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2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
专题3一次函数的实际问题解题策略及题型归纳
一次函数实际应用题的核心是 “将文字描述转化为函数模型” 。其解题策为“找变量、定坐标、求解析式、用解析式”。其常见题型的解题策略归纳如下：第一步：审题与设元
明确变量：找出问题中“随着什么变化”的量（自变量 ），和“对应发生什么变化”的量（因变量 ）。
确定类型：判断两个变量之间是一次函数关系（均匀变化，每单位 对应固定的 增量）。
设出未知：设自变量为 ，因变量为 ，并用含 的式子表示其他相关量。
第二步：建模（求函数解析式）
寻找两组对应值：从题目中找出两个已知的“情景”或“数据对” 和 。
常用方法：
待定系数法：设 ，代入两组值，解方程组求 。
直接推理法：先求“单位变化率” ，再求初始值 。
第三步：利用函数解决问题
求值：将已知的 代入解析式求 ，或将已知的 代入解析式求 。
比较：比较不同函数在相同 下的 值，或求函数值相等时的 （交点）。
最值：实际问题中，一次函数的最值通常在定义域端点取得（需结合增减性判断）。
第四步：验证与作答
检查定义域：通常代表数量、时间等，需满足 等实际限制。
回答实际问题：将数学结论（如 ）转化为语言回答（如“购买5个月时费用相同”）。
题型1：行程问题
特征：涉及速度、时间、路程。图像常为 s-t图（路程-时间）。
关键：（1）斜率 表示速度。(2)交点表示相遇或追及。(3)水平线段表示停留。
1．某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离，（）与甲、乙出发时间（）的函数图象如图所示．出发秒后，乙出现失误摔倒，在经过秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点．则甲乙第二次相遇时的时间是______秒．
2．某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进．用时少者胜．甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离与比赛时间的函数关系如图2．
(1)求的函数表达式，
(2)求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，x的值．
3．已知两地相距100千米，甲、乙两车分别从两地出发相向而行，甲车先出发，途中停车休息一段时间，然后以原来的速度继续前进，两车离B地的距离（单位：千米）与甲车出发时间（单位：小时）的关系如图所示，请结合图像解答下列问题：
(1)甲车行驶过程中的速度是 千米/时，途中停车休息的时间为 小时；
(2)求甲车停车休息一段时间后至到达地的过程中与的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；
(3)直接写出甲车出发多少小时两车恰好相距15千米．
4．甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
题型2：利润与销售问题
特征：涉及进价、售价、销量、利润。
公式：(1)总利润 = (单件利润) × 销量单件(2)利润 = 售价 - 进价
5．智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一、某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多个．
(1)求的值；
(2)现公司有个这样的机器人，每个机器人搭载个相同的机械手同时工作小时，将采摘的苹果全部进行加工，粗加工每个苹果利润元，精加工每个苹果利润元，且要求精加工数量不多于粗加工数量的倍，为获得最大利润，精加工数量应为多少个？最大利润是多少元？
6．近些年国家大力发展新能源汽车产业，使新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价比每辆乙型汽车的进价多，若用2400万元购进甲型汽车的数量比用2200万元购进乙型汽车的数量少20辆．
(1)求每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为多少万元？
(2)该汽车店决定购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，问购进了乙型汽车多少辆时，可使投资总额最少？最少投资总额是多少万元？
7．广东以“打造世界领先的低空经济产业高地”为目标，在低空经济领域发展迅速．某广东物流公司计划在粤港澳大湾区开通无人机配送服务．现需采购两种型号的物流无人机，请根据以下素材完成相关任务：
素材一：型无人机：适用于城市内短途配送；型无人机：适用于跨城际长途配送．
素材二：已知采购架型无人机和架型无人机总价为万元；采购架型无人机和架B型无人机总价为万元．
素材三：该公司欲采购这两种无人机共架．根据大湾区配送网络规划：
①型无人机数量不少于型无人机的倍，以确保城市内配送密度；
②型无人机至少采购架，以满足跨城际配送需求．
(1)任务一：确定型无人机和型无人机的单价；
(2)任务二：请你根据大湾区配送网络规划，帮该公司确定最省钱的购买方案，并求出此方案的购买资金．
8．某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天少搬运吨，且型机器人每天搬运吨货物与型机器人每天搬运吨货物所需台数相同．
(1)每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台型机器人售价万元，每台型机器人售价万元，该公司计划采购，两种型号的机器人共台，必须满足每天搬运的货物不低于吨，设购买型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式，并求出最少购买金额．
题型3：方案选择与收费问题
特征：提供两种（或多种）计费方案，需选择更省钱的。
解法：
分别列出两种方案的函数 。
令 ，求出临界点 。
根据 的取值范围（用量、时间）判断选择。
9．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元．
(1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？
(2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？
10．某通讯公司就手机流量套餐推出A，B，C三种方案（如表），三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数图象如图．结合表格和图象解答下列问题：
