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人教版八（下）数学第二十三章 一次函数 单元测试培优卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
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阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．将函数y=2x+b(b为常数)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y=|2x+b|(b为常数)的图象.若该图象在直线 y=2下方的点的横坐标x满足0A．-4≤b≤-2 B．-6≤b≤2 C．-4≤b≤2 D．-8≤b≤-2
3．学校组织甲、乙两队预备共青团员步行前往距离学校的革命纪念馆进行实践参观活动，为了避免交通拥堵安排两个队伍在不同的时刻出发．已知乙队始终以的速度匀速前进，甲队匀速前进后速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达纪念馆．甲、乙两队前进的路程（单位：）与甲队出发时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）
A．乙队比甲队晚出发
B．甲队减速后前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为
C．甲队开始减速时，乙队前进的路程为
D．甲队某同学在某个时间掉队，原地等待后被乙队追上，则他掉队时甲队前进了
4．已知一次函数y1= kx+k， y2= mx+k(k>0) ， 其中y2的图象经过点(-2， 0)， 则下列说法正确的是(　　)
A．若x>-1， 则y1y2>0 B．若x≤0， 则y1y2<0
C．若y1y2>0， 则-25． 已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．当 2≤x≤5 时，一次函数 y= 有最大值6，则实数m的值为 (　　)
A．-3或0 B．0或1 C．-5 或-3 D．-5 或1
7．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫作整点，已知直线y= tx+2t+2(t>0).与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点，则t的取值范围是(　　)
A． B．
C．18．已知，并且，则函数图象一定经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第二、三象限
C．第二、三、四象限 D．第一、四象限
9．如图所示，直线y=x+3分别与x轴、y轴交于点A、B，若∠ABC=45°，则直线BC的函数表达式为（　　）
A．y=x+3 B．y=x+3 C．y=x+3 D．y=x+3
10．如图，直线l：与x轴交于点E，四边形，，，……，都是含内角的菱形，点，，，……，都在x轴上，点，，，……，都在直线l上，且，则点的横坐标是（　　）
A．47 B．49 C．95 D．97
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
11． 一次函数y=(m+1)x-2m+3的图象一定经过第　 　象限.
12． 已知函数y=y1-y2，其中y1与x-1成正比例，y2与2x+3成正比例，且x=1时，y=-5；x=3时，y=-3，则y关于x的函数表达式为　 　.
13．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点P是直线上一点，且，则点P的坐标为　 　．
14．已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为　 　
15．定义：在平面直角坐标系中，如果直线上的点经过一次变换后得到点，那么称这次变换为“逆倍分变换”．直线与轴、轴分别相交于点，，点为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点使得和的面积相等，则点的坐标为　 　．
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分。
得分
16．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第四象限，点在线段上．连接，，过点P作x轴的垂线，交边于点E，交折线段于点F．
（1）求点A，B的坐标；
（2）设点E，F的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值；
（3）在（2）的条件下，分别过点E，F作，垂直于y轴，垂足分别为点G，H，当时，求长方形周长的最大值．
17．某电脑经销商，今年二，三月份型和型电脑的销售情况，如下表所示：
型（台） 型（台） 利润（元）
二月份 15 20 4500
三月份 20 10 3500
（1）直接写出每台型电脑和型电脑的销售利润分别为　 　；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍．设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元．
①求与的关系式；
②该商店购进型、型各多少台，才能使销售利润最大？
（3）实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑60台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
18．小明根据学习一次函数的经验，对函数究.小明的探究过程如下列表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 4 3 2 1 2 3 4 5 n …
（1）填空：m=　 　；n=　 　。
（2）以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线；
（3）根据表格及函数图象，探究函数性质：
①函数值y的最小值为　 　.
②当x>-1时，函数值y随自变量x的增大而　 　。(填“增大”或“减小”)；
③若关于x的方程|x+1|=b-1有两个不同的解，则b的取值范围为　 　.
19．设一次函数y=kx+b-3（k，b是常数，且k≠0）。
（1）若该函数的图象过点（（-1，2），试判断点P（4，5k+2）是否也在此函数的图象上，并说明理由。
（2）已知点A（a，y1）和点都在该一次函数的图象上，求k的值。
（3）若k+b<0，点Q（5，m）（m>0）在该一次函数图象上，求证：
20．如图1：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点．
（1）求点的坐标和直线的解析式；
（2）如图2，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标；
（3）如图3，当于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示．
有机蔬菜种类 进价/（元） 售价/（元）
甲 m 16
乙 n 18
（1）该超市购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要170元；购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要200元．求m，n的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于，且不大于，实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完，求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y（元）与购进甲种蔬菜的数量之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，该超市如何购买花菜才能使当天的利润最大？
22．武汉的夏季到了，某服装店同时购进，两款夏装共套，进价和售价如下表所示，设购进款夏装套（为正整数），该服装店售完全部，两款夏装获得的总利润为元．
夏装款式 款 款
每套进价（单位：元）
每套售价（单位：元）
（1）求与的函数关系式；
（2）该服装店计划投入不多于万元购进这两款夏装，则至少购进多少套款夏装？若，两款夏装全部售完，则服装店可获得的最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，服装店购进款夏装的进价降低元（其中），购进款夏装的进价不变，且最多购进套款夏装．若保持这两款夏装的售价不变，该服装店如何进货使得全部售完，两款夏装获得的利润最大？
23．根据以下素材，探索完成任务．
背景 小宁和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时小宁用所学过的知识来记录他们的行程．
素材1 小宁从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图①．
素材2 小宁通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图②所示的函数图象，她乘坐1号观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后乘坐2号观光车继续行驶到达终点．折线表示观光车离终点的路程与小宁从入口出发的时间之间的关系．
素材3 小宁在去往终点的途中，遇到了游玩结束从终点返回的小波．通过交流，小宁获得了一些信息，如图②，线段EF表示小波从终点乘坐的3号观光车离终点的距离与小宁从入口出发的时间之间的关系．
问题解决
任务1 从景点甲到终点的2号观光车的速度是________，从终点返回的3号观光车的速度是________．
任务2 小宁出发多少时间后，与小波相遇？
任务3 小宁出发多少时间后，两人相距？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
将分别代入、可解得，
值不相等，
，，三点不共线，不符合题意；
设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
将分别代入、可解得，
值不相等，
，，三点不共线，不符合题意；
设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
、得，
值相等，
，，三点共线，符合题意；
设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
将分别代入、可解得，
值不相等，
，，三点不共线，不符合题意；
综上，，，三点共线，此时，
则，
即，
．
故答案为：．
【分析】分四种情况讨论：假设，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线，将共线三点代入一次函数解析式，求出k值，然后代入计算解答即可．
2．【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：当x=3时，
当x=0时，-b≥2即
∴b的取值范围为
故选： A.
