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2025-2026学年河北省邯郸市广平实验中学等校九年级（下）巩固练习数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在标准大气压下，四种气体的沸点如下表所示，其中沸点最低的是（　　）
气体 沸点
氦气（He） -268.9℃
甲烷（CH4） -161.5℃
氮气（N2） -195.8℃
氩气（Ar） -185.7℃
A. 氦气 B. 甲烷 C. 氮气 D. 氩气
2.宇树科技UnitreeB2-W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线AB到达岸边.其中蕴含的数学原理是（　　）
A. 两点之间线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3.我国的北斗卫星导航系统已进入稳定运行和持续优化的阶段，其“中圆地球轨道卫星”运行在约21500公里高度的圆形轨道上.数据21500用科学记数法表示为（　　）
A. 215×102 B. 21.5×103 C. 2.15×104 D. 2.15×105
4.下列计算结果为a4的是（　　）
A. a3+a3 B. a a4 C. a8÷a4 D. a（a3+1）
5.如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形的主视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
6.若的结果是负数，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
7.如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从A地到B地.下列关系正确的是（　　）
甲：A→C→B，路程为s甲；
乙：A→D→E→B，路程为s乙.
A. s甲＞s乙 B. s甲=s乙 C. s甲＜s乙 D. s甲≥s乙
8.如图，在平面直角坐标系中，将点M，N，P，Q绕点O顺时针旋转90°后，能与点A，B，O组成平行四边形的是（　　）
A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q
9.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载绳索量竿问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.则下列说法不正确的是（　　）
A. 设竿的长度为x尺，可列方程为
B. 设绳索的长度为y尺，可列方程为
C. 设竿的长度为x尺，绳索的长度为y尺，可列方程组为
D. 竿的长度为20尺
10.嘉淇用4根木条制成了如图所示的放缩尺，其中AB∥OC，AD∥A′C，OD=AD=1，AB=A′B=2，将点O固定，在A处和A′处安装制图笔，当A处制图笔所画图形的面积为4时，A′处制图笔所画图形的面积是（　　）
A. 36 B. 16 C. 12 D. 8
11.若x1，x2是方程x2-10x-1=0的两个实数根，则代数式的值为（　　）
A. 11 B. 10 C. -9 D. 0
12.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=c,AC=b,BC=a,将△ABC沿某一个方向平移2个单位长度，记△ABC扫过的面积为S.关于结论①，②，下列判断正确的是（　　）
结论①：点A到BC的距离为；
结论②：S的最大值为
A. 只有①对
B. 只有②对
C. ①，②都对
D. ①，②都不对
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.的相反数是 .
14.小颖设计了两个可自由转动的如图所示的转盘A，B，用来做“配绿色”游戏（其中一个指针指向蓝色，另一个指针指向黄色即可配成绿色），同时转动两个转盘各一次，配得绿色的概率为 .
15.如图是平面内一束太阳光射到正六边形ABCDEF冰晶上发生折射时的部分截面光路图，正六边形冰晶的边长为4cm,BG=1cm,GH经过正六边形的中心点O，且GP⊥DE，则GH的长为 cm.
16.如图，△OAB和△BCD都是等边三角形，点A和BC上的点E都在双曲线上，点F在线段CE上，连接AF，OF.若△AOF的面积8，则k的值为 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
小河和小北计算的过程如下.
小河的解答
解：原式=…第一步
=-1-5…第二步
=-6…第三步 小北的解答
解：原式=3×（-3）-（4-9）…第一步
=-9-（-5）…第二步
=-4…第三步
（1）小河和小北的解题过程都出现了错误，小河是第______步开始出现错误，小北是第______步开始出现错误；
（2）请你正确计算该题.
18.(本小题9分)
在“趣味数学”社团活动上，小星设计了如图所示的卡片游戏，在卡片上写上式子，将相邻两张卡片上的式子的和告诉参与者.
（1）小芳参与了游戏，小星在卡片A，B，C上写了三个根式，让小芳判断哪张卡片上的根式最大，小芳将小星告诉她的相邻两张卡片上的根式的和简记如下：，，，则卡片______（填字母）上的根式最大；
（2）小冀也参与了游戏，小星在卡片A，B，C上写了三个整式.小冀将小星告诉他的相邻两张卡片上的整式的和简记如下：（B，C）=x2+4，（A，C）=x2+5x+1，小星还告诉小冀C卡片上写的整式为x2+2x+1.
①请你帮小冀求卡片A，B上写的整式；
②若卡片A，B上写的整式的和等于4，求x的值.
19.(本小题9分)
风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史.小明用6根竹条扎制成如图所示的风筝骨架，其中AB=AD=10cm,BD=BC=CD=16cm.
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）求竹条AC的长度.
