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(共18张PPT)
第二十二章　函数
第3课时　函数的解析式
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.（2022新课标）能用函数的解析式刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义.
2.（2022新课标）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值.
抽象能力　运算能力
模型观念　应用意识
函数的解析式
（1）用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的　　　　　.

（2）注意：函数解析式是有顺序的.y=2x-1表示y是x的函数，若x=2y-1，则表示x是y的函数，所以求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y.
解析式　
1.（2025天津模拟）中国高铁运营速度处于全球领先水平.设京沪高铁列车的平均时速为300 km/h，则其行驶路程y（单位：km）关于行驶时间x（0≤x≤4.4）（单位：h）的函数解析式为　　　　　　.
2.（人教8下P91，教材新增、北师8上P86）用20 m长的绳子围一个矩
形，记矩形的一边长为x m，矩形的面积为S m2，则S关于x的函数解析式为　　　　　　.
y=300x
S=x（10-x）
求函数自变量的取值范围
求函数自变量取值范围的两个依据：
（1）要使函数的解析式　　　　　　.
①函数的解析式是整式，自变量可取 ；
②函数的解析式含分式（分母中含有字母）时，自变量的取值应使
　　　　　　　；
③函数的解析式含二次根式时，自变量的取值应使　　　　　　　　；
④函数的解析式含零次幂时，自变量的取值应使底数不为0.
（2）确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且要注意问题的　　　　意义.
有意义
全体实数
分母≠0
被开方式≥0
实际
3.写出下列函数中自变量x的取值范围：
（1）y=3x-1；　 （2）y=2x2+7.
　　　　　　 　　　　　　
4.（2025黑龙江）在函数y=中，自变量x的取值范围是　　　　.
5.（人教8下P96）（2025大庆）函数y=的自变量x的取值范围
是　　　　.
全体实数
全体实数
x≠-3
x≥1
6.在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r（cm）的同心圆，得到一个圆环.设圆环的面积为S（cm2），求S关于r的函数解析式，并直接写出自变量r的取值范围.
解：半径为10 cm的圆的面积为100π cm2，
半径为r cm的圆的面积为πr2 cm2，
则S关于r的函数解析式为S=100π-πr2，且07.【例1】（2025常州二模）为了抗击甲流，遏止疫情传播，小明决定购买某种单价为0.5元的口罩，购买x个这种口罩的总价为y元，则y与x的函数解析式为　　　　　　.
小结：根据题意，找到所求量的等量关系是解题关键.
y=0.5x
12.（2025长沙三模）已知长沙市的土地总面积约为11 819 km2，人均占有的土地面积S（单位：km2）随全市人口n（人）的变化而变化，则S与n的函数解析式为　　　　　　.
S=
8.【例2】（人教8下P96）一个三角形的底边长为5，面积S随底边上的高h的变化而变化，写出面积S随h变化的函数解析式为 ，
并指出自变量的取值范围为　　　　　　.
小结：利用几何图形的面积公式是解题关键.
S=h
h>0
13.（人教8下P95）梯形的上底长2 cm，高3 cm，下底长x（cm）大于上底长但不超过5 cm，写出梯形面积S（cm2）关于x的函数解析式为
　　　　　　，并指出自变量x的取值范围为　　　　　　.
S=（x+2）
29.【例3】（北师8上P83）如图，甲、乙两地相距500 km，一列动车组列车从乙地出发，以350 km/h的速度向丙地行驶.设x（h）表示列车行驶的时间，y（km）表示列车与甲地的距离.
（1）写出y与x的函数解析式；
（2）当x=0.5时，求y的值.
解：（1）根据题意得y=500+350x.
（2）当x=0.5时，y=500+350×0.5=675.
小结：（2）中已知函数解析式求函数值，就是将x的值代入求值.
14.（人教8下P95改编、北师8上P81）某水池有水15 L，现打开进水管进水，进水速度5 L/h，经过x h这个水池内有水y L.
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）进水6 h后，水池有多少水？
解：（1）y关于x的函数解析式为y=5x+15.
（2）当x=6时，y=5×6+15=45.
答：进水6 h后，水池有45 L水.
10.【例4】写出下列函数中自变量x的取值范围：
（1）y=；（2）y=；（3）y=.
　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
小结：当函数关系式含分式、二次根式、零指数幂等综合时，自变量的取值范围一定要满足每一种情况.
x≠2
x≤3
x≥1且x≠3
15.写出下列函数中自变量x的取值范围：
（1）y=；（2）y=；（3）y=+.
　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
x>-3
x≥0且x≠1
x≥2且x≠3
11.【例5】（人教8下P94、北师8上P81改编）汽车油箱中有汽油50 L.如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y（L）随行驶路程x（km）的增加而减少，已知平均耗油量为0.1 L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子；
（2）指出自变量x的取值范围；
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？
解：（1）y与x的函数关系的式子为y=50-0.1x.