【分析】根据x满足03．【答案】D
【知识点】函数的图象；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：A选项：由图象可得，乙队所用的时间为：（），
所以乙队比甲队晚出发：（），故选项A正确，A不符合题意；
B选项：设甲队减速后前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为，
∵点，在该函数图象上，
∴，解得，即甲队减速后前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为，故选项B正确，B不符合题意；
C选项：甲队开始减速时，乙队前进的路程为：（），故选项C正确，C不符合题意；
D选项：当甲队某同学在甲队前进了时掉队，甲队前进的路程为：（），
乙队前进用的时间为：（），
（），即甲队某同学在某个时间掉队，原地等待后被乙队追上，则他掉队时甲队前进了；
当甲队某同学在甲队减速后掉队，原地等待后被乙队追上，
此时乙队前进的路程为：（）
设乙队前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为，
∵点，在该函数图象上，
∴，解得，即乙队前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为，设当甲队某同学在甲队前进了时掉队（甲队减速后），甲队前进的路程为：（），
此时乙队前进的路程为：（），
则，解得，
即甲队某同学在甲队减速后掉队，原地等待后被乙队追上，则他掉队时甲队前进了；
故选项D错误，D符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查了一次函数在实际问题中的应用，解题关键在于正确理解函数图象所表示的实际意义。通过分析题目中给出的函数图象和相关数据，可以逐一验证各选项结论的正确性，进而得出最终答案。具体分析如下：需要明确图象中横纵坐标代表的实际量，根据图象特征（如斜率、截距等）建立对应的函数关系，将题目条件代入函数关系进行验证计算，对各个选项进行逐一判断。注意：在分析过程中要特别注意图象转折点、交点等关键位置的实际意义，这些往往是解题的突破口。
4．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：y1=kx+k=k(x+1)，当x=-1时，y=0，即y1过点(-1，0)，
k>0，y随x的增大而增大，当x>-1时y>0，当x<-1时，y<0；
将(-2，0)代入y2=mx+k得-2m+k=0，得m=，故y2=，
k>0，y随x的增大而增大，当x>-2时y>0，当x<-2时，y<0；
当x>-1时，y1>0且y2>0，得y1y2>0，故A正确；
当x≤0时，y10，故B错误；
故答案：A.
【分析】由一次函数的性质，分别分析y1与y2的与x轴的交点，y随x的增大而增大，再依次判断各选项即可得结果.
5．【答案】D
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵直线中，，
∴y随x增大而减小，
∵，
∴，
A、若，则，，对于，当时，，当时，，当时，，∴，，而的符号不能确定，∴不能判定，故A错误，不符合题意；
B、若，则与同号，若同为负数时，∵，∴，，同理，，而的符号不能确定，∴不能判定，
若同为正数时，当时，可以取，此时，满足，但，
综上，B错误，不符合题意；
C、若，则与异号，∵，∴，，同理，，而，∴，∴不能判定，故C错误，不符合题意；
D、若，则与异号，∵，∴，，同理，，而，∴，∴能判定，故D正确，符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据一次函数的增减性，逐项分析判断即可解答．
6．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当 即 时，y随x的增大而增大，∴当 时， 一次函数 有最大值6，
解得 (舍去)，
当 即 1时，y随x的增大而减小，∴当 时， 一次函数 有最大值6，
解得 (舍去)，
综上， 当 时， 一次函数
有最大值6，则实数m的值为0或
故答案为： A.
【分析】分两种情况，利用一次函数的性质得到关于m的方程， 解方程即可.
7．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：因为y= tx+2t+2=t(x+2)+2(t>0)，所以直线y= tx+2t+2(t>0)经过点(-2，2)，如图，
当直线经过点(0，3)时，直线y= tx+2t+2(t>0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点，则3=2t+2，解得
当直线经过点(0，6)时，直线y= tx+2t+2(t>0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点，则6=2t+2，解得t=2；当直线经过点(0，4)时，直线y= tx+2t+2(t>0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有三个整点，则4=2t+2，解得t=1，所以直线y= tx+2t+2(t>0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点时，t的取值范围是 且t≠1.
故答案为： D.
【分析】由y=tx+2t+2=t(x+2)+2(t>0)，得出直线y=tx+2t+2(t>0))经过点(-2，2)，如图，当直线经过 (0， 3) 或 (0， 6) 时， 直线y=tx+2t+2(t>0)与两坐标轴围成的三角形区域 (不含边界)中有且只有四个整点，当直线经过 (0，4)时，直线y=tx+2t+2(t>0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的t的值，结合图象即可得到结论.
8．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴a＋b＝cp，b＋c＝ap，c＋a＝bp，
∴a＋b＋b＋c＋c＋a＝cp＋ap＋bp，
∴2（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）p，
∴p＝2或a＋b＋c＝0．
当p＝2时，y＝2x＋2，
∴函数y＝2x＋2的图象经过第一、二、三象限；
当a＋b＋c＝0时，不妨取a＋b＝ c（c≠0），
则，
∴y＝ x 1，
∴函数y＝ x 1的图象经过第二、三、四象限，
综上所述，函数y＝px＋p一定经过第二、三象限．
故答案为：B.
【分析】根据题意，，得出a＋b＝cp，b＋c＝ap，c＋a＝bp，进而得出2（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）p，由此可得p＝2或a＋b＋c＝0．分两种情况进行分析，进而得出答案．
9．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点作交直线于点，过点作轴于点，则，
，，
∴为等腰直角三角形，即，
∵，，
，
，
，，
直线，令，得，即，
∴B（0，3），
令，得，，
即，
，，
设直线BC的解析式为，
把代入解析式，
得，
解得 ，
∴过B、C两点的直线解析式是，
故答案为：A.
【分析】过点A作AN⊥AB交BC于点N，过点N作MN⊥x轴于点M，用AAS证得△NAM≌△ABO，从而得到AM=OB，CM=OA， 由y=x+3 可得，，即可得到，结合待定系数法，把和代入，计算求解即可．
10．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：过点C1作C1D⊥x轴于D，如下图：
令，则
∴，
∴
∵四边形OA1B1C1为菱形，
∴
∵
∴
∴
∴
同理得：
故答案为：A.
【分析】过点C1作C1D⊥x轴于D，根据已知信息求出点E坐标，进而得到：再根据勾股定理和含30 °角的直角三角形的性质得到OD和C1D的长，进而得到C1坐标，依次类推即可.
11．【答案】一
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵y=(m+1)x-2m+3 =mx+x-2m+3=(x-2)m+x+3，
∴当x=2时，y=2+3=5，
即 一次函数y=(m+1)x-2m+3的图象 一定经过（2，5），
又（2，5）在第一象限，
∴ 一次函数y=(m+1)x-2m+3的图象一定经过第一象限，
故答案为：一.
