资源简介

2026年广东省中山市华侨中学校中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分）
A．
1．（3分）2026的相反数是（ ）
A．﹣2026 B．2026 C． D．
B．
2．（3分）下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（ ）
C．
A． B．
D．
7．（3分）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不
C． D．
足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出 钱，会多出 4钱；每人出 钱，又差了
3．（3分）下列各数中，是无理数的为（ ）
3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为 x，琎价为 y，则可列方程组为（ ）
A．﹣1 B．3.33333 C． D．3.14
4．（3分）将含 45°角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线 m上，其中一个锐角顶点在直线 n上．若 A． B．
m∥n，∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
C． D．
8．（3分）已知二次函数 y＝x2﹣2x+m（m为常数，且 m＞0）的图象上有三点 A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，
y3），则 y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3
9．（3分）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是 10cm，当重物上升 6πcm时滑轮的一条半径 OA绕轴心 O
A．30° B．45° C．60° D．75°
按逆时针方向旋转的角度约为（ ）
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m2 m3＝m5 B．m6÷m2＝m3 C．2m+3n＝5mn D．（m2）3＝m5
6．（3分）如图是由 5个小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A．36° B．54° C．72° D．108°
10．（3分）如图，四边形 ABCD是正方形，点 E是线段 BC上的动点，以 BE为边作正方形 BEFG，连接 AF，M
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为 AF的中点，且 AB＝4，则线段 EM的最小值是（ ）
17．（7分）解分式方程： ．
A．1 B． C． D．2
二.填空题（共 5小题，每小题 3分，共 15分）
11．（3分）计算：4cos30°+（3.14﹣π）0＝ ．
12．（3分）（2024 湖北）计算 的结果是 ． 18．（7分）如图，在平行四边形 ABCD中，已知 AD＞AB．
13．（3分）（2026 泸县校级一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若 ，则△DOE与△BOC的面积之比 （1）尺规作图：作∠BAD的平分线交 BC于点 E，在 AD上截取 AF＝AB，连接 EF；（保留作图痕迹，不写作
法）
为 ．
（2）求证：四边形 ABEF是菱形．
14．（3分）若 x1，x2是一元二次方程 x2﹣2x﹣8＝0的两个实数根，则 ．
15．（3分）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝2，将 Rt△ABC绕点 C顺时针旋转 90°后
得到 Rt△DEC，点 B经过的路径为 BE，将线段 AB绕点 A顺时针旋转 60°后，点 B恰好落在 CE上的点 F处，
点 B经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积是 ．
三.解答题（本大题共 3小题，每小题 7分，共 21分）
16．（7分）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（b+2a），其中 a＝﹣2，b＝1．
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俯角∠DPA为 16°；再将无人机从点 P处向右沿水平方向飞行 60m至点 D，然
后沿垂直方向上升 20m至点 Q，此时测得书圣阁的端 A的俯角∠EQA＝45°．
四.解答题（本大题共 3小题，每小题 9分，共 27分）
测量示意
19．（9分）“爱你老己”是 2025年底流行的网络热梗，“爱你老己”是“爱你自己”的意思，称自己为“老己”，
图
仿佛在与一位相识多年的老朋友对话，亲切又幽默．九年级学生小明选用材质、颜色、大小均相同的四张卡片，
分别将“爱”、“你”、“老”、“己”四个字书写在上面，并背面朝上反扣在桌上．
（1）小明随机在四张卡片中抽取一张，求小明抽取到写有“爱”字卡片的概率．
