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2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
23.4实际问题与一次函数
分配方案问题
1．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元．
(1)求A，B两种型号的帐篷的单价；
(2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用．
2．某校为丰富社团活动，计划购买一批国画用品和书法用品．已知购买1套国画用品和2套书法用品共需400元；购买2套国画用品和1套书法用品共需350元．
(1)求每套国画用品和每套书法用品的价格；
(2)社团准备购买两种用品共30套，且国画用品套数不多于书法用品套数的2倍．请设计一种购买方案使总费用最低，并求出最低总费用．
3．2020年新型冠状病毒肺炎疫情肆虐，全民自觉防疫抗疫．某小区物业为了给小区消毒，特采购一批84消毒液和医用酒精．已知2瓶84消毒液和1瓶医用酒精共需31元，2瓶84消毒液和3瓶医用酒精共需54元．
(1)求84消毒液和医用酒精每瓶的单价；
(2)已知该小区需要采购两种防疫物资共60瓶，且医用酒精的数量不少于84消毒液数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
4．暑假期间，李老师计划带领该校若干名“三好学生”到北京旅游，他联系了报价均为元的甲、乙两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师买一张全票，学生可享受半价优惠；乙旅行社的优惠条件是：老师、学生都按六折优惠．设李老师带领名“三好学生”去旅游，甲旅行社的收费为元，乙旅行社的收费为元．
(1)请分别求出关于的函数关系式；
(2)李老师应该选择哪一家旅行社，为什么？
最大利润问题
5．为打造花园式居住环境，某物业公司计划购进A、B两种花木对小区进行美化，已知B种花木比A种花木每棵贵20元，且购买2棵A种花木与3棵B种花木共需要210元．
(1)求A、B两种花木的单价各是多少元？
(2)如果购进的这批花木共6000棵，A种花木至多购进4000棵，为了使购进的这批花木的费用最低，应购进A种花木和B种花木各多少棵？并求出最低费用．
6．三八时节，花香满径，正是人间好时节．某花店老板做完市场调研后，决定多批发一些卡布奇诺玫瑰和弗洛伊德玫瑰．已知卡布奇诺玫瑰的批发价是每把40元，零售价是每把60元，弗洛伊德玫瑰的批发价是每把38元，零售价是每把50元．老板计划购进卡布奇诺玫瑰和弗洛伊德玫瑰共100把，且购进弗洛伊德玫瑰的数量不少于卡布奇诺玫瑰的数量的．设购进弗洛伊德玫瑰把，出售这批卡布奇诺玫瑰和弗洛伊德玫瑰获得的总利润为元．
(1)求与的函数表达式；
(2)当取何值时，出售这批玫瑰获得的利润最大？最大利润是多少元？
7．某公司计划采购一批智能机器人，共有，两款．如果购买5台款机器人和4台款机器人，则一共花费22万元；如果购买3台款机器人和8台款机器人，则一共花费30万元．
(1)，两款机器人的单价分别为多少
(2)如果该公司计划购买，两款机器人共15台（两款都要买），且购买款的数量不超过款的两倍，那么最省钱的购买方案是什么 最省钱的购买方案需要多少资金
8．位于“中国辣椒之都”遵义的某公司，有两款产品成功入选“央视2026年春晚文创”礼盒为推广本地特色农产品，某经销商计划购进A，B两种产品并进行销售：A产品每盒售价188元，B产品每盒售价68元．已知购进1盒A产品和2盒B产品共需220元，购进2盒A产品和1盒B产品共需305元．
(1)求每盒A产品和B产品的成本价；
(2)该经销商计划购进两种产品共60盒，其中A产品的数量不超过25盒．设购进A产品盒，销售完这批产品所获总利润为元，求关于的函数关系式，并求出最大利润．
行程问题
9．小敏上午8∶00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路程（单位：）和所经过的时间（单位：）之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题：
(1)小敏去超市途中的速度是多少？在超市停留了多长时间？
(2)请写出与的函数关系式；
(3)小敏几点几分返回到家？
10．已知两地相距100千米，甲、乙两车分别从两地出发相向而行，甲车先出发，途中停车休息一段时间，然后以原来的速度继续前进，两车离B地的距离（单位：千米）与甲车出发时间（单位：小时）的关系如图所示，请结合图像解答下列问题：
(1)甲车行驶过程中的速度是 千米/时，途中停车休息的时间为 小时；
(2)求甲车停车休息一段时间后至到达地的过程中与的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；
(3)直接写出甲车出发多少小时两车恰好相距15千米．
11．甲、乙两车分别从、两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到地，乙车立即以原速原路返回到地．甲、乙两车距地的路程与各自的行驶的时间之间的关系如图所示．
(1)m＝ ；
(2)请求出乙车距地的路程关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)当甲车到达地时，求乙车距地的路程．
12．宁波北仑区九峰山景区是国家4A级风景区，是大家采风游玩的好去处，某校登山兴趣小队周末去九峰山游玩，从山脚出发，经过1.5个小时到达野营点，并在这野营休息了1.5小时，又经过2小时原路下山返回山脚处．如图，是小队距山脚的距离y（）关于小队登山时间x（h）的部分图象，若小队上山的速度为，请回答以下问题：
(1)野营点距离山脚 ．
(2)补全函数图象，并标注图象转折点A、点B的坐标．
(3)请计算小队下山的函数表达式，并且计算当出发4.5小时后，小队距山脚的距离．
梯度计价问题
13．某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1600元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如表：
外卖送单数量 补贴（元/单）
每月不超过500单 5
超过500单的部分 8
(1)设某外卖小哥4月份送餐单（），所得工资元，请写出与的函数关系式．
(2)若某外卖小哥5月份送了800单，求外卖小哥5月份工资总额多少元？
14．某地实行峰谷分时电价政策，具体电价如下表所示：
时段 电价（元/千瓦时）
谷段（晚上~次日）
峰段（白天~）
某小型加工厂白天总用电量为千瓦时/天，为了降低用电费用，安装了某种蓄电池，将谷段时的低价电量储存起来，白天峰段时先使用储存电量，用完后，不足部分使用峰段时间的电量．每月按天计算，设每晚谷段储电千瓦时（），每月总电费为元．
(1)写出与之间的函数解析式；
(2)若该加工厂每晚储电千瓦时，求每月总电费．
15．盛夏时节，阎良“南果北种”的红心火龙果进入丰产期，颗颗饱满如红宝石．当地种植基地为方便市民尝鲜，推出同城快递配送服务，按包裹重量(计量单位为千克，不足1千克按1千克计量)实行阶梯计费．具体计费标准如下：
费用档位 包裹重量(单位：千克) 计价方式
第一档 元
第二档 超出千克的部分，元/千克
第三档 超出千克的部分，元/千克
根据以上提供的信息，请你解答下列问题：
(1)当时，求配送费(单位：元)与包裹重量之间的函数关系式．
(2)某用户购买该基地火龙果，快递配送费用为元，求出该包裹重量是多少千克？
16．为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准：
计费档 户年用气量 单价/（元）
第一档 2.73
第二档 3.28
第三档 3.82
(1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式；
(2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费；
(3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量．
其他问题
17．普及全民健身，赋能美好生活．某市为丰富群众的文化体育生活，推动健身运动在全市范围内广泛普及，决定为各社区安装健身器材．经考察，决定选购A，B两种型号的健身器材，其中，A型号健身器材每套比B型号健身器材少0.2万元，3套A型号健身器材和2套B型号健身器材共需5.4万元．
(1)求A，B两种型号的健身器材每套各需多少万元？
(2)调查统计得知，全市需A，B两种型号的健身器材共100套，且B型号健身器材的套数不多于A型号健身器材套数的3倍．
①求A型号健身器材最少需买多少套？
②该市用于此项目的计划资金为116万元，问此计划资金是否够用？
18．综合与实践