【分析】对函数y=(m+1)x-2m+3 变形知其图像经过（2，5），再根据（2，5）在坐标系的位置判断函数图象经过的象限.
12．【答案】y=x-6
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵ y1与x-1成正比例，y2与2x+3成正比例，
∴设y1=k1（x-1），y2=k2（2x+3），
∴ y=y1-y2=k1（x-1）-k2（2x+3），
又x=1时，y=-5；x=3时，y=-3，
∴-5k2=-5，2k1-9k2=-3，
∴k1=3，k2=1，
∴y=k1（x-1）-k2（2x+3）=3（x-1）-（2x+3）=x-6，
故填：y=x-6.
【分析】根据“ y1与x-1成正比例，y2与2x+3成正比例 ”设y1，y2的函数关系式，再借助" y=y1-y2 "表示出y的函数关系式，最后利用待定系数法求出表达式即可.
13．【答案】
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，过点作的垂线，截取，过点作轴的垂线，分别与过点作轴的垂线交于点，连接，交于点，
∵，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，纵坐标的绝对值为，
∴，
∵，，
∴平分，
∴垂直平分（等腰三角形的三线合一），
∴，即，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得，
则点的坐标为，
故答案为：．
【分析】过点B作AB的垂线并截取A'B = AB，通过AAS证明△A'BD ≌ △BAC，求出点A'的坐标为(3， -2)。利用∠ABP = 45°和∠A'BA = 90°，得出BE平分∠A'BA，再由等腰三角形三线合一，得到BE是AA'的垂直平分线，从而求出中点E(-2， -1)。用待定系数法求出直线BP的解析式为y = 5x + 9，与直线y = x - 2联立求解，得到点P的坐标为。
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：可知过原点，
∵中，时，，
∴当过点时，，
得；
当与平行时，
得．
由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：．
故答案为：．
【分析】
由一次函数图象上点的坐标特征知，当时，；因为是正比例函数，当过点时，；当与平行时，，由函数图象知，．

15．【答案】或
【知识点】解一元一次方程；点的坐标；平行线之间的距离；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：如图，和的面积相等，
在过且平行于的直线上或在上方平行于，且该直线到直线的距离等于直线到过点且平行于的直线的距离．
所在直线为或（根据平移到直线的方式与直线平移到直线的平移方式相同得到）．
故可设为或．
为或．
又∵在上，
或．
或．
或．
故答案为：或．
【分析】
根据题意，和的面积相等，画出图象可得在过且平行于的直线上或在上方4个单位且平行于，故所在直线为或，进而可设为为或，则为或．再由在上，建立方程求出即可解答．
16．【答案】（1）解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点B，
∴当时，得：，
解得：，
当时，得：，
∴，；
（2）解：设的解析式为，过点，
∴，
∴，
∴的解析式为，
∵点在线段上，过点作轴的垂线，交边于点，交折线段于点，且点，的纵坐标分别为，，，
∴，，
∴，
∵为定值，即为定值，
∴，
解得：；
（3）解：①当时，（定长），在点运动到图中点，此时直线经过点，即，
∴长方形周长的最大值：，
②当时，
设的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
∴，
∴长方形的周长为：，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，长方形周长的最大值为：，
综上所述，长方形周长的最大值为．
【知识点】解二元一次方程；坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）分别令和x=0，可以得到关于和y的一元一次方程，解方程后即可得出点，的坐标；
（2）利用待定系数法将C点坐标（4，t）代入，得到的解析式为，然后表示出，再根据定值的条件得出，求解t即可；
（3）分和两种情况，并结合待定系数法和一次函数的增减项进行讨论计算即可．
（1）解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点B，
∴当时，得：，
解得：，
当时，得：，
∴，；
（2）解：设的解析式为，过点，
∴，
∴，
∴的解析式为，
∵点在线段上，过点作轴的垂线，交边于点，交折线段于点，且点，的纵坐标分别为，，，
∴，，
∴，
∵为定值，即为定值，
∴，
解得：；
（3）①当时，
（定长），在点运动到图中点，此时直线经过点，即，
∴长方形周长的最大值：，
②当时，
设的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
∴，
∴长方形的周长为：，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，长方形周长的最大值为：，
综上所述，长方形周长的最大值为．
17．【答案】（1）100元，150元
（2）解：①据题意得，y=100x+150（100-x），
即与的关系式为y=-50x+15000，
②据题意得，100-x≤2x，
解得x≥，
∵y=-50x+15000，-50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x=34时，y取最大值，则100-x=66，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
（3）解：据题意得，y=（100+m）x+150（100-x），
即y=（m-50）x+15000，≤x≤60，且x为整数，
分三种情况讨论：
①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
②m=50时，m-50=0，y=15000，
∵≤x≤60，且x为整数，
∴34≤x≤60，且x为整数，
即商店购进A型电脑数量满足34≤x≤60的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜80时，m-50＞0，y随x的增大而增大，
∴当x=60时，y取得最大值．
即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【知识点】一次函数的性质；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；
根据题意得，
解得
故答案是： 100元，150元．
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据表格信息列二元一次方程组解答即可；
（2）①据题利润=甲、乙两种电脑的利润和解答即可；
②根据题意求出自变量x的取值范围，然后根据函数的增减性求出最大利润即可；
（3）据题得到y=（m-50）x+15000，分0＜m＜50，m=50，50＜m＜80三种情况根据函数的增减性得到最大值解答即可.
18．【答案】（1）1；6
（2）通过描点连线，图像如图所示
（3）1；增大；b＞1
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）由表格可得：当时，
将代入解析式可得：，解得
所以函数为
当时，
综上所述：，
（3）因为函数图象有最低点，并且最低点的纵坐标为，所以函数的最小值为
由图像可得：当时，函数图象上升，所以函数值随自变量的增大而增大
因为，所以
设，
因此关于的方程有两个不同的解，可转化为函数与有两个不同的交点
观察函数图象可知：
当时，函数与有两个不同的交点，即方程有两个不同的解
所以的取值范围为：
【分析】（1）将代入即可求出的值，得到，然后将代入即可求出的值；
（2）根据表格中的坐标描点，然后连线画图即可；
（3）结合（2）作出的图象，可求出①和②小问，将第③问中的方程转化为两个函数，进而将方程的解得问题转化为两个函数的交点的问题，结合函数图象可求出的取值范围.