（2）小明随机在四张卡片中抽取两张，请用树状图或者表格分析，能凑成“老己”这个词的概率．
请求出书圣阁的高度 AB．（结果保留整数，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
20．（9分）某品牌头盔 4月份销量是 150个，6月份销量是 216个，且从 4月份到 6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）此种头盔的进价为 30元/个，当售价为 40元/个时，月销售量为 600个，若在此基础上售价每上涨 1元/
个，则月销售量将减少 5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？
21．（9分）某校数学“综合与实践”小组在测量当地建筑书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告：
测量对象 书圣阁 五.解答题（本大题共 2小题，第 22小题 13分，第 23小题 14分，共 27分）
测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 22．（13分）定义：在钝角三角形中，若钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与 90度的和，则称这个钝角三角
测量工具 无人机 形为妙趣三角形，这个锐角叫做妙趣角．例如，如图 1，△ABC是妙趣三角形，∠C是妙趣角．若∠B＝130°，
测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）： 则∠C＝∠B﹣90°＝40°．
先将无人机从地面的点 C处垂直上升 90.7m至点 P，此时测得书圣阁的顶端 A的 【概念理解】
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（1）当妙趣三角形是等腰三角形时，妙趣角的度数为 ； 23．（14分）如图，抛物线 与 x轴交于 A，B两点（点 A在点 B左侧），与 y轴交于点 C．
【性质探究】
（1）如图 1，一次函数 的图象与坐标轴分别交于点 M，N．点 P是抛物线上的一个动点，过点 P
（2）如图 2，数学兴趣小组发现，当△ABC是妙趣三角形，∠B是钝角，∠A是妙趣角时，存在 的
作直线 MN的垂线段，垂足为 Q，求 PQ的最小值；
结论，请你证明这个结论；
（2）如图 2，D是直线 BC上方抛物线上一动点，作 DF⊥AB垂足为点 F，交 BC于点 E，连接 CD，是否存
【拓展应用】
在点 D，使△CDE是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图 3，AB是⊙O的直径，点 C，D是圆上的两点，弦 CD与 AB交于点 E，连接 AD，BD，△ACE和
（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 OE，将线段 OE绕点 O按顺时针方向旋转 90°得到线段 OG，连接 AG
△BCD都是妙趣三角形，且∠CAE、∠DCB分别为妙趣角，求 的值． ，求线段 AG的最小值．
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18．（7分）如图，在平行四边形 ABCD中，已知 AD＞AB．
2026年广东省中山市华侨中学校中考数学一模试卷 （1）尺规作图：作∠BAD的平分线交 BC于点 E，在 AD上截取 AF＝AB，连接 EF；（保留作图痕迹，不写作
法）
参考答案与试题解析
（2）求证：四边形 ABEF是菱形．
一．选择题（共 10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C D A B B A D B
（1）解：如图，射线 AE，线段 AF即为所求．
二.填空题（共 5小题，每小题 3分，共 15分）
11．2 1．
12．1．
13.1：9．
14． ．
15 （2）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，． ．
∴AD∥BC，
三.解答题（本大题共 3小题，每小题 7分，共 21分）
∴∠DAE＝∠AEB，
16．（7分）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（b+2a），其中 a＝﹣2，b＝1．
2 ∵AE平分∠BAD，解：（2a+b） ﹣（b﹣2a）（b+2a）
2 ∴∠BAE＝∠DAE，＝4a +4ab+b2﹣b2+4a2
2 ∴∠BAE＝∠AEB，＝8a +4ab，
∴AB＝BE，
当 a＝﹣2，b＝1时，原式＝8×（﹣2）2+4×（﹣2）×1＝8×4+（﹣8）＝32﹣8＝24．
∵AF＝AB，
17．（7分）解分式方程： ．
∴AF＝AE，
解： ， ∵AF∥BE，
方程两边同时乘 3（x+2），得 3x﹣3（x+2）＝x﹣4， ∴四边形 ABEF是平行四边形，
去括号，得 3x﹣3x﹣6＝x﹣4， ∵AB＝AF，
解得：x＝﹣2， ∴四边形 ABEF是菱形．