【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将58辆购物车从一层转运到负一层．
【相关素材】
素材1：如图1，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．下表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y与购物车数量x的关系（部分数据不完整）：
购物车数量x/辆 1 2 3 4 5 6 7 … ③ …
车身总长y/米 ① ② … …
素材2：如图2，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内．
【问题解决】
(1)根据表格信息，求购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的函数关系式；
(2)将表格补充完整：①处应填________，②处应填________，③处应填________；
(3)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由．
19．物理操作实验考试中，小亮抽到的是“探究凸透镜成像规律”实验．勤奋好学的小亮利用蜡烛、凸透镜、光屏在动手操作、反复实验的过程中，不仅熟练地掌握了凸透镜的成像规律，他还惊喜地发现：蜡烛在燃烧过程中，其剩余高度与燃烧时间之间呈一次函数关系．已知蜡烛燃烧后，蜡烛剩余高度；蜡烛燃烧后，蜡烛剩余高度．
(1)求y关于t的函数关系式；
(2)若晚上点亮一根完整的蜡烛，但有一段时间风把蜡烛吹灭了，后又点亮蜡烛，一直燃至晚上时蜡烛燃烧了一半，问期间蜡烛熄灭了多长时间？
20．务农重本，国之大纲．广袤的乡村大地生机勃勃，中国式现代化的美好未来令人憧憬，大棚草莓迎来丰产季．某草莓园推出采摘草莓优惠活动，已知游客当天在该草莓园采摘千克草莓所需的总费用为元，图中的折线表示（元）与（千克）之间的函数关系．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若一游客当天在该草莓园采摘草莓所需总费用为150元，请问他这天在该草莓园采摘了多少千克草莓？
1．为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，营造“读书好，好读书，读好书”的氛围，学校图书馆购进甲、乙两种图书，已知甲、乙两种图书的单价分别是25元和15元．
(1)学校第一次购买甲、乙两种图书共100本，且恰好支出2000元，求第一次购买了甲、乙两种图书各多少本？
(2)若学校准备再次购买甲、乙两种图书共200本，且甲种图书的数量不低于乙种图书数量的，请问怎么购买费用最少？最少费用是多少元？
2．某商场计划购进甲、乙两种品牌的T恤衫，购进甲品牌的T恤衫件、乙品牌的T恤衫件共需元；购进甲品牌的T恤衫件、乙品牌的T恤衫件共需元．
(1)这两种品牌的T恤衫的进价各多少元？
(2)商场决定购进甲、乙两种品牌T恤衫共件，总资金不少于元，且购进甲品牌T恤衫至少件，该商场有哪几种进货方案？
(3)若商场决定将甲品牌T恤衫以每件元出售，乙品牌T恤衫以每件元出售，则全部售出后，（）中的进货方案哪种利润最大？最大利润是多少？
3．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行．途中乙车因故停留1小时，然后以原速继续向A地行驶，到达A地后停止行驶，原地休息：甲车到达B地后，立即按原路原速返回A地（甲车掉头的时间忽略不计），甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（时）之间的函数图象如图．请结合图象信息解答下列问题：
(1)乙车的行驶速度是______，在图中括号内填入正确的数值；
(2)求甲车返回时y与x之间的函数关系式？写出取值范围．
(3)两车出发后几小时相距的路程为120千米？请直接写出答案．
4．春纳新喜，岁律回周．某厂家推出的“马跃新程”新春文创礼盒深受人们的喜爱．某商店准备购进其中的“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫两种文创品．已知每个“萌能陪伴”手机支架比“艺蕴流光”杯垫进价多15元，用3500元购进“萌能陪伴”手机支架的数量与用2000元购进“艺蕴流光”杯垫的数量相同．
(1)“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫每个的进价各是多少元？
(2)若该商店计划购进“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫共300件，“艺蕴流光”杯垫的数量不超过“萌能陪伴”手机支架数量的2倍．设购进“萌能陪伴”手机支架个（）．请问购进“萌能陪伴”手机支架多少个时，可使总进价最低？最低总进价是多少元？（请用函数的相关知识求解）．
5．洛阳以古都历史文化为底蕴，通过一系列活动正吸引越来越多的游客来一场古今穿越之旅，某单位计划购进A，B两种汉服，若购进2套A种汉服与1套B种汉服共需560元；购进3套A种汉服与2套B种汉服共需920元．
(1)求购进A种汉服和B种汉服每套各多少元？
(2)若该单位因举办活动需要购进A，B两种汉服共21套，要求买A种汉服的数量不少于B种汉服数量的一半，怎样购买花费最少？
6．同一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从B地出发，先匀速驶向C地，到达C地后立即调头（调头时间不计），途经B地驶往A地；同时乙车从A地出发匀速驶向B地，途中休息一个小时，两车同时到达各自目的地．两车距C地路程y（）与两车行驶时间x（）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题：
(1)乙车行驶速度是_____，B、C两地相距________千米；
(2)求线段所表示的甲车距C地的路程y（）与x（）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)请直接写出两车出发多长时间相距240千米．
7．陕西地处中国地理版图中心，纵跨黄河、长江两大流域，地形多样、气候多元，孕育了丰富的农业资源．为发展特色农业，某农场在咸阳市开展了种植项目，需要租赁一台农机设备进行作业，咨询了甲、乙两家农机租赁公司，甲公司的收费标准：每台农机收取固定租金元，另外再按租赁时间计费，每小时元；乙公司的收费标准：无固定租金，直接按租赁时间计费，每小时元．设该农场租赁农机时间为小时，租用甲公司的农机所需费用为元，租用乙公司的农机所需费用为元．
(1)分别写出，与之间的关系式；
(2)若该农场租赁农机小时，选择哪家租赁公司所付费用较少？
(3)租赁农机时间为多少小时时，两家租赁公司的收费相同？
8．某徽州文房四宝店计划购进徽墨和砚台共件．已知购买件徽墨和件砚台的进价合计元，购买件徽墨和件砚台的进价合计元．实际进货时，徽墨的数量不少于砚台数量的倍．徽墨和砚台的售价分别为元/件，元/件．
(1)徽墨和砚台的进价各是多少元/件？
(2)徽墨和砚台各购进多少件，才能使全部售出后获得的利润最大，最大利润是多少？
9．为提升教师教学效率，学校教务处计划购买一批扩音器和翻页笔．已知商场某品牌扩音器的单价比翻页笔的单价多30元，用2400元购买扩音器的数量是用2000元购买翻页笔数量的．
(1)求扩音器和翻页笔的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“教师节”促销，翻页笔打八折，若购买扩音器和翻页笔共100个，且扩音器数量不少于翻页笔数量的3倍，请问分别购买多少个扩音器和翻页笔，学校花费最少？最小花费多少元？
10．当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售，两种配件．已知购进件配件和件配件需支出成本元；购进件配件和件配件需支出成本元．
(1)求，两种配件的进货单价；
(2)若该配件销售部门计划购进，两种配件共件，配件进货件数不低于配件件数的倍．据市场销售分析，配件提价销售，配件按进价的倍销售．怎样安排，两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？
1．项目主题：确定不同运动效果的心率范围．
项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数．某校综合与实践小组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究最大心率与年龄的关系．
收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下，发现最大心率（次/分）与年龄（周岁）符合一次函数关系．
年龄/周岁
最大心率/（次/分）
问题解决：
(1)求关于的函数关系式；