19．【答案】（1）解：∵函数图象过点(-1，2)，
把点( 1，2)代入y=kx+b-3可得：
2=-k+b-3，
解得b=k+5。
当x=4时，
y=4k+b-3=4k+(k+5)-3=5k+2，
与点P的纵坐标一致，所以点P在函数图象上。
（2）解：∵点A(a，y1)、B(a-2，y1+2)在函数图象上，
∴y1=ak+b-3①，y1+2=(a-2)k+b-3②。
用②式减去①式可得：2=-2k，
解得k=-1。
（3）解：∵k+b<0，
∴b<-k；
又∵点Q(5，m)在函数上且m>0，
∴m=5k+b-3>0，
即b>3-5k。
∴3-5k即3-5k<-k，
3<4k，
解得k>。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；不等式的性质的实际应用
【解析】【分析】（1）先将已知点( 1，2)代入函数y=kx+b 3，求出b关于k的表达式，进而得到完整的函数表达式，再将点P的横坐标代入函数表达式，看得到的纵坐标是否与点P的纵坐标相等；
（2）因为点A(a，y1)和点B(a 2，y1+2)都在函数图象上，将这两点分别代入函数表达式，得到两个关于a、y1、k、b的等式，然后通过两式相减消去a、y1、b，从而求出k的值；
（3）先根据点Q(5，m)在函数图象上得到m关于k、b的表达式，再结合0m>0得到b关于k的一个不等式；然后由k+b<0得到b关于k的另一个不等式；最后通过这两个不等式得到关于k的不等式，进而求出k的取值范围。
20．【答案】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于、两点，
∴，即，
∴，即，
将点A坐标代入得：，解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
设点C的横坐标为m，则上边上的高为，
∴，解得：，
∵点C在直线上，
∴当时，，即；
当时，，即．
∴点C的坐标为或．
（3）或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（3）存在满足条件的点Q，
∵，
∴，
∴以O、P、Q为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，.
①当时，
∴，即点P的横坐标为或，
如图：
∴点P的纵坐标为或，
∴点Q的坐标为或；
②当时，，即点P、Q的纵坐标为或，
如图所示：
∴点Q的坐标为或．
综上，点Q的坐标为或或或．
【分析】
（1）根据直线与轴、轴分别交于、两点得点B坐标，再根据已知条件得点A坐标，然后用待定系数法求出直线解析式，解答即可；
（2）根据得，再计算得，设点C的横坐标为m，利用三角形面积建立方程求出m值，可得点C的坐标，解答即可；
（3）根据勾股定理得到AB，再利用等面积法求得，分和两种情况分别画出图形，在根据全等三角形的性质确定点Q坐标即可解答．
（1）解：∵直线与轴、轴分别交于、两点，
∴，即，
∴，即，
将点A坐标代入得：，解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
设点C的横坐标为m，则上边上的高为，
∴，解得：，
∵点C在直线上，
∴当时，，即；
当时，，即．
∴点C的坐标为或．
（3）解：存在满足条件的点Q，
∵，
∴，
∴以O、P、Q为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，.
①当时，
∴，即点P的横坐标为或，
如图：
∴点P的纵坐标为或，
∴点Q的坐标为或；
②当时，，即点P、Q的纵坐标为或，
如图所示：
∴点Q的坐标为或．
综上，点Q的坐标为或或或．
21．【答案】（1）解：根据题意，
得
解得．
故m，n的值分别为10，14．
（2）由题意可知．当时，
；
当时，
．
∴；
（3）当时，，y随x的增大而增大，
∴当时，y最大，为520．
当时，，y随x的增大而减少，
当时，y最大，为520．
答：当，即甲种蔬菜购进，乙种蔬菜购进时，利润额取最大值，为520元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）根据题意“ 购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要170元；购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要200元 ”可以列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）根据题意，分类讨论可求得y与x的函数关系式；
（3）根据（2）中的条件，可以求得y的最大值．
（1）根据题意，得
解得．
故m，n的值分别为10，14．
（2）由题意可知．
当时，；
当时，．
∴；
（3）当时，，y随x的增大而增大，
∴当时，y最大，为520．
当时，，y随x的增大而减少，
当时，y最大，为520．
故当，即甲种蔬菜购进，乙种蔬菜购进时，利润额取最大值，为520元．
22．【答案】解：（1）根据题意得y=（100-60）x+（150-80）（300-x）=-30x+21000，
即y=-30x+21000；
（2）由题意得，60x+80（300-x）≤20000，
解得x≥200，
∴至少要购进甲款运动服200套．
又∵y=-30x+21000，-30＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=200时，y有最大值，
y最大=-30×200+21000=15000，
∴若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是15000元；
（3）由题意得，y=（100-60+a）x+（150-80）（300-x），其中200≤x≤240，
化简得，y=（a-30）x+21000，
∵20＜a＜40，则：
①当20＜a＜30时，a-30＜0，y随x的增大而减小，
∴当x=200时，y有最大值，
则服装店应购进甲款运动服200套、乙款运动服100套，获利最大；
②当a=30时，a-30=0，y=21000，
则服装店应购进甲款运动服的数量应满足200≤x≤240，且x为整数时，服装店获利最大；
③当30＜a＜40时，a-30＞0，y随x的增大而增大，
∵200≤x≤240，
∴当x=240时，y有最大利润，
则服装店应购进甲款运动服240套、乙款运动服60套，获利最大．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润=（A款的售价-A款的进价）×购进A款的数量+（B款的售价-B款的进价）×购进B款的数量代入列关系式，并化简求解即可；
（2）根据题意先求出60x+80（300-x）≤20000，再求出当x=200时，y有最大值，最后求解即可；
（3）根据题意先求出y=（a-30）x+21000，再把20＜a＜40分三种情况讨论计算求解即可.
23．【答案】解：（1）16；24，
（2）设段解析式为，把代入，得
，
解得，
∴．
设段解析式为，把代入，得
，
解得，
∴．
解，得，
∴小宁出发多后，与小波相遇
（3）相遇前：
当时，，
，
∴，
解得．
相遇后：
，
解得．
综上可知，小宁出发小时或小时，两人相距．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）从景点甲到终点的2号观光车的速度是，
从终点返回的3号观光车的速度是．
故答案为：16；24；
【分析】（1）根据图象提供的信息，2号观光车从景点甲到达终点用时(4.5-2)小时，景点甲离终点的距离为40km，根据速度=路程÷时间计算即可；根据图象提供的信息，3号观光车从终点到达入口用时(4-1.5)小时，景点入口离终点的距离为60km，根据速度=路程÷时间计算即可；
（2）利用待定系数法求出CD段和EF段的函数解析式，然后联立求解即可；
（3）首先判断出当x=2时，两人相距的距离小于30km， 然后分相遇前，由40减去小波距离终点得距离等于他们之间的距离建立方程，求解即可；相遇后，小波距离终点的距离-小宁距离终点的距离等于两人之间的距离建立方程，求解即可.