（2）x不能为负数，即x≥0；又0.1x≤50，解得x≤500.
综上所述，自变量x的取值范围是0≤x≤500.
（3）当x=200时，y=50-0.1×200=30.
答：汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油.
小结：确定实际问题的函数解析式时，一定不能忽略自变量的取值范围.
★16.（应用意识、思维能力）某校团支部书记暑假带领学生去旅游，甲旅行社说：“若团支部书记买全票一张，则学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括团支部书记在内都可享受6折优惠.”若全票价是1 200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙.
（1）求两家旅行社的收费与学生人数的关系式；
（2）x在什么范围内，甲旅行社购票更优惠？
解：（1）依题意，得y甲=1 200+0.5×1 200x=600x+1 200；
y乙=0.6×1 200（x+1）=720x+720.
（2）600x+1 200<720x+720，解得x>4.
答：当x>4时，甲旅行社购票更优惠.(共19张PPT)
第二十二章　函数
第1课时　常量、变量
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.（2022新课标）探索简单实例中的数量关系和变化规律.
2.（2022新课标）了解常量、变量的意义.
抽象能力　模型观念
应用意识
探索数量关系，认识变化规律
（1）在现实世界中，一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.
（2）举例：
①我国“天宫”空间站与北京航天飞行控制中心的距离随时间的变化而变化；
②气温随海拔的变化而变化；
③树高随树龄的变化而变化；
④青春期男女生的平均身高随年龄的变化而变化；
⑤三角形的高确定时，它的面积随底边长的变化而变化.
（3）在研究运动变化现象时，为了描述事物的状态，人们经常会引进一些量，通过研究不同量之间的关系，来认识事物变化的规律.
1.（人教8下P90）汽车以60 km/h的速度匀速行驶.
（1）当行驶时间t分别为1 h，2 h，5 h时，行驶路程s分别为　　 km，
　　　　km，　　　　km；
（2）s的值随t的值的变化而变化吗？
60　
120
300
（2）s的值随t的值的变化而变化.
2.（人教8下P90）电影票的售价为40元/张.
（1）第一场售出80张票，第二场售出105张票，第三场售出180张票，三场电影的票房收入各是　　　　元，　　　　元，　　　　元；
（2）设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗？
3 200
　4 200
7 200
（2）y的值随x的值的变化而变化.
常量与变量
（1）一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为
　　　　，数值发生变化的量为　　　　.
（2）注意：
①常量与变量不是绝对的，而是对于一个变化过程而言的；
当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变；
②常量、变量与字母的指数没有关系，如S=πr2.
常量　
变量
3.（人教8下P90）你见过水中的涟漪吗？如图，圆形水波慢慢地扩大.
（π取3.14）
（1）在这一过程中，当圆的半径r分别为10 cm，20 cm，30 cm时，
圆的面积S分别为　　　　cm2，　　　　cm2，　　　　cm2；
（2）指出其中的常量和变量.
314
　1 256
2 826
（2）圆周率π是常量，面积S和半径r是变量.
4.（人教8下P90，教材新增）长方体的体积为1 000 cm3.
（1）当长方体的底面积S分别为50 cm2，100 cm2，125 cm2时，高h分别为 cm，　　　　cm，　　　　cm；
（2）指出其中的常量和变量.
20
10
8
（2）体积是常量，底面积S和高h是变量.
5.【例1】（2025贵州二模）如图是佳佳购买贵州刺梨干的销售标签，则在单价、数量、总价的关系中，常量是（　　）
A.总价
B.数量
C.单价
D.总价和数量
小结：根据常量是固定不变的量，变量是变化的量来判断结果.

C
8.（人教8下P95）（2025宝鸡期末）水中涟漪（圆）不断扩大，记它的半径为R，圆周长为C，下列关于C=2πR的说法正确的是（　　）
A.C，π，R是变量，2是常量
B.C是变量，2，π，R是常量
C.C，R是变量，2，π是常量
D.R是变量，π，C是常量
C
6.【例2】（人教8下P91，教材新增）指出下列问题中的常量和变量：
（1）某市居民生活用水的价格为5元/t.记某户的月用水量为x t，月应缴水费为y元；
（2）在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费1元.李明在公交卡中存入30元，记此后他乘坐公交车n次，公交卡中的余额为w元；
（3）用20 m长的绳子围一个矩形,记矩形的一边长为x m,矩形的面积为S m2.
小结：根据常量和变量的定义判断.
解：（1）生活用水的价格是常量，某户的月用水量x和月应缴水费y是变量.
（2）刷公交卡每次收费和存入的钱数是常量，乘坐公交车的次数n和公交卡中的余额w是变量.
