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2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
专题4一次函数与几何综合题解题策略归纳
这类题目综合一次函数与几何图形（三角形、四边形、圆等）的性质，常涉及交点、距离、面积、最值、存在性等问题。需要学生熟练掌握一次函数图像与性质，并能灵活运用几何知识。
基本步骤：
（1）确定函数解析式：根据已知条件，求出相关直线的解析式。
（2）求交点坐标：联立方程组，求直线与直线、直线与坐标轴的交点。
（3）利用几何性质：如勾股定理、相似、全等、对称等几何知识。
（4）数形结合：画出示意图，结合图形分析。
1.一次函数与三角形综合
面积问题：常用铅垂高、水平宽法，或割补法。
特殊三角形（等腰、直角）的存在性问题：利用两点间距离公式，根据腰相等或勾股定理逆定理列方程求解。
1．如图，直线：与轴、轴分别交于点、，直线：与轴、轴分别交于点、，两直线相交于点．
(1)直接写出直线的解析表达式为______；
(2)结合图像，当时，的取值范围是______；
(3)如果点在直线上，满足的面积是面积的2倍，请求出点的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，与x轴交于点B，直线与x轴交于点C．点P在直线上，过点P作轴交于点Q．
(1)若点P在第一象限，且，求点Q的坐标；
(2)已知点，连接、，当是直角三角形时，求的面积．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过两点，且a，b满足，的平分线交x轴于点E．
(1)求直线的表达式；
(2)求直线的表达式；
(3)点B关于x轴的对称点为点C，过点A作y轴的平行线交直线于点D，点M是线段上一动点，点P是直线上一动点，则能否为不以点C为直角顶点的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线分别交x轴，y轴于点D，E，且直线，垂足为点C．
(1)求C点坐标．
(2)如图1，在y轴上有一长为1的线段（点P在点Q上方），当线段在y轴正半轴移动时，求的最小值．
(3)如图2，将沿直线方向平移，将平移后的记作，当为等腰三角形时，请求出此时点的坐标．
5．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且．
(1)求直线的表达式；
(2)若点P是直线上一动点，且，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P是线段上一动点，过P作于Q，当时，求点P的坐标．
2.一次函数与四边形综合
（1）平行四边形的存在性问题：通常利用对角线互相平分（中点重合）或对边平行且相等来求解。
特殊四边形（菱形、矩形、正方形）的存在性问题：在平行四边形基础上增加邻边相等或对角线相等等条件或利用等腰三角形平移得菱形，直角三角形平移得矩形解决。
6．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A、C两点的坐标分别为．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位长度，得到平行四边形，其中边与x轴交于点G，边与交于点H．
(1)请直接写出点N，M的坐标以及直线的表达式__________．
(2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形，请求出重叠部分的面积．
(3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使以点O、N、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形．

(1)请你直接写出点N，M的坐标；
(2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是______，重叠部分的面积是______；
(3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，连接与y轴相交于点已知矩形的边的长是一元二次方程的两个根，且．
(1)求直线的解析式；
(2)求点D的坐标；
(3)若点M是直线上的动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，M，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，矩形的边的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合．
(1)求折痕所在直线解析式．
(2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t（）的关系式．
(3)点P是直线上一点，在平面内是否存在一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点M的坐标．若不存在，说明理由．
10．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，C的坐标分别为，，点D是边BC上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线l：与边OA交于点E．
(1)若直线l平分矩形OABC的面积，求b的值；
(2)如图2，若矩形OABC关于直线l的对称图形为矩形，判断矩形与矩形OABC的重叠部分DFEG是什么形状？证明你的结论．重叠部分DFEG的面积发生变化吗？若不变，请直接写出重叠部分的面积；若改变，请说明理由：
(3)设点，点，若以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以AC为一边的矩形，求出点Q的坐标．
3.最值问题
利用垂线段最短求点到直线的最小距离。
利用对称性求两条线段和的最小值（将军饮马模型）。
利用一次函数的单调性在定义域端点求最值。
11．如图1，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为直角顶点在第一象限内作等腰，其中．
(1)求直线的解析式和点的坐标；