1 / 1人教版八（下）数学第二十三章 一次函数 单元测试培优卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
将分别代入、可解得，
值不相等，
，，三点不共线，不符合题意；
设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
将分别代入、可解得，
值不相等，
，，三点不共线，不符合题意；
设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
、得，
值相等，
，，三点共线，符合题意；
设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
将分别代入、可解得，
值不相等，
，，三点不共线，不符合题意；
综上，，，三点共线，此时，
则，
即，
．
故答案为：．
【分析】分四种情况讨论：假设，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线，将共线三点代入一次函数解析式，求出k值，然后代入计算解答即可．
2．将函数y=2x+b(b为常数)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y=|2x+b|(b为常数)的图象.若该图象在直线 y=2下方的点的横坐标x满足0A．-4≤b≤-2 B．-6≤b≤2 C．-4≤b≤2 D．-8≤b≤-2
【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：当x=3时，
当x=0时，-b≥2即
∴b的取值范围为
故选： A.
【分析】根据x满足03．学校组织甲、乙两队预备共青团员步行前往距离学校的革命纪念馆进行实践参观活动，为了避免交通拥堵安排两个队伍在不同的时刻出发．已知乙队始终以的速度匀速前进，甲队匀速前进后速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达纪念馆．甲、乙两队前进的路程（单位：）与甲队出发时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）
A．乙队比甲队晚出发
B．甲队减速后前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为
C．甲队开始减速时，乙队前进的路程为
D．甲队某同学在某个时间掉队，原地等待后被乙队追上，则他掉队时甲队前进了
【答案】D
【知识点】函数的图象；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：A选项：由图象可得，乙队所用的时间为：（），
所以乙队比甲队晚出发：（），故选项A正确，A不符合题意；
B选项：设甲队减速后前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为，
∵点，在该函数图象上，
∴，解得，即甲队减速后前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为，故选项B正确，B不符合题意；
C选项：甲队开始减速时，乙队前进的路程为：（），故选项C正确，C不符合题意；
D选项：当甲队某同学在甲队前进了时掉队，甲队前进的路程为：（），
乙队前进用的时间为：（），
（），即甲队某同学在某个时间掉队，原地等待后被乙队追上，则他掉队时甲队前进了；
当甲队某同学在甲队减速后掉队，原地等待后被乙队追上，
此时乙队前进的路程为：（）
设乙队前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为，
∵点，在该函数图象上，
∴，解得，即乙队前进的路程与甲队出发时间的函数表达式为，设当甲队某同学在甲队前进了时掉队（甲队减速后），甲队前进的路程为：（），
此时乙队前进的路程为：（），
则，解得，
即甲队某同学在甲队减速后掉队，原地等待后被乙队追上，则他掉队时甲队前进了；
故选项D错误，D符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查了一次函数在实际问题中的应用，解题关键在于正确理解函数图象所表示的实际意义。通过分析题目中给出的函数图象和相关数据，可以逐一验证各选项结论的正确性，进而得出最终答案。具体分析如下：需要明确图象中横纵坐标代表的实际量，根据图象特征（如斜率、截距等）建立对应的函数关系，将题目条件代入函数关系进行验证计算，对各个选项进行逐一判断。注意：在分析过程中要特别注意图象转折点、交点等关键位置的实际意义，这些往往是解题的突破口。
4．已知一次函数y1= kx+k， y2= mx+k(k>0) ， 其中y2的图象经过点(-2， 0)， 则下列说法正确的是(　　)
A．若x>-1， 则y1y2>0 B．若x≤0， 则y1y2<0
C．若y1y2>0， 则-2【答案】A
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：y1=kx+k=k(x+1)，当x=-1时，y=0，即y1过点(-1，0)，
k>0，y随x的增大而增大，当x>-1时y>0，当x<-1时，y<0；
将(-2，0)代入y2=mx+k得-2m+k=0，得m=，故y2=，
k>0，y随x的增大而增大，当x>-2时y>0，当x<-2时，y<0；
当x>-1时，y1>0且y2>0，得y1y2>0，故A正确；
当x≤0时，y10，故B错误；
故答案：A.
【分析】由一次函数的性质，分别分析y1与y2的与x轴的交点，y随x的增大而增大，再依次判断各选项即可得结果.
5． 已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵直线中，，
∴y随x增大而减小，
∵，
∴，
A、若，则，，对于，当时，，当时，，当时，，∴，，而的符号不能确定，∴不能判定，故A错误，不符合题意；
B、若，则与同号，若同为负数时，∵，∴，，同理，，而的符号不能确定，∴不能判定，
若同为正数时，当时，可以取，此时，满足，但，
综上，B错误，不符合题意；
C、若，则与异号，∵，∴，，同理，，而，∴，∴不能判定，故C错误，不符合题意；
D、若，则与异号，∵，∴，，同理，，而，∴，∴能判定，故D正确，符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据一次函数的增减性，逐项分析判断即可解答．
6．当 2≤x≤5 时，一次函数 y= 有最大值6，则实数m的值为 (　　)
A．-3或0 B．0或1 C．-5 或-3 D．-5 或1
【答案】A
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当 即 时，y随x的增大而增大，∴当 时， 一次函数 有最大值6，
解得 (舍去)，
当 即 1时，y随x的增大而减小，∴当 时， 一次函数 有最大值6，
解得 (舍去)，
综上， 当 时， 一次函数
有最大值6，则实数m的值为0或
故答案为： A.
【分析】分两种情况，利用一次函数的性质得到关于m的方程， 解方程即可.
7．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫作整点，已知直线y= tx+2t+2(t>0).与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点，则t的取值范围是(　　)
A． B．
C．1【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：因为y= tx+2t+2=t(x+2)+2(t>0)，所以直线y= tx+2t+2(t>0)经过点(-2，2)，如图，
当直线经过点(0，3)时，直线y= tx+2t+2(t>0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点，则3=2t+2，解得
当直线经过点(0，6)时，直线y= tx+2t+2(t>0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点，则6=2t+2，解得t=2；当直线经过点(0，4)时，直线y= tx+2t+2(t>0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有三个整点，则4=2t+2，解得t=1，所以直线y= tx+2t+2(t>0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点时，t的取值范围是 且t≠1.
故答案为： D.
【分析】由y=tx+2t+2=t(x+2)+2(t>0)，得出直线y=tx+2t+2(t>0))经过点(-2，2)，如图，当直线经过 (0， 3) 或 (0， 6) 时， 直线y=tx+2t+2(t>0)与两坐标轴围成的三角形区域 (不含边界)中有且只有四个整点，当直线经过 (0，4)时，直线y=tx+2t+2(t>0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的t的值，结合图象即可得到结论.