A方案 B方案 C方案
每月基本费用（元） 20 56 266
每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限
超出后每兆收费（元） n n
(1)填空：表中m＝ ，n＝ ；
(2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式；
(3)在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？
11．习近平总书记指出：“中华优秀传统文化是中华民族的精神命脉，是涵养社会主义核心价值观的重要源泉，也是我们在世界文化激荡中站稳脚跟的坚实根基．”为了响应习主席传统文化进校园的号召，某校舞蹈社团准备为学生购买汉服，已知购买1件A型汉服和4件B型汉服共550元；购买2件A型汉服和3件B型汉服共需600元．
(1)求A，B两种类型汉服的单价．
(2)该社团计划购买两种类型汉服共100件，且A型汉服的数量不少于B型汉服数量的2倍，请计算该社团购买两种类型汉服各多少件时费用最少，并求出最少费用．
12．有甲、乙两个运输队共同承担了清理运输A、B两个建筑工地施工土方的任务，在规定时间内，甲、乙两个运输队分别可以清运土方20万立方米和30万立方米，当前A、B两个建筑工地需要清运的土方分别是40万立方米和10万立方米，经评估测算，甲、乙两个运输队在A、B两个工地清运土方的单价费用如下表：
单价运输队 在A工地清运土方费用单价（元/立方米） 在B工地清运土方费用单价（元/立方米）
甲运输队 40 35
乙运输队 38 36
设甲运输队在A工地清运土方x万立方米，清运完成A、B两个工地的土方所需的总费用为y万元．
(1)用含x的代数式完成下表（不必化简），并求y与x的函数关系式；（不写自变量x的取值范围）
清运土方运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米）
甲运输队
乙运输队
(2)求总费用y的最大值；
(3)在实际清运土方的过程中，甲运输队在A工地使用人工智能设备，使每立方米的清运费用减少a元，但仍高于甲运输队在B工地清运费用的单价，求如何分配甲、乙两个运输队的清运任务，使清理土方的总费用最小．
题型4：阶梯收费/分段函数问题
特征：不同用量区间，单价不同。本质上是多个一次函0数拼接的分段函数。
解法：
明确不同阶段的 取值范围。
分别写出每个阶段的一次函数解析式。
解题时，先判断 所属阶段，再代入对应解析式。
13．某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下：
外卖送单数量 补贴（元／单）
每月不超过500单 3.5
超过500单但不超过900单的部分 5
超过900单的部分 8
(1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式．
(2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？
14．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场．目前来看，共享电动车的收费方式与共享单车差不多，两种品牌的共享电动车收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应．
(1)请求出两个函数的关系式，并说明品牌的收费方案；
(2)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为/小时，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？
(3)如果你是运营商，在不增加客户使用费用的前提下，还有其他提高利润的方法吗？（请至少写出一条）
15．某通信公司推出A，B两种套餐（按月计费），具体资费如下表所示：
套餐A 套餐B
套餐基础费/元 129 159
套餐内免费流量/GB 30 40
套餐外流量价格/（元/GB）
使用套餐A，B每月所需的费用（元），（元）关于每月使用的流量的函数图象如图所示，已知当时，两函数图象重合．
请你根据以上信息，解决下列问题：
(1)填空：_________，_________；
(2)请分别求出，关于的函数解析式；
(3)该通信公司决定推出一个免费流量为的新套餐C（按月计费），套餐外流量单价同套餐A．若要当时，使用套餐C每月的花费比使用套餐A每月的花费少30元，则套餐C的基础费应该定为多少元？
16．某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准：
计费档 户月用电量 单价／[元／
第一档
第二档
第三档
(1)当时，写出电费（单位：元）与用电量之间的表达式；
(2)小明家月用电量是，求小明家月的电费；
(3)某户月的电费是元，求该户月的用电量．
题型5：工程、蓄水与资源变化问题
特征：涉及总量、工作效率、增加或减少的速度。
公式：(1)剩余量 = 初始量 + 增加速度 × 时间 （或 - 减少速度 × 时间）
17．为顺利通过“全国文明城市”验收，我市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在20天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需要10天完成．
(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
(2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又使工程费用最少．
18．为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，我区政府拟对部分公路两旁的人行道地砖，排水管道等公用设施，进行全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．每施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，付乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案：
方案一：甲队刚好单独如期完成这项工程；
方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用20天；
方案三：若甲、乙两队合作10天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
(1)完成这项工程的规定日期是多少天