(2)已知不同运动效果时的心率如下表，周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在什么范围内？
运动效果 运动心率占最大心率的百分比
燃烧脂肪
提升耐力
2．综合与实践
在一次综合与实践活动中，兴趣小组对某公司销售的，两种型号的电脑的销售情况进行了调研，获得了以下素材．
素材一：型电脑每台利润为400元，型电脑每台利润为500元．
素材二：公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍．
设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，请根据以上素材，解决下列问题
(1)求与的函数解析式；
(2)该公司购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
(3)公司实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，该公司保持这两种型号电脑的售价不变，若无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变，求的值．
3．综合与实践
综合与实践课上，老师设计“电车充电计费”为主题的综合实践活动．
【材料一】随着电动汽车的普及，某公司购入一台电动商务车（每次充电75度）和一台电动货车（每次充电210度），充电桩充电速度为每小时30度，每次必须连续充满电．
充电时段 该时段的充电收费标准（元/度）
货车 商务车
0时时
6时时
12时时
18时时
【材料二】充电过程中，不同的时段，不同车型，对应每小时的收费标准有所不同，如上表所示：
【材料三】公司仅有一个充电桩，每次仅能为一辆车充电．假设每次充电均在电量完全耗尽后立即开始，并连续充至满电．为了研究更合理的充电安排，进行以下任务：
任务一：如果在0时时开始充电，有两种充电方案：
方案A：先充商务车，再充货车；方案B：先充货车，再充商务车；
比较两种充电方案那种更省钱？
任务二：设为电车开始充电的时刻，
商务车充电的费用记作元，货车充电的费用记作元．
（1）当为5时至6时中的某一个时刻，直接写出商务车充电的费用与充电的时刻之间的函数关系式： ；
（2）当为7时至8时中的某一个时刻，直接写出货车充电的费用与充电的时刻之间的函数关系式： ；
（3）根据①②所列的函数关系式，说明为何“开始时间越晚，费用越高”，并提出包含数学依据的优化建议．
2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
23.4实际问题与一次函数（解析版）
分配方案问题
1．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元．
(1)求A，B两种型号的帐篷的单价；
(2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用．
【答案】(1)A，B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元
(2)购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元
【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的应用，根据已知条件列出方程组和不等式是解题的关键．
（1）设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元，根据题意列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个，根据题意列不等式，得到，设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元，则，根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元，
根据题意得，
解得：，
答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元；
（2）解：设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个，
根据题意得：，
解得：，
设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元，
则，
，
随的增大而增大，
当时，最小，此时，
，
答：购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元．
2．某校为丰富社团活动，计划购买一批国画用品和书法用品．已知购买1套国画用品和2套书法用品共需400元；购买2套国画用品和1套书法用品共需350元．
(1)求每套国画用品和每套书法用品的价格；
(2)社团准备购买两种用品共30套，且国画用品套数不多于书法用品套数的2倍．请设计一种购买方案使总费用最低，并求出最低总费用．
【答案】(1)每套国画用品价格为100元，每套书法用品价格为150元
(2)购买国画用品20套，书法用品10套时，总费用最低，最低总费用为3500元
【分析】（1）设每套国画用品价格为a元，每套书法用品价格为b元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设购买国画用品x套，设总费用为y元，根据题意列不等式求出的取值范围，再得出关于的一次函数，利用一次函数的增减性求最值即可．
【详解】（1）解：设每套国画用品价格为a元，每套书法用品价格为b元，
由题意得：，
解得．
答：每套国画用品价格为100元，每套书法用品价格为150元．
（2）解：设购买国画用品x套，则购买书法用品套，设总费用为y元，
由题意得：，
解得．
，
，
随x的增大而减小，
∴当时，．
答：购买国画用品20套，书法用品10套时，总费用最低，最低总费用为3500元．
3．2020年新型冠状病毒肺炎疫情肆虐，全民自觉防疫抗疫．某小区物业为了给小区消毒，特采购一批84消毒液和医用酒精．已知2瓶84消毒液和1瓶医用酒精共需31元，2瓶84消毒液和3瓶医用酒精共需54元．
(1)求84消毒液和医用酒精每瓶的单价；
(2)已知该小区需要采购两种防疫物资共60瓶，且医用酒精的数量不少于84消毒液数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】(1)84消毒液和医用酒精每瓶的单价分别为元和元
(2)最省钱的购买方案为：购买84消毒液20瓶，医用酒精40瓶，理由见解析
【分析】（1）设84消毒液和医用酒精每瓶的单价分别为x元和y元，根据“2瓶84消毒液和1瓶医用酒精共需31元，2瓶84消毒液和3瓶医用酒精共需54元”列方程组求解；
（2）设采购84消毒液m瓶，则采购医用酒精瓶，根据题意列出不等式求出，设购买的总费用为w元，表示出，然后利用一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：设84消毒液和医用酒精每瓶的单价分别为x元和y元，
根据题意得，
解得，
∴84消毒液和医用酒精每瓶的单价分别为元和元；
（2）解：设采购84消毒液m瓶，则采购医用酒精瓶，
根据题意得，
解得，
设购买的总费用为w元，
根据题意得，
∵
∴w随m的增大而减小
∴当时，w有最小值，最小值为元．
∴（瓶）
∴最省钱的购买方案为：购买84消毒液20瓶，医用酒精40瓶．
4．暑假期间，李老师计划带领该校若干名“三好学生”到北京旅游，他联系了报价均为元的甲、乙两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师买一张全票，学生可享受半价优惠；乙旅行社的优惠条件是：老师、学生都按六折优惠．设李老师带领名“三好学生”去旅游，甲旅行社的收费为元，乙旅行社的收费为元．
(1)请分别求出关于的函数关系式；
(2)李老师应该选择哪一家旅行社，为什么？
【答案】(1)，；
(2)当三好学生人数少于人时，应选择乙旅行社；当三好学生人数等于人时，甲乙旅行社一样优惠；当三好学生人数多于人时，应选择甲旅行社．
【分析】（1）根据甲、乙旅行社的优惠方案，分别列出函数表达式，即可解答；
（2）分三种情况进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：∵设李老师带领名“三好学生”去旅游，
∴由题意得：，
，
即，；
（2）解：当时，即，解得：，
当时，即，解得：，
当时，即，解得：，
∴当三好学生人数少于人时，应选择乙旅行社；当三好学生人数等于人时，甲乙旅行社一样优惠；当三好学生人数多于人时，应选择甲旅行社．
最大利润问题
5．为打造花园式居住环境，某物业公司计划购进A、B两种花木对小区进行美化，已知B种花木比A种花木每棵贵20元，且购买2棵A种花木与3棵B种花木共需要210元．
