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江苏盐城市阜宁县2026年春学期九年级期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是（ ）
A. B. 2026 C. D.
2.剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
3.生活中下列现象可以看作平移的是（）
A. 在游乐场荡秋千 B. 翻开数学课本时书页的运动
C. 水平传送带上的物体的移动 D. 将一张纸对折
4.2026年春运期间，全国铁路累计发送旅客亿人次，多项客流峰值刷新历史记录，彰显我国交通发展的辉煌成就．数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，是的弦，半径，垂足为点，设的半径为，则的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
6.如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
7.某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中5名同学的成绩（单位：分）分别为：86，88，90，92，94，这组数据的方差是（）
A. 7分 B. 8分 C. 9分 D. 10分
8.我们规定：若，，则．例如，，则．已知，，且，则的最小值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 10 D. 16
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
10.分解因式： ．
11.已知圆锥的底面半径为3，母线为8，则圆锥的侧面积等于 ．
12.方程的解是 ．
13.如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数为 ．
14.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何．译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱，每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少．设人数为x，可列方程为 ．
15.如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏西方向上，位于景点的北偏西方向上，景点位于景点的南偏东方向上．已知．则景点与景点之间的距离为 ．
16.如图，在中，，，将绕着点逆时针旋转得到，连接交于点，则 ．
三、计算题：本大题共2小题，共14分。
17.计算：
18.解不等式组，并写出所有整数解．
四、解答题：本题共9小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题7分)
先化简，再求值：，其中，.
20.(本小题7分)
如图，点，，，在同一直线上，，，若__________，则．
请从①；②；③这个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并加以证明．
21.(本小题7分)
校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“．幻方”、“．数独”、“．华容道”、“．鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒被抽取即作废．
(1) 若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“．幻方”卡片的事件是 事件，（填“必然”、“随机”或“不可能”）
(2) 若某轮只有小明与小天两位同学参加开盲盒游戏，两位同学依次抽取盲盒，请用画树状图法或列表法，求装着写有“．数独”和“．鲁班锁”卡片的盲盒都被抽取的概率．
22.(本小题12分)
为更好地开展大课间活动，某校针对本校七年级学生对大课间活动实施情况的满意程度进行调查．从七年级学生中随机抽取20名学生进行问卷调查（满分100分，得分用表示，本次调查所有学生的得分均不低于60分，成绩按分数段划分为A，B，C，D四个等次），统计结果如下（其中两个原始数据因某种原因模糊，用■和★表示）：
60，72，62，，66，68，74，76，76，78，79，87，89，87，87，83，89，★，94，96
数据统计表
分数段 等次 人数
m
6
6
扇形统计图
(1) 统计表中 ， ；
(2) 扇形统计图中等次B所占圆心角的度数为 ，
(3) 这20个数据的众数为 ，中位数为 ，
(4) 若该校七年级学生共有1000人，请估计评价结果为“D”等次的七年级学生有多少人？
23.(本小题7分)
随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元．
(1) 求A，B两种型号的帐篷的单价；
(2) 据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用．
24.(本小题7分)
如图，是的切线，点为切点，点为上一点，射线，交于点，连接，点在上，过点作，交于点，作，垂足为点．，．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，，求的半径．
25.(本小题9分)
如图，矩形的顶点的坐标为，顶点落在轴的负半轴上，顶点落在轴的正半轴上．反比例函数的图象与，分别交于点，，且．连接，作射线．
(1) 求反比例函数表达式；
(2) 写出与的位置关系，并说明理由；
(3) 若点在射线上，点是平面直角坐标系中的一点，当四边形为菱形时，请求出点的坐标，并判断点是否落在反比例函数图象上．
26.(本小题9分)
【问题情境】
某公园要在广场建造一个喷泉景观．在广场中央处安装一个垂直于地面且高为米的花形柱子，在柱子顶端处安置一个喷头向外喷水（喷头大小忽略不计），水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计者设计水流在距的水平距离为3米时达到最大高度，此时离地面米．
(1) 【模型建构】以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到的水平距离为x米，水流喷出的高度为米，请求出在第一象限内的抛物线对应的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2) 【模型应用】某次李师傅正在喷泉景观内维护设备，喷头意外喷水，但是身高米的李师傅刚好笔直的站在地面上却没有被水淋到，此时他离花形柱子的水平距离为米，求的取值范围；
(3) 为了美观，在离花形柱子10米处的地面，处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点G在花形柱子的正上方，且米，求光线与抛物线水流之间的最小距离．
27.(本小题9分)
在日常生活中，图形的面积等分问题常常蕴含着丰富的数学原理与构造方法，如分蛋糕、规划土地等场景都与这类问题密切相关．下面我们通过探究，感受面积等分中的数学严谨性与构造之美．
(1) 【基础探究】
如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点（小正方形的顶点）上．
①用无刻度的直尺，过点画一条直线，使直线将分成面积相等的两部分；
②若在此网格内找一个格点（不与点重合），使得的面积和的面积相等，则符合条件的格点有__________个．
(2) 【迁移应用】
受到上述探究的启发，小明同学思考：在任意三角形中，能否过边上任意一点作一条直线平分三角形的面积呢？
如图2，在任意中，点是边上一点，．请用圆规和无刻度的直尺，过点作一条直线，使直线将分成面积相等的两部分．（不写作法，保留作图痕迹）
(3) 【创新应用】
某社区有一块四边形空地（如图3），现计划要从边上一点出发修建一条笔直的小路（看作线段）交于点，使得小路将这块空地分为面积相等的两部分，分别用于种植两种不同的绿植．
①请在图中画出小路的示意图（不需要尺规作图），并适当说明步骤：
②若上述四边形满足，，，，，点仍是边上一点，且小路将四边形分为面积相等的两部分，小路交于点，连接，当是等腰三角形时，请直接写出线段的长．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】
10.【答案】 /
11.【答案】24π
12.【答案】
13.【答案】 /60度
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：
．

