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2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
章末复习（五）一次函数
形如y= kx+ b（k, b为常数，且 k ≠ 0）的函数，称为一次函数。
x 是自变量，y是 x的函数。k称为比例系数或斜率，b称为常数项或截距。
当b= 0时，函数变为y=kx，称为正比例函数，是特殊的一次函数。
1．下列函数中，是的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数是关于的一次函数，则的值为___________．
3．已知点在函数的图象上，则的值为______．
4．一次函数经过定点______．
5．已知与成正比例，且当时，，求：
(1)与的函数关系式；
(2)当时，的值．
【
6．已知函数．
(1)用描点法在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)判断点，是否在函数的图象上．
1.图象
一次函数y=kx+ b的图象是一条直线。因此，作一次函数图象只需确定两个点，再过这两点画直线即可。
2.性质（核心）
一次函数的性质主要由k和b的符号决定。
k的符号 b的符号 图象经过象限 图象大致位置 函数增减性
k>0 b>0 一、二、三 从左向右上升 y随x的增大而增大
k>0 b<0 一、三、四 从左向右上升 y随x的增大而增大
k<0 b>0 一、二、四 从左向右下降 y随x的增大而减小
k<0 b<0 二、三、四 从左向右下降 y随x的增大而减小
记忆口诀：
k定增减：k>0上升（增），k<0下降（减）。
b定交点：图象与y轴交于点 (0, b)。
k、b同号，交点（0,b）在y轴正半轴；k、b异号，交点（0,b）在y轴负半轴。
3.图象的平移规律
直线y = kx + b 可由正比例函数 y = kx 的图象平移得到：
当b> 0 时，将直线 y = kx 向上平移 |b| 个单位。
当b < 0 时，将直线 y = kx 向下平移 |b| 个单位。
1．已知点，都在直线上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数的图象经过点，，则下列说法正确的是 ________．（填所有正确说法的序号）
①函数的图象可由函数的图象向上平移3个单位长度得到；
②函数的图象经过第一、二、三象限；
③函数的图象经过点；
④函数的图象与坐标轴围成图形的面积为4.5．
4．已知，在平面直角坐标系中，直线经过点和点．
(1)求直线所对应的函数表达式．
(2)通过计算判断点是否在直线上．
5．在平面直角坐标系中，已知直线与直线．
(1)若直线与直线交于点，求k，m的值；
(2)过点作垂直于x轴的直线分别交，于点C，D．当时，在点B运动的过程中，线段的长恒大于1，直接写出k的取值范围．
6．将直线进行平移，得到直线．若直线经过点，且是由原直线向上平移个单位，再向右平移个单位得到，求的值．
7．将直线向左平移个单位长度后，经过点，求的值．
8．如图，一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、．
(1)求的取值范围；
(2)若该一次函数向上平移1个单位长度就经过原点，求的值．
这是本章最重要的解题方法。步骤固定，应用广泛。
1.设：设所求的一次函数解析式为 y = kx + b (k ≠ 0)。
2.列：根据已知条件（通常是两组x、y的对应值，或两个点的坐标），列出关于k和b的二元一次方程组。
3.解：解这个方程组，求出k 和b的值。
4.写：将求出的k、b值代回所设解析式，得到函数关系式。
1．已知一次函数的图像与y轴交于点， 且经过点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)求该函数图像与x轴的交点坐标．
2．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，．
(1)求点的坐标；
(2)求一次函数的表达式．
3．在平面直角坐标系中有，，三点．
(1)求过，两点的直线的函数解析式；
(2)判断，，三点是否在同一条直线上？并说明理由．
4．函数与的图象如图所示，这两个函数图象的交点在y轴上，求：的函数解析式；
1.一次函数与一元一次方程
从“数”看：方程 kx + b = 0 的解，就是函数 y = kx + b的函数值为y=0时，自变量 x的值。
从“形”看：方程 kx + b = 0 的解，就是直线 y = kx + b 与x轴交点的横坐标。
2. 一次函数与一元一次不等式
不等式 kx + b > 0 的解集，就是函数 y = kx + b 的图象在 x轴上方时，对应的x的取值范围。
不等式 kx + b < 0 的解集，就是函数 y = kx + b的图象在 x轴下方时，对应的x的取值范围。
3. 一次函数与二元一次方程组
方程组 的解，就是两条直线 y = k x + b 和 y = k x + b 的交点坐标。
1．画出函数的图像，并结合图像求：
(1)方程的解；
(2)不等式的解集；
(3)不等式组的解集．