(2)在不耽误工期的前提下，你觉得以上哪一种方案最节省工程款 请说明理由．
(3)因区政府行动迅速，比原计划提前10天投入施工，因此实际规定的日期比计划多出10天，请你重新设计一种方案，既能在实际规定的日期内完工，又能使工程费用最少，并求出最少费用．
19．甲、乙两个工程队完成某项工程，首先是甲队单独做了10天，然后乙队加入，两队合作完成剩下的全部工程，设工程总量为单位1，工程进度满足如图所示的函数关系．求甲、乙两队合作完成剩下的全部工程时，工作量y与天数x间的函数关系式．
20．高度为120厘米的圆柱形容器注满了水（即容器的水位高度为120厘米），上端有一关闭状态的注水口，底端有一关闭状态的放水口，如图1所示．现先打开放水口，放水速度为12厘米/分钟（即：仅打开放水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度下降12厘米），放水口打开一段时间后，再打开注水口，同时保持放水口开放状态，继续经过一段时间后关闭放水口，同时注水口仍保持开放状态，直至容器注满水时立即关闭注水口．圆柱形容器的水位高度记为（厘米），从打开放水口时开始计时，至容器注满水时停止计时，时间记为（分钟），已知关于的函数图象如图2所示．根据图中所给信息，解决下列问题：
(1)的值为______；
(2)求注水速度（注水速度即：仅打开注水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度上升的高度）；
(3)求图2中线段所在直线的解析式；
(4)在圆柱形容器的水位高度变化过程中，当满足：（厘米）时，时间（分钟）的取值范围是______．
题型6：几何图形中的动态问题
特征：将几何图形（如三角形、矩形）的边长、面积与动点运动结合。
解法：
设运动时间为 ，所求量（如面积）为 。
用含 的代数式表示相关线段长度。
根据几何公式建立 关于 的函数。
21．如图1，直线分别交轴、轴于，两点．
(1)直接写出、两点的坐标；
(2)如图2，已知直线，无论取何值，它都经过第一象限内的一个定点，分别连接、，其中交轴于点．
①求的面积；
②连接，在直线上是否存在点使得？若存在，请直接写出点的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与y轴正半轴、x轴负半轴相交于点A，B，直线分别与x轴、y轴相交于点、E，与相交于点C，，的周长为．
(1)求直线的解析式；
(2)若P是射线上一点，且，求点P的坐标．
23．如图，直线与y轴交于点，与x轴交于点E；直线经过点和点，且与相交于点D，连接．
(1)求直线和的函数表达式；
(2)当x取何值时，？
(3)求的面积；
(4)已知点P为x轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点P的坐标．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，与x轴交于点B，直线与x轴交于点C．点P在直线上，过点P作轴交于点Q．
(1)若点P在第一象限，且，求点Q的坐标；
(2)已知点，连接、，当是直角三角形时，求的面积．
2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
专题3一次函数的实际问题解题策略及题型归纳
一次函数实际应用题的核心是 “将文字描述转化为函数模型” 。其解题策为“找变量、定坐标、求解析式、用解析式”。其常见题型的解题策略归纳如下：第一步：审题与设元
明确变量：找出问题中“随着什么变化”的量（自变量 ），和“对应发生什么变化”的量（因变量 ）。
确定类型：判断两个变量之间是一次函数关系（均匀变化，每单位 对应固定的 增量）。
设出未知：设自变量为 ，因变量为 ，并用含 的式子表示其他相关量。
第二步：建模（求函数解析式）
寻找两组对应值：从题目中找出两个已知的“情景”或“数据对” 和 。
常用方法：
待定系数法：设 ，代入两组值，解方程组求 。
直接推理法：先求“单位变化率” ，再求初始值 。
第三步：利用函数解决问题
求值：将已知的 代入解析式求 ，或将已知的 代入解析式求 。
比较：比较不同函数在相同 下的 值，或求函数值相等时的 （交点）。
最值：实际问题中，一次函数的最值通常在定义域端点取得（需结合增减性判断）。
第四步：验证与作答
检查定义域：通常代表数量、时间等，需满足 等实际限制。
回答实际问题：将数学结论（如 ）转化为语言回答（如“购买5个月时费用相同”）。
题型1：行程问题
特征：涉及速度、时间、路程。图像常为 s-t图（路程-时间）。
关键：（1）斜率 表示速度。(2)交点表示相遇或追及。(3)水平线段表示停留。
1．某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离，（）与甲、乙出发时间（）的函数图象如图所示．出发秒后，乙出现失误摔倒，在经过秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点．则甲乙第二次相遇时的时间是______秒．
【答案】
【分析】先根据图像求出甲全程匀速的速度，得到甲的距离函数；再分三段分析乙的运动，求出乙在、、时三个时间段的分段距离函数；最后在的阶段令列方程求解，得到甲乙第二次相遇的时间．
【详解】解：甲的函数关系：
由图可知：甲匀速走用时，
∴甲的速度，
∴甲距离起点的距离为：
乙的分段函数关系：
由图可得：
乙前秒走，
∴乙原来的速度；
当时，乙距离起点的距离为：；
当时（摔倒调整秒，到秒），乙静止，乙距离起点的距离为：；
当时，乙恢复原速继续走，因此乙距离起点的距离为：；
第二次相遇：时，令，
即：，
解得，符合范围，
因此甲乙第二次相遇的时间是秒．
2．某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进．用时少者胜．甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离与比赛时间的函数关系如图2．
(1)求的函数表达式，
(2)求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，x的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出的函数表达式为，的函数表达式为，再根据函数关系式列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
设的表达式为，把代入得：
，
解得：，
∴的表达式为．
（2）解：∵，
设的函数表达式为，则，
解得：，
∴的函数表达式为，
∵，，
∴的解析式为，
由图象可得：和的交点表示甲、乙两班同学在途中第一次到起点的距离相同，
∴，
解得：．
∵，
设的函数表达式为，则
，
