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第二十三章 一次函数
第6课时　一次函数与二元一次方程（组）
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.（2022新课标）体会一次函数与二元一次方程的关系.
2.能从“形”的角度理解一次函数与二元一次方程组之间的联系，会用函数观点解释实际问题.
运算能力　几何直观
模型观念　应用意识
一次函数与二元一次方程的关系
（1）一般地，以一个二元一次方程的解（x，y）为坐标的点组成的图象与相应的　　　　　的图象相同，是一条直线，即一解对应一点.
（2）示例：
一次函数
1.（1）与二元一次方程2x+y=5对应的一次函数表达式是　　　　　　；
（2）是方程2x+y=5的一个解，则对应一次函数的图象上的一个点为（1， ）.
2.（2025周口期末）下列图象中，直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x-y=2的解的是（　　）
y=-2x+5　
3
C
一次函数与二元一次方程组的关系
（1）从“数”的角度看，解二元一次方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值　　　　，以及这个函数值是何值.

（2）从“形”的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的
　　　　　　.
相等
交点的坐标
（3）拓展：
①如果两个一次函数的图象平行（无交点），那么相应的二元一次方程组无解；
②如果两个一次函数的图象重合，那么相应的二元一次方程组有无数
解；
③如果两个一次函数的图象相交（有一个交点），那么相应的二元一次方程组有唯一解.
3.（2025宁夏）如图，直线l1：y=k1x+b1与直线l2：y=k2x+b2交于点A，则
关于x，y的方程组的解是　 　　　.
4.直线y=2x-8与y=-x-1的交点坐标是　　 　　　.
5.（人教8下P130，教材新增）利用函数图象解方程组：
（3，-2）
解：作出一次函数y=-x+与y=2x-8的图象（图略），从图象可知它们的交点坐标是（3，-2），
∴方程组的解为
6.【例1】（2025东莞一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解为如图，若直线y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）与直线y=x+4相交于点P，则点P的坐标为　　　　.
小结：根据方程组的解就是交点坐标，求出即可.
（4，8）
9.（人教8下P130，教材新增）已知一次函数y=2x-3与y=ax+2的图象的交点坐标为（2，1），请确定方程组的解为　　　　，a的值为　　　　.
　
-
7.【例2】（人教8下P141，教材新增、北师8上P103改编）甲骑自行
车、乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中路程y（千米）与时间x（分钟）的函数关系的图象如图所示.
（1）　　　　先出发，先出发　　　分钟，　　　　先到达终点，提前　　　分钟到达；
（2）分别求出甲、乙两人的行驶速度；
甲
10　
乙
5
（2）甲的速度为v甲=×60=12（千米/时）；
乙的速度为v乙=×60=24（千米/时）.
（3）请根据图象回答：在行驶途中，在什么时间段内：①甲在乙的前面？②两人相遇？③甲在乙的后面？（不包括起点和终点）
（3）①0②x=20时，甲与乙相遇；
③2010.（人教8下P130，教材新增）（2025河北期末）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示.
（1）分别求出甲队在0≤x≤6的时段内、乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式；
解：（1）设甲队在0≤x≤6的时段内y关于x的函数解析式为y=k1x，
由图可知函数图象过点（6，60），
∴6k1=60，解得k1=10，∴y=10x.
设乙队在2≤x≤6的时段内y关于x的函数解析式为y=k2x+b，
由图可知函数图象过点（2，30），（6，50），
∴，解得，∴y=5x+20.
（2）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？
（2）由题意得10x=5x+20，解得x=4.
答：当x为4 h时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等.
8.【例3】（人教8下P130改编）如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P.
（1）写出不等式2x>kx+3的解集：　 　　　；
（2）设直线l2与x轴交于点A，则△OAP的面积为　　　　.
小结：关注两直线的交点.
x>1
3
★11.（思维能力）如图，直线PA是一次函数y1=x+1的图象，直线PB是一次函数y2=-2x+2的图象，直线PA与y轴交于点Q.
（1）点A的坐标为　　　　，点B的坐标为　　　　，点P的坐标
为　　　 ；
（2）写出y1（3）四边形PQOB的面积为　　　　.
