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2025-2026学年重庆市杨家坪中学教共体九年级（下）第一次学情监测数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，最小的数是（　　）
A. -1 B. -3 C. D. 0
2.下列四个艺术字中，是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列调查中，最适合采用全面调查的是（　　）
A. 调查2026年春节联欢晚会的收视率
B. 采访某晚点4小时的春运列车上乘客们的心情
C. 检测国产大飞机C919的零部件质量情况
D. 调查某批奥迪汽车的抗撞击能力
4.如图，△ABC的顶点在⊙O上，AB是直径，点D在⊙O上，∠BAD=48°，则∠ACD的度数是（　　）
A. 52°
B. 48°
C. 42°
D. 38°
5.如图，下列图形是由相同大小的正方形和圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形中有4个圆，第②个图形中有7个圆，第③个图形中有10个圆，…按此规律，则第⑦个图形中圆的个数为（　　）
A. 19 B. 22 C. 25 D. 28
6.若点A（x1，-2），B（x2，1），C（x3，2）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A. x3＜x2＜x1 B. x2＜x3＜x1 C. x1＜x3＜x2 D. x1＜x2＜x3
7.根据国家统计局2026年1月19日发布的官方数据：2025年全国新出生人口约792万人，进一步加剧了中国社会的老龄化.请将792万用科学记数法表示为（　　）
A. 79.2×105 B. 792×104 C. 7.92×104 D. 7.92×106
8.2025年中国建成全球最大碳纤维生产基地，实现了碳纤维国产化，碳纤维的价格由2250元/公斤经过连续两次降价后，价格为360元/公斤，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　）
A. 60% B. 50% C. 40% D. 30%
9.如图AD在菱形ABCD中，AB=5，BD=6，点P在对角线BD上，且PD=2.作△ADP关于直线AP对称的△AQP，延长PQ交BC于点M，则PM的长为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.已知整式M=a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n,an为正整数，a0，a1，a2，…，an-1为非负整数.下列说法：
①若a0+a1+a2+…+an=2，则当n=3时，满足条件的整式M共有4个；
②若a0+a1+a2+…+an+a0a1a2…an=3，则当n≤2时，满足条件的整式M共有7个；
③若a0＜a1＜a2＜…＜an≤20，且an-an-1≥3，则当n≥4且a4=6a1时，满足条件的整式M共有28个.
其中正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.将标有“杨”，“中”，“学”，“子”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标注一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同.从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字一个是“中”一个是“子”的概率是 .
12.如图，直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB，CD交于点E和F，EP平分∠AEF交直线CD于点P.若∠EPF=58°，则∠EFP的度数为 .
13.已知整数m满足，则整数m的值为 .
14.已知|x|-y=-2，且|y|+x=6，则xy的值为 .
15.如图，AB为⊙O的直径；弦CD⊥AB于点M，且AM：BM=9：16，CD=6，连接BD，以BD为边作菱形BDEF，点E恰好落在弦CD上，连接DF交AB于点N，则AB= ，DN= .
16.一个四位自然数（其中a,b,c,d为整数，且1≤a,b,c,d≤9），若满足a+d=b+c=12，则称这个四位数为“十二和数”.例如：四位数3579，因3+9=5+7=12，所以3579是“十二和数”.已知某个“十二和数”的十位数字为5，百位数字比千位数字小2，则这个“十二和数”是 ；一个“十二和数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新数N，记.若与均为整数，则满足条件的M的最大值与最小值的差为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
求不等式组：的所有整数解.
18.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接AE.
（1）用尺规完成基本作图：作∠BCF=∠EAD，交线段BD于点F，连接AF，CE（不写作法，保留作图痕迹）.
（2）在（1）的条件下，求证：四边形AFCE是平行四边形，请根据以下思路完成填空：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴①______，
在△CFB和△AED中，
，
∴△CFB≌△AED（ASA），
∴②______，∠BFC=∠DEA，
∵∠BFC+∠CFE=180°，③______，
∴∠AEF=∠CFE，
∴④______，
∴四边形AFCE是平行四边形.