解得：，
∴的表达式为，
由图象可得：和的交点表示甲、乙两班同学在途中第二次到起点的距离相同，
∵的表达式为，
∴，
解得：．
综上所述，甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或．
3．已知两地相距100千米，甲、乙两车分别从两地出发相向而行，甲车先出发，途中停车休息一段时间，然后以原来的速度继续前进，两车离B地的距离（单位：千米）与甲车出发时间（单位：小时）的关系如图所示，请结合图像解答下列问题：
(1)甲车行驶过程中的速度是 千米/时，途中停车休息的时间为 小时；
(2)求甲车停车休息一段时间后至到达地的过程中与的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；
(3)直接写出甲车出发多少小时两车恰好相距15千米．
【答案】(1)50，
(2)
(3)小时或小时
【分析】（1）由图像可知，甲在前1小时走了50千米，据此计算速度即可；由于甲的速度未改变，故走完全程不休息需要2小时，而图像可知用了小时，相减即可求出休息时间；
（2）设甲休息后的解析式为，将图像上两点和代入即可求出解析式；
（3）先算出乙路程与时间的关系式，再根据列出方程求解即可．
【详解】（1）解：根据甲的图像可知前1小时走了（千米），
故甲的速度为（千米/小时）；
∵甲走100千米需要（小时），而他到达终点的时间是小时，
∴休息了（小时）．
（2）解：（小时），
设甲车休息后至到达B地过程中的函数关系式为，
将和代入解析式，得，
解得，
所求函数关系式为；
（3）解：设乙车路程与时间的关系式为，将和代入得：
，解得，
∴，
当时，，此时两车相距（千米），
∴相距15千米时间段为之间，
依题意得，，
解得：或
∴甲出发小时或小时两车相距15千米．
4．甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
【答案】(1)30，40
(2)
(3)经过或或，甲、乙两货车与配货站的距离相等
【分析】（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度=距离÷时间即可得；
（2）由图象可知和，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案；
（3）分两车到达配货站之前、乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站、甲货车在配货站卸货后驶往B地三种情况分别列方程求出x的值即可得答案．
【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，
∴甲货车到达配货站之前的速度是，乙货车到达配货站路程为，
∵到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，
∴总路程为，
∴乙货车的速度为．
（2）解：∵甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，比甲货车晚半小时到达B地．
∴和，
设的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴的解析式为．
（3）解：设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，
两车到达配货站之前：
由题意可得，甲货车与配货站的距离为，乙货车与配货站的距离为，
∴，
解得；
乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：
由题意可得，甲货车与配货站的距离为，乙货车与配货站的距离为，
∴，
解得；
甲货车在配货站卸货后驶往B地时：
由题意可得，甲货车与配货站的距离为，乙货车与配货站的距离为，
∴，
解得；
综上所述，经过或或，甲、乙两货车与配货站的距离相等．
题型2：利润与销售问题
特征：涉及进价、售价、销量、利润。
公式：(1)总利润 = (单件利润) × 销量单件(2)利润 = 售价 - 进价
5．智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一、某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多个．
(1)求的值；
(2)现公司有个这样的机器人，每个机器人搭载个相同的机械手同时工作小时，将采摘的苹果全部进行加工，粗加工每个苹果利润元，精加工每个苹果利润元，且要求精加工数量不多于粗加工数量的倍，为获得最大利润，精加工数量应为多少个？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)精加工数量应为个，最大利润是元
【分析】（1）根据“一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多25个”建立分式方程求解即可；
（2）根据题意令粗加工个数为个，则精加工个数为个，得不等式，解出，再得出对应的利润与的函数关系，根据函数性质求最大值即可．
【详解】（1）解：由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解．
（2）解：共采摘苹果个数为个，
令粗加工个数为个，则精加工个数为个，
则，
解得，
总利润为，
故越小，利润越大，
最小为，
∴总利润最大为元，
对应精加工个数为个，
故精加工数量应为个，最大利润是元．
6．近些年国家大力发展新能源汽车产业，使新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价比每辆乙型汽车的进价多，若用2400万元购进甲型汽车的数量比用2200万元购进乙型汽车的数量少20辆．
(1)求每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为多少万元？
(2)该汽车店决定购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，问购进了乙型汽车多少辆时，可使投资总额最少？最少投资总额是多少万元？
【答案】(1)每辆甲型汽车进价为12万元，乙型汽车进价为10万元
(2)购进乙型汽车40辆时，可使投资总额最少，为1120万元
【分析】（1）设每辆乙型汽车的进价为万元，根据用2400万元购进甲型汽车的数量比用2200万元购进乙型汽车的数量少20辆，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购进乙型汽车辆，投资总额为万元，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，利用性质求最值即可.