(2)如图2，点是的中点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当取最小值时．直线上存在一点，使，求点坐标．（直接写出答案12．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为直角顶点在第一象限内作等腰，其中，．
(1)求直线的解析式和点的坐标；
(2)如图，点是的中点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当取最小值时．直线上存在一点，使，求点坐标．（直接写出答案）
13．如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结．
(1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标；
(2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由．
14．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线（直线上所有点的横坐标均为2）上，且．
(1)求A、B两点坐标；
(2)四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由．
15．综合与探究
问题情境：
在学习了一次函数后，张老师给同学们补充了一种证明三点共线的方法——表达式法：若A，B，C三点均在直线的图象上，则A，B，C三点共线；若A，B，C三点中有一点不在的图象上，则A，B，C三点不共线．
猜想证明：
（1）已知平面上三点，，，试判断A，B，C三点是否共线．
解：设直线的函数表达式为．
由点，，得直线的函数表达式为_____．
将点代入直线的函数表达式，发现等式成立，
点在直线上，即A，B，C三点共线．
拓展延伸：
（2）已知平面上三点，，．
①A，B，C三点是否共线？若共线，请说明理由；若不共线，请求出的面积．
②为坐标原点，为直线上的一动点，连接，则线段的长是否存在最小值？若存在，求出线段的最小值；若不存在，请说明理由．
4.动点问题
设出动点坐标（通常在某条直线或曲线上），表示相关线段长，再根据几何条件列方程。
16．如图，已知直线经过点，，直线与直线交于点A，直线与x轴交于点C．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求点A的坐标；
(3)如图，点P为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点E．当为直角三角形时，求点P的坐标；
(4)点M是直线上一动点，点N是直线上一动点，且满足为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，沿直线翻折得，且点，点在轴负半轴上，三点在同一条直线上，直线交轴于点．
(1)求直线的表达式；
(2)在线段上有一动点，连接为上一动点，为轴上一动点，连接，当时，求的最小值．18．【观察发现】
如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用．
【探究迁移】
（1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点．
①的度数为________．
②，是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是________．
（2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式．
【拓展应用】
（3）如图4，点在轴的正半轴上，，是直线上的动点，是轴上的动点．若是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
19．在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，点是轴上的动点．
(1)求直线的解析式；
(2)当时，求点的坐标；
(3)若点为线段的中点，点是线段上的动点，点是线段上的动点，当△的周长取得最小值时，求点和点的坐标．
20．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D．
(1)求直线解析式和点D坐标；
(2)点P为射线上一动点，y轴上有一动点M，连接，当时，请求出点P的坐标和的最小值；
(3)若点N是x轴上一动点，请直接写出使是等腰三角形的点N的坐标．
2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
专题4一次函数与几何综合题解题策略归纳
这类题目综合一次函数与几何图形（三角形、四边形、圆等）的性质，常涉及交点、距离、面积、最值、存在性等问题。需要学生熟练掌握一次函数图像与性质，并能灵活运用几何知识。
基本步骤：
（1）确定函数解析式：根据已知条件，求出相关直线的解析式。
（2）求交点坐标：联立方程组，求直线与直线、直线与坐标轴的交点。
（3）利用几何性质：如勾股定理、相似、全等、对称等几何知识。
（4）数形结合：画出示意图，结合图形分析。
1.一次函数与三角形综合
面积问题：常用铅垂高、水平宽法，或割补法。
特殊三角形（等腰、直角）的存在性问题：利用两点间距离公式，根据腰相等或勾股定理逆定理列方程求解。
1．如图，直线：与轴、轴分别交于点、，直线：与轴、轴分别交于点、，两直线相交于点．
(1)直接写出直线的解析表达式为______；
(2)结合图像，当时，的取值范围是______；
(3)如果点在直线上，满足的面积是面积的2倍，请求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）求出点坐标，待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）根据图像法进行求解即可；
（3）求出的坐标，根据的面积是面积的2倍，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：把，代入，得，
∴，
把代入，得，解得，
∴；
（2）解：由图像可知的解集为；
（3）解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
∴，
∴或，
∴或．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，与x轴交于点B，直线与x轴交于点C．点P在直线上，过点P作轴交于点Q．
(1)若点P在第一象限，且，求点Q的坐标；