（3）绳的长度是常量，矩形的一边长x和面积S是变量.
9.（人教8下P91，教材新增）指出下列问题中的常量和变量：
（1）向一个水池注水，注水速度为0.1 m3/min，记注水时间为x min，注水量为y m3；
解：（1）注水速度是常量，注水时间x和注水量y是变量.
（2）我国“十四五”期间每年的国内生产总值如下表所示：
年份х 2021 2022 2023 2024 2025
国内生产总值 y/万亿元 114.92 120.47 129.43 134.91 预测
140
（2）年份х和国内生产总值y是变量.
（3）一个平行四边形的底边长为5，高h可以任意改变，面积为S.
（3）底边长是常量，高h和面积S是变量.
7.【例3】（1）（2025唐山期末）如左下图，用钉子将四根木条钉成正方形框，并向右扭动得到四边形ABCD.下面的量是常量的是 ，
是变量的是　　 　　.（填序号）
①∠ABC的度数； ②对角线AC的长；
③四边形ABCD的面积； ④四边形ABCD的周长.
④　
①②③
（2）（2025贵州）如右上图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（　　）
A.越来越慢　 B.越来越快
C.保持不变　 D.快慢交替变化
小结：（1）结合四边形的性质，判断常量与变量；
（2）根据容器的形状为上窄下宽，判断水面升高的速度的变化.
B
★10.（抽象能力、应用意识）（2025晋中期末）小明为了解水温的变化规律，连续测量并记录一杯开水在室温下的温度变化情况，如下表：
（1）室温大概是　　　　℃；
（2）指出问题中的变量；
时间/min 0 5 10 15 25 35 45 55 65 70
温度/℃ 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22
22
（2）时间和温度是变量.
（3）你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗？
（4）某种奶粉的适宜冲泡温度为42 ℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等　　　　分钟.
（3）在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致.
18(共19张PPT)
第二十二章　函数
第2课时　自变量、函数、函数值
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.通过关系式、图、表格，感受两个变量之间的关系.
2.（2022新课标）了解函数的概念，能举出函数的实例.
3.（2022新课标）会求函数值.
抽象能力　运算能力
模型观念　应用意识
感受两个变量之间的关系
（1）两个变量中，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有
　　　　确定的值与其对应.
（2）在关系式y=40x中，当x=80时，y=3 200；当x=105时，y=4 200；当x=180时，y=7 200.
可见两个变量x和y中，y随x的变化而变化.
（3）一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间有上面那样的关系.
唯一
1.（人教8下P92）（2025苏州模拟）一辆汽车在行驶的过程中，已知汽车行驶的速度是60千米/时，若设x小时行驶的路程为y千米，则变量y与x之间的关系式为　　　　.
2.（人教8下P90，教材新增）长方体的体积为1 000 cm3，长方体的底面积S随高h的变化而变化，则变量S与h之间的关系式为　　　　.
y=60x
S=
自变量、函数
（1）一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有　　　　确定的值与其对应，那么我们就说x
是　　　　，y是x的　　　　.
（2）注意：函数的定义中包含了对应值的存在性和唯一性两重意思.
（3）在关系式s=60t中，时间t是　　　　，路程s是t的　　　　.
唯一
自变量
函数
自变量
函数
3.（人教8下P92，教材新增）潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发
生的周期性涨落现象.我国某港口潮水的高度h在某时段t的变化如图所示，则　　　　是自变量，　　　　是自变量的函数.
t　
h
函数值
（1）如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的　　　　.
（2）注意：对于每个确定的自变量的值，函数值是　　　　的，但反过来，一个函数值对应的自变量的值可以不唯一.
（3）在关系式s=60t中，当t=1时，函数值s=　　　　；当t=2时，函数值s=　　　　.
（4）在第3题的图中，当t=6时，函数值h=　　　　.
函数值
唯一
60
120　
200
4.（2025无锡二模）已知函数y=-3x+5，当x=2时，其对应的函数值为
　　　　.
5.（人教8下P93，教材新增）某年某银行整存整取的存款期限x与对应的
年利率y如下表所示，则存款期限x是　　　　，年利率y是x的　　　　；当x=24时，函数值y=　　　　.
存款期限x/月 3 6 12 24 36 60
年利率y/% 1.15 1.35 1.45 1.65 1.95 2.00
-1
自变量
函数
1.65%
6.【例1】（人教8下P93，教材新增）判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自变量与函数.
（1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随x的变化而变化；
（2）乘坐摩天轮时，游客离地面的高度h随时间t的变化而变化；
（3）某天不同时刻的气温如图所示，气温T随时间t的变化而变化；
（4）某地一年中1-8月份的降水量如下表所示，降水量y随月份x的变化而变化.