【详解】（1）解：设每辆乙型汽车的进价为万元，由题意，得：
，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴；
答：每辆甲型汽车进价为12万元，乙型汽车进价为10万元；
（2）解：设购进乙型汽车辆，则购进甲型汽车辆，由题意，得：，
解得：，
设投资总额为万元，则：，
随着的增大而减小，
当时，有最小值，为：；
答：购进乙型汽车40辆时，可使投资总额最少，为1120万元．
7．广东以“打造世界领先的低空经济产业高地”为目标，在低空经济领域发展迅速．某广东物流公司计划在粤港澳大湾区开通无人机配送服务．现需采购两种型号的物流无人机，请根据以下素材完成相关任务：
素材一：型无人机：适用于城市内短途配送；型无人机：适用于跨城际长途配送．
素材二：已知采购架型无人机和架型无人机总价为万元；采购架型无人机和架B型无人机总价为万元．
素材三：该公司欲采购这两种无人机共架．根据大湾区配送网络规划：
①型无人机数量不少于型无人机的倍，以确保城市内配送密度；
②型无人机至少采购架，以满足跨城际配送需求．
(1)任务一：确定型无人机和型无人机的单价；
(2)任务二：请你根据大湾区配送网络规划，帮该公司确定最省钱的购买方案，并求出此方案的购买资金．
【答案】(1)型无人机的单价为万元/架，型无人机的单价为万元/架
(2)最省钱的购买方案为购买型无人机架，型无人机架，购买资金为万元
【分析】（1）设型无人机的单价为万元/架，型无人机的单价为万元/架，利用总价=单价×数量，结合两次采购的费用和数量列二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买型无人机架，则购买型无人机架，购买资金为万元，根据型无人机数量不少于型无人机的倍，型无人机至少采购架，列不等式组，求出的取值范围，用表示出，根据一次函数的性质即可得答案．
【详解】（1）解：设型无人机的单价为万元/架，型无人机的单价为万元/架，
∵架型无人机和架型无人机总价为万元；架型无人机和架B型无人机总价为万元，
∴，
解得：．
答：型无人机的单价为万元/架，型无人机的单价为万元/架．
（2）解：设购买型无人机架，则购买型无人机架，购买资金为万元，
根据题意得，，
解得：，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最小值，
此时（万元），
（架）．
答：最省钱的购买方案为购买型无人机架，型无人机架，购买资金为万元．
8．某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天少搬运吨，且型机器人每天搬运吨货物与型机器人每天搬运吨货物所需台数相同．
(1)每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台型机器人售价万元，每台型机器人售价万元，该公司计划采购，两种型号的机器人共台，必须满足每天搬运的货物不低于吨，设购买型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式，并求出最少购买金额．
【答案】(1)每台型机器人每天搬运货物吨，每台型机器人每天搬运货物吨；
(2)与的函数关系式为，最少购买金额为万元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，根据题意得，然后解方程并检验即可；
（）由题意得，购买型机器人台，则购买型机器人台，则，由题意可得，解得，进而根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：每台型机器人每天搬运货物吨，每台型机器人每天搬运货物吨；
（2）解：由题意得，购买型机器人台，则购买型机器人台，
∴，
由题意可得：，
解得：，
∵为非负整数，且，即，
∴且为整数，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最小值，即为（万元），
∴与的函数关系式为，最少购买金额为万元．
题型3：方案选择与收费问题
特征：提供两种（或多种）计费方案，需选择更省钱的。
解法：
分别列出两种方案的函数 。
令 ，求出临界点 。
根据 的取值范围（用量、时间）判断选择。
9．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元．
(1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？
(2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？
【答案】(1)甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元
(2)购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大
【分析】（1）设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买甲型机器人m台，根据题意，列出不等式组求出的范围，设6台机器人每天服务客人的人数为w，根据题意列出一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最值即可.
【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，
依题意，得
解得
答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元．
（2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台．
依题意，得解得．
设6台机器人每天服务客人的人数为w，
则．
，
随m的增大而增大，
当时，w取得最大值，此时，
∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大．
10．某通讯公司就手机流量套餐推出A，B，C三种方案（如表），三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数图象如图．结合表格和图象解答下列问题：
A方案 B方案 C方案
每月基本费用（元） 20 56 266
每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限
超出后每兆收费（元） n n
(1)填空：表中m＝ ，n＝ ；
(2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式；
(3)在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？
【答案】(1)3072，0.3
(2)y关于x的函数关系式为；
(3)当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）利用B方案当每月使用的流量不少于3072兆时的函数关系式即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意，得，；
故答案为：3072，0.3；
（2）解：设在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式为，
把代入，得：，
解得：，
∴y关于x的函数关系式为；
（3）解：在B方案中，当每月使用的流量不少于3072兆时，
根据题意得：，
令，
解得，
由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算．
11．习近平总书记指出：“中华优秀传统文化是中华民族的精神命脉，是涵养社会主义核心价值观的重要源泉，也是我们在世界文化激荡中站稳脚跟的坚实根基．”为了响应习主席传统文化进校园的号召，某校舞蹈社团准备为学生购买汉服，已知购买1件A型汉服和4件B型汉服共550元；购买2件A型汉服和3件B型汉服共需600元．