（-1，0）
（1，0）　
x<　(共38张PPT)
第二十三章 一次函数
第4课时　用待定系数法求一次函数的解析式
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.认识待定系数法.
2.（2022新课标）会运用待定系数法确定一次函数的表达式.
3.（2022新课标）能用一次函数解决简单实际问题.
运算能力　几何直观
模型观念　应用意识
待定系数法及其应用
（1）求一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式，关键是求出k，b的值.根据条件列出关于k，b的　　　　　　　　　　，求出k，b的值，从而求出函数解析式.这种求函数解析式的方法叫作　　　　　　　.
（2）运用待定系数法求一次函数解析式的步骤：
①设：
设出一次函数解析式：　　　　　　　（k≠0）.
二元一次方程组
待定系数法
y=kx+b　
②代：
把已知条件代入解析式得到关于　　　　　和　　　　　的二元一次方程组.
③解：
解方程组，求出k，b的值.
④回代：
将求出的k，b的值代到所设的函数解析式，即可得到所求的
　　　　　　 　　　　.
k　
b
一次函数的解析式
例如：已知一次函数的图象过（1，0），（2，1）两点，求这个一次函数的解析式.
解：设一次函数的解析式为y=kx+b，　 ……设
将（1，0），（2，1）代入，得　　……代
解得　　　　　　　 ……解
∴一次函数的解析式为y=x-1.　 ……回代
1.（2025北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（1，3）和（2，5）.求k，b的值.
解：∵函数y=kx+b的图象经过点（1，3）和（2，5），
∴，解得.
2.（人教8下P123，教材新增、北师8上P130改编）（2025十堰模拟）一名旅客乘坐某航空公司飞机时，购买了经济舱机票.他所托运的行李的费用y（单位：元）与行李的质量x（单位：kg）的关系如图所示.
（1）求y关于x的函数解析式；
解：（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
把点（25，90），（30，180）分别代入，得
，解得，
∴y关于x的函数解析式为y=18x-360.
（2）这位旅客可免费托运的行李的最大质量是多少千克？
（2）当y=0时，18x-360=0，解得x=20.
答：这位旅客可免费托运的行李的最大质量是20千克.
3.【例1】（人教8下P124，教材新增）如图，求图中直线所对应的函数解析式.
小结：设出函数解析式，解方程求出k，b的值；若已知直线与y轴的交点，可直接得出b的值.
解：设直线所对应的函数解析式为y=kx+b，
∵直线经过点（-3，0）和（0，6），
∴，解得，
∴直线所对应的函数解析式为y=2x+6.
10.（人教8下P124，教材新增）一个一次函数的图象经过点（-4，9）和（6，4）.
（1）求这个一次函数的解析式；
解：（1）设这个一次函数的解析式为y=kx+b，
根据题意得，解得，
∴这个一次函数的解析式为y=-x+7.
（2）判断点（2，5）是否在这个一次函数的图象上，并说明理由.
（2）当x=2时，y=-×2+7=6≠5，
∴点A（2，5）不在这个一次函数的图象上.
4.【例2】（人教8下P123，教材新增）已知y是x的一次函数，当x=1时，y=5；当x=-1时，y=1.
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若点A，B（2，b）在该函数图象上，直接写出a，b的大小
关系.

小结：一设、二代、三解、四回代.
解：（1）设该一次函数的解析式为y=kx+b，
根据题意得解得
∴该一次函数的解析式为y=2x+3.
（2）∵k=2>0，∴y随x的增大而增大，∵<2，∴a11.已知y是关于x的一次函数，且点（0，-8），（1，2）在此函数图象上.
（1）求该一次函数的解析式；
解：（1）设该一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），
将（0，-8），（1，2）代入y=kx+b，得
解得
∴该一次函数的解析式为y=10x-8.
（2）若点（-2，y1），（2，y2）在此函数图象上，试比较y1，y2的大小；
（2）∵一次函数y=10x-8中k=10>0，
∴y随x的增大而增大.
∵-2<2，∴y1（3）求当-3（3）当-3∴当-35.【例3】某一次函数的图象与直线y=-3x+1平行，且经过点A（1，2），求这个一次函数的解析式.