8．已知，并且，则函数图象一定经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第二、三象限
C．第二、三、四象限 D．第一、四象限
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴a＋b＝cp，b＋c＝ap，c＋a＝bp，
∴a＋b＋b＋c＋c＋a＝cp＋ap＋bp，
∴2（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）p，
∴p＝2或a＋b＋c＝0．
当p＝2时，y＝2x＋2，
∴函数y＝2x＋2的图象经过第一、二、三象限；
当a＋b＋c＝0时，不妨取a＋b＝ c（c≠0），
则，
∴y＝ x 1，
∴函数y＝ x 1的图象经过第二、三、四象限，
综上所述，函数y＝px＋p一定经过第二、三象限．
故答案为：B.
【分析】根据题意，，得出a＋b＝cp，b＋c＝ap，c＋a＝bp，进而得出2（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）p，由此可得p＝2或a＋b＋c＝0．分两种情况进行分析，进而得出答案．
9．如图所示，直线y=x+3分别与x轴、y轴交于点A、B，若∠ABC=45°，则直线BC的函数表达式为（　　）
A．y=x+3 B．y=x+3 C．y=x+3 D．y=x+3
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点作交直线于点，过点作轴于点，则，
，，
∴为等腰直角三角形，即，
∵，，
，
，
，，
直线，令，得，即，
∴B（0，3），
令，得，，
即，
，，
设直线BC的解析式为，
把代入解析式，
得，
解得 ，
∴过B、C两点的直线解析式是，
故答案为：A.
【分析】过点A作AN⊥AB交BC于点N，过点N作MN⊥x轴于点M，用AAS证得△NAM≌△ABO，从而得到AM=OB，CM=OA， 由y=x+3 可得，，即可得到，结合待定系数法，把和代入，计算求解即可．
10．如图，直线l：与x轴交于点E，四边形，，，……，都是含内角的菱形，点，，，……，都在x轴上，点，，，……，都在直线l上，且，则点的横坐标是（　　）
A．47 B．49 C．95 D．97
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：过点C1作C1D⊥x轴于D，如下图：
令，则
∴，
∴
∵四边形OA1B1C1为菱形，
∴
∵
∴
∴
∴
同理得：
故答案为：A.
【分析】过点C1作C1D⊥x轴于D，根据已知信息求出点E坐标，进而得到：再根据勾股定理和含30 °角的直角三角形的性质得到OD和C1D的长，进而得到C1坐标，依次类推即可.
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
11． 一次函数y=(m+1)x-2m+3的图象一定经过第　 　象限.
【答案】一
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵y=(m+1)x-2m+3 =mx+x-2m+3=(x-2)m+x+3，
∴当x=2时，y=2+3=5，
即 一次函数y=(m+1)x-2m+3的图象 一定经过（2，5），
又（2，5）在第一象限，
∴ 一次函数y=(m+1)x-2m+3的图象一定经过第一象限，
故答案为：一.
【分析】对函数y=(m+1)x-2m+3 变形知其图像经过（2，5），再根据（2，5）在坐标系的位置判断函数图象经过的象限.
12． 已知函数y=y1-y2，其中y1与x-1成正比例，y2与2x+3成正比例，且x=1时，y=-5；x=3时，y=-3，则y关于x的函数表达式为　 　.
【答案】y=x-6
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵ y1与x-1成正比例，y2与2x+3成正比例，
∴设y1=k1（x-1），y2=k2（2x+3），
∴ y=y1-y2=k1（x-1）-k2（2x+3），
又x=1时，y=-5；x=3时，y=-3，
∴-5k2=-5，2k1-9k2=-3，
∴k1=3，k2=1，
∴y=k1（x-1）-k2（2x+3）=3（x-1）-（2x+3）=x-6，
故填：y=x-6.
【分析】根据“ y1与x-1成正比例，y2与2x+3成正比例 ”设y1，y2的函数关系式，再借助" y=y1-y2 "表示出y的函数关系式，最后利用待定系数法求出表达式即可.
13．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点P是直线上一点，且，则点P的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，过点作的垂线，截取，过点作轴的垂线，分别与过点作轴的垂线交于点，连接，交于点，
∵，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，纵坐标的绝对值为，
∴，
∵，，
∴平分，
∴垂直平分（等腰三角形的三线合一），
∴，即，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得，
则点的坐标为，
故答案为：．
【分析】过点B作AB的垂线并截取A'B = AB，通过AAS证明△A'BD ≌ △BAC，求出点A'的坐标为(3， -2)。利用∠ABP = 45°和∠A'BA = 90°，得出BE平分∠A'BA，再由等腰三角形三线合一，得到BE是AA'的垂直平分线，从而求出中点E(-2， -1)。用待定系数法求出直线BP的解析式为y = 5x + 9，与直线y = x - 2联立求解，得到点P的坐标为。
14．已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为　 　
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：可知过原点，
∵中，时，，
∴当过点时，，
得；
当与平行时，
得．
由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：．
故答案为：．
【分析】
由一次函数图象上点的坐标特征知，当时，；因为是正比例函数，当过点时，；当与平行时，，由函数图象知，．

15．定义：在平面直角坐标系中，如果直线上的点经过一次变换后得到点，那么称这次变换为“逆倍分变换”．直线与轴、轴分别相交于点，，点为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点使得和的面积相等，则点的坐标为　 　．
【答案】或
【知识点】解一元一次方程；点的坐标；平行线之间的距离；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：如图，和的面积相等，
在过且平行于的直线上或在上方平行于，且该直线到直线的距离等于直线到过点且平行于的直线的距离．
所在直线为或（根据平移到直线的方式与直线平移到直线的平移方式相同得到）．
故可设为或．
为或．
又∵在上，
或．
或．
或．
故答案为：或．
【分析】
根据题意，和的面积相等，画出图象可得在过且平行于的直线上或在上方4个单位且平行于，故所在直线为或，进而可设为为或，则为或．再由在上，建立方程求出即可解答．
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分。
得分
16．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第四象限，点在线段上．连接，，过点P作x轴的垂线，交边于点E，交折线段于点F．
（1）求点A，B的坐标；
（2）设点E，F的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值；
（3）在（2）的条件下，分别过点E，F作，垂直于y轴，垂足分别为点G，H，当时，求长方形周长的最大值．
【答案】（1）解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点B，
∴当时，得：，
解得：，
当时，得：，
∴，；
（2）解：设的解析式为，过点，
∴，
∴，
∴的解析式为，
∵点在线段上，过点作轴的垂线，交边于点，交折线段于点，且点，的纵坐标分别为，，，
∴，，
∴，
∵为定值，即为定值，
∴，
解得：；
（3）解：①当时，（定长），在点运动到图中点，此时直线经过点，即，
∴长方形周长的最大值：，
②当时，
设的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
∴，
∴长方形的周长为：，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，长方形周长的最大值为：，