(1)求A，B两种类型汉服的单价．
(2)该社团计划购买两种类型汉服共100件，且A型汉服的数量不少于B型汉服数量的2倍，请计算该社团购买两种类型汉服各多少件时费用最少，并求出最少费用．
【答案】(1)A种类型汉服的单价为150元，B种类型汉服的单价为100元
(2)该社团购买A种类型汉服67件，B种类型汉服33件时费用最少，最少费用为13350元
【分析】（1）A种类型汉服的单价为a元，B种类型汉服的单价为b元，根据“购买1件A型汉服和4件B型汉服共550元；购买2件A型汉服和3件B型汉服共需600元．”列出方程组，即可求解；
（2）设购买B种类型汉服x件，总费用为w元，则购买A种类型汉服件，根据题意，列出函数关系式，再求出x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设A种类型汉服的单价为a元，B种类型汉服的单价为b元，根据题意得：
，
解得：，
答：A种类型汉服的单价为150元，B种类型汉服的单价为100元；
（2）解：设购买B种类型汉服x件，总费用为w元，则购买A种类型汉服件，根据题意得：
，
∵A型汉服的数量不少于B型汉服数量的2倍，
∴，
解得：，
∵x为整数，
∴x的最大值为33，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w取得最小值，最小值为13350，此时，
答：该社团购买A种类型汉服67件，B种类型汉服33件时费用最少，最少费用为13350元．
12．有甲、乙两个运输队共同承担了清理运输A、B两个建筑工地施工土方的任务，在规定时间内，甲、乙两个运输队分别可以清运土方20万立方米和30万立方米，当前A、B两个建筑工地需要清运的土方分别是40万立方米和10万立方米，经评估测算，甲、乙两个运输队在A、B两个工地清运土方的单价费用如下表：
单价运输队 在A工地清运土方费用单价（元/立方米） 在B工地清运土方费用单价（元/立方米）
甲运输队 40 35
乙运输队 38 36
设甲运输队在A工地清运土方x万立方米，清运完成A、B两个工地的土方所需的总费用为y万元．
(1)用含x的代数式完成下表（不必化简），并求y与x的函数关系式；（不写自变量x的取值范围）
清运土方运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米）
甲运输队
乙运输队
(2)求总费用y的最大值；
(3)在实际清运土方的过程中，甲运输队在A工地使用人工智能设备，使每立方米的清运费用减少a元，但仍高于甲运输队在B工地清运费用的单价，求如何分配甲、乙两个运输队的清运任务，使清理土方的总费用最小．
【答案】(1)见解析
(2)1914万元
(3)当时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米总费用最少；当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元；当时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米总费用最少．
【分析】（1）根据A、B两个建筑工地需要清运的土方分别是40万立方米和10万立方米，甲运输队可以清运土方20万立方米即可填写表格，结合甲、乙两个运输队在A、B两个工地清运土方的单价费用即可求得y与x的函数关系式；
（2）根据一次函数的性质即可求解；
（3）由题意得， ，根据函数的增减性分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：填表如下：
清运土方运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米）
甲运输队
乙运输队
由题意，列函数关系式得，
∴．
（2）解：由（1）可知，总费用，
∵，
∴当时，y的最大值为万元．
（3）解：由题意可得，，
∴，
∴，
∴，
当时，，y随x的增大而增大，
∴当时，y有最小值，
此时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米；
当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元；
当时，，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最小值，
此时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米；
综上所述，当时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米总费用最少；
当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元；
当时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米总费用最少．
题型4：阶梯收费/分段函数问题
特征：不同用量区间，单价不同。本质上是多个一次函0数拼接的分段函数。
解法：
明确不同阶段的 取值范围。
分别写出每个阶段的一次函数解析式。
解题时，先判断 所属阶段，再代入对应解析式。
13．某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下：
外卖送单数量 补贴（元／单）
每月不超过500单 3.5
超过500单但不超过900单的部分 5
超过900单的部分 8
(1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式．
(2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？
【答案】(1)当时，；当时，
(2)他2月份外卖送餐950单
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式，注意分类讨论．
（1）分两种情况，列出函数关系式即可；
（2）先确定他2月份送餐单数超过900单，再利用（1）中函数解析式求解．
【详解】（1）解：当时，
；
当时，
；
综上，当时，；当时，．
（2）解：（元，（元；
元元
；
∴当时，得
，
解得，
他2月份外卖送餐950单．
14．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场．目前来看，共享电动车的收费方式与共享单车差不多，两种品牌的共享电动车收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应．
(1)请求出两个函数的关系式，并说明品牌的收费方案；
(2)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为/小时，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？
(3)如果你是运营商，在不增加客户使用费用的前提下，还有其他提高利润的方法吗？（请至少写出一条）
【答案】(1)；；品牌的收费方案：当骑行时间不超过时，收费元；当骑行时间超过时，除了收费元之外，每多骑行，加收元
(2)小明选择品牌的共享电动车更省钱
(3)技术创新，提升生产工艺，降低生产成本（答案不唯一，合理即可）
【分析】（1）利用待定系数法求品牌的函数关系式即可；根据图象可知，品牌的函数关系式分两段求解，利用待定系数法求函数关系式即可；
（2）先求出小明从家到工厂所用时间，再通过图象可知当骑行时间不足时，，即骑行品牌的共享电动车更省钱，即可得解；
（3）答案不唯一，合理即可．
【详解】（1）解：设，
把点代入中，得，
解得，
．
由图象，可知当时，．
当时，设，
把点和点代入中，
得，解得，
．
品牌的收费方案：当骑行时间不超过时，收费元；当骑行时间超过时，除了收费元之外，每多骑行，加收元．
（2）解：，．
由图象，可知当骑行时间不足时，，即骑行品牌的共享电动车更省钱，
，