(1)求A、B两种花木的单价各是多少元？
(2)如果购进的这批花木共6000棵，A种花木至多购进4000棵，为了使购进的这批花木的费用最低，应购进A种花木和B种花木各多少棵？并求出最低费用．
【答案】(1)A，B两种花木的单价分别是30元和50元
(2)购进A种花木4000棵，B种花木2000棵，能使得购进这批花木的费用最低，为220000元
【分析】（1）设A种花木每棵x元，B种花木每棵y元，依据题意可得，求解即可；
（2）设购进A种花木t棵，这批花木的费用为w元，则．根据函数的性质求解即可；
【详解】（1）解：设A种花木每棵x元，B种花木每棵y元，
依据题意可得，
解得．
答：A，B两种花木的单价分别是30元和50元．
（2）解：设购进A种花木t棵，这批花木的费用为w元，
则．
∵，
w随着t的增大而减小，，
∴当时，w最小．
此时，B种花木有（棵），
．
答：购进A种花木4000棵，B种花木2000棵，能使得购进这批花木的费用最低，为220000元．
6．三八时节，花香满径，正是人间好时节．某花店老板做完市场调研后，决定多批发一些卡布奇诺玫瑰和弗洛伊德玫瑰．已知卡布奇诺玫瑰的批发价是每把40元，零售价是每把60元，弗洛伊德玫瑰的批发价是每把38元，零售价是每把50元．老板计划购进卡布奇诺玫瑰和弗洛伊德玫瑰共100把，且购进弗洛伊德玫瑰的数量不少于卡布奇诺玫瑰的数量的．设购进弗洛伊德玫瑰把，出售这批卡布奇诺玫瑰和弗洛伊德玫瑰获得的总利润为元．
(1)求与的函数表达式；
(2)当取何值时，出售这批玫瑰获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)且为整数；
(2)当时，出售这批玫瑰获得的利润最大，最大利润是1696元．
【分析】（1）根据题意即可求得与的函数表达式；
（2）利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设购进弗洛伊德玫瑰把，则购进卡布奇诺玫瑰把，
根据题意得：
，
∵购进弗洛伊德玫瑰的数量不少于卡布奇诺玫瑰的数量的，
∴，解得，
∵，解得，
∴，
∴与的函数表达式为且为整数；
（2）解：∵，
∴随的增大而减少，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：当时，出售这批玫瑰获得的利润最大，最大利润是1696元．
7．某公司计划采购一批智能机器人，共有，两款．如果购买5台款机器人和4台款机器人，则一共花费22万元；如果购买3台款机器人和8台款机器人，则一共花费30万元．
(1)，两款机器人的单价分别为多少
(2)如果该公司计划购买，两款机器人共15台（两款都要买），且购买款的数量不超过款的两倍，那么最省钱的购买方案是什么 最省钱的购买方案需要多少资金
【答案】(1)款机器人的单价为2万元，款机器人的单价3万元
(2)购买10台款机器人，5台款机器人最省钱，最省钱费用为35万元
【分析】（1）设款机器人的单价为万元，款机器人的单价为万元，利用购买的价格购买的价格购买总价，列出方程组解答即可；
（2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，总费用为万元，利用总费用购买的价格购买的价格列出表达式，再根据购买款的数量不超过款的两倍，得出取值范围即可解答．
【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，款机器人的单价为万元．
则，
解得：，
答：款机器人的单价为2万元，款机器人的单价3万元．
（2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，总费用为万元，
由题意得：，
又，
解得，
∵小于，
∴随着的增大而减小，故当时，有最小值，此时最小值为，此时，
答：购买10台款机器人，5台款机器人最省钱，最省钱费用为35万元．
8．位于“中国辣椒之都”遵义的某公司，有两款产品成功入选“央视2026年春晚文创”礼盒为推广本地特色农产品，某经销商计划购进A，B两种产品并进行销售：A产品每盒售价188元，B产品每盒售价68元．已知购进1盒A产品和2盒B产品共需220元，购进2盒A产品和1盒B产品共需305元．
(1)求每盒A产品和B产品的成本价；
(2)该经销商计划购进两种产品共60盒，其中A产品的数量不超过25盒．设购进A产品盒，销售完这批产品所获总利润为元，求关于的函数关系式，并求出最大利润．
【答案】(1)每盒A产品130元/盒，每盒B产品45元/盒
(2)关于的函数关系式为，最大利润为2255元
【分析】（1）设产品成本价为元/盒，产品成本价为元/盒，根据“购进1盒A产品和2盒B产品共需220元，购进2盒A产品和1盒B产品共需305元．”列出方程组，即可求解；
（2）根据总利润A产品所获利润B产品所获利润，可列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设产品成本价为元/盒，产品成本价为元/盒．
由题意可得：，
解得：，
答：每盒产品130元/盒，每盒产品45元/盒．
（2）解：根据题意得：且为非负整数， 产品的数量为，
则
随的增大而增大 ，
∴当时，W取得最大值，最大值为（元）
答：关于的函数关系式为，最大利润为2255元．
行程问题
9．小敏上午8∶00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路程（单位：）和所经过的时间（单位：）之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题：
(1)小敏去超市途中的速度是多少？在超市停留了多长时间？
(2)请写出与的函数关系式；
(3)小敏几点几分返回到家？
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据观察横坐标，可得去超市的时间，根据观察纵坐标，可得去超市的路程，根据路程与时间的关系，可得答案；在超市逗留的时间即路程不变化所对应的时间段；
（2）分类讨论：①当时，②当时，③设返回家时，逐个分析求解即可；
（3）求出返回家时的函数解析式，当时，求出x的值，即可解答．
【详解】（1）解：速度为：（米/分）
逗留的时间为：．
（2）解：①由（1）可知，当时，y与x的函数解析式为，
②当时，；
③设返回家时，y与x的函数解析式为，把分别代入，得
，
解得
∴函数解析式为，
当时，，
解得，
综上所述，．
（3）解：由（2）可知，当时，，
∴返回到家的时间为．
10．已知两地相距100千米，甲、乙两车分别从两地出发相向而行，甲车先出发，途中停车休息一段时间，然后以原来的速度继续前进，两车离B地的距离（单位：千米）与甲车出发时间（单位：小时）的关系如图所示，请结合图像解答下列问题：
(1)甲车行驶过程中的速度是 千米/时，途中停车休息的时间为 小时；
(2)求甲车停车休息一段时间后至到达地的过程中与的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；
(3)直接写出甲车出发多少小时两车恰好相距15千米．
【答案】(1)50，
(2)
(3)小时或小时
【分析】（1）由图像可知，甲在前1小时走了50千米，据此计算速度即可；由于甲的速度未改变，故走完全程不休息需要2小时，而图像可知用了小时，相减即可求出休息时间；
（2）设甲休息后的解析式为，将图像上两点和代入即可求出解析式；
（3）先算出乙路程与时间的关系式，再根据列出方程求解即可．
【详解】（1）解：根据甲的图像可知前1小时走了（千米），
故甲的速度为（千米/小时）；
∵甲走100千米需要（小时），而他到达终点的时间是小时，
∴休息了（小时）．
（2）解：（小时），
设甲车休息后至到达B地过程中的函数关系式为，
将和代入解析式，得，
解得，
所求函数关系式为；
（3）解：设乙车路程与时间的关系式为，将和代入得：
，解得，
∴，
当时，，此时两车相距（千米），
∴相距15千米时间段为之间，
依题意得，，
解得：或
∴甲出发小时或小时两车相距15千米．
11．甲、乙两车分别从、两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到地，乙车立即以原速原路返回到地．甲、乙两车距地的路程与各自的行驶的时间之间的关系如图所示．
(1)m＝ ；
(2)请求出乙车距地的路程关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)当甲车到达地时，求乙车距地的路程．
【答案】(1)4
(2)关于的函数解析式为
(3)当甲车到达地时，乙车距地的路程为
【分析】（1）根据两车相遇后乙车立即以原速原路返回到地，相遇时间是，则是相遇时间的2倍，即可求出的值；
（2）根据乙车运动的图象，分和，用待定系数法求函数解析式即可；
（3）由图象知甲到达地的时间是，代入中即可求出乙车距地的路程．
【详解】（1）解：由图象可得：；
（2）解：当时，设函数关于的函数解析式为，