(2)已知点，连接、，当是直角三角形时，求的面积．
【答案】(1)
(2)或或．
【分析】（1）先求出、，得到，从而得出，设，则，则，即可得解；
（2）设，则，分三种情况讨论：①当时，利用勾股定理列方程求解；②当时，则轴；③当时，则轴，根据点的坐标求解即可．
【详解】（1）解：直线与x轴交于点B，
令，则，解得：，
；
直线与直线相交于点A，
联立，解得：，
，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
；
（2）解：设，则，
分三种情况讨论：
①当时，，
，，，
，
解得：，
，，
，
；
②当时，则轴，
，
解得：，
，，
，，
；
③当时，则轴，
，
解得：，
，，
，，
；
综上可知，的面积为或或．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过两点，且a，b满足，的平分线交x轴于点E．
(1)求直线的表达式；
(2)求直线的表达式；
(3)点B关于x轴的对称点为点C，过点A作y轴的平行线交直线于点D，点M是线段上一动点，点P是直线上一动点，则能否为不以点C为直角顶点的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)能，点P的坐标为：或或
【分析】（1）求出点A与点B的坐标，再由待定系数法求直线的解析式即可；
（2）过点E作于点H，求出点E的坐标，再由待定系数法求直线的解析式即可；
（3）由题意可分当时，P点在C点下，当，P点在C点上时，当时，进而分类进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，且，
∴，即，
∴，
∵一次函数经过点，
∴，
∴，
∴直线的表达式；
（2）解：∵，
∴，
∴，
过点E作于点H，
∵的平分线交x轴于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
解得：，
∴，
设直线的表达式为，
∴，
∴，
∴直线的表达式为；
（3）解：由点B关于x轴的对称点为点C，可知：，
设，
①如图1，当时，P点在C点下，
过点P作轴交于点G，交y轴于点H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图2，当，P点在C点上时，
由①得，，
∴，
∴，
∴；
③如图3，当时，过点M作轴交y轴于点L，过P点作交于K，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述：点P的坐标为：或或．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线分别交x轴，y轴于点D，E，且直线，垂足为点C．
(1)求C点坐标．
(2)如图1，在y轴上有一长为1的线段（点P在点Q上方），当线段在y轴正半轴移动时，求的最小值．
(3)如图2，将沿直线方向平移，将平移后的记作，当为等腰三角形时，请求出此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)3
(3)或
【分析】（1）根据题意联立直线与得到二元一次方程组并求解，即可得到点C的坐标；
（2）过点Q作的平行线，过点O作与该平行线垂直，垂足为H，过点H作，过点P作，连接，证得四边形是平行四边形，根据已知条件分别求出点A、B、D、E的坐标，利用含30度直角三角形的性质结合平行四边形的性质得到，当C、P、G三点共线时，有最小值，从而分别求得相关线段的长度，进而求得最终结果；
（3）先求得，设沿x轴正方向平移t个单位长度，则沿y轴负方向平移个单位长度，分别求得点，，的坐标表达式，从而得出，，，此时分情况讨论：，，，求得不同情况下t的值并代入即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：由题意知，
联立直线与，
解得，
∴．
（2）解：如图，过点Q作的平行线，过点O作与该平行线垂直，垂足为H，过点H作，过点P作，连接，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在中，令，则，令，则，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
当C、P、G三点共线时，有最小值，
∵，
∴，
∴点E与点P重合，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴有最小值为．
（3）解：在中，令，则，令，则，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
由（2）知，，，
设沿x轴正方向平移t个单位长度，则沿y轴负方向平移个单位长度，
∴，，，
∴，，，
此时分以下情况讨论：
①当时，，
此时t无解；
②当时，，
解得，，
∴或；
③当时，，
解得，
此时点与点D重合，点与点O重合，不存在为等腰三角形，
∴舍去，
综上所述，点的坐标为或．
5．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且．
(1)求直线的表达式；
(2)若点P是直线上一动点，且，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P是线段上一动点，过P作于Q，当时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设，分当点P在线段上时，当点P在点B左侧时，当点P在点C右侧，分别进行讨论，利用面积关系列式求解；
（3）过点作轴垂线，垂足为点，并且交直线于点，根据直线与轴的夹角可得为等腰直角三角形，进而得到，再利用在直线上，列方程即可解答；
【详解】（1）解：由直线的表达式为：得，
当时，；当时，，
，，
，
，
，
设直线的解析式为，
把，代入得，
直线的表达式为：；
（2）解：设，
当点P在线段上时，
∵，
∴，
∴，
即，解得，
∴；
当点P在点B左侧时，
∵，
∴，
∴，
即，解得，
∴；
当点P在点C右侧时，不存在；
综上，或；
（3）解：如图，过点作直线垂直于轴，垂足为，交直线于点，
，，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
又，，
，
设，则，，
则有，
，
，
；
2.一次函数与四边形综合
（1）平行四边形的存在性问题：通常利用对角线互相平分（中点重合）或对边平行且相等来求解。