月份x 1 2 3 4 5 6 7 8
降水量y/mm 20 23 43 95 146 193 186 138
小结：根据两个变量之间的关系判断自变量和函数.
解：（1）是函数关系；边长x是自变量，面积S是x的函数.
（2）是函数关系；时间t是自变量，高度h是t的函数.
（3）是函数关系；时间t是自变量，气温T是t的函数.
（4）是函数关系；月份x是自变量，降水量y是x的函数.
9.（人教8下P95，教材新增）判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自变量与函数.
（1）记小于自然数n的质数的个数为m，m随n的变化而变化；
（2）北京天安门广场的国旗每天随日出升起.某年国庆七天假期每天的升旗时刻如下表所示，升旗时刻随日期的变化而变化.
日期x 1 2 3 4 5 6 7
升旗时刻y 6：10 6：11 6：12 6：13 6：14 6：15 6：16
解：（1）是函数关系；自然数n是自变量，小于n的质数的个数m是n的函数.
（2）是函数关系；日期x是自变量，升旗时刻y是x的函数.
10.（人教8下P96，教材新增、北师7下P162）人们对于学过的知识会遗忘，遗忘曲线（如图）描述了人类大脑对新事物记忆保存量减少的规律.横轴表示初次记忆后经过的时间t，纵轴表示记忆保存量y，y是t的函数吗？为什么？
解：y是t的函数.理由如下：
对于t的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.
7.【例2】（人教8下P107改编）（2025东莞一模）下列选项中，y不是x的函数的是（　　）
小结：对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应.
A
11.下列y一定是x的函数的是 （填序号）.
③
8.【例3】（人教8下P96）按下面的程序操作：
（1）填表；
x 1 3 -4 0 101 -5.2
y
7　
11　
-3　
5　
207　　
-5.4
　
（2）显示的计算结果y是输入数值x的函数吗？为什么？
（2）显示的计算结果y是输入数值x的函数，
理由：给出x的一个值，有唯一的y值与之对应.
小结：根据程序求出对应的y值，再根据函数的定义判断即可.
12.（2025揭阳一模）对于函数y=2x3，自变量x分别取-，-1，0，1中哪个时，函数值最大（　　）
A.-　 B.-1　 C.0　 D.1
★13.（思维能力）（2025达州期末）如图是关于变量x，y的程序计算，若开始输入自变量x的值为4，则最后输出函数y的值为　　　　.
D
132(共17张PPT)
第二十二章　函数
第6课时　函数的三种表示方法
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.（2022新课标）了解函数的表示法.
2.（2022新课标）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.
3.（2022新课标）结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论.
运算能力　几何直观
模型观念　应用意识
函数的表示方法
（1）三种表示函数的方法：
　　　　　、　　　　　和图象法.
（2）对于一个具体的函数问题，应当选择适当的方法表示其中的函数关系.有时为全面地认识问题，需要同时使用多种表示法.
（3）注意：有的函数可以用三种方法中的任意一种表示，有的只能用其中的一种或两种表示.
解析法
列表法
1.（跨学科融合）（2025广州期末）水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查水量与漏水时间的关系，某同学在滴水的水龙头下放置了一个能显示水量的容器，每5 min记录一次容器中的水量如下表：
时间x/min 0 5 10 15 20 25 30 …
水量y/mL 0 15 30 45 60 75 90 …
（1）请根据上表中的信息，在图中描出以上述数据为坐标的各点，并依次连接起来；
（2）根据各点的分布规律，试写出y关于x的函数解析式为 .
解：（1）如图.
答案图
y=3x
函数的三种表示方法及其优缺点
函数的表 示方法 比较
优点 缺点
解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且有些实际问题不一定能用解析式表示出来
列表法 由表中已有的自变量的每一个值，可以直接得出相应的 　 表中自变量的值不能一一列出，也不容易反映函数与自变量之间变化关系的全貌
图象法 能直观形象地表达函数值随自变量的变化而变化的关系 观察图象只能得到　　　　　的数量关系
函数值
近似
2.（2025西安期末）同学们通过地理课的学习知道“海拔越高，气温越
低”，如下表是某地的海拔高度x（km）与此高度处气温y（℃）的关系.
海拔高度x（km） 0 1 2 3 4 5 …
气温y（℃） 24 18 12 6 0 -6 …
（1）描点，画出函数图象；
（2）写出气温y与海拔高度x的关系式；
（3）当海拔高度是10 km时，气温是多少？
解：（1）描点，画出函数图象略.
（2）由题意得，海拔高度每上升1 km，气温下降6 ℃，
∴气温y与海拔高度x的关系式是y=24-6x.
（3）当x=10时，24-6×10=-36，
∴当海拔高度是10 km时，气温是-36 ℃.