综上所述，长方形周长的最大值为．
【知识点】解二元一次方程；坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）分别令和x=0，可以得到关于和y的一元一次方程，解方程后即可得出点，的坐标；
（2）利用待定系数法将C点坐标（4，t）代入，得到的解析式为，然后表示出，再根据定值的条件得出，求解t即可；
（3）分和两种情况，并结合待定系数法和一次函数的增减项进行讨论计算即可．
（1）解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点B，
∴当时，得：，
解得：，
当时，得：，
∴，；
（2）解：设的解析式为，过点，
∴，
∴，
∴的解析式为，
∵点在线段上，过点作轴的垂线，交边于点，交折线段于点，且点，的纵坐标分别为，，，
∴，，
∴，
∵为定值，即为定值，
∴，
解得：；
（3）①当时，
（定长），在点运动到图中点，此时直线经过点，即，
∴长方形周长的最大值：，
②当时，
设的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
∴，
∴长方形的周长为：，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，长方形周长的最大值为：，
综上所述，长方形周长的最大值为．
17．某电脑经销商，今年二，三月份型和型电脑的销售情况，如下表所示：
型（台） 型（台） 利润（元）
二月份 15 20 4500
三月份 20 10 3500
（1）直接写出每台型电脑和型电脑的销售利润分别为　 　；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍．设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元．
①求与的关系式；
②该商店购进型、型各多少台，才能使销售利润最大？
（3）实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑60台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1）100元，150元
（2）解：①据题意得，y=100x+150（100-x），
即与的关系式为y=-50x+15000，
②据题意得，100-x≤2x，
解得x≥，
∵y=-50x+15000，-50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x=34时，y取最大值，则100-x=66，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
（3）解：据题意得，y=（100+m）x+150（100-x），
即y=（m-50）x+15000，≤x≤60，且x为整数，
分三种情况讨论：
①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
②m=50时，m-50=0，y=15000，
∵≤x≤60，且x为整数，
∴34≤x≤60，且x为整数，
即商店购进A型电脑数量满足34≤x≤60的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜80时，m-50＞0，y随x的增大而增大，
∴当x=60时，y取得最大值．
即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【知识点】一次函数的性质；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；
根据题意得，
解得
故答案是： 100元，150元．
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据表格信息列二元一次方程组解答即可；
（2）①据题利润=甲、乙两种电脑的利润和解答即可；
②根据题意求出自变量x的取值范围，然后根据函数的增减性求出最大利润即可；
（3）据题得到y=（m-50）x+15000，分0＜m＜50，m=50，50＜m＜80三种情况根据函数的增减性得到最大值解答即可.
18．小明根据学习一次函数的经验，对函数究.小明的探究过程如下列表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 4 3 2 1 2 3 4 5 n …
（1）填空：m=　 　；n=　 　。
（2）以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连线；
（3）根据表格及函数图象，探究函数性质：
①函数值y的最小值为　 　.
②当x>-1时，函数值y随自变量x的增大而　 　。(填“增大”或“减小”)；
③若关于x的方程|x+1|=b-1有两个不同的解，则b的取值范围为　 　.
【答案】（1）1；6
（2）通过描点连线，图像如图所示
（3）1；增大；b＞1
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）由表格可得：当时，
将代入解析式可得：，解得
所以函数为
当时，
综上所述：，
（3）因为函数图象有最低点，并且最低点的纵坐标为，所以函数的最小值为
由图像可得：当时，函数图象上升，所以函数值随自变量的增大而增大
因为，所以
设，
因此关于的方程有两个不同的解，可转化为函数与有两个不同的交点
观察函数图象可知：
当时，函数与有两个不同的交点，即方程有两个不同的解
所以的取值范围为：
【分析】（1）将代入即可求出的值，得到，然后将代入即可求出的值；
（2）根据表格中的坐标描点，然后连线画图即可；
（3）结合（2）作出的图象，可求出①和②小问，将第③问中的方程转化为两个函数，进而将方程的解得问题转化为两个函数的交点的问题，结合函数图象可求出的取值范围.
19．设一次函数y=kx+b-3（k，b是常数，且k≠0）。
（1）若该函数的图象过点（（-1，2），试判断点P（4，5k+2）是否也在此函数的图象上，并说明理由。
（2）已知点A（a，y1）和点都在该一次函数的图象上，求k的值。
（3）若k+b<0，点Q（5，m）（m>0）在该一次函数图象上，求证：
【答案】（1）解：∵函数图象过点(-1，2)，
把点( 1，2)代入y=kx+b-3可得：
2=-k+b-3，
解得b=k+5。
当x=4时，
y=4k+b-3=4k+(k+5)-3=5k+2，
与点P的纵坐标一致，所以点P在函数图象上。
（2）解：∵点A(a，y1)、B(a-2，y1+2)在函数图象上，
∴y1=ak+b-3①，y1+2=(a-2)k+b-3②。
用②式减去①式可得：2=-2k，
解得k=-1。
（3）解：∵k+b<0，
∴b<-k；
又∵点Q(5，m)在函数上且m>0，
∴m=5k+b-3>0，
即b>3-5k。
∴3-5k即3-5k<-k，
3<4k，
解得k>。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；不等式的性质的实际应用
【解析】【分析】（1）先将已知点( 1，2)代入函数y=kx+b 3，求出b关于k的表达式，进而得到完整的函数表达式，再将点P的横坐标代入函数表达式，看得到的纵坐标是否与点P的纵坐标相等；
（2）因为点A(a，y1)和点B(a 2，y1+2)都在函数图象上，将这两点分别代入函数表达式，得到两个关于a、y1、k、b的等式，然后通过两式相减消去a、y1、b，从而求出k的值；
（3）先根据点Q(5，m)在函数图象上得到m关于k、b的表达式，再结合0m>0得到b关于k的一个不等式；然后由k+b<0得到b关于k的另一个不等式；最后通过这两个不等式得到关于k的不等式，进而求出k的取值范围。
20．如图1：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点．
（1）求点的坐标和直线的解析式；
（2）如图2，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标；
（3）如图3，当于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于、两点，
∴，即，
∴，即，
将点A坐标代入得：，解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
设点C的横坐标为m，则上边上的高为，
∴，解得：，
∵点C在直线上，
∴当时，，即；
当时，，即．
∴点C的坐标为或．
（3）或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（3）存在满足条件的点Q，
∵，
∴，
∴以O、P、Q为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，.