因为图象经过，
，
解得：，
函数关于的函数解析式，
当时，设关于的函数解析式为，
图象经过，两点，
，
解得：，
关于的函数解析式为，
综上，关于的函数解析式为；
（3）解：当时，，
当甲车到达地时，乙车距地的路程为．
12．宁波北仑区九峰山景区是国家4A级风景区，是大家采风游玩的好去处，某校登山兴趣小队周末去九峰山游玩，从山脚出发，经过1.5个小时到达野营点，并在这野营休息了1.5小时，又经过2小时原路下山返回山脚处．如图，是小队距山脚的距离y（）关于小队登山时间x（h）的部分图象，若小队上山的速度为，请回答以下问题：
(1)野营点距离山脚 ．
(2)补全函数图象，并标注图象转折点A、点B的坐标．
(3)请计算小队下山的函数表达式，并且计算当出发4.5小时后，小队距山脚的距离．
【答案】(1)6
(2)见解析
(3)，当出发4.5小时后，小队距山脚的距离为
【分析】（1）根据时间乘速度即可求解；
（2）根据题意即可补全函数图象；
（3）利用待定系数法求得小队下山的函数表达式，再计算时，的值即可．
【详解】（1）解：由题意得；
（2）解：由题意，函数图象如下，
；
（3）解：设小队下山的函数表达式为，代入，，
∴，
∴，
∴，
令时，，
∴当出发4.5小时后，小队距山脚的距离为．
梯度计价问题
13．某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1600元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如表：
外卖送单数量 补贴（元/单）
每月不超过500单 5
超过500单的部分 8
(1)设某外卖小哥4月份送餐单（），所得工资元，请写出与的函数关系式．
(2)若某外卖小哥5月份送了800单，求外卖小哥5月份工资总额多少元？
【答案】(1)
(2)外卖小哥5月份工资总额为6500元．
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程的应用．
（1）根据工资底薪加上不超过500单的部分的补贴和超过500单的部分的补贴表示即可；
（2）判断送单量超过500单，代入第一问得到的函数关系式计算即可得到结果．
【详解】（1）解：，
即函数关系式为（）；
（2）解：当时，（元）
答：外卖小哥5月份工资总额为6500元．
14．某地实行峰谷分时电价政策，具体电价如下表所示：
时段 电价（元/千瓦时）
谷段（晚上~次日）
峰段（白天~）
某小型加工厂白天总用电量为千瓦时/天，为了降低用电费用，安装了某种蓄电池，将谷段时的低价电量储存起来，白天峰段时先使用储存电量，用完后，不足部分使用峰段时间的电量．每月按天计算，设每晚谷段储电千瓦时（），每月总电费为元．
(1)写出与之间的函数解析式；
(2)若该加工厂每晚储电千瓦时，求每月总电费．
【答案】(1)
(2)每月总电费为元
【分析】（1）先根据表格计算出每天的电费，乘以即可得到与之间的函数解析式；
（2）将代入（1）中的函数解析式即可．
【详解】（1）解：根据题意，每天消耗的谷段的电量为千瓦时，则消耗的峰段的电量为千瓦时，
∴每天的电费为（元），
∴每月总电费；
（2）解：当时，（元）．
答：每月总电费为元．
15．盛夏时节，阎良“南果北种”的红心火龙果进入丰产期，颗颗饱满如红宝石．当地种植基地为方便市民尝鲜，推出同城快递配送服务，按包裹重量(计量单位为千克，不足1千克按1千克计量)实行阶梯计费．具体计费标准如下：
费用档位 包裹重量(单位：千克) 计价方式
第一档 元
第二档 超出千克的部分，元/千克
第三档 超出千克的部分，元/千克
根据以上提供的信息，请你解答下列问题：
(1)当时，求配送费(单位：元)与包裹重量之间的函数关系式．
(2)某用户购买该基地火龙果，快递配送费用为元，求出该包裹重量是多少千克？
【答案】(1)
(2)千克
【分析】（1）根据阶梯累计计费规则，整理得到对应区间的配送费与重量的函数关系式；
（2）先计算第二档的最高配送费，判断32.8元所在的费用档位，再根据对应档位的计费规则列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：当时第一档费用为10元，超出5千克的重量为千克，超出部分单价为元/千克
总配送费
化简得
即当时，
函数关系式为．
（2）把代入，
得(元)
该包裹重量，属于第三档当时，
总配送费为
化简得
令，
得方程
∴
解得
答∶该包裹重量是26千克．
16．为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准：
计费档 户年用气量 单价/（元）
第一档 2.73
第二档 3.28
第三档 3.82
(1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式；
(2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费；
(3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量．
【答案】(1)
(2)该户这一年的燃气费为1147元
(3)该户去年一年的用气量为
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式，
（1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式；
（2）直接将代入（1）关系式，可得答案；
（3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可．
【详解】（1）解： 由表格可知，当时，．
（2）解：，
当时，，
所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元．
（3）解：当时，（元），
当时，（元），
，
所以，该户用气量属于第二档，
当时，，
解得，，
所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为．
其他问题
17．普及全民健身，赋能美好生活．某市为丰富群众的文化体育生活，推动健身运动在全市范围内广泛普及，决定为各社区安装健身器材．经考察，决定选购A，B两种型号的健身器材，其中，A型号健身器材每套比B型号健身器材少0.2万元，3套A型号健身器材和2套B型号健身器材共需5.4万元．
(1)求A，B两种型号的健身器材每套各需多少万元？
(2)调查统计得知，全市需A，B两种型号的健身器材共100套，且B型号健身器材的套数不多于A型号健身器材套数的3倍．
①求A型号健身器材最少需买多少套？
②该市用于此项目的计划资金为116万元，问此计划资金是否够用？
【答案】(1)A型号每套1万元，B型号每套1.2万元．
(2)①25套；②够用
【分析】（1）设A型号单价为万元，则B型号为万元，根据“3套套B共5.4万元”列一元一次方程，求解得A、B单价．
（2）①设A型号买套，则B型号买套，根据“B型套数型套数的3倍”列一元一次不等式，求解得的最小值．
②先建立总费用关于的一次函数，结合的取值范围，利用一次函数单调性求出最大总费用，再与116万元比较，判断资金是否够用．
【详解】（1）解：设A型号健身器材每套万元，则B型号每套万元，
根据题意列方程：，
解得：，
则B型号单价为：（万元），
∴A型号每套1万元，B型号每套1.2万元．
（2）解：①设购买A型号套，则购买B型号套，
根据题意得：，
解得：，
∴A型号健身器材最少需买25套．
②设总费用为万元，
根据题意可得：，
由①知，且为正整数，即，
∴．
∵中，，
∴随的增大而减小．
当取最小值25时，取得最大值，
最大值为：，
∵，
即总费用的最大值为115万元，小于计划资金116万元．
∴此计划资金够用．
18．综合与实践
【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将58辆购物车从一层转运到负一层．
【相关素材】
素材1：如图1，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．下表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y与购物车数量x的关系（部分数据不完整）：
购物车数量x/辆 1 2 3 4 5 6 7 … ③ …
车身总长y/米 ① ② … …
素材2：如图2，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内．
【问题解决】
(1)根据表格信息，求购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的函数关系式；
(2)将表格补充完整：①处应填________，②处应填________，③处应填________；