3.【例1】（人教8下P107）用列表法与解析法表示n边形的内角和m（单位：度）关于边数n的函数.
（1）列表法：
（2）解析法：n边形的内角和m关于边数n的函数关系式为
　　　　　 　　（n≥3，且n为正整数）.
n 3 4 5 6 7 …
m（度） …
小结：按要求的方法表示函数关系.
180
360
540
720　
900
m=（n-2）×180
6.（人教8下P107）用解析式法与图象法表示等边三角形的周长C关于边长a的函数.
（1）解析法：等边三角形的周长C关于边长a的函数关系式为
　　　　（a>0）；
（2）图象法：如图，画出函数图象.
C=3a
（2）如图：
答案图
4.【例2】已知用于爆破工程的炸药包的导火线长为100 cm，正常情况
下，导火线每秒钟燃烧4 cm.
（1）导火线燃烧时的长度l（cm）与燃烧时间t（s）之间的函数关系式是　　　　　　　；
（2）点燃导火线　　　　秒后爆炸，自变量t的取值范围是
　　　　　　　　；
（3）完成下表（注意首尾两点的选取）：
t 0 5 10 15 20 25
l
l=100-4t
25
0≤t≤25
100　
80　
60　
40　
20　
0　
（4）画函数的图象；
（5）由图象可知：点燃导火线12.5 s时，导火线还剩　　 　cm.
小结：函数的三种表示方法有时可以相互转化.
（4）如图：
答案图
50
7.（人教8下P107）一条小船沿直线向码头匀速前进，在0 min，2 min，
4 min，6 min时，测得小船与码头的距离分别为200 m，150 m，100 m，50 m.
（1）小船与码头的距离s是时间t的函数吗？
解：（1）小船与码头的距离s是时间t的函数.
（2）如果是，写出函数解析式，并在图中画出函数图象；
（3）如果船速不变，　　　　min后小船到达码头.
（2）小船的速度为（200-150）÷（2-0）=25（m/min），
故函数解析式为s=200-25t（0≤t≤8）.
画出函数图象如图：
答案图
8
5.【例3】如图的图象所反映的是某市出租汽车的收费y（元）与乘客乘车路程x（千米）之间的函数关系，请列表格表示出它们之间的关系，并根据图象写出其中三条信息.
小结：直接利用图象得出相关信息，注意图象是分段的.
解：列表格略.其中三条（答案不唯一）：
（1）里程不超过2千米都收费5元；
（2）里程6千米收费15元；
（3）当里程超过2千米时，每千米加收2.5元.
★8.（几何直观、思维能力）（2025佛山月考）如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，图象如图2.
（1）自变量、函数分别是　　　　、　　　　；
（2）当x=4时，y=　　　　；
（3）AB的长为　　　　，梯形ABCD的面积为　　　　.
x　
　y　
16
8
26(共21张PPT)
第二十二章　函数
第4课时　用描点法画函数图象
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.会用描点法画函数的图象.
2.体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题的能力.
几何直观　推理能力
模型观念　应用意识
用描点法画函数图象的步骤
（1）列表——表中给出一些自变量的值及其对应的　　　　　.
（2）描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为　　　　　，相应的函数值为　　　　　，描出表格中数值对应的各点.
（3）连线——按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用
　　　　　连接起来.
函数值　
横坐标
纵坐标　
平滑曲线
1.（北师8上P89）画出函数y=2x的图象.
解：（1）列表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … …
-4
-2
0
2　
4
（2）描点：根据表中数据描出各点（x，y）；
（3）连线：用平滑曲线依次连接各点.
（2）略
（3）略　
点与函数图象的关系
将点的坐标代入函数解析式，若满足函数的解析式，则该点　　　　函数图象上；若不满足，则该点　　　　函数图象上.
在
不在
2.（2025甘肃模拟）下列四点中，在函数y=3x+2的图象上的点是（　　）
A.（-1，1） B.（-1，-1）
C.（2，0） D.（0，-1.5）
3.（2025汕头模拟）已知函数y=2x-k的图象经过点（-3，1），则k的
值等于　　　　.
B
-7
有关实际问题的函数图象
（1）如果图象自左向右是上升的，那么函数值随着自变量的增大而
　　　　　.
（2）如果图象自左向右是下降的，那么函数值随着自变量的增大而
　　　　　.
（3）如果图象自左向右是与横轴平行的，那么函数值随着自变量的增大而　　　　　　.
（4）注意：要根据自变量的取值范围来确定图象.
增大
减小
保持不变
4.已知矩形的周长为10，长为y，宽为x.
（1）写出y关于x的函数解析式及x的取值范围；
解：（1）由题意得2（x+y）=10，即y=5-x，
∵y>0，∴5-x>0，x<5，
∵x>0，∴0∴y关于x的函数解析式是y=5-x，x的取值范围是0（2）在平面直角坐标系中，画出函数图象.