特殊四边形（菱形、矩形、正方形）的存在性问题：在平行四边形基础上增加邻边相等或对角线相等等条件或利用等腰三角形平移得菱形，直角三角形平移得矩形解决。
6．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A、C两点的坐标分别为．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位长度，得到平行四边形，其中边与x轴交于点G，边与交于点H．
(1)请直接写出点N，M的坐标以及直线的表达式__________．
(2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形，请求出重叠部分的面积．
(3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使以点O、N、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或
【分析】（1）由平移的性质即可求得点N，M的坐标，根据待定系数法即可求得直线的表达式；
（2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；对于直线的解析式为，令，求出，则，过点M作轴于F，则，，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为；
（3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形，
∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N，
∵，
∴．
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
故答案为：，
（2）解：过点M作轴于F，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由平移的性质可得，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；
在中，当，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为．
（3）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
同理可得直线的解析式为，
设，
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：
，
解得，
∴；
当为边时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或；
综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平移的性质，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合等等，熟知平行四边形的性质与判定条件是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形．

(1)请你直接写出点N，M的坐标；
(2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是______，重叠部分的面积是______；
(3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)平行四边形，
(3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形
【分析】（1）由平移的性质进行求解即可；
（2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为；
（3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形，
∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由平移的性质可得，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当，，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为，
故答案为：平行四边形，；

（3）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
同理可得直线的解析式为，
设，
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：
，
解得，
∴；
当为边时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或；
综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平移的性质，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合等等，熟知平行四边形的性质与判定条件是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，连接与y轴相交于点已知矩形的边的长是一元二次方程的两个根，且．
(1)求直线的解析式；
(2)求点D的坐标；
(3)若点M是直线上的动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，M，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；或或或
【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，翻折变换，菱形性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）由一元二次方程，求出，，再用待定系数法可得直线解析式为；
（2）根据把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，可证明，设，则，有，解得，即得，直线解析式为，设，可得，即可解得；
（3）设，，分三种情况：当为对角线时，的中点即为的中点，且，即得，当，为对角线时，的中点即为的中点，且，，当为对角线时，的中点重合，且，，分别解方程组可得答案．
【详解】（1）解：由一元二次方程，
得或，