小明选择品牌的共享电动车更省钱．
（3）解：技术创新，提升生产工艺，降低生产成本．（答案不唯一，合理即可）
15．某通信公司推出A，B两种套餐（按月计费），具体资费如下表所示：
套餐A 套餐B
套餐基础费/元 129 159
套餐内免费流量/GB 30 40
套餐外流量价格/（元/GB）
使用套餐A，B每月所需的费用（元），（元）关于每月使用的流量的函数图象如图所示，已知当时，两函数图象重合．
请你根据以上信息，解决下列问题：
(1)填空：_________，_________；
(2)请分别求出，关于的函数解析式；
(3)该通信公司决定推出一个免费流量为的新套餐C（按月计费），套餐外流量单价同套餐A．若要当时，使用套餐C每月的花费比使用套餐A每月的花费少30元，则套餐C的基础费应该定为多少元？
【答案】(1)3；40
(2)；
(3)套餐的基础费应该定为189元
【分析】（1）当时，两函数图象重合，此时满足套餐刚结束免费流量阶段，即可得；再根据套餐基础费为元，套餐内免费流量为，即可求出；
（2）两直线均为分段函数，根据（1）中、的值可直接求出两直线的解析式；
（3）设套餐的基础费为元，根据使用套餐每月的花费比使用套餐每月的花费少元可得关于的一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：；．
根据图象可知，，．
（2）解：当时，，
故
由题意，得当时，，
故
（3）解：设套餐的基础费为元，
根据题意，得，
解得．
答：套餐的基础费应该定为元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是根据表中数据画出函数图象并求出函数解析式．
16．某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准：
计费档 户月用电量 单价／[元／
第一档
第二档
第三档
(1)当时，写出电费（单位：元）与用电量之间的表达式；
(2)小明家月用电量是，求小明家月的电费；
(3)某户月的电费是元，求该户月的用电量．
【答案】(1)
(2)小明家月的电费元
(3)该户月的用电量为
【分析】本题考查一元一次方程的应用以及一次函数的应用，关键是电费与用电量之间的数量关系；
（1）利用表格所给数据，即可找出电费与之间的关系式；
（2）将代入（1）中所得的关系式，求出的值即可；
（3）根据电费是元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
【详解】（1）解：当时，
，
即；
（2）解：当时，（元），
∴小明家月的电费元；
（3）解：当时，，
当时，，
，
∴该户月用电量属于第二档，
当时，，解得，
∴该户月的用电量为．
题型5：工程、蓄水与资源变化问题
特征：涉及总量、工作效率、增加或减少的速度。
公式：(1)剩余量 = 初始量 + 增加速度 × 时间 （或 - 减少速度 × 时间）
17．为顺利通过“全国文明城市”验收，我市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在20天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需要10天完成．
(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
(2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又使工程费用最少．
【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天
(2)甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小，最小费用为62.5万元
【分析】本题考查分式方程在工程问题中的应用，二元一次方程的实际应用，一次函数的性质；
（1）如果设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题；
（2）设甲工程队做天，乙工程队做天，先得出，进而求出所需费用，因为需在20天内完成工程，从而确定出最佳方案．
【详解】（1）设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需天，由题意得：
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
．
答：甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天．
（2）设甲工程队做天，乙工程队做天，
根据题意得：，
整理得，即，
需在20天内完成工程，
，解得，
所需费用，
根据一次函数的性质可得，越小，所需费用越小，
∴时，费用最少，此时，
即甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小，
最小费用为（万元），
答：甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小，最小费用为62.5万元．
18．为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，我区政府拟对部分公路两旁的人行道地砖，排水管道等公用设施，进行全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．每施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，付乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案：
方案一：甲队刚好单独如期完成这项工程；
方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用20天；
方案三：若甲、乙两队合作10天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
(1)完成这项工程的规定日期是多少天
(2)在不耽误工期的前提下，你觉得以上哪一种方案最节省工程款 请说明理由．
(3)因区政府行动迅速，比原计划提前10天投入施工，因此实际规定的日期比计划多出10天，请你重新设计一种方案，既能在实际规定的日期内完工，又能使工程费用最少，并求出最少费用．
【答案】(1)规定日期为20天
(2)在不耽误工期的前提下，方案三最节省工程款
(3)当甲队施工5天，乙队施工30天时，工程费用最少为21万元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）设规定日期为x天，根据题意列出分式方程，求解即可；
（2）分别求出三个方案的费用，选出符合题意的方案即可；
（3）设甲队施工m天，乙队施工n天，工程费为y元，由题目所给条件得出，再根据n的取值范围和一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）设规定日期为x天，由题意得
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意；
所以，规定日期为20天；
（2）方案一：（万元），
方案二：需要40天，超过工期，不符合题意；
方案三：（万元），
∵，
∴在不耽误工期的前提下，方案三最节省工程款；
（3）由题意得，实际规定日期为（天），
设甲队施工m天，乙队施工n天，工程费为y元，
则，
∴，
工程款为：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴y随m的增大而增大，
∴当时，y最小，此时，
所以，当甲队施工5天，乙队施工30天时，工程费用最少为21万元．
19．甲、乙两个工程队完成某项工程，首先是甲队单独做了10天，然后乙队加入，两队合作完成剩下的全部工程，设工程总量为单位1，工程进度满足如图所示的函数关系．求甲、乙两队合作完成剩下的全部工程时，工作量y与天数x间的函数关系式．