2．在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如图），两直线交于点，分别与轴交于，两点．已知点，，观察图象并回答下列问题：
(1)关于的方程的解是 ；关于的不等式的解集是 ．
(2)若点的坐标为，求的面积．
3．画出函数的图象，结合图象：
(1)求方程的解；
(2)求不等式的解集；
(3)若，直接写出的取值范围．
4．如图，直线与轴，轴分别交于两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点．
(1)结合图象直接写出关于的方程组的解为__________；
(2)结合图形直接写出的解集为_________；
(3)求的面积．
5．一次函数和的图象如图所示，且，．
(1)由图可知，不等式的解集是_____；
(2)若不等式的解集是．
求点的坐标；
求的值．
6．一次函数与的图象如图所示．
(1)点的坐标为____________，点的坐标为____________；
(2)当____________时，；
(3)若点在直线上，且满足，求点的坐标．
用一次函数解决实际问题的关键步骤：
1.审题建模：分析问题，确定变量，判断是否为一次函数关系。
2.求解析式：用待定系数法求出函数表达式，并确定自变量的取值范围。
3.解决问题：利用函数解析式、图象或性质解决所求问题（如求值、比较大小、求最值等）。
4.验证作答：结合实际情况检验结果的合理性，并作答。
1．某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：
型号 载客量 租金单价
A 30人/辆 380元/辆
B 20人/辆 280元/辆
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数．
(1)设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围；
(2)若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
2．爱媛号柑橘（又名“阿蜜达”）是近年引进的新品种，由“红美人”与“春见”杂交育成．某农户种植了亩“阿蜜达”，去年处于盛果期，年产量平均/亩．为提高收益和风险可控，采用电商零售和地头统货两种销售方式，且电商零售销量不超过地头统货销量的．除去采果、运输等成本，电商零售净收入平均元/，地头统货净收入元/．
(1)求销售总收入y（元）与地头统货销量（）之间的函数关系式；
(2)若人工、化肥等种植成本为元/亩，求该农户去年种植“阿蜜达”的最大利润．
3．已知小华的家，文具店，图书馆依次在同一条直线上，文具店离家，图书馆离家，小华从家出发，先匀速步行了到文具店，在文具店停留了，之后匀速骑行了到图书馆，在图书馆停留了后，再用匀速骑行回家．下面图中x表示时间，y表示小华离家的距离，图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
小华离开家的时间/ 2 5 11 24
小华离开家的距离/
②填空：小华从图书馆匀速骑行回家的速度为________；
③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
(2)小华的妈妈在小华离开家后从家以的速度匀速步行直接去图书馆，在小华的妈妈离家后到图书馆的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）．
4．小明使用出行软件打车回家的行程详情如图（1）所示，爱动脑筋的小明查看了计价规则，如图（2）所示．他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段（），3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分，按元/公里的标准收取里程费．
(1)当行程超过3公里时，判断实际打车费用y元是否是里程x公里的函数，并用含x的代数式表示y；
(2)如图（1）所示，小明此次行程的实际路线为公里，那么打车费用是多少元？
5．某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买种食材和种食材共需元，购买种食材和种食材共需元．
(1)求，两种食材的单价．
(2)该小吃店计划购买两种食材共，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
6．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，为线段的中点．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，若为线段上一动点，过点作轴于点，轴于点，连接，为上一动点．当线段最短时，求周长的最小值；
(3)如图2，直线交坐标轴于，两点，直线交轴于点，将沿着轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标．
7．如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的两点，点在第一象限内，直线交y轴于点，直线交y轴于点D，且，