19.(本小题10分)
【问题背景】有关研究表明，维生素C（学名：抗坏血酸）对豚鼠牙齿生长有一定的影响.生物课上，老师带领同学们对此项结论进行探究，随机选出相同品种的豚鼠共40只，平均分为两组，每天分别喂食0.5mg和1.0mg剂量的维生素C，在一定时间后测量豚鼠牙齿的生长情况.
【实践发现】一周后，同学们对两组豚鼠的牙齿生长长度进行了测量（牙齿生长长度用x表示，单位为毫米，分为四组：A.5≤x＜10；B.10≤x＜15；C.15≤x＜20；D.20≤x≤25；）下面给出部分信息：
0.5mg剂量组中豚鼠牙齿生长长度在B区间的数据为：10，10，11，12，12，12，13，14，14.
1.0mg剂量组中豚鼠牙齿生长长度的数据为：6，7，7，8，8，12，12，12，12，13，13，13，14，14，15，17，17，21，23，25.
【实践探究】
两种剂量组中豚鼠牙齿生长长度统计表
剂量 0.5mg 1.0mg
平均数 12 13.45
中位数 a 13
众数 12 b
【问题解决】
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a=______，b=______，m=______；
（2）请判断哪种剂量更适合豚鼠牙齿的生长，并说明理由；（写出一条理由即可）
（3）若养殖基地准备按0.5mg和1.0mg的剂量分别投喂1000和1500只豚鼠，并在一周后，对牙齿生长长度低于10mm的豚鼠再进行加大剂量投喂，请估计大概有多少只豚鼠需要加大剂量投喂？
20.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中a=2-1-（2026-π）0.
21.(本小题10分)
列方程（组）解决下面问题
修正带是学生常用的一种学习用品，因其修改书写错误方便，受到学生的欢迎.
（1）某修正带由一个外壳和两个齿轮构成，某文具厂一个工人每天可生产2000个外壳或生产8000个齿轮，现打算安排30名工人生产修正带，如何安排使每天生产的修正带外壳和齿轮数量恰好配套？
（2）阳光文具店打算向厂家购进A牌和B牌两种修正带，每个A牌修正带比B牌修正带便宜0.5元，用1800元购进A牌修正带的数量，比用1500元购进B牌修正带的数量多60%，求每个B牌修正带的价格？
22.(本小题10分)
如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点E、F以相同的速度同时从点A出发，点E沿A→C运动，点F沿A→D→C运动，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止运动.连接BE、CF，用x表示点E运动的路程（0＜x＜5），S表示矩形ABCD的面积，S1表示△ABE的面积，设表示△AFC的面积.
（1）直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）请直接写出y1=y2时x的值（保留一位小数；误差不超过0.2）.
23.(本小题10分)
为弘扬志愿服务精神，传承红色基因，南开中学的志愿者们积极行动，通过清理社区周边垃圾、宣讲环保知识，将红岩精神融入实践.如图，是某社区的平面勘测图，B在A的北偏东30°方向，AB=2千米，C在B的正东方向，BC=3千米，D在C的东南方向，且D在A的正东方向.
（参考数据：，）
（1）求CD的长度；（结果保留小数点后一位）
（2）小渝和小沙作为志愿者，同时从A地出发，小渝沿路线A-B-C前往C地，小沙沿路线A-D-C前往C地，已知小渝与小沙的速度之比为3：4，出发0.6小时后小渝在由B到C的途中恰好位于小沙的西北方向.求小渝从A地出发多少时间后到达C地（结果保留小数点后一位）.
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A（4，0），B两点，交y轴于点C，且OA=OC.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P是直线AC上方该抛物线上的一动点，连接PB交AC于点D，点E是直线BC上一动点，连接PE.当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线y沿射线BP方向平移个单位长度得到抛物线y′，G是OA的中点，M是抛物线y′对称轴上纵坐标为1的点，N是抛物线y′上一动点.若∠MGN=∠BCO+∠CAP，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.