，，
设直线解析式为，把，代入得：
，
解得，
直线解析式为；
（2）解：把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，
，
在矩形中，与平行，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
，
由，，
同（1）得：直线解析式为，
设，
由折叠可知，
，
解得（不符合题意，舍去）或，
；
（3）解：在坐标平面内存在点P，使以点E，C，M，P为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设，，
而，，
当为对角线时，的中点即为的中点，且，
，
解得，
；
当，为对角线时，的中点即为的中点，且，
，
解得或，
或（此时M和C重合，舍去）；
当为对角线时，的中点重合，且，
，
解得或，
或；
综上所述，P的坐标为或或或．
9．如图，矩形的边的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合．
(1)求折痕所在直线解析式．
(2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t（）的关系式．
(3)点P是直线上一点，在平面内是否存在一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点M的坐标．若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）求出，，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形；当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形；当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积；
（3）分两种情况讨论：当时，此时，；当时，此时，．
【详解】（1）解：，
解得，，
∵的长分别是方程的两个根（），
∴，，
由折叠可知，，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形，故；
当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形，故；
当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积，即；
综上，直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式为；
（3）当时，，此时，
∴；
当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴M点与P点关于对称，
∴；
综上所述：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，动点引出的几何图形面积与函数问题，两点间距离公式，一元二次方程，正方形的判定，等腰三角形的判定，掌握以上内容是解题关键．
10．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，C的坐标分别为，，点D是边BC上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线l：与边OA交于点E．
(1)若直线l平分矩形OABC的面积，求b的值；
(2)如图2，若矩形OABC关于直线l的对称图形为矩形，判断矩形与矩形OABC的重叠部分DFEG是什么形状？证明你的结论．重叠部分DFEG的面积发生变化吗？若不变，请直接写出重叠部分的面积；若改变，请说明理由：
(3)设点，点，若以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以AC为一边的矩形，求出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)四边形DFEG是菱形，重叠部分菱形DMEN的面积不变为．
(3)或
【分析】（1）如图，连接AC，BD交于点Q，当过点Q点时，直线平分矩形的面积，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）先证明四边形DFEG是平行四边形， 再证明， 可得平行四边形DFEG是菱形， 过点D作DH⊥OA于点H， 再求解D（2b-2，1），E（2b，0）， 设菱形DFEG的边长为m， 由DH2+HN2=DN2， 求解， 从而可得答案．
（3）如图，四边形为矩形，AC为边，再分两种情况讨论：再利用勾股定理建立方程，求解t，再利用平移的性质求解Q的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，连接AC，BD交于点Q，
当过点Q点时，直线平分矩形的面积，
四边形OABC为矩形，
点A，C的坐标分别为，，
把代入可得：
（2）∵四边形OABC，四边形O1A1B1C1是矩形，
∴，
∴四边形DFEG是平行四边形，
∵矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形DFEG是菱形，
过点D作DH⊥OA于点H，
的解析式为：
当时，令时，
由D（2b-2，1），E（2b，0），
可知CD=2b-2，OE=2b，OH=CD=2b-2，
∴EH=OE-OH=2b-（2b-2）=2，
设菱形DFEG的边长为m，
在Rt△DHN中，DH=1，HF=EH-EF=2-m，DF=m，
由DH2+HN2=DN2，得12+（2-m）2=m2，
解得：，
∴S菱形DMEN＝FE DH＝，
所以重叠部分菱形DMEN的面积不变为．
（3）如图，四边形为矩形，AC为边，
解得：
由平移的性质可得：
同理可得：
解得：
同理由平移的性质可得：
综上：或
【点睛】本题考查的是矩形的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，轴对称的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的运用以上知识解题是解本题的关键．
3.最值问题
利用垂线段最短求点到直线的最小距离。
利用对称性求两条线段和的最小值（将军饮马模型）。
利用一次函数的单调性在定义域端点求最值。
11．如图1，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为直角顶点在第一象限内作等腰，其中．