(3)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由．
【答案】(1)
(2)2，，45
(3)能，见解析
【分析】（1）根据表格，每增加1辆购物车，车身总长增加0.2米，即可列出函数关系式；
（2）代入函数关系式，计算即可；
（3）根据勾股定理，求出，再计算58辆购物车列的车身总长，比较即可求解．
【详解】（1）解：根据表格，每增加1辆购物车，车身总长增加0.2米，
则，
车身总长y与购物车数量x之间的关系式为；
（2）由（1）知，，
当时，；
当时，；
当时，，解得；
（3）解：该超市员工能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕．
理由：在中，根据勾股定理，得（米），
当时，（米），
，
该超市员工能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕．
19．物理操作实验考试中，小亮抽到的是“探究凸透镜成像规律”实验．勤奋好学的小亮利用蜡烛、凸透镜、光屏在动手操作、反复实验的过程中，不仅熟练地掌握了凸透镜的成像规律，他还惊喜地发现：蜡烛在燃烧过程中，其剩余高度与燃烧时间之间呈一次函数关系．已知蜡烛燃烧后，蜡烛剩余高度；蜡烛燃烧后，蜡烛剩余高度．
(1)求y关于t的函数关系式；
(2)若晚上点亮一根完整的蜡烛，但有一段时间风把蜡烛吹灭了，后又点亮蜡烛，一直燃至晚上时蜡烛燃烧了一半，问期间蜡烛熄灭了多长时间？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设y关于t的函数关系式为，根据题意，代入函数解析式即可求解；
（2）根据题意得出一根完整的蜡烛长，确定燃烧了一半的时间为，即可求解．
【详解】（1）解：设y关于t的函数关系式为，
将、代入得：
，解得，
∴y关于t的函数关系式为；
（2）解：对于，
当时，，
∴一根完整的蜡烛长，
蜡烛燃烧一半时，，
令，
解得，
，
，
答：期间蜡烛熄灭了．
20．务农重本，国之大纲．广袤的乡村大地生机勃勃，中国式现代化的美好未来令人憧憬，大棚草莓迎来丰产季．某草莓园推出采摘草莓优惠活动，已知游客当天在该草莓园采摘千克草莓所需的总费用为元，图中的折线表示（元）与（千克）之间的函数关系．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若一游客当天在该草莓园采摘草莓所需总费用为150元，请问他这天在该草莓园采摘了多少千克草莓？
【答案】(1)函数关系式为；
(2)他这天在该草莓园采摘了6千克草莓．
【详解】（1）解：当时，
设函数关系式为，
代入点，
得，解得，
∴函数关系式为；
当时，设函数关系式为，
代入点，，
得，解得，
∴函数关系式为；
综上，函数关系式为；
（2）解：∵当时，，
∴适用第二段关系式，
代入，
解得，
∴他这天在该草莓园采摘了6千克草莓．
1．为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，营造“读书好，好读书，读好书”的氛围，学校图书馆购进甲、乙两种图书，已知甲、乙两种图书的单价分别是25元和15元．
(1)学校第一次购买甲、乙两种图书共100本，且恰好支出2000元，求第一次购买了甲、乙两种图书各多少本？
(2)若学校准备再次购买甲、乙两种图书共200本，且甲种图书的数量不低于乙种图书数量的，请问怎么购买费用最少？最少费用是多少元？
【答案】(1)购买甲种图书50本，乙种图书50本
(2)当购买甲种图书50本，购买乙种图书150本时，购买费用最少，最少费用是3500元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及一次函数的最值问题，解题的关键是根据题意建立方程组和函数关系式．
（1）中设甲种图书本、乙种图书本，根据共100本和"支出2000元"列方程组求解；
（2）中设购买甲种图书本，则乙种图书本，费用，由甲不低于乙的得，再根据一次函数性质随增大而增大)，得当时最小，此时乙种图书150本，最少费用3500元．
【详解】（1）解：设购买甲种图书本，乙种图书本，
根据题意，得：，
解得，
答：购买甲种图书50本，乙种图书50本；
（2）解：设购买费用为w元，购买甲种图书本，则买乙种图书（）本，
根据题意，得：，
由甲种图书的数量不低于乙种图书数量的，得：，
解得，
随的增大而增大，
当时，，此时，
答：当购买甲种图50本，购买乙种图书150本时，购买费用最少，最少费用是3500元．
2．某商场计划购进甲、乙两种品牌的T恤衫，购进甲品牌的T恤衫件、乙品牌的T恤衫件共需元；购进甲品牌的T恤衫件、乙品牌的T恤衫件共需元．
(1)这两种品牌的T恤衫的进价各多少元？
(2)商场决定购进甲、乙两种品牌T恤衫共件，总资金不少于元，且购进甲品牌T恤衫至少件，该商场有哪几种进货方案？
(3)若商场决定将甲品牌T恤衫以每件元出售，乙品牌T恤衫以每件元出售，则全部售出后，（）中的进货方案哪种利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)甲品牌T恤衫的进价为元，乙品牌T恤衫的进价为元
(2)方案1：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件；方案：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件；方案：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件
(3)购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件利润最大，最大利润是元
【分析】（）通过设甲、乙品牌T恤衫的进价为未知数，根据两种进货方案的总费用列出二元一次方程组，求解得出两种T恤的进价；
（）设购进甲品牌T恤衫的数量为未知数，结合甲的数量限制和总进价不低于元的条件列出不等式组，求解得到符合条件的正整数解，进而确定所有进货方案；
（）根据两种T恤的单件利润列出总利润关于甲品牌数量的一次函数，利用一次函数的单调性，结合（）中的取值范围，求出利润的最大值及对应的进货方案．
【详解】（1）解：设甲品牌T恤衫的进价为元，乙品牌T恤衫的进价为元
由题意，得，
解得：，
答：甲品牌T恤衫的进价为元，乙品牌T恤衫的进价为元；
（2）解：设购进甲品牌T恤衫件，则购进乙品牌T恤衫件，
根据题意得，
解得，
∵是正整数，
∴，，，
∴，，
∴有种方案
方案：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件；
方案：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件；
方案：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件；
（3）解：设总利润为元
，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，（元），
答：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件利润最大，最大利润是元．
3．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行．途中乙车因故停留1小时，然后以原速继续向A地行驶，到达A地后停止行驶，原地休息：甲车到达B地后，立即按原路原速返回A地（甲车掉头的时间忽略不计），甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（时）之间的函数图象如图．请结合图象信息解答下列问题：
(1)乙车的行驶速度是______，在图中括号内填入正确的数值；
(2)求甲车返回时y与x之间的函数关系式？写出取值范围．
(3)两车出发后几小时相距的路程为120千米？请直接写出答案．
【答案】(1)，300
(2)，
(3)或或
【分析】（1）根据题意，得到乙车行驶的路程及时间即可得到速度，再计算的路程即可；
（2）利用待定系数法求解析式即可；
（3）分当两车第一次相遇前相距120千米的路程；当两车第一次相遇后，甲车到达地前，相距120千米的路程；当甲车到达地后返回A地，两车第二次相遇后，甲车到A地距离共有120千米，所以两车不可能再相距120千米；分别求解即可．
【详解】（1）解：由图可知从A，B两地相距千米，乙车共用，途中休息，
则乙车的行驶速度为，
，故图中括号内正确的数值为；
（2）甲车返回时y与x之间的函数关系式为，
又由图可知甲共用，则返回时的函数关系式过点和，
，解得,
则；
（3）解：甲车共用时，
则甲车的行驶速度为，
则第一次甲乙两车相遇的时间为，
第一次相遇前，甲乙相距120千米：
（小时），
第一次相遇后且甲未到地时，甲乙相距120千米：
（小时），
甲到达地后立即返回A地且未与乙相遇时，甲乙相距120千米：
（小时），