(1)求；
(2)求点A的坐标及p的值；
(3)若，求直线的解析式．
2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
章末复习（五）一次函数（解析版）
形如y= kx+ b（k, b为常数，且 k ≠ 0）的函数，称为一次函数。
x 是自变量，y是 x的函数。k称为比例系数或斜率，b称为常数项或截距。
当b= 0时，函数变为y=kx，称为正比例函数，是特殊的一次函数。
1．下列函数中，是的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义判断各选项即可．
【详解】解：A．中未知数充当了分母，不是（，是常数，且）的形式，故此选项错误；
B．中未知数充当了分母，不是（，是常数，且）的形式，故此选项错误；
C．中，，，满足一次函数的形式，是一次函数，故此选项正确；
D．中的次数为，不是一次函数，故此选项错误．
【点睛】一次函数的标准形式为（，为常数，）．
2．已知函数是关于的一次函数，则的值为___________．
【答案】
【分析】根据一次函数的定义，得且，求解即可．
【详解】解：∵函数是关于的一次函数，
∴且，
由，
解得，或，
又∵，得，
综上，的值为．
3．已知点在函数的图象上，则的值为______．
【答案】
【分析】把点代入，然后解关于的方程即可．
【详解】解：∵点在函数的图象上，
∴
，
∴的值为．
4．一次函数经过定点______．
【答案】
【分析】将一次函数解析式整理为关于参数的多项式形式，根据定点的定义，无论参数取何值，点的坐标都满足解析式，因此令含项的系数为，即可求解得到定点坐标．
【详解】解：将给定一次函数解析式变形得，
因为一次函数经过定点，即无论取任意实数，等式恒成立，
所以令的系数为，即：，
解得 ，
将代入解析式，得 ，
因此该一次函数恒过定点．
5．已知与成正比例，且当时，，求：
(1)与的函数关系式；
(2)当时，的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据成正比例的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出的值，从而得到与的函数关系式；
（2）利用（1）中的关系式，求出函数值为所对应的自变量的值即可．
【详解】（1）解：设，
把代入得，
解得，
，
与的函数关系式为；
（2）解：当时，，
解得，
的值为．
6．已知函数．
(1)用描点法在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)判断点，是否在函数的图象上．
【答案】(1)见解析
(2)点不在图象上；点在图象上
【分析】（1）分别令、求出两点，画出函数图象即可；
（2）分别将，代入函数，进行判断即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，解得，
则函数图象如下：
（2）解：将代入得：，
由于
则点不在函数的图象上；
将代入得：，
则点在函数的图象上．
1.图象
一次函数y=kx+ b的图象是一条直线。因此，作一次函数图象只需确定两个点，再过这两点画直线即可。
2.性质（核心）
一次函数的性质主要由k和b的符号决定。
k的符号 b的符号 图象经过象限 图象大致位置 函数增减性
k>0 b>0 一、二、三 从左向右上升 y随x的增大而增大
k>0 b<0 一、三、四 从左向右上升 y随x的增大而增大
k<0 b>0 一、二、四 从左向右下降 y随x的增大而减小
k<0 b<0 二、三、四 从左向右下降 y随x的增大而减小
记忆口诀：
k定增减：k>0上升（增），k<0下降（减）。
b定交点：图象与y轴交于点 (0, b)。
k、b同号，交点（0,b）在y轴正半轴；k、b异号，交点（0,b）在y轴负半轴。
3.图象的平移规律
直线y = kx + b 可由正比例函数 y = kx 的图象平移得到：
当b> 0 时，将直线 y = kx 向上平移 |b| 个单位。
当b < 0 时，将直线 y = kx 向下平移 |b| 个单位。
1．已知点，都在直线上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】先根据判断函数增减性，再比较两点横坐标大小，即可得到纵坐标的大小关系．
【详解】解：∵，
∴随增大而减小，
∵，
∴．
2．在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先根据正比例函数图象判断的取值范围，再根据的取值范围判断一次函数图象的走向．
【详解】解：A选项：正比例函数的图象过一、三象限，
，
一次函数的图象是随的增大而增大，
当时，，
一次函数的图象与轴交点坐标是，
一次函数的图象与轴交点在轴的负半轴，
故A选项符合题意；
B选项：正比例函数的图象过二、四象限，
，
一次函数的图象是随的增大而减小，
故B选项不符合题意；
C选项：正比例函数的图象过一、三象限，
，
一次函数的图象是随的增大而增大，
当时，，
一次函数的图象与轴交点坐标是，
一次函数的图象与轴交点在轴的负半轴，
故C选项不符合题意；
D选项：正比例函数的图象过二、四象限，
，
一次函数的图象是随的增大而减小，
