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2026年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中有理数是（　　）
A.
B. π
C.
D. 0.2626626662…（每两个2之间依次增加一个6）
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.把6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
4.第二十七届哈尔滨冰雪大世界在2025年12月17日开园至2026年2月21日闭园的65天运营期内，累计接待游客3060000人次，将3060000用科学记数法表示为（　　）
A. 0.306×107 B. 3.06×106 C. 3.06×105 D. 30.6×106
5.点A（-1，y1），B（2，y2）在反比例函数的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　）
A. y1＜y2 B. y1=y2 C. y1＞y2 D. y1≥y2
6.分式方程的解为（　　）
A. x=1 B. x=-1 C. x=2 D. x=-2
7.观察下列图形规律，当图形中的“〇”的个数为28时，则n的值为（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8.如图在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，交对角线AC于点F，如果S△ADF：S△DFC=2：3，CD=6，则BE的值为（　　）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
9.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，将△CDE沿CE翻折得到△CD′E，点D的对应点为点D′，D′E交BC于点F.若∠D′CF=26°，则∠DCE的度数为（　　）
A. 64°
B. 58°
C. 32°
D. 26°
10.如图①，在正方形ABCD中，点P从点B出发，沿BC-CD-DA运动，至点A停止.设点P运动的路程为x,△APB 的面积为y,且y与x之间的关系式如图②所示.则下列说法中正确的是（　　）
A. a=8 B. b=10 C. c=14 D. 当y=4时，x=2
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.在函数y=中，自变量x的取值范围是______．
12.分解因式：a3+ab2-2a2b= ______．
13.定义新运算：对于a,b有，根据定义新运算，则9 （-64）= .
14.一个扇形的弧长是14πcm,半径是18cm,则此扇形圆心角是 .
15.不等式组的解集是______．
16.抛物线y=-（x-3）2-7与y轴交点坐标为 .
17.在一个不透明的袋子中有红、绿各两个小球，它们只有颜色上的区别．从袋子中随机摸出一个小球记下颜色后不放回．再随机摸一个．则两次都摸到红球概率为______．
18.如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于M，AB=8且DM：MC=4：1，则线段OM的长是 .
19.在正方形ABCD中，∠EAF=45°，∠EAF的两边分别交边BC，DC于点E、F，若BA=6，EF=5，则AF的长为 .
20.如图△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE.下列四个结论：①∠AED=∠ABC；②；③BC=AE；④点P为直线MN上一点，连接AP、DP，设AP+DP=m,则m最小值等于AC的长.其中正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题7分)
先化简，再求值的值，其中x=4sin45°-2cos60°.
22.(本小题7分)
如图，方格中每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上，用无刻度直尺作出下列图形（保留作图痕迹）.
（1）在方格中作出△ABC的BC边上高AP；
（2）在方格中作出以DE为斜边的等腰直角△DEF，并画出DE的三等分线FQ（EQ＜DQ）.
23.(本小题8分)
哈尔滨亚冬会的成功举办激起了全民冰雪体育的热情，某校九年级甲班和乙班学生联合举行了“冰雪知识”竞赛.现分别从甲班、乙班各随机抽取10名学生，统计竞赛成绩，相关数据统计整理如下：
【收集数据】
甲班10名同学测试成绩统计如下：85，78，86，79，72，91，78，72，69，89.
乙班10名同学测试成绩统计如下：85，80，77，86，88，74，90，74，75，80.
【整理数据】两组数据各分数段，如表所示：
成绩 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
甲班 1 5 3 1
乙班 0 4 5 1
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：
平均数 中位数 众数 方差
甲班 80 a 72和78 53.4
乙班 b 80 c 25.6
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=______，b=______，c=______；
（2）请估计哪个班级的竞赛成绩更整齐，并说明理由；
（3）按照比赛规定80分及以上可以获得冬奥纪念奖品，若甲乙两班学生共85人，其中甲班学生45人，请估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数.
24.(本小题8分)
数学课上，同学们对矩形进行探究，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将△ABC绕点A旋转得到△AEF.
（1）如图1，当点E落在AC上，连接CF，求线段CF的值；
（2）如图2，在旋转过程中，设点M，N分别为CF，BC中点，连接MN，当MN为正整数时，请直接写出MN的值.
25.(本小题10分)
小李在某网店选中A，B两款玩偶，决定从该网店进货并销售，两款玩偶的进货价和销售价如表：
类别
价格 A款 B款
进货价（元/个） 40 30
销售价（元/个） 56 45
（1）第一次小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶分别购进了多少个？
（2）第二次进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
26.(本小题10分)
如图1，在△ABC中，BC是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，AB交⊙O于点D，E为AB上一点，AC=AE.
（1）求证：∠BAC=2∠BCE；
（2）如图2，F为半圆BC上一点，连接DF交CE于点G，交BC于点H，BF2=FH FD，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过G作GM⊥BC于点N，交⊙O于点M，连接，BN=12，求CM的长.
27.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=a（x+4）（x-1）交x轴于点A、B两点，交y轴于点C，OC=2OB.
（1）如图1，求a的值；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD交y轴于点K，设D的横坐标为t,CK的长为d,求d关于t的函数关系式；
（3）如图2，在（2）的条件下，过A作直线BD的垂线与过D作x轴垂线交于点F，垂足分别为H、E，连接FC并延长交抛物线于点Q，交直线OD于点G，过G作GP⊥FQ交抛物线于点P，连接PQ交直线OD于点N，M为ON延长线上一点，连接MQ，∠COM+2∠QMD=90°，NG+EF=MN，求d的值.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】x≠-1
12.【答案】a（a-b）2
13.【答案】7
14.【答案】140°
15.【答案】-3＜x≤1
16.【答案】（0，-16）
17.【答案】
18.【答案】3
19.【答案】2或3
20.【答案】①③④
21.【答案】解：原式=
=
=，
x=4sin45°-2cos60°
=4×-2×
=，
∴当x=时，原式====．
22.【答案】如图，线段AP即为所求； 如图，线段FQ即为所求
23.【答案】78.5;80.9;74和80 乙班的竞赛成绩更加整齐，理由如下：
∵甲班的方差为53.4，乙班的方差为25.6，25.6＜53.4，
∴乙班的竞赛成绩更加整齐 42人
24.【答案】2 1或2或3或4
25.【答案】解：（1）设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进（30-x）个，
由题意，得40x+30（30-x）=1100，
解得：x=20．
30-20=10（个）．
答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个；
（2）设A款玩偶购进a个，B款玩偶购进（30-a）个，获利y元，
由题意，得y=（56-40）a+（45-30）（30-a）=a+450．
∵A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．
∴a≤（30-a），
∴a≤10，
∵y=a+450．
∴k=1＞0，
∴y随a的增大而增大．
∴a=10时，y最大=460元．
∴B款玩偶为：30-10=20（个）．
答：按照A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元．
26.【答案】证明：∵AE=AC，
∴∠ACE==90°-∠BAC，
∵BC是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=90°-（90°-∠BAC）=∠BAC，
∴∠BAC=2∠BCE 如图，连接CD，
∵BF2=FH FD，
∴=，
∵∠BFH=∠DFB，
∴△BFH∽△DFB，
∴∠FBH=∠BDF，
∵=，
∴∠FBC=∠FDC=∠BDF，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°=∠BFC，
∴∠FDC=∠BDF=45°，
∴∠FBC=45°，
∴△BFC为等腰直角三角形，即BF=CF，
∴BC===BF 4
27.【答案】- d=2t +1
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