(1)求直线的解析式和点的坐标；
(2)如图2，点是的中点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当取最小值时．直线上存在一点，使，求点坐标．（直接写出答案）
【答案】(1)；
(2)5；
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴，则，证明，得到，则，即可得到点的坐标；
（2）延长至，使得，即点为的中点，当点在直线上时，即直线与直线相交，联立解析式即可求出答案；
（3）分三种情况进行解答即可．
【详解】（1），
，
设直线的解析式为，
将，，代入得，
，
解得：，
，
过点作轴，则，
，
，
又，
，
，
，
则点的坐标为；
（2）由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
点是的中点，
点的坐标为，即：，
延长至，使得，即点为的中点，
点的坐标为，即，
，
垂直平分，
连接，则，
，当点在直线上时取等号，
由勾股定理可得：，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
直线的解析式为：，
当点在直线上时，即直线与直线相交，
得，解得：，
即此时点的坐标为，
综上，的最小值为5，此时点的坐标为；
（3），
则，
过点作轴交直线于，
此时，则，即，
，则，
当点在点右侧时，，
，
解得：，
当时，，
即此时点的坐标为；
当点在点、点之间时，，不符合题意；
当点在点左侧时，，
解得：，
当时，，
即此时点的坐标为；
综上，存在点的坐标为或时，．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，理解一次函数的图象，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线的方法，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
12．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为直角顶点在第一象限内作等腰，其中，．
(1)求直线的解析式和点的坐标；
(2)如图，点是的中点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当取最小值时．直线上存在一点，使，求点坐标．（直接写出答案）
【答案】(1)，
(2)，
(3)或
【分析】（1）设直线的表达式为，将点，点代入求出，，进而可得直线的表达式；过点作轴于点，证明和全等得，，则，由此可得点的坐标；
（2）延长到，使，连接交于点，连接，则是线段的垂直平分线，进而得，则，由此得当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，则当，，共线时，为最小，此时点与点重合，再分别求出点，点，利用待定系数法求出直线的表达式为，解方程组可得点的坐标；
（3）在的条件下，直线的表达式为，点，设点的坐标为，先求出，进而得，过点作直线轴，交于点，过点作于点，过点M作于点，连接，再求出点，由此得，，，则，因此线段上不存在点，所以有以下两种情况：当点在的延长线上时，过点作于点，则，根据得，由此解得，进而可得点的坐标为；当点在的延长线上时，过点作于点，则，根据得，由此解得，进而可得点的坐标为，综上所述即可得出答案
【详解】（1）解：设直线的表达式为：，
直线与轴交于点，与轴交于点，
，
解得：，
直线的表达式为：，
过点作轴于点，如图所示：
，
，
是等腰直角三角形，且，，
，
，
在和中，
，
，
，，
点，点，
，，
，，
，
点的坐标为；
（2）解：延长到，使，连接交于点，连接，如图所示：
，
是线段的垂直平分线，
，
，
当为最小时，为最小，
根据“两点之间线段最短”得：，
当，，共线时，为最小，最小值为线段的长，
此时点与点重合，
点，点，点是的中点，
点的坐标为，
点，点，点是的中点，
点的坐标为，
设直线的表达式为：，
将点，点代入，
得：，
解得：，
直线的表达式为：，
解方程组：，得：，
点的坐标为，
当为最小时，点与点重合，
点的坐标为；
（3）解：点的坐标为或，理由如下：
在的条件下，
直线的表达式为：，点为，
设点的坐标为，
，，
，
，
过点作直线轴，交于点，过点作于点，过点作于点，连接，如图所示：
点，
点的横坐标为，
对于，当时，，
点，
点，点为，
，，，
，
，
线段上不存在点，使，
有以下两种情况：
当点在的延长线上时，过点作于点，如图所示：
点，
，
，
，
，
解得：，
，
点的坐标为；
当点在的延长线上时，过点作于点，图所示：
，
，
，
，
解得：，
，
点的坐标为，
综上所述：点的坐标为或．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，理解一次函数的图象，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线的方法，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
13．如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结．
(1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标；
(2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)P（，）
(2)存在，13
【分析】本题考查了一次函数点的坐标特征，等腰三角形的性质，线段最短问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
（1）过点P作于B，由等腰三角形的性质可得，得出，再进行求解即可；
（2）作点O关于直线的对称点，点P运动至三点共线时，最小，据此求解即可．
【详解】（1）当恰好是以为底边的等腰三角形时，如图，过点P作于B，
则有，
∵，
∴，
此时P的纵坐标为，
∴，
∴此时所求点P坐标为（，）．
（2）动点P在直线运动过程中，存在最小值．
如图，作点O关于直线的对称点，
则有，
在中，令，得，令，得，
直线与x轴交点为，，
直线与x轴及y轴围成的三角形是等腰直角三角形，
∵点O关于直线的对称点，
，
∵，当点P运动至三点共线时取等号，
∵，
∴的最小值为13，
即的最小值为13．