故D选项不符合题意．
3．已知函数的图象经过点，，则下列说法正确的是 ________．（填所有正确说法的序号）
①函数的图象可由函数的图象向上平移3个单位长度得到；
②函数的图象经过第一、二、三象限；
③函数的图象经过点；
④函数的图象与坐标轴围成图形的面积为4.5．
【答案】①②④
【分析】先利用待定系数法求出一次函数解析式，再结合一次函数的性质依次进行判断即可．
【详解】解：由题知，
将A，B两点坐标代入得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为．
将函数的图象向上平移3个单位长度得到的函数图象，
故①正确．
因为与y轴交点为，且y随x的增大而增大，
所以函数的图象经过第一、二、三象限．
故②正确．
将代入得，
，
所以函数的图象不经过点．
故③错误．
因为与坐标轴的交点坐标分别为和，
所以，
即函数的图象与坐标轴围成图形的面积为4.5．
故④正确．
综上正确的有：①②④．
4．已知，在平面直角坐标系中，直线经过点和点．
(1)求直线所对应的函数表达式．
(2)通过计算判断点是否在直线上．
【答案】(1)
(2)点在直线上
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）令，求得的值，即可判断点在直线上．
【详解】（1）解：由题意得：，
∴．
∴直线所对应的函数表达式为；
（2）解：当时，
．
∴点在直线上．
5．在平面直角坐标系中，已知直线与直线．
(1)若直线与直线交于点，求k，m的值；
(2)过点作垂直于x轴的直线分别交，于点C，D．当时，在点B运动的过程中，线段的长恒大于1，直接写出k的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）将交点代入直线，计算得出m，进而得出点A坐标；再将点A代入，进行计算即可；
（2）根据题意可得、，进而可求出，再根据题意分和两种情况，进行求解即可．
【详解】（1）解：将点的坐标代入直线，
得：，
点的坐标为，
将点的坐标代入直线，
得：
解得：；
（2）解：由题意可知，点的坐标为，点的坐标为．
线段的长为
，
当时，线段的长恒大于1，
在时恒成立，
∴当时（即），在时恒成立，
令，
当时，随n的增大而增大，最小值在，
则当时，
解得，
∴；
当时，，恒成立，
当时，随n的增大而减小，最小值在，
则当时，
解得，
∴，
∴k的取值范围为；
当时（即），在时恒成立，
令，
当时，随n的增大而增大，最大值在，
则当时，
解得，无解；
当时，，不成立，无解；
当时，随n的增大而减小，最大值在，
则当时，
解得，无解；
综上所述，的取值范围为．
【点睛】本题核心是交点坐标的性质与绝对值不等式的区间恒成立，第1问利用交点满足两直线解析式求解；第2问将线段长转化为绝对值式，分类讨论一次函数增减性，关键是恒成立的最值分析．
6．将直线进行平移，得到直线．若直线经过点，且是由原直线向上平移个单位，再向右平移个单位得到，求的值．
【答案】
【详解】解：设平移后的直线的解析式为，
∵ 直线经过点，
∴，
整理得：．
7．将直线向左平移个单位长度后，经过点，求的值．
【答案】
【分析】先得出函数向左平移个单位后的函数表达式，再将点代入进行求值即可．
【详解】解：将函数向左平移个单位长度后得到函数，
∵点在函数上
代入得，
解得．
8．如图，一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、．
(1)求的取值范围；
(2)若该一次函数向上平移1个单位长度就经过原点，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据函数图象与轴、轴负半轴相交判断出函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数过第二、三、四象限的性质且列不等式求解的取值范围；
（2）根据一次函数“上加下减”的平移规律写出向上平移1个单位后的解析式，再利用原点坐标满足平移后的函数解析式，代入后列一元一次方程求解的值．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、，
∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，解得；
（2）解：将向上平移1个单位长度后，
解析式为．
∵平移后的图象经过原点，
∴，解得．
这是本章最重要的解题方法。步骤固定，应用广泛。
1.设：设所求的一次函数解析式为 y = kx + b (k ≠ 0)。
2.列：根据已知条件（通常是两组x、y的对应值，或两个点的坐标），列出关于k和b的二元一次方程组。
3.解：解这个方程组，求出k 和b的值。
4.写：将求出的k、b值代回所设解析式，得到函数关系式。
1．已知一次函数的图像与y轴交于点， 且经过点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)求该函数图像与x轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点，代入，然后求解即可；
（2）由（1）可知，该一次函数的解析式为，令，可得，求解即可获得答案．