第二次相遇后，当甲停止行驶时，此时乙所在的位置距离为：
（千米），，所以此情况不存在
综上，两车出发后2小时或小时或小时相距120千米的路程．
4．春纳新喜，岁律回周．某厂家推出的“马跃新程”新春文创礼盒深受人们的喜爱．某商店准备购进其中的“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫两种文创品．已知每个“萌能陪伴”手机支架比“艺蕴流光”杯垫进价多15元，用3500元购进“萌能陪伴”手机支架的数量与用2000元购进“艺蕴流光”杯垫的数量相同．
(1)“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫每个的进价各是多少元？
(2)若该商店计划购进“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫共300件，“艺蕴流光”杯垫的数量不超过“萌能陪伴”手机支架数量的2倍．设购进“萌能陪伴”手机支架个（）．请问购进“萌能陪伴”手机支架多少个时，可使总进价最低？最低总进价是多少元？（请用函数的相关知识求解）
【答案】(1)“艺蕴流光”杯垫每个的进价是20元，则“萌能陪伴”手机支架每个的进价是35元
(2)购进100个“萌能陪伴”手机支架时，总进价最低，最低总进价为7500元
【分析】（1）设“艺蕴流光”杯垫每个的进价是元，则“萌能陪伴”手机支架每个的进价是元，根据等量关系，列出分式方程，求解检验即可；
（2）设总进价为元，可得，根据不等关系，列出不等式组，求出的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设“艺蕴流光”杯垫每个的进价是元，则“萌能陪伴”手机支架每个的进价是元，
根据题意得，，解得：，
经检验：是原分式方程的解且符合题意，
答：“艺蕴流光”杯垫每个的进价是20元，则“萌能陪伴”手机支架每个的进价是35元；
（2）解：设总进价为元，
则，
由题意得，，解得，
，，且为整数，
随的增大而增大
当时，购进这两种文创品的总进价最低，最低总进价为（元），
答：购进100个“萌能陪伴”手机支架时，总进价最低，最低总进价为7500元．
5．洛阳以古都历史文化为底蕴，通过一系列活动正吸引越来越多的游客来一场古今穿越之旅，某单位计划购进A，B两种汉服，若购进2套A种汉服与1套B种汉服共需560元；购进3套A种汉服与2套B种汉服共需920元．
(1)求购进A种汉服和B种汉服每套各多少元？
(2)若该单位因举办活动需要购进A，B两种汉服共21套，要求买A种汉服的数量不少于B种汉服数量的一半，怎样购买花费最少？
【答案】(1)
购进A种汉服每套元，B种汉服每套元；
(2)
购买A种汉服套，B种汉服套时花费最少．
【分析】（1）设购进A种汉服每套x元，购进B种汉服每套y元，根据购进2套A种汉服与1套B种汉服共需560元；购进3套A种汉服与2套B种汉服共需920元，列出方程组并解方程组即可；
（2）设购进A种汉服a套，则购进B种汉服套，根据买A种汉服的数量不少于B种汉服数量的一半列出不等式，求出的范围，再设花费元，结合（1）中单价，列出关系式，利用一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设购进A种汉服每套x元，购进B种汉服每套y元，根据题意得：
，
解得：．
答：购进A种汉服每套元，购进B种汉服每套元．
（2）解：设购进A种汉服a套，则购进B种汉服套，根据题意得：
，
解得，
设花费元，则，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值，
此时，（套），
答：购买A种汉服套，B种汉服套时花费最少．
6．同一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从B地出发，先匀速驶向C地，到达C地后立即调头（调头时间不计），途经B地驶往A地；同时乙车从A地出发匀速驶向B地，途中休息一个小时，两车同时到达各自目的地．两车距C地路程y（）与两车行驶时间x（）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题：
(1)乙车行驶速度是_____，B、C两地相距________千米；
(2)求线段所表示的甲车距C地的路程y（）与x（）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)请直接写出两车出发多长时间相距240千米．
【答案】(1)80，100
(2)
(3)或
【分析】（1）用乙车前半段行驶路程除以前半段行驶时间即可求出乙车行驶速度，求出乙车后半段行驶路程，即可求出B、C两地距离；
（2）先求出甲车行驶速度，进而求出E表示的数，可知自变量的取值范围，设线段的函数关系式为，将，代入计算即可；
（3）设两车出发相距240千米，分情况列方程求解即可．
【详解】（1）解：乙车行驶速度是；
∴乙车后半段行驶路程为，
∴B、C两地相距；
（2）解：由图象结合（1）可知D表示100，
∴甲车行驶速度为，
∴甲车行驶用时，
即E表示，
∴
设线段的函数关系式为，则，
由图象可知函数经过，，
∴，
解得：，
∴线段的函数关系式为；
（3）解：设两车出发相距240千米．
∵两车出发前相距，且甲车速度比乙车快，
∴段不存在两车相距240千米的情况；
在段：当乙车休息前，
两车出发相距240千米时，乙车距C地路程为千米，甲车距C地路程为千米，
此时，
解得：，在范围内；
当乙车休息后，
两车出发相距240千米时，乙车距C地路程为千米，甲车距C地路程为千米，
此时，
解得：，在范围内；
由图可知乙车休息时两车距离小于乙车行驶时，即此时不存在两车相距240千米的情况；
综上所述，两车出发或相距240千米．
7．陕西地处中国地理版图中心，纵跨黄河、长江两大流域，地形多样、气候多元，孕育了丰富的农业资源．为发展特色农业，某农场在咸阳市开展了种植项目，需要租赁一台农机设备进行作业，咨询了甲、乙两家农机租赁公司，甲公司的收费标准：每台农机收取固定租金元，另外再按租赁时间计费，每小时元；乙公司的收费标准：无固定租金，直接按租赁时间计费，每小时元．设该农场租赁农机时间为小时，租用甲公司的农机所需费用为元，租用乙公司的农机所需费用为元．
(1)分别写出，与之间的关系式；
(2)若该农场租赁农机小时，选择哪家租赁公司所付费用较少？
(3)租赁农机时间为多少小时时，两家租赁公司的收费相同？
【答案】(1)，
(2)选择甲租赁公司比较合算
(3)租赁农机时间为小时时，两家租赁公司的收费相同
【分析】（1）直接写出，与之间的关系式；
（2）令，求出对应的，的值，比较大小，即可得解；
（3）令，得到一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得，，；
（2）解：当时，，
，
，
若该农场租赁农机小时，选择甲租赁公司比较合算；
（3）解：令，即，
解得．
租赁农机时间为小时时，两家租赁公司的收费相同．
8．某徽州文房四宝店计划购进徽墨和砚台共件．已知购买件徽墨和件砚台的进价合计元，购买件徽墨和件砚台的进价合计元．实际进货时，徽墨的数量不少于砚台数量的倍．徽墨和砚台的售价分别为元/件，元/件．
(1)徽墨和砚台的进价各是多少元/件？
(2)徽墨和砚台各购进多少件，才能使全部售出后获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)徽墨进价元，砚台的进价为元
(2)购进砚台件，徽墨件，获得的利润最大，最大利润元
【分析】（1）设徽墨进价为元，砚台的进价为元，根据题干列二元一次方程组，解方程组求解即可；
（2）设购进砚台件，则购进徽墨件，获得的利润元，根据“徽墨的数量不少于砚台数量的倍”列不等式确定的取值范围，根据总利润徽墨利润砚台利润列出一次函数关系式，再结合一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设徽墨进价为元，砚台的进价为元，
根据题意得，
解得；
答：徽墨进价元，砚台的进价为元．
（2）解：设购进砚台件，则购进徽墨件，获得的利润元，
根据题意得，
解得，
，
，
随的增大而增大，
当时，取最大值，最大值为（元），此时（件）．
答：购进砚台件，徽墨件，获得的利润最大，最大利润元．
9．为提升教师教学效率，学校教务处计划购买一批扩音器和翻页笔．已知商场某品牌扩音器的单价比翻页笔的单价多30元，用2400元购买扩音器的数量是用2000元购买翻页笔数量的．
(1)求扩音器和翻页笔的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“教师节”促销，翻页笔打八折，若购买扩音器和翻页笔共100个，且扩音器数量不少于翻页笔数量的3倍，请问分别购买多少个扩音器和翻页笔，学校花费最少？最小花费多少元？
【答案】(1)扩音器单价为80元，翻页笔单价为50元
(2)购买75个扩音器，25个翻页笔时学校花费最少，最小花费为7000元