18.【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为．
不等式组的所有整数解为：，0，1．

19.【答案】解：原式，
，
，
当时，原式．

20.【答案】解：方法一：选择作为条件；
证明：，
．
，
，即．
在和中，
，
，
．
方法二：选择作为条件；
证明：，
，
在和中，
，
，
．

21.【答案】【小题1】
随机
【小题2】
用表格列出所有可能的结果：
小明抽取的盲盒 小天抽取的盲盒

A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
由表格可知，共有12种可能的结果，并且它们的出现是等可能的．
“装着写有B．数独和D．鲁班锁’卡片的盲盒都被抽取”记为事件，它的发生有2种可能．

22.【答案】【小题1】
3
5
【小题2】
【小题3】
87

【小题4】
解：（人）
因此，评价结果为“D”等次的七年级学生有250人．

23.【答案】【小题1】
解：设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元，
根据题意得，
解得：，
答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元；
【小题2】
解：设购买A型号的帐篷个，则 B型号的帐篷个，
根据题意得：，
解得：，
设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元，
则，
，
随的增大而增大，
当时，最小，此时，
，
答：购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元．

24.【答案】【小题1】
证明：连接，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
是的切线，点为切点，
，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
【小题2】
解：，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
即的半径为．

25.【答案】【小题1】
解：四边形是矩形，点的坐标为，
，；，，
，
，
，
将点代入反比例函数得：，
解得：，
反比例函数表达式为；
【小题2】
解：，理由如下：
令，
解得：，
，
，
，且，
，
，
；
【小题3】
解：如图，当点在点的右边时，延长交轴于点，
四边形是矩形，
．
四边形为菱形，
，，
，
在中，，
，
在中，，，
，，
，
，
，
，
将代入得：，
点在反比例函数图象上．
当点在点的左边时，同理可得：，
此时点也在反比例函数图象上．
综上，点的坐标为或，均在反比例函数图象上．

26.【答案】【小题1】
解：根据题意得：第一象限内的抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线的函数表达式为，
将点代入得：，
解得：，
则第一象限内的抛物线对应的函数表达式为：；
【小题2】
解：根据题意，令，
解得：或
，抛物线开口向下，
当时，，
的取值范围为；
【小题3】
解：如图所示，作的平行线，使它与抛物线相切，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，
，
，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，
，
，
，
设直线的函数表达式为，
将点和代入得：
，
解得：
直线的函数表达式为，
，
设直线的函数表达式为，
联立直线与抛物线的函数表达式，
整理得：，
直线与抛物线相切，只有一个交点，
，
解得：，
直线的表达式为：，
令，则，
，
，
，
，
，
，
光线与抛物线水流之间的最小距离为米．

27.【答案】【小题1】
解：①如图，直线为所求；
②如图，、的面积和的面积相等，
故符合条件的格点有2个．
【小题2】
如图，，为所求．
方法一，如图：
方法二，如图：
方法三，如图：
，
【小题3】
解：①方法一：如图，连接、，过作交延长线于，过作交延长线于，取中点，连接即可；
方法二：如图，连接，过作交延长线于，取中点，连接，过作交于，连接即可；

②如图（同①方法二作图）：如图，连接，过作交延长线于，取中点，连接，过作交于，连接即可；
∵，
∴，
∴，即，
同理可得：，
∵是中点，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图，
设，
∵，
∴四边形、、是矩形，
∴，，，
，
则，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
由图可知：，
∴当是等腰三角形时，即，
∴，
解得
，不合题意舍去，
即：当是等腰三角形时，线段的长为.

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