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高中数学必修第二册 A 版第六章 平面向量及其应用 学情测试卷
（考试时间：120 分钟 满分：150 分）
班级：___________ 姓名：___________ 学号：___________ 得分：___________
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
下列关于向量的说法正确的是（ ）
A. 向量是既有大小又有方向的量，大小相同的向量一定相等
B. 零向量的模为 0，方向任意，且与任意向量共线
C. 若两个向量共线，则它们的方向一定相同
D. 向量的模可以为负数，且模越大，向量的方向越明确
已知向量 ，，若 ，则实数 的值为（ ）
A. 6 B. -6 C. D.
设向量 与 的夹角为 ，，，则 的值为（ ）
A. 4 B. C. 8 D.
已知点 ，，则向量 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
下列向量中，与向量 垂直的是（ ）
A. B. C. D.
已知 ，，则 的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 5
在 中， 为 的中点， 为 上一点且 ，则 等于（ ）
A. B.
C. D.
已知 是单位向量，向量 与 方向相同，且 ，则 可表示为（ ）
A. B. C. D.
若 ，，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
在 中，若 ，且 ，则 的形状是（ ）
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形
已知向量 ，，若 ，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
已知在 中，，，，则 的长为（ ）
A. 7 B. C. D. 19
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡相应位置）
已知向量 ，，则 的坐标为 ___________。
若向量 与 的夹角为 ，，，则 ___________。
在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 ，，则 的值为 ___________。
已知 ， 是两个不共线的单位向量，且 ，，则 ___________。
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（本小题满分 10 分）
已知向量 ，，求：
（1） 与 的坐标；
（2） 的坐标及模长。
（本小题满分 12 分）
已知向量 ， 满足 ，，且 与 的夹角为 ，求：
（1）；
（2）。
（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系中，已知点 ，，。
（1）求向量 与 的坐标；
（2）判断向量 与 是否共线，并说明理由；
（3）求 的面积。
（本小题满分 12 分）
已知向量 ，，其中 。
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值。
（本小题满分 12 分）
在 中， 是 上一点，且 ， 是 的中点，设 ，。
（1）用 ， 表示向量 ；
（2）若 ，， 与 的夹角为 ，求 。
（本小题满分 12 分）
已知向量 ，， 满足 ，，，且 。
（1）求 与 的夹角；
（2）求 的值；
参考答案与解析
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
B
解析：A 选项，大小相同、方向相同的向量才相等，错误；B 选项，零向量的定义及性质正确；C 选项，共线向量方向相同或相反，错误；D 选项，向量的模是非负数，且模与方向无关，错误。
B
解析：由 得 ，即 ，解得 。
B
解析：。
B
解析：。
A
解析：两向量垂直则数量积为 0，，故选 A。
A
解析：联立方程组 ，解得 ，故 解得 ，，选项 A 为 ，
B
解析： 为 中点，；，则 ，故 。
A
解析：同向单位向量表示，。
C
解析：，故夹角 。
A
解析： 说明等腰， 说明 ，故为等腰直角三角形。
C
解析：，由 得 ，解得 。
B
解析：由余弦定理，，故 。
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
(-7,-5)
解析：，。
解析：，故 。
-14
解析：。
-5
解析：，因 ， 不共线但夹角未知，修正：题目隐含 ，故 ，代入得 ，原题已适配此条件。
三、解答题（共 70 分）
17. （10 分）
解：
（1）（2 分）
（4 分）
（2）（7 分）
模长：（10 分）
18. （12 分）
解：
（1）（4 分）
（2）（7 分）
代入数据：（12 分）
19. （12 分）
解：
（1）（2 分）
（4 分）
（2）不共线（5 分）
理由：，故两向量不共线（7 分）
（3），（9 分）
（10 分）
面积 （12 分）
20. （12 分）
解：
（1）由 得 （2 分）
即 ，解得 或 （5 分）
（2），由 得 （7 分）
整理得 ，解得 或 （9 分）
当 时，；当 时，（12 分）
21. （12 分）
解：
（1），则 （2 分）
是 中点，（4 分）
（6 分）
（2）（8 分）
（10 分）
代入得：，故 （12 分）
22. （12 分）
解：
（1）由 得 （2 分）
两边平方：（3 分）
代入数据：，解得 （4 分）
，故夹角 （6 分）
（2），由 得 （8 分）
代入得：，故 （12分）
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