【答案】
【分析】观察图象，找出函数图象经过点的坐标，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设所求工作量y与天数x间的函数关系式为y＝kx＋b，
函数图象经过和，
，
解得 ，
∴所求工作量y与天数x间的函数关系式为．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，从所给图象中找出函数图象经过点的坐标是解题的基础，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的过程是解题关键．
20．高度为120厘米的圆柱形容器注满了水（即容器的水位高度为120厘米），上端有一关闭状态的注水口，底端有一关闭状态的放水口，如图1所示．现先打开放水口，放水速度为12厘米/分钟（即：仅打开放水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度下降12厘米），放水口打开一段时间后，再打开注水口，同时保持放水口开放状态，继续经过一段时间后关闭放水口，同时注水口仍保持开放状态，直至容器注满水时立即关闭注水口．圆柱形容器的水位高度记为（厘米），从打开放水口时开始计时，至容器注满水时停止计时，时间记为（分钟），已知关于的函数图象如图2所示．根据图中所给信息，解决下列问题：
(1)的值为______；
(2)求注水速度（注水速度即：仅打开注水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度上升的高度）；
(3)求图2中线段所在直线的解析式；
(4)在圆柱形容器的水位高度变化过程中，当满足：（厘米）时，时间（分钟）的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)注水速度为16厘米/分钟
(3)
(4)
【分析】（1）根据关于的函数图象给出的信息结合放水速度求解即可；
（2）根据关于的函数图象信息结合值，先求出段的进水速度（段的进水速度注水速度放水速度），再求段的注水速度，列方程求解即可；
（3）设所在直线的解析式为，将点和点的坐标代入求解即可；
（4）计算出时对应的两个时间，取两者之间即可．
【详解】（1）（厘米），（分钟），
∴的值为，
故答案为：；
（2）段的进水速度为：（厘米/分钟），
段的注水速度为：（厘米/分钟），
∴，
解得，
∴，，
∴注水速度为16厘米/分钟；
（3）设所在直线的解析式为，
由（2）可知，
∴，，
将点，代入，
得，解得，
所在直线的解析式为；
（4）∵，
∴结合图象可知，在线段和线段上，
当在线段上时，（分钟），
在线段上时，（分钟），
∴当满足：（厘米）时，时间（分钟）的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合来解决问题．
题型6：几何图形中的动态问题
特征：将几何图形（如三角形、矩形）的边长、面积与动点运动结合。
解法：
设运动时间为 ，所求量（如面积）为 。
用含 的代数式表示相关线段长度。
根据几何公式建立 关于 的函数。
21．如图1，直线分别交轴、轴于，两点．
(1)直接写出、两点的坐标；
(2)如图2，已知直线，无论取何值，它都经过第一象限内的一个定点，分别连接、，其中交轴于点．
①求的面积；
②连接，在直线上是否存在点使得？若存在，请直接写出点的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①②P点坐标为或．理由见解析
【分析】（1）根据函数解析式求解；
（2）①根据函数解析式求得点C的坐标；然后利用待定系数法确定直线方程．从而求得点坐标为；最后依据三角形的面积公式求解；
②首先利用分割法求得的面积；然后根据推知点P到直线AB的距离是点C到直线距离的，所以点位于与直线平行的直线上．
【详解】（1）解：（1）如图1，
令，则．
解得，即，
令，则，即．
（2）解：①∵，
∴当时，，
即直线过定点
如图，设直线为，
把，代入，得，
解得，
∴直线为：．
∴的坐标为．
∴．
②P点坐标为或．
理由如下：如图2，过点作轴于点，
∴，
∴．
设直线为，
把代入得：，解得，
∴直线为．
ⅰ）如图3，过点作，交直线于点，
由①得，即，
又∵直线，且D的坐标为，
∴直线为．
∴由 解得,
点P1的坐标为．
ⅱ）点B沿y轴向上平移个单位，得到，
如图3，过点作，交于点，
∴直线为，，
∴由 解得,
综上所述，P点坐标为或．
【点睛】利用参数构建一次函数，确定直线与坐标轴的交点坐标．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与y轴正半轴、x轴负半轴相交于点A，B，直线分别与x轴、y轴相交于点、E，与相交于点C，，的周长为．
(1)求直线的解析式；
(2)若P是射线上一点，且，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为
【分析】（1）在中，设，则，，由的周长可求得a的值，从而得A、B两点的坐标，再用待定系数法求解即可；
（2）由点D的坐标求得直线的解析式，可求得点E的坐标，由求得点P的横坐标，求出点P的纵坐标即可．
【详解】（1）解：在中，设，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
的周长为，
，
解得，
，，
将，代入直线的解析式中，得
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：将代入中得，
联立，
解得，即，
令，解得，即，
∵，
解得，
代入得，
点P的坐标为．
23．如图，直线与y轴交于点，与x轴交于点E；直线经过点和点，且与相交于点D，连接．
(1)求直线和的函数表达式；
(2)当x取何值时，？
(3)求的面积；
(4)已知点P为x轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）联立（1）中两个函数表达式得到交点坐标
（3）由的面积，即可求解；
（4）当点在轴右侧时，由，则，求出点，即可求解；当点在轴左侧时，得到直线的表达式为：，即可求解．
【详解】（1）解：将点的坐标代入直线的函数表达式得：，
则直线的表达式为：；
将点、的坐标代入直线的函数表达式得：，
解得：，
则直线的表达式为：；
（2）联立（1）中两个函数表达式得：，
解得：，则点，
结合图像可知时 ，；
（3）解：由直线的表达式知，点，则，
则的面积；
（4）解：当点在轴右侧时，令与直线的交点为，
，则，
设点，则，
解得：，则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则点；
当点在轴左侧时，
，则，
则直线的表达式为：，
则点；
综上，点的坐标为或．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，与x轴交于点B，直线与x轴交于点C．点P在直线上，过点P作轴交于点Q．
(1)若点P在第一象限，且，求点Q的坐标；
(2)已知点，连接、，当是直角三角形时，求的面积．
【答案】(1)
(2)或或．
【分析】（1）先求出、，得到，从而得出，设，则，则，即可得解；
（2）设，则，分三种情况讨论：①当时，利用勾股定理列方程求解；②当时，则轴；③当时，则轴，根据点的坐标求解即可．
【详解】（1）解：直线与x轴交于点B，
令，则，解得：，
；
直线与直线相交于点A，
联立，解得：，
，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
；
（2）解：设，则，
分三种情况讨论：
①当时，，
，，，
，
解得：，
，，
，
；
②当时，则轴，
，
解得：，
，，
，，
；
③当时，则轴，
，
解得：，
，，
，，
；
综上可知，的面积为或或．
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