
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴代入得，解得；
联立，解得，
∴点的坐标为；
（2）解：∵函数的图象与轴交于点，令，则，解得，
∴点的坐标为，
∵点的坐标为，
∴，
∵点的纵坐标为，即中边上的高为，
∴；
（3）解：设点的坐标为，
∵点，，
∴，
∵是以为底的等腰三角形，
∴，
即或，
解得或，
∴点的坐标为或．
22．如图，直线的解析式为，且与x轴交于点D，直线经过点，，直线，交于点C．

(1)求直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)在第一象限内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据直线特征，设直线函数解析式为：，利用待定系数法求解未知系数即可．
（2）先联立与函数解析式，求出交点C的坐标，进而根据与x轴相交于点D，求出点D坐标，进而根据三角形面积公式求解即可．
（3）若第一象限内存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形为平行四边形，则，根据点C平移到点D，需要将点C向左平移1个单位，向上平移3个单位，可得点A平移到点P，需要将点A向左平移1个单位，向上平移3个单位，据此求解即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
所以直线的解析式为；
（2）解：联立方程得，
则C点坐标为，
直线与x轴相交于点D．
令时，，解得，则
（3）解：若第一象限内存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形为平行四边形，
则，
∵，，，
∴，
点C平移到点D，需要将点C向左平移1个单位，向上平移3个单位，
∴点A平移到点P，需要将点A向左平移1个单位，向上平移3个单位，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数与几何问题的综合应用，以及平行四边形的性质，其中贯穿的“数形结合”思想是解决本题的关键．
23．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴，轴分别交于点，，两条直线交于点，且点的横坐标为；连接．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求的面积；
(3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为，
【分析】（1）根据题意得出，进而求得的解析式；
（2）由，当时，；当时，，可得点，，进而得出，根据三角形的面积公式即可求解．
（3）当时，可得，根据，，，即可求解，勾股定理的逆定理可得，进而可得，当时，，则点与点重合，根据矩形的性质以及平移的性质即可求解．
【详解】（1）解：点在上，点的横坐标为，
当时，，
，
将点和代入中，
得：，
解得．
直线的函数解析式为：；
（2）直线与轴，轴分别交于点，，
当时，；当时，
点，，
，
．
，；
（3）当时，轴，则的纵坐标为，
将代入，解得：，即，
∵，，
∴
，，，
∴，，，
∴，即，
则
当时，，则点与点重合，
∵到可以看作向左平移个单位，向上平移个单位，
则点可以看作点向左平移个单位，向上平移个单位，得到
∴满足条件的点的坐标为，．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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