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北京市第六十五中学2025-2026学年度下学期3月学情自测九年级数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）
A. 五棱柱 B. 圆柱 C. 长方体 D. 五棱锥
2.北京冬奥会期间，共有近1.9万名赛会志愿者和20余万人次城市志愿者参与服务，他们默默奉献并积极传递正能量，共同用实际行动生动地诠释了“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神. 将1.9万用科学记数法表示应为（）
A. B. C. D.
3.如图，已知，那么∠4的度数为（ ）
A. B. C. D.
4.从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率是（　　）
A. B. C. D.
5.如图，直线，直线与分别交于点，过点作于点．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
6.已知a、b表示如表第一行中两个相邻的数，且a＜＜b，那么a的值是（　　）
x 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4
x2 9 9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21 16
A. 3.5 B. 3.6 C. 3.7 D. 3.8
7.如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则AB两地之间的距离约为（　　）
A. 1000sinα米 B. 1000tanα米 C. 米 D. 米
8.如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点B，点A在第一象限，C为斜边上一点，且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点C是的中点；④k的值是2．其中正确结论有（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④
二、填空题：本题共8小题，共18分。
9.若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10.分解因式： ．
11.某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是 ．
甲 乙 丙 丁
7 8 8 7
s2 1 1.2 0.9 1.8
12.图1为一个装有液体的圆底烧瓶(厚度忽略不计)，侧面示意图如图2，其液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为 ．
13.如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．
14.如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的面积是100，则四边形的面积为 ．
15.如图，下面是“作一个，使得”的尺规作图方法．
（1）作一条线段；
（2）以为圆心，长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧在线段上方交于点；
（3）连接，，则．
上述判定的依据是 ．
16.某互联网公司计划将广告预算分配给甲、乙、丙、丁四个推广渠道．当向一个渠道投入万元广告费时，公司从该渠道获得的新增用户量（单位：千人）与的对应关系如下：
投入n（万元）渠道 1 2 3 4 5 6
甲 50 75
乙 35 59 80 95 105 110
丙 25 45 60 70 78 84
丁 20 43 64 80 92 100
(1) 如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向 渠道投入2万元（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）；
(2) 如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为 千人．
三、计算题：本大题共2小题，共8分。
17.计算：．
18.解不等式组，并写出它的所有整数解．
四、解答题：本题共10小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
已知，求代数式的值．
20.(本小题5分)
小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗 小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为，从宜昌到荆州的速度约为．从奉节到荆州的水上距离约为．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多．根据小刚的假设，回答下列问题：
(1) 奉节到宜昌的水上距离是多少？
(2) 李白能在一日（）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由．
21.(本小题5分)
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象的一个交点为．
(1) 求一次函数的表达式；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出的取值范围．
22.(本小题5分)
如图，在中，，延长至，使得，过点，分别作，，与交于点，连接．
(1) 求证：四边形是矩形；
(2) 连接，若，，求的长．
23.(本小题7分)
为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下图是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图．
(1) ①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是______分，他两次活动的平均成绩是______分；②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“○”圈出代表乙的点；
(2) 为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，A，B，C三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成6组：，，，，，）：

已知这三人中只有一人正确作出了统计图，则作图正确的是 ．
(3) 假设有400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为 ．
24.(本小题5分)
如图，过外一点作的切线，切点为点，为的直径，点为上一点，且，连接，，线段交直径于点，交于点，连接．
(1) 求证：；
(2) 若，，求半径的长．
25.(本小题7分)
某农科所的科研小组在同一果园研究了甲、乙两种果树的生长规律．记果树的生长时间为（单位：年），甲种果树的平均高度为（单位：米），乙种果树的平均高度为（单位：米）．记录的部分数据如下：
x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
1.00 2.50 5.00 7.50 9.00 9.64 9.87 9.95 9.98 10.00 10.00
1.50 4.24 5.67 5.95 5.99 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
(1) 可以用函数刻画与，与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象；
(2) 当甲种果树的平均高度达到8.00米时，生长时间约为 年（结果保留小数点后一位）；当乙种果树的平均高度为5.00米时，两年后平均高度约为 米（结果保留小数点后两位）；
(3) 当甲、乙两种果树的平均高度相等时，生长时间约为 年（结果保留小数点后一位）．
26.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为点和点B．
(1) 用含a的式子表示b；
(2) 求抛物线的对称轴和点B的坐标；
(3) 分别过点和点作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．
①当时，求的最小值；
②若存在实数t，使得，直接写出a的取值范围．
27.(本小题5分)
在中，，．D为边BC上一动点，点E在边AC上，．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF．
(1) 如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；
(2) 如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦，给出如下定义：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，若点在弦上，且不与点，重合，则称点是弦“伴随点”．
(1) 如图，点，，在点，，中，弦的“伴随点”是 ；
(2) 已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“伴随点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围；
(3) 已知点．对于线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，将点对应的弦的长度的最小值记为，直接写出的最大值及的取值范围．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】x≠3
10.【答案】
11.【答案】丙
12.【答案】10
13.【答案】
14.【答案】16
15.【答案】三边分别相等的两个三角形全等（）
16.【答案】【小题1】
甲
【小题2】
180

17.【答案】解：原式=
=3.