【详解】（1）解：将点，代入，可得，
解得，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）由（1）可知，该一次函数的解析式为，
当时，可得，
解得，
∴该函数图像与x轴的交点坐标为．
2．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，．
(1)求点的坐标；
(2)求一次函数的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点P的横坐标为3代入表达式，可得答案；
（2）结合点P的坐标可得，再结合已知条件可得点C的坐标，然后根据待定系数法求出表达式即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点P，且点P的横坐标为3，
∴，
∴点；
（2）解：∵点轴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴点．
∵一次函数经过点，
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为．
3．在平面直角坐标系中有，，三点．
(1)求过，两点的直线的函数解析式；
(2)判断，，三点是否在同一条直线上？并说明理由．
【答案】(1)
(2)，，三点在同一条直线上，详见解析
【分析】（1）根据点、坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）将点坐标代入（1）中解析式中，判定是否符合函数解析式即可作出判断．
【详解】（1）解：设过，两点的直线的函数解析式，
则，解得，
∴直线的函数解析式为
（2）解：，，三点在同一条直线上，
理由：当时，，
∴点在直线上，
即，，三点在同一条直线上．
4．函数与的图象如图所示，这两个函数图象的交点在y轴上，求：的函数解析式；
【答案】
【分析】本题考查一次函数的图象与性质．
根据一次函数的表达式求解函数与坐标轴交点坐标，根据已知条件用待定系数法求一次函数解析式．
【详解】解：∵函数，当时，，
∴点，
∵根据函数图象可知点，
将点，点的坐标分别代入中，
得，解得，
∴．
1.一次函数与一元一次方程
从“数”看：方程 kx + b = 0 的解，就是函数 y = kx + b的函数值为y=0时，自变量 x的值。
从“形”看：方程 kx + b = 0 的解，就是直线 y = kx + b 与x轴交点的横坐标。
2. 一次函数与一元一次不等式
不等式 kx + b > 0 的解集，就是函数 y = kx + b 的图象在 x轴上方时，对应的x的取值范围。
不等式 kx + b < 0 的解集，就是函数 y = kx + b的图象在 x轴下方时，对应的x的取值范围。
3. 一次函数与二元一次方程组
方程组 的解，就是两条直线 y = k x + b 和 y = k x + b 的交点坐标。
1．画出函数的图像，并结合图像求：
(1)方程的解；
(2)不等式的解集；
(3)不等式组的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查描点法画函数图像，一次函数与方程、一元一次不等式的关系，运用描点法画出函数图像，运用数形结合思想是解题的关键．
（1）运用描点法画出函数图像，根据图像与x轴的交点的横坐标即为方程的解；
（2）不等式的解集为函数图像在x轴下方对应的自变量x的取值范围，根据图像即可解答；
（3）根据函数图像找出函数值在与7之间的自变量的值即可．
【详解】（1）解：列表：
x 0
3 0
描点并连线：
由图像可得，一次函数的图像与x轴的交点为，
∴方程的解为．
（2）解：由图像可得，不等式的解集为．
（3）解：当时，，解得，
当时，，解得，
由图像可得，不等式的解集为．
2．在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如图），两直线交于点，分别与轴交于，两点．已知点，，观察图象并回答下列问题：
(1)关于的方程的解是 ；关于的不等式的解集是 ．
(2)若点的坐标为，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查的是坐标与图形面积，一次函数与一元一次方程以及不等式的关系；
（1）由一次函数的图象与轴的交点坐标结合函数图象可得答案；
（2）利用坐标含义，结合三角形的面积公式求解面积即可．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，
关于的方程的解是；
直线与轴交于点，
当时，，即，
关于的不等式的解集是．
故答案为：；．
（2）解：点，点，点的坐标为，
，
．
3．画出函数的图象，结合图象：
(1)求方程的解；
(2)求不等式的解集；
(3)若，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】先作出函数的图象，数形结合即可解决问题．
【详解】（1）解：当时，，即直线与轴交于点；
当时，，即直线与轴交于点；
作出函数的图象，如图所示：
观察图象知，函数图象经过点，
则方程的解为；
（2）解：观察图象知，当时，函数图象在轴下方，即，