检验：把 x＝﹣2代入 3（x+2）＝0， 四.解答题（本大题共 3小题，每小题 9分，共 27分）
∴x＝﹣2是原分式方程的增根， 19．（9分）“爱你老己”是 2025年底流行的网络热梗，“爱你老己”是“爱你自己”的意思，称自己为“老己”，
∴原分式方程无解． 仿佛在与一位相识多年的老朋友对话，亲切又幽默．九年级学生小明选用材质、颜色、大小均相同的四张卡片，
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分别将“爱”、“你”、“老”、“己”四个字书写在上面，并背面朝上反扣在桌上． 测量对象 书圣阁
（1）小明随机在四张卡片中抽取一张，求小明抽取到写有“爱”字卡片的概率． 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题
（2）小明随机在四张卡片中抽取两张，请用树状图或者表格分析，能凑成“老己”这个词的概率．
测量工具 无人机
（1） ；
测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）：
（2） ． 先将无人机从地面的点 C处垂直上升 90.7m至点 P，此时测得书圣阁的顶端 A的
（2）根据题意，列出表格，如下： 俯角∠DPA为 16°；再将无人机从点 P处向右沿水平方向飞行 60m至点 D，然
后沿垂直方向上升 20m至点 Q，此时测得书圣阁的端 A的俯角∠EQA＝45°．
爱 你 老 己
测量示意
爱 你、爱 老、爱 己、爱
图
你 爱、你 老、你 己、你
老 爱、老 你、老 己、老
己 爱、己 你、己 老、己
一共有 12种等可能结果，其中能凑成“老己”这个词的有 2种，
所以能凑成“老己”这个词的概率 ． 请求出书圣阁的高度 AB．（结果保留整数，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
20．（9分）某品牌头盔 4月份销量是 150个，6月份销量是 216个，且从 4月份到 6月份销售量的月增长率相同． 解：如图，延长 BA交 QE于 M，延长 PD交 MB于 F，
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）此种头盔的进价为 30元/个，当售价为 40元/个时，月销售量为 600个，若在此基础上售价每上涨 1元/
个，则月销售量将减少 5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？
解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为 x，4月份销售 150个，6月份销售 216个，且从 4月份到 6月份
销售量的月增长率相同．
由题意，得：150（1+x）2＝216，
由题可知，四边形 QMFD，PCBF为矩形，
解得：x＝0.2＝20%或 x＝﹣2.2（舍去）；
则 QM＝DF，MF＝QD＝20m，FB＝PC＝90.7m，
答：该品牌头盔销售量的月增长率为 20%；
设 QM＝xm，则 PF＝（x+60）m，
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为 m元/个，利润为 w，
在 Rt△QMA中，∠AQM＝45°，
则 w＝（m﹣30）[600﹣5（m﹣40）]＝﹣5（m﹣95）2+21125，
∴∠MAQ＝45°＝∠MQA，
∵﹣5＜0，
则 MA＝QM＝xm，
∴当 m＝95时，月销售利润最大；
∴AF＝（x﹣20）m，
故：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为 95元/个．
在 Rt△PFA中，∠APF＝16°，
21．（9分）某校数学“综合与实践”小组在测量当地建筑书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告：
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∵ ， （2）证明：如图，作 BD⊥AB交 AC于 D，
∴AF＝PF tan∠APF，
即 x﹣20＝（x+60）×0.29，
解得 x≈52.68，
∴∠ABD＝90°，
则 AB＝90.7+20﹣52.68≈58（m），
∵△ABC是妙趣三角形，∠ABC是钝角，∠A是妙趣角，
答：书圣阁的高度约为 58m．
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝90°+∠DBC＝90°+∠A，
五.解答题（本大题共 2小题，第 22小题 13分，第 23小题 14分，共 27分）
∴∠DBC＝∠A，
22．（13分）定义：在钝角三角形中，若钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与 90度的和，则称这个钝角三角
又∵∠C＝∠C，
形为妙趣三角形，这个锐角叫做妙趣角．例如，如图 1，△ABC是妙趣三角形，∠C是妙趣角．若∠B＝130°，
∴△ABC∽△BDC，
则∠C＝∠B﹣90°＝40°．
∴ tanA；
【概念理解】
（3）解：连接 OC，OD，如图所示：
（1）当妙趣三角形是等腰三角形时，妙趣角的度数为 30° ；