【分析】（）设扩音器的单价为元，则翻页笔的单价为元，根据题意列出方程即可求解；
（） 设购买扩音器个，花费为元，则购买翻页笔个，由题意可得，即得，又根据题意可得，再根据一次函数的性质解答即可求解；
【详解】（1）解：设扩音器的单价为元，则翻页笔的单价为元，
又用2400元购买扩音器的数量是用2000元购买翻页笔数量的，
，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：扩音器单价为80元，翻页笔单价为50元；
（2）解：设购买扩音器个，花费为元，则购买翻页笔个，
由题意得，，
解得，
由题意得，，
∵，
∴随增大而增大，
∴当时，有最小值，此时，
，
答：购买扩音器个，购买翻页笔个时，学校花费最少，最小花费为7000元．
10．当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售，两种配件．已知购进件配件和件配件需支出成本元；购进件配件和件配件需支出成本元．
(1)求，两种配件的进货单价；
(2)若该配件销售部门计划购进，两种配件共件，配件进货件数不低于配件件数的倍．据市场销售分析，配件提价销售，配件按进价的倍销售．怎样安排，两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？
【答案】(1)配件的进货单价是元，配件的进货单价是元；
(2)当购进件配件，件配件时，本次销售的利润达到最大，最大利润是元．
【分析】（）设配件的进货单价是元，配件的进货单价是元，根据题意得，然后解方程组即可；
（）设购进件配件，则购进件配件，根据题意得，解得，设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为元，则，然后通过一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设配件的进货单价是元，配件的进货单价是元，
根据题意得，，
解得：，
答：配件的进货单价是元，配件的进货单价是元；
（2）解：设购进件配件，则购进件配件，
根据题意得，
解得，
设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为元，
∴，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为（元），
此时，
答：当购进件配件，件配件时，本次销售的利润达到最大，最大利润是元．
1．项目主题：确定不同运动效果的心率范围．
项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数．某校综合与实践小组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究最大心率与年龄的关系．
收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下，发现最大心率（次/分）与年龄（周岁）符合一次函数关系．
年龄/周岁
最大心率/（次/分）
问题解决：
(1)求关于的函数关系式；
(2)已知不同运动效果时的心率如下表，周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在什么范围内？
运动效果 运动心率占最大心率的百分比
燃烧脂肪
提升耐力
【答案】(1)
(2)次分次分
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）将代入关于的函数关系式，求出对应的值，即小李的最大心率，再由提升耐力时运动心率占最大心率的百分比分别计算运动心率的最小值与最大值即可．
【详解】（1）解：设关于的函数关系式为（、为常数，且）．
将，和，分别代入，
得，
解得，
∴关于的函数关系式为．
（2）解：当时，，
∴小李的最大心率是次/分．
（次/分），（次/分），
∴他的运动心率应该控制在次分次分．
2．综合与实践
在一次综合与实践活动中，兴趣小组对某公司销售的，两种型号的电脑的销售情况进行了调研，获得了以下素材．
素材一：型电脑每台利润为400元，型电脑每台利润为500元．
素材二：公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍．
设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，请根据以上素材，解决下列问题
(1)求与的函数解析式；
(2)该公司购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
(3)公司实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，该公司保持这两种型号电脑的售价不变，若无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变，求的值．
【答案】(1)
(2)公司购进A型电脑34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元．
(3)100
【分析】本题考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用．
（1）根据总利润等于A、B两种型号电脑的利润之和，即可求出函数解析式；
（2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍”列出不等式，即可求出自变量的取值范围，根据一次函数的性质即可求出答案；
（3）根据题意列出y关于x的函数关系式，可得当时，恒成立，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可知，．
所以与的函数解析式为．
（2）解：根据题意，得．
解得．
因为为自然数，所以34．
因为，，
所以随的增大而减小．
所以当时，的值最大，
此时，．
答：公司购进A型电脑34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元．
（3）解：根据题意可知，
因为的值与的取值无关，
所以．
解得100．
3．综合与实践
综合与实践课上，老师设计“电车充电计费”为主题的综合实践活动．
【材料一】随着电动汽车的普及，某公司购入一台电动商务车（每次充电75度）和一台电动货车（每次充电210度），充电桩充电速度为每小时30度，每次必须连续充满电．
充电时段 该时段的充电收费标准（元/度）
货车 商务车
0时时
6时时
12时时
18时时
【材料二】充电过程中，不同的时段，不同车型，对应每小时的收费标准有所不同，如上表所示：
【材料三】公司仅有一个充电桩，每次仅能为一辆车充电．假设每次充电均在电量完全耗尽后立即开始，并连续充至满电．为了研究更合理的充电安排，进行以下任务：
任务一：如果在0时时开始充电，有两种充电方案：
方案A：先充商务车，再充货车；方案B：先充货车，再充商务车；
比较两种充电方案那种更省钱？
任务二：设为电车开始充电的时刻，
商务车充电的费用记作元，货车充电的费用记作元．
（1）当为5时至6时中的某一个时刻，直接写出商务车充电的费用与充电的时刻之间的函数关系式： ；
（2）当为7时至8时中的某一个时刻，直接写出货车充电的费用与充电的时刻之间的函数关系式： ；
（3）根据①②所列的函数关系式，说明为何“开始时间越晚，费用越高”，并提出包含数学依据的优化建议．
【答案】任务一：方案B更省钱；任务二：（1）；（2）；（3）见解析
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，有理数四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意．
任务一：先求出两种方案需要的费用，然后进行比较即可；
任务二：（1）根据题意列出函数解析式即可；
（2）根据题意列出函数解析式即可；
（3）根据一次函数的增减性进行解答即可．
【详解】解：任务一：商务车充电一次需要（小时），
货车充电一次需要（小时）；
方案A：商务车：（元），
货车：（元），
总费用：（元），
方案B：货车：（元），
商务车：（元），
总费用：（元），
所以，方案B更省钱；
任务二：（1）；
（2）；
（3）无论是还是中的都大于，所以都是随着x的增大而增大的，所以开始时间越晚，充电过程覆盖高费率时段的比例越高．例如，商务车在5时开始充电，仅1小时为低费率；若6时开始，则全部为高费率．
所以给出的数学优化建议是：尽早开始充电；调整充电顺序，结合和的k值的差异，表示货车费用增长更快，应优先固定货车充电时间至更低费率时段．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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