不等式的解集为；
（3）解：当时，，解得；
当时，，解得；
观察图象知，当时，．
4．如图，直线与轴，轴分别交于两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点．
(1)结合图象直接写出关于的方程组的解为__________；
(2)结合图形直接写出的解集为_________；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（）根据函数图象解答即可求解；
（）根据函数图象解答即可求解；
（）求出点坐标，得到的长，再根据三角形的面积公式计算即可求解；
本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的交点问题，一次函数与几何图形，掌握数形结合思想是解题的关键．
【详解】（1）解：由函数图象可知，直线与直线相交于点，
∴关于的方程组的解为，
故答案为：；
（2）解：由函数图象可知，当时，直线在直线的上方，
∴不等式的解集为，
故答案为：；
（3）解：把代入，得，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
5．一次函数和的图象如图所示，且，．
(1)由图可知，不等式的解集是_____；
(2)若不等式的解集是．
求点的坐标；
求的值．
【答案】(1)；
(2)点的坐标是；的值是．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（）根据函数图象和题意可以直接写出不等式的解集；
（）由题意可以求得的值，然后将代入即可求得点的坐标；
根据点也在函数的图象上，从而可以求得的值．
【详解】（1）解：由图象可知不等式的解集是，
故答案为：；
（2）解：∵，在一次函数上，
∴，
解得：，
∴一次函数，
∵不等式的解集是，
∴点的横坐标是，
当时，，
∴点的坐标是；
∵，
∴，解得，
即的值是．
6．一次函数与的图象如图所示．
(1)点的坐标为____________，点的坐标为____________；
(2)当____________时，；
(3)若点在直线上，且满足，求点的坐标．
【答案】(1),
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）联立两个一次函数解析式求解交点坐标，再令求解点坐标；
（2）通过交点坐标确定不等式的解集；
（3）设点的坐标为，根据三角形的面积，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：联立，
解得，
∴点的坐标为；
当时，，
解得，
∴；
（2）解：∵，
由图形可知，当时，；
（3）解：设点的坐标为．
，且，
，
即，
，
∴点的坐标为或．
用一次函数解决实际问题的关键步骤：
1.审题建模：分析问题，确定变量，判断是否为一次函数关系。
2.求解析式：用待定系数法求出函数表达式，并确定自变量的取值范围。
3.解决问题：利用函数解析式、图象或性质解决所求问题（如求值、比较大小、求最值等）。
4.验证作答：结合实际情况检验结果的合理性，并作答。
1．某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：
型号 载客量 租金单价
A 30人/辆 380元/辆
B 20人/辆 280元/辆
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数．
(1)设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围；
(2)若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
【答案】(1)（且x为整数）
(2)共有25种租车方案；租用A型号客车21辆，B型号客车41辆时最省钱
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式与不等式组．
（1） 先根据总费用=A型车费用+B型车费用列出函数表达式，再根据载客量不小于总人数、车辆数非负确定x的取值范围；
（2） 结合总费用不超过21940元的条件，列出不等式组，确定x的整数取值，得到租车方案，再根据一次函数的增减性确定最省钱方案．
【详解】（1）解：租用A型号客车辆，则租用B型号客车辆，
．
总载客量需满足，
，
．
又为整数，且，
的取值范围是，且为整数．
（2）解：租车总费用不超过21940元，
，
．
结合（1）中，得，且为整数，
可取，共25种租车方案．
中，，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，
此时，．
答：一共有25种租车方案，租用A型车21辆、B型车41辆时最省钱．
2．爱媛号柑橘（又名“阿蜜达”）是近年引进的新品种，由“红美人”与“春见”杂交育成．某农户种植了亩“阿蜜达”，去年处于盛果期，年产量平均/亩．为提高收益和风险可控，采用电商零售和地头统货两种销售方式，且电商零售销量不超过地头统货销量的．除去采果、运输等成本，电商零售净收入平均元/，地头统货净收入元/．
(1)求销售总收入y（元）与地头统货销量（）之间的函数关系式；