①当时，
∴，即点P的横坐标为或，
如图：
∴点P的纵坐标为或，
∴点Q的坐标为或；
②当时，，即点P、Q的纵坐标为或，
如图所示：
∴点Q的坐标为或．
综上，点Q的坐标为或或或．
【分析】
（1）根据直线与轴、轴分别交于、两点得点B坐标，再根据已知条件得点A坐标，然后用待定系数法求出直线解析式，解答即可；
（2）根据得，再计算得，设点C的横坐标为m，利用三角形面积建立方程求出m值，可得点C的坐标，解答即可；
（3）根据勾股定理得到AB，再利用等面积法求得，分和两种情况分别画出图形，在根据全等三角形的性质确定点Q坐标即可解答．
（1）解：∵直线与轴、轴分别交于、两点，
∴，即，
∴，即，
将点A坐标代入得：，解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
设点C的横坐标为m，则上边上的高为，
∴，解得：，
∵点C在直线上，
∴当时，，即；
当时，，即．
∴点C的坐标为或．
（3）解：存在满足条件的点Q，
∵，
∴，
∴以O、P、Q为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，.
①当时，
∴，即点P的横坐标为或，
如图：
∴点P的纵坐标为或，
∴点Q的坐标为或；
②当时，，即点P、Q的纵坐标为或，
如图所示：
∴点Q的坐标为或．
综上，点Q的坐标为或或或．
21．襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示．
有机蔬菜种类 进价/（元） 售价/（元）
甲 m 16
乙 n 18
（1）该超市购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要170元；购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要200元．求m，n的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于，且不大于，实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完，求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y（元）与购进甲种蔬菜的数量之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，该超市如何购买花菜才能使当天的利润最大？
【答案】（1）解：根据题意，
得
解得．
故m，n的值分别为10，14．
（2）由题意可知．当时，
；
当时，
．
∴；
（3）当时，，y随x的增大而增大，
∴当时，y最大，为520．
当时，，y随x的增大而减少，
当时，y最大，为520．
答：当，即甲种蔬菜购进，乙种蔬菜购进时，利润额取最大值，为520元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）根据题意“ 购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要170元；购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要200元 ”可以列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）根据题意，分类讨论可求得y与x的函数关系式；
（3）根据（2）中的条件，可以求得y的最大值．
（1）根据题意，得
解得．
故m，n的值分别为10，14．
（2）由题意可知．
当时，；
当时，．
∴；
（3）当时，，y随x的增大而增大，
∴当时，y最大，为520．
当时，，y随x的增大而减少，
当时，y最大，为520．
故当，即甲种蔬菜购进，乙种蔬菜购进时，利润额取最大值，为520元．
22．武汉的夏季到了，某服装店同时购进，两款夏装共套，进价和售价如下表所示，设购进款夏装套（为正整数），该服装店售完全部，两款夏装获得的总利润为元．
夏装款式 款 款
每套进价（单位：元）
每套售价（单位：元）
（1）求与的函数关系式；
（2）该服装店计划投入不多于万元购进这两款夏装，则至少购进多少套款夏装？若，两款夏装全部售完，则服装店可获得的最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，服装店购进款夏装的进价降低元（其中），购进款夏装的进价不变，且最多购进套款夏装．若保持这两款夏装的售价不变，该服装店如何进货使得全部售完，两款夏装获得的利润最大？
【答案】解：（1）根据题意得y=（100-60）x+（150-80）（300-x）=-30x+21000，
即y=-30x+21000；
（2）由题意得，60x+80（300-x）≤20000，
解得x≥200，
∴至少要购进甲款运动服200套．
又∵y=-30x+21000，-30＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=200时，y有最大值，
y最大=-30×200+21000=15000，
∴若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是15000元；
（3）由题意得，y=（100-60+a）x+（150-80）（300-x），其中200≤x≤240，
化简得，y=（a-30）x+21000，
∵20＜a＜40，则：
①当20＜a＜30时，a-30＜0，y随x的增大而减小，
∴当x=200时，y有最大值，
则服装店应购进甲款运动服200套、乙款运动服100套，获利最大；
②当a=30时，a-30=0，y=21000，
则服装店应购进甲款运动服的数量应满足200≤x≤240，且x为整数时，服装店获利最大；
③当30＜a＜40时，a-30＞0，y随x的增大而增大，
∵200≤x≤240，
∴当x=240时，y有最大利润，
则服装店应购进甲款运动服240套、乙款运动服60套，获利最大．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润=（A款的售价-A款的进价）×购进A款的数量+（B款的售价-B款的进价）×购进B款的数量代入列关系式，并化简求解即可；
（2）根据题意先求出60x+80（300-x）≤20000，再求出当x=200时，y有最大值，最后求解即可；
（3）根据题意先求出y=（a-30）x+21000，再把20＜a＜40分三种情况讨论计算求解即可.
23．根据以下素材，探索完成任务．
背景 小宁和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时小宁用所学过的知识来记录他们的行程．
素材1 小宁从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图①．
素材2 小宁通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图②所示的函数图象，她乘坐1号观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后乘坐2号观光车继续行驶到达终点．折线表示观光车离终点的路程与小宁从入口出发的时间之间的关系．
素材3 小宁在去往终点的途中，遇到了游玩结束从终点返回的小波．通过交流，小宁获得了一些信息，如图②，线段EF表示小波从终点乘坐的3号观光车离终点的距离与小宁从入口出发的时间之间的关系．
问题解决
任务1 从景点甲到终点的2号观光车的速度是________，从终点返回的3号观光车的速度是________．
任务2 小宁出发多少时间后，与小波相遇？
任务3 小宁出发多少时间后，两人相距？
【答案】解：（1）16；24，
（2）设段解析式为，把代入，得
，
解得，
∴．
设段解析式为，把代入，得
，
解得，
∴．
解，得，
∴小宁出发多后，与小波相遇
（3）相遇前：
当时，，
，
∴，
解得．
相遇后：
，
解得．
综上可知，小宁出发小时或小时，两人相距．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）从景点甲到终点的2号观光车的速度是，
从终点返回的3号观光车的速度是．
故答案为：16；24；
【分析】（1）根据图象提供的信息，2号观光车从景点甲到达终点用时(4.5-2)小时，景点甲离终点的距离为40km，根据速度=路程÷时间计算即可；根据图象提供的信息，3号观光车从终点到达入口用时(4-1.5)小时，景点入口离终点的距离为60km，根据速度=路程÷时间计算即可；
（2）利用待定系数法求出CD段和EF段的函数解析式，然后联立求解即可；
（3）首先判断出当x=2时，两人相距的距离小于30km， 然后分相遇前，由40减去小波距离终点得距离等于他们之间的距离建立方程，求解即可；相遇后，小波距离终点的距离-小宁距离终点的距离等于两人之间的距离建立方程，求解即可.
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