14．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线（直线上所有点的横坐标均为2）上，且．
(1)求A、B两点坐标；
(2)四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由．
【答案】(1)
(2)11
【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，轴对称的性质及勾股定理，用平移的思想解决问题是就本题的关键．
（1）根据坐标轴上点的特点即可得出结论；
（2）将点向下平移个单位到点，作出点O关于直线的对称点，连接，，当点三点在同一直线上时，此时四边形的周长最小，据此求解即可．
【详解】（1）解：在一次函数中，令时，，
，
令时，，
，
；
（2）解：如图，将点向下平移个单位到点，作出点O关于直线的对称点，连接，，当点三点在同一直线上时，此时四边形的周长最小，
由作图可得
点O关于直线的对称点，
，
，
四边形的周长最小值
15．综合与探究
问题情境：
在学习了一次函数后，张老师给同学们补充了一种证明三点共线的方法——表达式法：若A，B，C三点均在直线的图象上，则A，B，C三点共线；若A，B，C三点中有一点不在的图象上，则A，B，C三点不共线．
猜想证明：
（1）已知平面上三点，，，试判断A，B，C三点是否共线．
解：设直线的函数表达式为．
由点，，得直线的函数表达式为_____．
将点代入直线的函数表达式，发现等式成立，
点在直线上，即A，B，C三点共线．
拓展延伸：
（2）已知平面上三点，，．
①A，B，C三点是否共线？若共线，请说明理由；若不共线，请求出的面积．
②为坐标原点，为直线上的一动点，连接，则线段的长是否存在最小值？若存在，求出线段的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①不共线，面积为1；②存在最小值，最小值为．
【分析】本题考查了一次函数的性质．
（1）通过待定系数法求直线的表达式即可；
（2）①同样求直线表达式并验证点C，若不共线则利用割补法求三角形面积；
②先求直线表达式，求出直线过，再根据等面积法计算即可．
【详解】（1）解：设直线的函数表达式为
∵点，
∴，解得，
∴；
故答案为：；
（2）①解：直线的函数表达式为
∵点
∴，解得
∴；
将点代入，当时，
∴点C不在直线上，即A，B，C三点不共线
如图：
∴；
②解：∵点，
设直线的函数表达式为
∴
解得
∴
当时，，即；
当时，；
即直线过点，
如图，作，此时有最小值．
∵，
∴．
4.动点问题
设出动点坐标（通常在某条直线或曲线上），表示相关线段长，再根据几何条件列方程。
16．如图，已知直线经过点，，直线与直线交于点A，直线与x轴交于点C．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求点A的坐标；
(3)如图，点P为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点E．当为直角三角形时，求点P的坐标；
(4)点M是直线上一动点，点N是直线上一动点，且满足为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）联立直线的函数表达式解方程组即可求解；
（3）当为直角三角形有两种情况，讨论如下：①时，由翻折可得，，过点作于点，则为等腰直角三角形，再由等腰直角三角形的性质求解；②时，即轴，则，由翻折可得，，，那么，设，则，，再对运用勾股定理建立方程求解；
（3）分两种情况讨论，添加辅助线构造全等三角形求解即可．
【详解】（1）解：∵直线经过点，，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：∵直线与直线交于点A，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵直线与 x轴交于点C．
∴当，则，
解得，
∴
当为直角三角形有两种情况，讨论如下：
①时，如图，
∴，
由翻折可得，
过点作于点，则为等腰直角三角形，
∵
，
∴点的坐标为；
②时，即轴，如图，
∵，
∴，
由翻折可得，，，
∴，
设，
则，，
∵，
∴，
，
解得，
∴点的坐标为；
综上：点的坐标为或；
（4）解：设
①当点M在第二象限时，过点作轴的垂线交轴于点，过点作于点，如图：
则，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点代入，则，
解得，
∴；
②当点M在第一象限时，过点作轴的垂线交轴于点，过点作于点，如图：
∴，
∴，
∴，
∴，
将点代入，则，
解得，
∴，
综上，点M的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求解函数解析式，勾股定理与折叠，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点．
17．如图，在平面直角坐标系中，沿直线翻折得，且点，点在轴负半轴上，三点在同一条直线上，直线交轴于点．
(1)求直线的表达式；
(2)在线段上有一动点，连接为上一动点，为轴上一动点，连接，当时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)的最小值为
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离是解题的关键．
（1）根据题意可知C点是的中点，由折叠可推出，，则，利用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据，即，求出，作点关于的对称点，连接，则，当最小时，的值最小，此时轴，C点是的中点，求出，的最小值为；
【详解】（1）解：因为点，
所以，
由折叠可知，，
因为，
所以，
所以点，
因为是的中点，
所以点．
设直线的表达式为，
将点代入，
得，
解得，
所以直线的表达式为；
（2）解：因为，
所以，即，
解得，
所以点．
作点关于的对称点，连接，
所以，
所以，
当最小时，的值最小，此时轴．
因为，
所以点在直线上，
所以是的中点，
所以点，
所以的最小值为．
18．【观察发现】
如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用．
【探究迁移】
（1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点．
①的度数为________．