(2)若人工、化肥等种植成本为元/亩，求该农户去年种植“阿蜜达”的最大利润．
【答案】(1)
(2)元
【分析】（）先根据亩柑橘的总产量、地头统货销量求出电商零售销量，再结合电商销量不超过地头销量的条件确定的取值范围，最后根据两种销售方式的净收入列出销售总收入与的函数关系式；
（）先计算出亩柑橘的总种植成本，再用销售总收入减去总种植成本得到利润关于的一次函数，结合一次函数的单调性，在的取值范围内取最小值求出最大利润．
【详解】（1）解：∵总产量为，地头统货销量为，
∴电商零售销量为，
∵电商零售销量不超过地头统货销量的，
∴
解得：
∵，
∴的取值范围是，
地头统货收入元，电商零售收入元，
因此，销售总收入：
；
（2）解：设利润为，
总种植成本为：元
则，
代入得：
∵一次函数中，，
∴随的增大而减小，
∴当取最小值时，
取得最大值：
因此该农户去年种植的最大利润为元．
3．已知小华的家，文具店，图书馆依次在同一条直线上，文具店离家，图书馆离家，小华从家出发，先匀速步行了到文具店，在文具店停留了，之后匀速骑行了到图书馆，在图书馆停留了后，再用匀速骑行回家．下面图中x表示时间，y表示小华离家的距离，图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
小华离开家的时间/ 2 5 11 24
小华离开家的距离/
②填空：小华从图书馆匀速骑行回家的速度为________；
③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
(2)小华的妈妈在小华离开家后从家以的速度匀速步行直接去图书馆，在小华的妈妈离家后到图书馆的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】(1)①，，； ②；③当时，，当时，，当时，；
(2)．
【分析】（1）①根据图象的特征求解即可；
②根据题意，其速度为；
③当时，利用待定系数法分段求函数的解析式即可；
（2）是分段函数，，根据，求解即可．
【详解】（1）①解：当时，其速度为，
根据题意，得；
时，小华停留在文具店，此时离家的距离为；
时，小华刚好到达图书馆，此时离家的距离为；
②解：根据题意，其速度为；
③当时，其速度为，
根据题意，得；
当时，，
当时，设解析式为，
根据题意，得，
解得，
故解析式为；
（2）解：根据题意，得，
当时，解得；
当时，解得；
根据，得．
4．小明使用出行软件打车回家的行程详情如图（1）所示，爱动脑筋的小明查看了计价规则，如图（2）所示．他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段（），3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分，按元/公里的标准收取里程费．
(1)当行程超过3公里时，判断实际打车费用y元是否是里程x公里的函数，并用含x的代数式表示y；
(2)如图（1）所示，小明此次行程的实际路线为公里，那么打车费用是多少元？
【答案】(1)y是x的函数，
(2)元
【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确列出函数关系式是解题的关键．
（1）根据题意，得，化简为即可求解；
（2）根据题意，当时，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：由题可得，当里程x超过3公里时，其中3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分里程为公里，费用为元，
则实际打车费用，即，
对于每一个超过3公里的x值，都有唯一的y值与之对应，
y是x的函数，；
（2）当时，，
则打车费用是元．
5．某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买种食材和种食材共需元，购买种食材和种食材共需元．
(1)求，两种食材的单价．
(2)该小吃店计划购买两种食材共，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【答案】(1)种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元
(2)种食材购买，种食材购买时，总费用最少，为元
【分析】（1）设种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，由题意得，，根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克，
由题意得，
解得，
种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元；
（2）解：设种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，由题意得：
，
且
解得：
，
随的增大而增大，
当时，有最小值为：元，
种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元．
