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2025-2026学年重庆市复旦中学教共体九年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.3的相反数是（　　）
A. -3 B. - C. 3 D.
2.2025年9月，中国新能源汽车累计销售量已突破400万辆，产销量连续10年位居全球第一.下列新能源汽车图标中是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.以下调查中，适合进行普查的是（　　）
A. 调查市场上某种品牌手机电池的使用寿命
B. 调查中央广播电视总台春节联欢晚会的收视率
C. 调查九年级某班全体学生的视力情况
D. 调查某市居民垃圾分类的情况
4.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C=55°，则∠AOB的度数为（　　）
A. 95°
B. 110°
C. 105°
D. 120°
5.用圆圈按如图所示的规律平移得到新的图形，其中第①个图案中有5个圆圈，第②个图案中有11个圆圈，第③个图案中有17个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中圆圈的个数为（　　）
A. 35 B. 41 C. 47 D. 53
6.将直线y=2x+1向右平移2个单位所得直线的表达式为（　　）
A. y=2x-1 B. y=2x-3 C. y=2x+3 D. y=2x+5
7.下列四个数中，最大的是（　　）
A. 3.24×106 B. 3.14×106 C. 3.24×107 D. 3.14×107
8.某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度生产零件182万个.设该厂生产零件平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是（　　）
A. 50（1+x）2=182 B. 50+50（1+x）+50（1+x）2=182
C. 50（1+x）+50（1+x）2=182 D. 50+50（1+x）=182
9.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC上一点，CE⊥BD交直线BD于点E，且∠AEB=45°，BE=6，，点F为BC的中点，连接EF，则EF的长为（　　）
A. B. C. D.
10.已知整式，其中n为正整数，a0，a1，a2， ，an-1为自然数，且a0+a1+ +an-1=5.下列说法：
①当n=4时，满足a0≥a1≥a2≥a3的整式Q共有5个；
②当n=3时，满足条件的所有整式Q的所有项的系数总和为120；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意数时，其值一定为非负数的整式Q共有3个.
其中正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.高速收费站推行ETC（电子不停车收费系统）可有效节约人工成本，提高道路通行效率.某高速收费站出口有通道1，通道2，通道3，通道4共四个ETC通道，所有车辆均可从四个通道中随机通过.甲车经过该收费站时，选择从通道2通过的概率是 .
12.如图，直线AB，CD相交于点O，∠1+∠2=86°，则∠2的度数为 .
13.若n为正整数，且满足，则n= .
14.若，则a= .
15.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD交AB于点M，点A是劣弧CD的中点，点E为⊙O过点B的切线上一点，连接CE，交⊙O于点F，点C恰为劣弧AF的中点，连接BD，若⊙O的直径为10，CD=8，则BD= ，BE= .
16.若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0）满足a+b+c=9，则称这个三位正整数为“天长数”.对于一个“天长数”m,将它的十位数字作为百位，百位数字作为个位，个位数字作为十位后得到新数n,记F（m）=m-n.例如：m=126满足1+2+6=9，则126为“天长数”，那么n=261，所以F（126）=126-261=-135.则F（423）= ；对于任意一个“天长数”m,若F（m）能被11整除，则满足条件的m的最大值是 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解不等式组：，并写出它的正整数解.
18.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC的延长线于点E.
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠ECM，使∠ECM=∠A，且射线CM交BE于点F（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）.
（2）求证：四边形CDBF是菱形.
证明：由（1）知∠ECF=∠A，
∴ ______.
∵BE∥DC，
∴四边形CDBF是平行四边形（______），
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴= ______.
∴平行四边形CDBF是菱形.
请进一步思考：若∠A=45°，则四边形CDBF是______.
19.(本小题10分)
某教育平台推出A，B两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了A，B两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为以下四个等级：不满意（60＜x≤70），比较满意（70＜x≤80），满意（80＜x≤90），非常满意（90＜x≤100），下面给出了部分信息：
抽取的对A款人工智能学习辅导软件的所有评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，94，95，98，98，99，100.
抽取的对B款人工智能学习辅导软件的评分中“满意”的数据：86，86，87，88，88，89，90.
A，B款人工智能学习辅导软件的所有评分统计表
软件 平均数 中位数 众数 方差
A 86 85.5 a 96.6
B 86 b 88 69.8
（1）填空：a=______，m=______，b=______.
（2）根据以上数据，你认为哪款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条即可）.
（3）本次调查中，有800名用户对A款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名名用户对B款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对A，B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数.
20.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中x=2-1-（2027-π）0-cos60°.
21.(本小题10分)
重庆中国三峡博物馆围绕馆藏的战国青铜鸟形尊文物，开发了多款兼具文化内涵与实用性的文创商品.该系列文创商品将鸟形尊憨态可掬的形态进行卡通化复原，其造型可爱、颜色醒目，深受年轻人喜爱.其中鸟形尊冰箱贴和鸟形尊纸艺书签销售火爆.已知一个鸟形尊冰箱贴的售价比一个鸟形尊纸艺书签售价高16元，且购买三个鸟形尊冰箱贴和两个鸟形尊纸艺书签共需108元.
（1）求一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价各是多少元？
（2）五一节促销期间，鸟形尊冰箱贴每个降价2m元，鸟形尊纸艺书签每个降价m元，促销后鸟形尊冰箱贴总销售额为3300元，鸟形尊纸艺书签总销售额为900元，且鸟形尊冰箱贴的销量比纸艺书签多50%，求m的值.
22.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，点P从点B出发，沿折线B-C-A运动，当它到达点A时停止，设点P运动的路程为x,点Q是射线CA上一点，，连接BQ，设y1=S△CBQ，y2=S△ABP.
