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2026年涟源市初三一模数学质量检测
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.下列各数中比-2 小的数是（ ）
A.-3 B. -1 C. 0 D. 2
2.全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．
以下是我国四个省市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
3. 下列计算错误的是（ ）
A. x2·x3=x5 B. ( -x2y)2=x4y2 C. x6÷x3=x2 D. (x2)
3=x6
4. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.七巧板是中国古代劳动人民智慧的结晶，18、19 世纪流传到海外，被欧洲人称为“唐图”
（意思是来自中国的拼图）.如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，
若点 A的坐标为（-1， -1），点 C的坐标为（2， -2），则点 B的坐标为（ ）
A.（-1， 1） B. （1， 0） C.（1， 1） D.（1， 2）
6.抛掷一个质地均匀的特制的骰子（6个面上分别标有 1点或 2点或 3点），若向上一面出
现 1点的概率为 ，出现 2点的概率为 ，则该骰子不可能是（ ）
7.若关于 x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 a的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
8.阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物
理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻
力臂分别为 2000N 和 0.5m，则这一杠杆的动力 F和动力臂 L之间的函数图象大致是（ ）
9.如图，在□ABCD 中，∠D=60°．以点 B为圆心，以 BA的长为半径作弧交边 BC于点 E，连
接 AE．分别以点 A,E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线 BP交 AE
于点 O，交边 AD 于点 F.下列结论正确的是（ ）
①∠ABF=∠EBF ②BF⊥AE ③AF=2OA ④OB=OF
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④
10.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=2 ，点 D是 AB 的中点，点 E在 AC.若 DE=1，
则 AE·EC 的值为（ ）
A.1 B. C.2 D.3
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．
11.化简： .
12.如图，直线 c与直线 a、b都相交．若 a∥b，∠1=56°，则∠2= °.
13.如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第 1个图案中有 6个正三角形，
第 2个图案中有 10 个正三角形，第 3个图案中有 14 个正三角形……按此规律，第 2026 个
图案中有___________个正三角形．
14.如图是根据某班 40 名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班 40 名同学一周参加
体育锻炼时间的中位数是 ．
15.如图， ，点 O是 上一点，半径长为 6的 与 相切于点 D，交
于点 E．则图中阴影部分的面积为 .(结果保留根号和 )
16. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AB=6，点 E在边 AB 上，AE=BC=2，连接
CE，且∠DCE=∠BCE．点 F在 BC 的延长线上，连接 DF.若 DF=DC，则线段 CF 的长为______．
三、解答题：本题共 8 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17(6 分).计算：
18(6 分).先化简，再求值： ,其中 x=-2.
19(8 分).近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一
定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在
校门口随机选取 300 名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式:电动自行车、私家车、公共
交通、其他（自行车、步行等）和时段：11：50-12：00、12：00-12:10、12:10-12:20、其
他时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形
统计图和条形统计图（不完整）．
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中“私家车”所在扇形的圆心角度数为_________ ；
（2）本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图；
（3）若该校共有 1500 名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数；
（4）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口
交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议．
20(8分).2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某
商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知1只甲型玩偶和2只乙型玩偶的价格
为 160 元，2只甲型玩偶和 3只乙型玩偶价格为 260 元．
(1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？
(2)某公司计划采购两种型号玩偶共 60 个作为员工新年礼物，总费用不超过 3000 元，最多
可以采购多少个乙型玩偶？
21(10 分). 综合实践小组的同学在老师的指导下，利用课余时间围绕“塔高的测量与计算”
开展项目学习活动．
活动主题 塔高的测量与计算
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
塔前有一座观景台，其纵侧面示意图如下：
模型
抽象
活动
过程
①点 E，C，A在同一条直线上；
②测得 ；
测绘过程与
③在观景台 C处测得塔顶部 B的仰角为 45°，在观景台 D处测得
数据信息
塔顶部 B的仰角为 27°．
④用计算器计算得： ．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题：
①求线段 EC 的长（结果保留根号）；
②求塔 的高度(结果取整数).
22(10 分).阅读与思考
【概念理解】
如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是 90°，且这两条线段相等，则称其中
一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．
例如，下列各图中的线段 AB 与 CD 所在直线形成的夹角中有一个角是 90°，若 AB=CD，
则下列各图中的线段 CD 都是相应线段 AB 的双关联线段．
【问题解决】
问题 1：如图 1，在矩形 ABCD 中，若对角线 AC 与 BD 互为双关联线段，则∠ACB=_____°
.
问题 2：如图 2，在△ABC中，AD⊥BC于点 D，∠BAD=45°，点 E在线段 AD上，且 DE=DC，
连结 BE.求证：线段 BE 是线段 AC 的双关联线段．
问题 3：如图 3，点 C 在线段 AB 上，请在图 3 中作线段 AB 的双关联线段 CD．（要求：
①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）．
23(12 分).如图 1，已知 是 的直径， 是 上一点，过 作直线 与 的延长
线交于 点，过点 A作 于 点，连结 、 ，且 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的值；
(3)如图 2，在（2）的条件下，若 为 上的一动点，且 在直线 上方，连结
．当四边形 面积最大时，求 的长度．
24(12 分). 如图 1，已知抛物线 ，与 x轴交于 A,B 两点（点 B在点
A的右侧），与 y轴交于点 C，作直线 BC．
（1）求点 B和点 C的坐标；
（2）如图 2，点 D是第二象限抛物线上的一个动点，过点 D作 y轴的垂线，与第一象限的
抛物线交于点 F，与直线 BC 交于点 E．设点 D的横坐标为 m．请探究如下问题：
①当点 E是线段 DF 的中点时，求线段 DF 的长；
②当四边形 DOBF 是平行四边形时，求 m的值；
③如图 3，连结 BD 交 y 轴于点 P，若 BD 平分∠ABC，求 P点的坐标．

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