②，是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是________．
（2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式．
【拓展应用】
（3）如图4，点在轴的正半轴上，，是直线上的动点，是轴上的动点．若是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）①②8（2）（3）或
【分析】（1）①根据解析式确定，，得到，解答即可．
②根据垂线段最短，得到时，取得最小值，利用三角形全等判定证明，利用勾股定理解答即可．
（2）过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E，则四边形为矩形，根据一线三直角全等模型解答即可．
（3）分在x轴的上方，下方，结合全等模型解答即可．
【详解】（1）解：①∵直线与轴、轴分别交于，两点．
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
②解：根据垂线段最短，得到时, 取得最小值，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：8．
（2）解：过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E，
则四边形为矩形，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，
∴，，
∴，
∴，
解得．
∴，
设直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
∴解析式为．
（3）解：当在x轴的上方时，过点P作于点M，
根据题意，得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，是直线上的动点，
设，
∴，，
解得，
故；
当在x轴的下方时，过点P作于点N，
同理可证，
∴，
∵，是直线上的动点，
设，
∴，，
解得，
故；
综上所述，所有符合条件的点的坐标或．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，垂线段最短，待定系数法，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
19．在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，点是轴上的动点．
(1)求直线的解析式；
(2)当时，求点的坐标；
(3)若点为线段的中点，点是线段上的动点，点是线段上的动点，当△的周长取得最小值时，求点和点的坐标．
【答案】(1)
(2)点或
(3)，
【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，轴对称的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）先求出点，点坐标，利用待定系数法可求直线解析式；
（2）由面积关系列出方程可求解；
（3）作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接，交于，交轴于，此时的周长有最小值，利用待定系数法可求直线的解析式，可求点坐标，联立方程组可求点坐标．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，．
，，
，
解得：，，
直线的解析式为；
（2）设点，
，
，
，
，
或，
点或；
（3）如图，作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接，交于，交轴于，
此时，的周长，即的周长的最小值为，
点为线段的中点，
，
点，
点与点关于轴对称，
，
点，
点与点关于直线对称，
，，
，
点，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
点，
点是直线与直线的交点，
，
解得：，
点．
20．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D．
(1)求直线解析式和点D坐标；
(2)点P为射线上一动点，y轴上有一动点M，连接，当时，请求出点P的坐标和的最小值；
(3)若点N是x轴上一动点，请直接写出使是等腰三角形的点N的坐标．
【答案】(1)直线的解析式为，
(2)，
(3)或或或
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰三角形的定义，勾股定理，求一次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，再联立两直线解析式求出点D的坐标即可；
（2）可证明，则点P一定在线段的延长线上，则可求出，据此可求出点P的坐标；作点D关于y轴的对称点E，连接，则，由轴对称的性质可得，则当E、M、P三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此利用勾股定理求解即可；
（3）分当时， 当时，则点D在线段的垂直平分线上，当时，三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
∵点C在轴上点A的右边，，
∴，
∵直线与正比例函数的图象平行，
∴可设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴点P一定在线段的延长线上，
∴，
∴，
∴；
在中，当时，，
∴；
如图所示，作点D关于y轴的对称点E，连接，则，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴当E、M、P三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，
∵，
∴的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
当时，则点N的横坐标为或，
∴点N的坐标为或；
当时，则点D在线段的垂直平分线上，
∴点是线段的中点，
∴点N的坐标为；
当时，设，
∵，
∴，
解得，
∴点N的坐标为；
综上所述，点N的坐标为或或或．
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