（2）如图：
答案图
5.【例1】画出函数y=x-1的图象.
解：（1）列表：
x … -2 0 2 4 6 …
y … …
-2
　-1
0
1
2
（2）描点：根据表中数据描出各点（x，y）；
（3）连线：用平滑曲线依次连接各点.
小结：列表时，自变量的取值不应使函数值太大或太小，以便于描点，点数一般以5到7个为宜.
（2）（3）如图：
答案图
8.（人教8下P107，教材新增）画出函数y=-（x>0）的图象.
x … 0.5 1 2 3 4 5 6 …
y … …
-6　
-3　
-1.5　
　-1
　-0.75　
-0.6　
-0.5
描点、连线如图.
答案图
6.【例2】（人教8下P102改编）（2025福州期中）已知函数y=2x-1.
（1）画出函数y=2x-1的图象；
（2）直接判断点A（-3，-5），B（2，-3），C（3，5）是否在函数y=2x-1的图象上；
解：（1）画函数图象如图.
（2）点A（-3，-5）不在直线y=2x-1图象上；
点B（2，-3）不在直线y=2x-1图象上；
点C（3，5）在直线y=2x-1图象上.
（3）若点P（m，9）在函数y=2x-1的图象上，则m的值为　　　　.
小结：解题的关键是图象上任意一点的坐标都满足函数关系式.
5
9.（人教8下P102，教材新增）
（1）画出函数y=x2+1的图象；
解：（1）画函数图象如图.
（2）直接判断点M（2，5），N（-3，8）是否在函数y=x2+1的图象上；
（3）观察函数y=x2+1的图象，当x<0时，y随x的增大而增大还是y随x的增大而减小？当x>0时呢？
（2）点M（2，5）在函数y=x2+1的图象上；
点N（-3，8）不在函数y=x2+1的图象上.
（3）当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
7.【例3】在△ABC中，∠A=60°，∠B的度数为x°，∠C的度数为y°.
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）画出函数图象.
小结：（1）根据三角形的内角和为180°，建立关于x与y的等量关系，再确定x的取值范围；（2）根据关系式，结合x的取值范围画出图象.
解：（1）∵∠A=60°，∠B=x°，∠C=y°，
∴∠A+x°+y°=180°，
∴y=120-x（0（2）画函数图象如图.
答案图
★10.（几何直观、应用意识）（人教8下P112）（2025珠海期中）已知等腰三角形周长为20，底边长为y，腰长为x.
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
解：（1）由题意得函数关系式为y=20-2x，
∵，∴，
∴自变量的取值范围为5（2）在方格纸中建立合适的平面直角坐标系，根据题意与自变量取值范围，画出函数图象.
（2）画函数图象如图.
答案图(共17张PPT)
第二十二章　函数
第5课时　利用函数图象解决实际问题
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.（2022新课标）能用函数图象刻画简单实际问题中变量之间的关系.
2.（2022新课标）能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.
3.体会数形结合思想，提高解决问题的能力.
几何直观　推理能力
模型观念　应用意识
用函数图象描述实际问题
（1）对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
（2）某路程-时间函数图象是由几条线段组成的折线，其中每条线段代表一个阶段的活动，这条线段左右端点横坐标之差的绝对值，对应相应活动所用的　　　　.
（3）行走一段路程的速度=　 　　÷ .
时间
路程
行走时间
1.（人教8下P103改编）如图，过程是：小华骑自行车从家中出发，途经小明家，在小明家停留片刻后，与小明一起骑自行车来到学校打羽毛球，打完羽毛球后，小华沿原路骑自行车直接返回家.
（1）小明家到学校有　　　　米路程；
（2）小华从家中骑自行车到小明家用了　　　　分钟，
在小明家停留了 分钟，
与小明一起在学校打了 分钟的羽毛球；
（3）小华回家时，骑自行车的平均速度
是每分钟　　　　米.
1 000　
5　
5　
55　
200
根据情境确定函数图象
（1）匀速行驶的图象呈直线，速度越快，直线越　　　　.
（2）运动停止时，对应时间内路程不变，图象平行于（或在）
　　　　　　 .
（3）①如果图象自左向右是上升的，那么函数值随着自变量的增大而
　　　　　；
②如果图象自左向右是下降的，那么函数值随着自变量的增大而
　　　　　；
③如果图象自左向右是与横轴平行或重合的，那么函数值随着自变量的增大而　　　　　　.
陡峭　
时间轴（上）
增大
减小
保持不变
2.（人教8下P104，教材新增）小明从家走了20分钟到离家900米的书店，看了10分钟书后，用15分钟返回家，下列表示小明离家的距离与时间的图象的是（　　）
B
3.（2025湖南）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，则　　　 （填“甲”或“乙”）先到终点.