18.【答案】解：
由第一个不等式得2x+2≤5x+8，
解得x≥-2，
由第二个得4x-10＜x-1
解得x＜3
∴不等式组的解集为-2≤x＜3，
它的整数解为-2、-1、0、1、2．

19.【答案】解：
=+
=+
=，
∵x-3y-2=0，
∴x-3y=2，
∴原式==3．
20.【答案】【小题1】
设奉节到宜昌的水上距离是．
根据题意得：，解得．
答：奉节到宜昌的水上距离为．
【小题2】
∵，
∴李白不能在一日之内从白帝城到达江陵．

21.【答案】【小题1】
解：把代入得：
∴，解得：，
∴点，
把点代入得：
，解得：，
∴一次函数的表达式为；
【小题2】
解：如图，
对于，
当时，，
把，代入得：
，解得：，
对于，
当时，，
把，代入得：
，解得：，
观察图象得：当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，的取值范围为．

22.【答案】【小题1】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形．
【小题2】
∵在中，，，
∴设，，
∴，
∴，
在中，，，
∵，
∴，
解得，，
∴．

23.【答案】【小题1】
解：①由统计图可以看出横坐标为85的直线上只有一个点，其纵坐标为90，因此这两次的平均分是（85+90）÷=87.5（分）．
故答案为：90，87.5．
②如图所示，符合题目要求的范围在直线x=80的左边，直线y=90以上，在图中圈出的就是所求．（答案不唯一）

【小题2】
B
【小题3】
180

24.【答案】【小题1】
证明：为的切线，
．
．
为的直径，
．
．
，
．
．
又，
．
．
【小题2】
连接．
为的切线，
．
，．
，
．
．
．
设，则．
在中，
，，
．
为直径，
．
，，
．
．
在中，
，
．
，
．
解得．
．
半径的长为．

25.【答案】【小题1】
解：如图，根据对应和的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可．
【小题2】

/（答案不唯一）
/（答案不唯一）
【小题3】
/（答案不唯一）

26.【答案】【小题1】
解：把点代入得：
，
；
【小题2】
解：由（1）知抛物线为，
抛物线的对称轴为直线，
而关于直线的对称点是，
由抛物线对称性得：点坐标；
【小题3】
解：①如图：
当时，，
抛物线与轴交点坐标为，，与轴交点坐标为，顶点坐标为，
由图象知：当图象为对称图形时有最小值，
又，，，
，
，
过点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点，
，，
顶点坐标为，
的最小值为；
②点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点，
由（1）知抛物线为，
，，，
又抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，
根据、点的相对位置和抛物线的开口方向可分以下四种情况讨论的取值：
（Ⅰ）当，且时，即图象在对称轴左侧时，
此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，
，
解得，
又，，
且，
；
（Ⅱ）当，且时，即图象在对称轴右侧时，
此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，
，
解得，
又，，
且，
，
（Ⅲ）当，且时，即最低点是抛物线顶点且点纵坐标大时，
此时，，
，
解得，
又，，
，
，
；
（Ⅳ）当，且时，即最低点是抛物线顶点时且点纵坐标大，
此时，，
，
解得，
又，，
，
，
综上所述，当时，，
同理可得：当时，也符合条件，
的取值范围为或．

27.【答案】【小题1】
解：，．理由如下：
由题意知三点重合
∴，
∵
∴，
∵
∴
∴为线段的中点
∵是中点
∴是的中位线
∴，
∴
∴．
【小题2】
解：，的关系仍成立．
证明：如图2，连接，作于，轴，过作交于，交于，
由题意知，是的中位线，，是等边三角形，四边形是矩形，设，
∴，，，，，，，，，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
∴
∵
∴
∴．

28.【答案】【小题1】

【小题2】
解：的弦，的半径为．
∴是等边三角形，
设
则
∴在的圆环内
如图，将圆环向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以为圆心的圆环，设分别和圆环交于，
则点是弦的“伴随点”在圆环内部，不包括圆弧外边界（根据定义不和端点重合），
由于与轴的夹角为
∴的横坐标为，的横坐标为，
同理可得的横坐标为，的横坐标为
∴或
【小题3】
解：如图，将向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以为圆心的圆，设为的对应弦，
线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，则为的圆环内的弦，
当经过的的切点时，取得最小值，
当为半径为的切点时，即的中点时，取得最大值，
∵点在上，
∴的最大值为
∴,
∴的最大值为
∴，
∵，,
即是线段上的点，当重合时取得最小值，当重合时取得最大值，而不包括端点，则不能取等于号，
∴

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