设∠CAB＝a．
【性质探究】
（2）如图 2，数学兴趣小组发现，当△ABC是妙趣三角形，∠B是钝角，∠A是妙趣角时，存在 的
结论，请你证明这个结论；
【拓展应用】
∵∠CAB是妙趣角，
（3）如图 3，AB是⊙O的直径，点 C，D是圆上的两点，弦 CD与 AB交于点 E，连接 AD，BD，△ACE和
则∠CEA＝90°+a，
△BCD都是妙趣三角形，且∠CAE、∠DCB分别为妙趣角，求 的值．
∠ACE＝∠180°﹣（90+a+a）＝90﹣2a，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
则∠DCB＝90°﹣（90°﹣2a）＝2a，
∵∠DCB是妙趣角，
∴在△BDC中，∠CBD＝90°+∠DCB＝90°+2a，
（1）解：设妙趣角的度数为 x． ∵ ，
根据题意可得：x+90°+x+x＝180°， ∴∠CDB＝∠CAB＝a，
解得：x＝30°， 由△BDC内角和可得∠CDB+∠CBD+∠DCB＝a+90°+2a+2a＝180°，
∴妙趣角的度数为 30°， 解得 a＝18°，
故答案为：30°． 则∠ACE＝90°﹣2×18°＝54°，
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∵∠CAB＝a，AO＝OC，
∴∠ACO＝∠CAB＝18°，
∴∠COE＝2×18°＝36°，
则∠OCE＝∠ACE﹣∠ACO＝54°﹣18°＝36°，
∴∠OCE＝∠COE，∠OED＝∠OCE+∠COE＝72°，
故 OE＝CE，
解：（1）如图，过 P作 PG∥y轴交 MN于点 G，
∵CO＝OD，
∴∠ODC＝∠OCE＝36°，
则∠DOE＝180°﹣∠ODE﹣∠OED＝72°，
即∠OED＝∠DOE，
∴OD＝DE，
∵∠OCE＝∠COE＝∠ODC＝36°，
∴△OCE∽△DCO 2， 设 P（p， p +p+3），则 G（p， p+6），
则△OCE∽△DCO， ∴PG p+6 p2﹣p﹣3 p2 p+3 （p ）2 ，
∴ ，
对于一次函数 ，令 x＝0，得 y＝6，令 y＝0，得 x＝﹣8，
∵CO＝OD＝ED，
∴OM＝8，ON＝6，
∴ ．
∴MN 10，
23．（14分）如图，抛物线 与 x轴交于 A，B两点（点 A在点 B左侧），与 y轴交于点 C．
∴sin∠ONM ，
（1）如图 1，一次函数 的图象与坐标轴分别交于点 M，N．点 P是抛物线上的一个动点，过点 P ∵PG∥y轴，
作直线 MN的垂线段，垂足为 Q，求 PQ的最小值； ∴∠PGQ＝∠ONM，
（2）如图 2，D是直线 BC上方抛物线上一动点，作 DF⊥AB垂足为点 F，交 BC于点 E，连接 CD，是否存 ∴sin∠PGQ＝sin∠ONM，
在点 D，使△CDE是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 D的坐标；若不存在，请说明理由； ∴ ，
（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 OE，将线段 OE绕点 O按顺时针方向旋转 90°得到线段 OG，连接 AG
∴PQ PG （p ）2 ，
，求线段 AG的最小值．
当 p 时，PQ 为最小值；
（2）对于抛物线表达式 ，当 x＝0，y＝3，
∴C（0，3），
设直线 BC表达式为：y＝kx+b，
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则 综上，△CDE是等腰三角形时，D（2，4）或 或 ；
（3）方法一：在 y轴负半轴取点 N（0，﹣6），连接 NG并延长交 x轴于点 M，连接 AN，
解得：
∴直线 BC： ，
设点 D的横坐标为 t，
∵DE⊥AB，
∴ ， ，
∴ ，
由旋转得：OE＝OG，∠EOG＝90°，
∵ ，
∵B（6，0），
， ∴OB＝ON，
①当 DE＝CE ∴∠BON＝90°，时， ，
∴∠EOM＝∠GON＝90°﹣∠MOG，
解得： 或 t＝0（舍），
∴△BOE≌△NOG（SAS），
∴ ， ∴∠CBO＝∠MNO，
∴ ； ∴点 G在线段 MN上运动（不包括端点），
∴当 AG⊥MN时，AG最小，
②当 CD＝DE时， ，
∵∠CBO＝∠MNO，OB＝ON，∠COB＝∠MON，
整理得：t2（﹣t+1）＝0，
∴△COB≌△MON（ASA），
解得：t＝1或 t＝0（舍），
∴OM＝OC＝3，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴当 AG⊥MN时， ，
③当 CD＝CE时， ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ；
解得：t＝2或 t＝6（舍）或 t＝0（舍），
方法 2：设 ，
∴ ，
∵OE绕 O点顺时针旋转 90°，
∴D（2，4）；
∴ ，
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∴ ，
当 t＝2时，AG的最小值为 ．
∴线段 AG长度的最小值 ．
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