甲
4.【例1】（人教8下P105，教材新增）（2025北京三模改编）园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间.已知绿化面积S与工作时间t的函数关系如图所示.
（1）休息前，园林队工作了　　　　h，绿化面积为　　　　m2；
（2）园林队中间休息了　　　　h；
（3）休息后，园林队每小时完成的绿化
面积为　　　　m2.
小结：正确理解题意，从图象中找出对应信息.
1
60　
1
50　
7.（人教8下P108改编）（2025成都）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系.下
列说法正确的是（　　）
A.小明家到体育馆的距离为2 km
B.小明在体育馆锻炼的时间为45 min
C.小明家到书店的距离为1 km
D.小明从书店到家步行的时间为40 min
C
5.【例2】（人教8下P105改编、北师8上P77改编）如图是甲、乙两城市某一天的气温随时间变化的图象.
（1）这一天甲城的最高气温是　　　　℃，乙城的最高气温是
　　　　℃；
（2）这一天　　　　城的温差较大；
25
20　
甲
（3）　　　　　　　　时，两城的气温相同；
（4）4时，两城的温差是　　　　℃；
（5）从0时至10时，乙城的气温呈　　　　（填“上升”或“下降”）状
态；从　　　　时至　　　　时，甲城的气温呈下降状态.
12时和20时
10
上升
14
　22　
8.（人教8下P109改编、北师8上P103）甲、乙两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中的函数图象如图所示.
（1）　　　　先出发，提前　　　　小时；
（2）　　　　先到达B地，早到 小时；
（3）A地与B地相距　　　　千米；
（4）甲、乙两人在途中的速度分别是多少？
甲
3
乙
3
80
（4）甲：80÷8=10（千米/时）；
乙：80÷2=40（千米/时）.
6.【例3】（人教8下P105，教材新增）如图，构建问题情境，使其中变量之间的函数关系可以用图中的图象来表示.
小结：结合图象与坐标轴的交点及转折点，构建实际情境.
解：小林家与公园相距1 000 m，某日晨练，小林从家出发跑步6 min到达公园，然后立刻返回，步行12 min到达自己家.（答案不唯一）
★9.（应用意识、创新意识）（北师7下P166）
（1）如图，点A，B分别表示什么？
解：（1）点A表示3 min时的速度是40 km/h，
点B表示15 min时的速度是0 km/h.
（2）你能找到一个实际情境，大致符合如图所刻画的关系吗？
（2）小明乘车从家去图书馆，
0-3 min先加速，
3-6 min保持40 km/h的速度匀速行驶，
6-7.5 min再次加速，
7.5-9 min保持60 km/h的速度匀速行驶，
9-10.5 min开始减速，
10.5-12 min保持40 km/h的速度匀速行驶，
12-15 min再次减速，
15 min到达图书馆.（答案不唯一）(共23张PPT)
第二十二章　函数
第7课时　《函数》单元复习
03
精典范例
02
对点训练
01
知识要点
04
变式练习
函数的概念
（1）一般地，在一个变化过程中，数值 的量为变量，数值
　　　　　　的量为常量.
（2）一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个　　　　的值，y都有　　　　　的值与其对应，那么x是自变
量，y是x的函数.
（3）如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的　　　　.
（4）用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫作函数的　　　　.
发生变化
始终不变
确定　
唯一确定
函数值
解析式
1.下列变量间的关系中，不是函数关系的是（　　）
A.长方形的宽一定，其长与面积
B.正方形的边长与面积
C.等腰三角形的底边长与面积
D.圆的周长与半径
C
2.超市在某一段时间内以5.8元/千克的价格出售同一种大米.在售米的过程中，出售大米的质量记为m（千克），获得的米款记为W（元）.
（1）　　　　是变量，　　　　是常量；
（2）　　　　是自变量，　　　　是　　　　的函数；
（3）写出函数解析式为　　　　　　　；
（4）当m=5时，对应的函数值为　　　　.
m和W
5.8
m　
W　
m　
W=5.8m　
29
函数自变量的取值范围
求函数自变量取值范围的两个依据：
（1）要使函数的解析式　　　　　　.
①函数的解析式是整式，自变量可取 ；
②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使　　　　　　；
③函数的解析式含有二次根式时，自变量的取值应使　　　　　　　.
（2）还要注意问题的实际意义.
有意义
全体实数
分母≠0
被开方数≥0
3.（2025云南）函数y=的自变量x的取值范围为（　　）
A.x≠4 B.x≠3
C.x≠2 D.x≠1
4.在函数y=3x-5中，自变量x的取值范围是　 　　.
5.（2025广元）在函数y=中，自变量x的取值范围是　　　　.