（1）求出y1，y2与x的函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）在直角坐标系内画出y1，y2函数图象，结合y1和y2的函数图象，并描述出y1，y2图象的一条性质；
（3）当y1＜y2时，求出x的取值范围（精确到0.1）.
23.(本小题10分)
某物流调度中心开展无人机配送航线巡检任务.如图，A处是调度中心，位于B处正北方向7千米处；C处是配送枢纽，在B处正东方向；D处是信号点，在A处南偏东60°方向6千米处，且在C处的东北方向.（参考数据：，，
（1）求B，C间的距离（结果保留根号）；
（2）甲，乙两架巡检无人机同时出发.甲从D处沿某方向匀速飞行，乙从A处沿正南方向匀速飞行，甲的速度与乙的速度之比为3：2.两人在AB上某处相遇，相遇时乙共飞行了多少千米？（结果保留小数点后一位）
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-8（a≠0）分别交x轴于A（-4，0），B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接AC，BC，抛物线的对称轴是直线x=-1.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是线段AC下方抛物线上的一动点，过点P作PD∥x轴交直线AC于点D，过点P作PE∥BC交直线AC于点E，点M，N为直线BC上的动点，点M在点N的右侧且.当△PDE的面积取得最大值时，求P的坐标及此时|AM-PN|的最大值；
（3）在（2）中当△PDE的面积取得最大值时，将抛物线y=ax2+bx-8（a≠0）沿射线CB方向平移个单位长度得到抛物线y′，连接OP，与线段AC交于点F，点Q为抛物线y′上的一动点.若G（-1，0）且满足∠PFC+∠QGB=90°+∠BCO，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程.
25.(本小题10分)
已知△ABC为等边三角形，P是平面内的一个动点.
（1）如图1，点P在△ABC内部，连接AP并延长交BC于点D，连接BP并延长交AC于点E；若BD=CE，求∠APB的度数；
（2）如图2，点P在△ABC外部，连接CP，点D为线段CP中垂线上一点，连接DP、DC、DA、BP，E为BP中点，连接AE、DE；若∠ACD+∠CBP-∠DPB=60°，求证；
（3）如图3，点P在△ABC外部，∠APC=135°，将△ABC沿着AC翻折，得到△AB′C，连接B′P，M为线段AP上一点，且，连接B′M；若AB=6，当线段B′P的长取最小值时，直接写出△AB′M的面积.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】43°
13.【答案】5
14.【答案】20
15.【答案】4

16.【答案】189
711

17.【答案】，则它的正整数解为1．
18.【答案】见解答．
CF∥AB；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；BD；正方形．
19.【答案】85;25;86.5 B款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎，理由如下：B款人工智能学习辅导软件使用满意度评分的中位数为86.5，高于4款人工智能学习辅导软件使用满意度评分的中位数85.5，所以B款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎 估算满意的用户人数为490人
20.【答案】，-2．
21.【答案】一个鸟形尊纸艺书签的售价为12元，一个鸟形尊冰箱贴的售价为28元；
m=3．
22.【答案】， y1，y2函数图象如图所示：
当0＜x＜7时，y1随x的增大而减小；当0＜x≤4时，y2随x的增大而增大；当4＜x≤7时，y2随x的增大而减小．（答案不唯一） x的取值范围是
23.【答案】B与C之间的距离为1.2千米 当两人相遇时，乙一共跑了3.7千米
24.【答案】y=x2+2x-8 P（-2，-8），|AM-PN|的最大值为5 点Q的坐标为或（1，-4）
25.【答案】（1）解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠BAP+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°，
∴∠APB=180°-（∠BAP+∠ABP）=180°-60°=120°；
（2）证明：延长DE至N，使EN=DE，连接AN，BN，
∵E为BP中点，
∴BE=EP，
又∵∠BEN=∠DEP，
∴△BENE≌△PED（SAS），
∴BN=DP，∠PBN=∠DPB，
∵D在CP中垂线上，
∴DP=CD，
∴BN=CD，
∵∠CBP-∠DPB=∠CBP-∠PBN=∠NBC，∠ACD+∠CBP-∠DBP=60°，
∴∠ACD+∠NBC=60°，
∵∠NBC+∠ABN=∠ABC=60°，
∴∠ACD=∠ABN，
∵BN=CD，AB=AC，
∴△ABN≌△ACD（SAS），
∴∠BAN=∠CAD，AN=AD，
∴∠BAC=∠NAC=60°，
∴△ADN为等边三角形，
∵DE=EN，
∴AE⊥DN，
∵∠ADE=60°，
∴∠DAE=30°
∴AD=2DE，
∴；
（3）解：作△APC的外心O连OA、OC、OP、OB′，
∴∠OPC=∠OCP，∠OAP=∠OPA，
∴∠OAP+∠APC+∠OCP=∠OPA+∠OPC+∠APC=2∠APC=270°，
∴∠AOC=360°-∠OAP-∠APC-∠OCP=90°，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴，
∴为定值 又O为定点，B为定点，
∴OB为定长，
由两点之间线段最短知OP+B′P≥OB′，
即B′P≥OB′-OP，当O、B′、P在一条直线时B′P有最小值，
设OB′交AC于Q由折叠知AB′=AB=BC=B′C，
又OB′=OB′，OA=OC，
∴△OAB′≌△OCB′（SSS），
∴，
∵OA=OC，
∴OQ垂直平分AC，
∴AQ=3=QC，
又∵∠AOC=90°，
∴OQ=AQ=3，
∴，
∴．
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
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