6．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，为线段的中点．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，若为线段上一动点，过点作轴于点，轴于点，连接，为上一动点．当线段最短时，求周长的最小值；
(3)如图2，直线交坐标轴于，两点，直线交轴于点，将沿着轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，、或
【分析】（1）由待定系数法列二元一次方程组求解即可得到答案；
（2）先由矩形对角线相等得到，再结合垂线段最短可知当时，最短，即线段最短，得到满足题意的点，进而将周长的最小值问题转化为常见的动点最值问题-将军饮马模型，依据此类问题的解法，作点关于的对称点，由对称性求出点的坐标即可得到答案；
（3）根据题意，设将沿着轴平移个单位长度，得到、，连接、、构成，分别以的两条边为菱形邻边分类讨论，再作出图形，结合点的平移得出点的坐标即可得到答案．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
直线与轴、轴分别交于点、点，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：连接，如图所示：
由轴于点，轴于点，可知四边形是矩形，
，
由于点是固定点、点是直线：上的一个动点，则根据垂线段最短可知当时，最短，即线段最短，
在中，，
则由勾股定理可得，
即，
，
当时，如图所示：
在中，，，则，且，
在中，，则，
，，
则，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
点、点，为线段的中点，
，即，
则，
，点是上的动点，是定点，
由动点最值问题-将军饮马模型解法，作点关于的对称点，则，即当三点共线时，有最小值为，
连接交于点、交轴于点，如图所示：
，，
，
则，
，
在中，，为线段的中点，则，
，，且点均在轴上，
即点与点重合，
直线过原点，
设直线的解析式为，
，
则直线的解析式为，
联立，
解得，即，
由对称性可知，是线段的中点，
，
，
则，
周长的最小值为；
（3）解：存在，
直线交坐标轴于，两点，则当时，，即；当时，，即；
直线交轴于点，则当时，，即；当时，，即直线与交于点；
设将沿着轴平移个单位长度，则、，
连接、、构成，
以、、、为顶点的菱形邻边为，则，
，
则，
解得（没有平移，不会产生点、，舍去）或（符合题意，向下平移）；
以、、、为顶点的菱形邻边为，则，
，
则，
解得（符合题意，向上平移）或（符合题意，向下平移）；
以、、、为顶点的菱形邻边为，则，
，
则，
解得（符合题意，向下平移）；
将沿着轴向上平移个单位长度，则、、，过点作的平行线、过点作的平行线，两条平行线交于点，如图所示：
由点的平移可得；
将沿着轴向下平移时，如图所示：
①由前面以为菱形邻边时，，是将沿着轴向下平移个单位长度，则、、，过点作的平行线、过点作的平行线，两条平行线交于点，则由点的平移可得；
②由前面以为菱形邻边时，，是将沿着轴向下平移个单位长度，则、、，过点作的平行线、过点作的平行线，两条平行线交于点，则由点的平移可得；
③由前面以为菱形邻边时，，是将沿着轴向下平移个单位长度，则、、，过点作的平行线、过点作的平行线，两条平行线交于点，则由点的平移可得；
将沿着轴向上平移个单位长度；向下平移个单位长度、个单位长度或个单位长度时，存在点（与点重合）、或使得以、、、为顶点的四边形是菱形，
综上所述，存在点，坐标为、或．
【点睛】本题难度较大，掌握动点最值问题-将军饮马模型解法、掌握平面直角坐标系中平行四边形及特殊平行四边形综合问题的解法步骤才能打开突破口，寻到有效解决问题的思路．
7．如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的两点，点在第一象限内，直线交y轴于点，直线交y轴于点D，且，
(1)求；
(2)求点A的坐标及p的值；
(3)若，求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)，
(3)直线的解析式为
【分析】（1）由题意可得，点到的距离为，再由三角形的面积公式计算即可得出结果；
（2）先求出，再结合三角形的面积公式求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，最后将代入解析式计算即可得出结果；
（3）先由得出，从而得出，最后再利用待定系数法计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵点，点，
∴，点到的距离为，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，且点在轴的负半轴，
∴；
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
将代入解析式可得，
即；
（3）解：设点到轴的距离为，则，，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为．
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