6.（2025中山二模）在函数y=中，自变量x的取值范围是
　　　　　　　　.
D
全体实数
x≤1
x≥2且x≠3
函数的表示
（1）三种表示函数的方法：
解析法、列表法和　　　　法.
（2）三种函数的表示法各有优点.例如：
函数的表示法 优点
解析法 比较精确
列表法 比较直接
图象法 比较直观
图象
（3）对于一个具体的函数问题，应当选择适当的方法表示其中的函数关系.有时为全面地认识问题，需要同时使用多种表示法.
（4）用描点法画函数图象的一般步骤：
列表、描点、连线.
7.（北师7下P160）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速
行驶.过了一段时间，汽车到达下一个车站.乘客上、下车后汽车开始加
速，一段时间后又开始匀速行驶.下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车
在这段时间内的速度变化情况（　　）
B　
8.（2025清远期末）已知一个矩形的周长为68 cm，相邻两边分别为x
cm，y cm，则y与x之间的关系式为　　　　　　.
9.（2025深圳期末）小圳从A地出发，匀速向B地步行.小圳与B地的距离y（米）与步行时间x（分钟）的关系如下表.由y与x关系可知，当步行
　　　　分钟后，小圳走完全程的一半.
x（分钟） 0 1 2 3 …
y（米） 960 880 800 720 …
y=34-x　
6
10.【例1】（人教8下P112，教材新增）A，B两地相距10 km，李明从A地出发骑自行车以20 km/h的速度前往B地.用x（h）表示骑行时间，y（km）表示李明与B地的距离，指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出函数解析式和自变量的取值范围.
小结：根据等量关系列出函数解析式.
解：10和20是常量，x和y是变量；
x是自变量，y是x的函数；
函数解析式为y=10-20x（0≤x≤0.5）.
13.（2025西安期末）一个正方形的边长为15 cm，它的各边长都减少x cm后，得到的新正方形的周长为y cm.
（1）求y与x之间的关系式及x的取值范围；
（2）若这个正方形的各边长都减少4 cm，求得到的新正方形的周长.
解：（1）y与x之间的关系式为y=4（15-x）=-4x+60（0≤x<15）.
（2）当x=4时，y=-4×4+60=44，
故得到的新正方形的周长为44 cm.
11.【例2】（人教8下P112，教材新增）某水库的水位高度与相应的蓄水量如下表所示.
水位高 度/m 95 104 121 125 128
蓄水 量/m3 1.05 ×107 2.41 ×107 7.12 ×107 9.53 ×107 1.03
×108
（1）设水库的水位高度为x m，蓄水量为y m3，y是x的函数吗？为什么？
（2）观察表格中的数据，随着水位高度的变化，蓄水量是如何变化的？
小结：根据表格中对应数据，探索变化情况.
解：（1）y是x的函数，理由：
对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应.
（2）随着水位高度的增加，蓄水量相应增加.
14.（2025平顶山期末）探究小组的同学利用同一块木板做“测量小车从不同高度下滑的时间”的实验时，得到如下表数据：
（1）自变量是　　　　　　　；
（2）随支撑物高度h的变化，小车下滑时间t如何变化？
支撑物 高度h/cm 10 20 30 40 50 60 70
小车下滑 时间t/s 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59
支撑物高度h
（2）随支撑物高度h的增加，小车下滑时间t缩短.
（3）当支撑物高度h=60 cm时，小车下滑时间t为　　　　s；估计当h=80 cm时，t=　 　　　s.
1.71　
1.50（答案不唯一）
12.【例3】（人教8下P112，教材新增）（1）判断下列各点是否在函数y=的图象上：
（-2，-1），（-1，0），（0，1），（1，2）；
解：（1）（-2，-1），（0，1）在函数y=的图象上，
（-1，0），（1，2）不在图象上.
（2）画出函数y=|x-1|的图象；
（2）函数图象如图.
（3）设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与数轴上表示-3的点的距离为y，求y关于x的函数解析式，并画出这个函数图象.
小结：注意分段讨论，画出函数图象.
（3）由题意得y=|x-（-3）|=|x+3|，
函数图象如图.
★15.（几何直观、思维能力）（2025广州二模）描点法是探究函数图象变化规律的重要方法.请用该方法探究函数y=的图象变化.
（1）求函数自变量x的取值范围；
解：（1）∵2-x≥0，∴x≤2.
（2）请按照描点法的步骤（列表、描点、连线），在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；
（2）列表：
x … -7 -2 0 1 2
y … 3 2 1 0
描点、连线，图象如图.
（3）已知点A（m，n）是函数图象上的点，若n>，求m的取值范围.
（3）由函数图象可知，在自变量的取值范围内，函数值y随着x的增大而减小，
当n=时，m=-，即当n>时，m<-.

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