20.(本小题9分)
生物小组想看豌豆荚中豆子粒数是否有规律，于是从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚进行豆子粒数的统计.
【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据.
【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：A类（0≤x＜2），B类（2≤x＜4），C类（4≤x＜6），D类（6≤x＜8），E类（8≤x＜10），并将数据绘制成如图所示的两个不完整的统计图.
（1）本次调查活动中随机抽取了______个豌豆荚，图中a=______；
（2）经检查，条形统计图中C类和D类的数据写反了，则正确豆子粒数数据的中位数落在______（填字母）类中，与写反的数据的中位数相比，正确的中位数______（填“＞”“＜”或“=”）错误的中位数；
（3）如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个，能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的结论？请说明理由.
21.(本小题9分)
如图1，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的铝块（重力为4N）分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，弹簧测力计A，B各自的示数F拉（N）与铝块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图2所示，当铝块没有接触到液体时，弹簧测力计A的读数为4N；当铝块刚好完全浸入液体中时，弹簧测力计A的读数为2.8N.（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
（1）图2中的a=______，b=______；
（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉关于x的函数解析式；
（3）物体浸在液体中的体积相同的情况下，液体的密度越大，浮力就越大，当铝块浸入液面后，F拉=铝块重力-F浮力.
①______（填甲或乙）种液体的密度更大；
②当甲、乙液体中的铝块受到的浮力都为0.6N时，求铝块在甲、乙液体中浸入的深度差.
22.(本小题9分)
【综合与实践】数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片ABCD（AB=10，AD=10）和一张正方形纸片GHMN（GH=10），要求同学们通过折叠，折出一些特殊角.
【操作与判断】
（1）如图1，小明将矩形纸片ABCD翻折，使点A的对应点A1落在边BC上，折痕为BO，此时折出的∠A1BO=______度；
（2）小刚受到小明折叠过程的启发，发现可以利用尺规作图找特殊的线段.如图2，在矩形纸片ABCD中，请你用尺规作图在边AB上取点T，使得BT=5，保留作图痕迹，不要求写作法；
（3）小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片ABCD按如图3所示的方式折叠，可得到∠ABC1=______度；
【探究与解决】
（4）如图4，小慧将正方形纸片GHMN的∠G沿过点H的直线翻折，点G的对应点落在正方形GHMN内部的点P处，折痕为HE，再将∠M沿过点H的直线翻折，使点M的对应点与点P重合，折痕为HF.
①此时可得到∠EHF=______度；
②若MF=3，求GE的长度.
23.(本小题9分)
如图1和图2，在菱形ABCD中，，点M在射线BD上运动，⊙O是△ABM的外接圆.
（1）如图1，当BM的长度为______时，圆心O落在边AB上；
（2）如图2，当边BC与⊙O相切时，切点为B，小明说：“此时劣弧与劣弧的长度相等.”请你判断小明的说法是否正确，并说明理由；
（3）延长AM交射线BC于点N.当△ABN是直角三角形时，求MN的长；
（4）点M在射线BD上运动的过程中，连接OC，请直接写出线段OC的最小值.
24.(本小题9分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y=ax2+bx+c（a＞0）经过点O和点A（3，3a）.
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2）将抛物线G沿x轴向右平移9个单位长度，得到抛物线G′，过点P（t,0）（t＞0）作x轴的垂线，交抛物线G于点M，交抛物线G′于点N.
①已知a=1.
I：当t=3时，求MN的长度；
II：若直线OM与抛物线G′只有一个公共点，求t的值；
②在点P从点O运动到点Q（m,0）（m＞0）的过程中，存在两个不同位置的P使得△MNO的面积相同，请直接写出m的最小整数值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】A
12.【答案】B
13.【答案】1
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】8
17.【答案】一;一
18.【答案】C ①A=3x；B=-2x+3；②x=1
19.【答案】在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）
20.【答案】100;14 C;＜ 不能，样本容量太小，样本不具有代表性，且两个样本容量不一样，没有可比性
21.【答案】4;2.8 F拉=-0.3x+5.8（6≤x≤10） ①乙；②1cm
22.【答案】45 45 ①45；②
23.【答案】4 小明的说法正确；理由如下：
设∠ABD=∠CBD=α，由圆周角定理可得∠AOM=2∠ABM=2α，
如图2，边BC与⊙O相切时，切点为B，连接OB，OA，OM，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBA=90°-∠ABD-∠CBD=90°-2α，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=90°-2α，
∴∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB=4α，
∴∠MOB=∠AOB-∠AOM=2α=∠AOM，
∴劣弧与劣弧的长度相等 当△ABN是直角三角形时，或3 线段OC的最小值为1
24.【答案】c=0，b=-2a ①I：MN=45；II：；②m的最小整数值为3
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