25.(本小题10分)
过线段AB的端点B作射线l,使得射线l⊥AB.点C是射线l上一动点，连接AC将AC绕点A逆时针旋转至AD的位置，旋转角为α.
（1）如图1，当α=90°时，过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点E，连接CD.若BC=1，DE=2，求CD的长；
（2）如图2，当α=60°时，点F是BC延长线上一点，CF=2BC，连接DF.G是AB上一点，连接CG.若∠ACG+60°=∠ADF，求证：；
（3）如图3，当α=60°时，作点A关于射线l的对称点A′，连接A′D交射线l于点H.取DH的中点K，连接CK，直线AC与直线A′D相交于点P.当△CHK是等腰三角形时，直接写出此时的值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】64°
13.【答案】3
14.【答案】16
15.【答案】

16.【答案】9753
3087

17.【答案】0，1，2，3．
18.【答案】如图，∠BCF即为所求； ∠ ADB=∠CBF;CF=AE;∠AED+∠AEB=180°;AE∥CF
19.【答案】12;12;15 1.0 mg剂量更适合豚鼠牙齿的生长，理由见解析 估计大概有675只豚鼠需要加大剂量投喂
20.【答案】，．
21.【答案】安排20名工人生产外壳，10名工人生产齿轮，才能使每天生产的修正带外壳和齿轮数量恰好配套；
每个B牌修正带的价格是2元．
22.【答案】， 函数y1，y2的图象，如图3即为所求；
性质：y1随x的增大而增大；当0＜x＜4时，y2随x的增大而增大，当4≤x＜5时，y2随x的增大而减小 y1=y2时x的值为2.6
23.【答案】2.5千米 1.4小时
24.【答案】y=-+x+4 点P的坐标为（2，4）；的最小值为4 符合条件的点N的坐标为（6，8）或（10，-4）．
过点P作PG⊥AB于点G，如图，
∵P（2，4），
∴OG=2，PG=4，
∴BG=4，
∴BP==4，
∵将该抛物线y沿射线BP方向平移个单位长度，
∴该抛物线y先向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度，
∵y=-+x+4=-+，
∴抛物线y′=-，
①当NG在x轴上方时，过点P作PG⊥AB于点G，作出新抛物线的对称轴FK，设NG交对称轴于点F，如图，
∴新抛物线的对称轴为直线x=5，
∵M是抛物线y′对称轴上纵坐标为1的点，
∴M（5，1），
∴OK=5，MK=1，
∴KG=OK-OG=3，
∴GM==，
∵OC=PG=4，PG∥OC，
∴四边形OGPC为矩形，
∴PC∥OA，
∵G是OA的中点，
∴AG=2，
设AC，PG交于点E，
在△CPE和△AGE中，
，
∴△CPE≌△AGE（AAS），
∴PE=EG=PG=2，
∴EG=AG=2，
∴△AGE为等腰直角三角形，
∴∠AEG=45°．
在△COB和△PGA中，
，
∴△COB≌△PGA（SAS），
∴∠BCO=∠APG，
∴∠BCO+∠CAP=∠APG+∠CAP=∠AEG=45°，
∵∠MGN=∠BCO+∠CAP，
∴∠MGN=45°，
过点M作MH⊥NG于点H，则△MGH为等腰直角三角形，
∴MH=GH=GM=，
设FH=x，FM=y，
∵∠MFH=∠GFK，∠FHM=∠FKG=90°，
∴△MFH∽△GFK，
∴，
∴，
∴，
∴FM=5，
∴FK=FM+MK=6，
∴F（5，6），
设直线GF的解析式为y=kx+n，
∴，
∴，
∴直线GF的解析式为y=2x-4，
∴，
解得：（不合题意，舍去）或，
∴N（6，8）．
②当NG在x轴下方时，如图，
类比①的解法求得F（5，-），
可求直线NG的解析式为y=x+1，
∴，
解得：（不合题意，舍去）或．
∴N（10，-4）．
综上，符合条件的点N的坐标为（6，8）或（10，-4）
25.【答案】 证明见解析 或
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