小结：两直线平行即两个函数解析式中的k值相等，b值不相等.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵该一次函数的图象与直线y=-3x+1平行，
∴k=-3，∴y=-3x+b.
把（1，2）代入，得-3+b=2，∴b=5，
∴这个一次函数的解析式为y=-3x+5.
12.一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（1，-3），且与y=2x平行，求这个一次函数的解析式.
解：∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y=2x平行，
∴k=2.
∵一次函数y=2x+b的图象经过点（1，-3），
∴2+b=-3，解得b=-5，
∴这个一次函数的解析式为y=2x-5.
6.【例4】（人教8下P122，教材新增）一位记者乘坐汽车赴360 km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路.汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示.
（1）求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式；
解：（1）当0≤x≤2时，设函数的解析式为y=k1x，
∵图象过点（2，180），
∴2k1=180，解得k1=90，∴y=90x；
当x>2时，设函数的解析式为y=k2x+b，
∵图象过点（2，180），（3.5，270），
∴，解得，∴y=60x+60.
综上，当0≤x≤2时，y=90x；当x>2时，y=60x+60.
（2）记者出发后多长时间到达采访地？
小结：汽车速度变化，求函数解析式时应对两个时段分别讨论.
（2）由图象可知，当y=360时，x>2，
由360=60x+60，解得x=5，
因此，记者在出发5 h后到达采访地.
13.（人教8下P124，教材新增）某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准.居民每月应缴水费y（单位：元）是用水量x（单位：t）的函数，其图象如图所示.
（1）分别求出当0≤x≤15和x>15时，y关于x的函数解析式；
解：（1）当0≤x≤15时，设函数的解析式为y=ax，
将（15，60）代入y=ax得15a=60，解得a=4，∴y=4x；
当x>15时，设函数的解析式为y=kx+b，
将（15，60），（20，90）代入y=kx+b得
，解得，∴y=6x-30.
综上，当0≤x≤15时，y=4x；当x>15时，y=6x-30.
（2）若某用户某月用水9 t，则应缴水费多少元？若某月缴水费102元，则这个月用水多少吨？
（2）若某月用水9 t，
则应缴水费4×9=36（元）；
若某月缴水费102元，
则6x-30=102，解得x=22，
故这个月用水22 t.
7.【例5】（2025宿迁期末）如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B.
（1）求该一次函数的解析式；
解：（1）在y=2x中，令x=1，解得y=2，
则点B的坐标是（1，2），
设该一次函数的解析式是y=kx+b，
则解得
则该一次函数的解析式是y=-x+3.
（2）判定点C（4，-2）是否在该一次函数的图象上，并说明理由；
（2）当x=4时，y=-1，
则点C（4，-2）不在该一次函数的图象上.
（3）若该一次函数的图象与x轴交于点D，求△BOD的面积.
小结：得到点B，D的坐标是求△BOD面积的关键.
（3）在一次函数y=-x+3中，
令y=0，解得x=3，
则点D的坐标是（3，0），
则S△BOD=×OD×2=×3×2=3.
14.如图，过原点的直线l1与直线l2相交于点A，直线l2与y轴交于点B，与x轴交于点C.
（1）求两条直线的解析式；
解：（1）设直线l1的解析式是y=k1x.
∵点A（2，1）在直线l1上， ∴2k1=1，解得k1=，
∴直线l1的解析式是y=x.设直线l2的解析式是y=k2x+b.
∵点A（2，1），B（0，2）在直线l2上，
∴解得 ∴直线l2的解析式是y=-x+2.
（2）求点C的坐标及△AOC的面积.
（2）在y=-x+2中，令y=0得-x+2=0，
解得x=4，∴C（4，0）.
∴S△AOC=×4×1=2.
8.【例6】（2025宣城期中）在平面直角坐标系中，已知一条直线经过A（-1，5），P（-2，a），B（3，-3）三点.
（1）求a的值；
解：（1）设直线的解析式为y=kx+b，
把A（-1，5），B（3，-3）代入，可得
解得
所以直线的解析式为y=-2x+3，
把P（-2，a）代入y=-2x+3中，得a=7.
（2）设这条直线与y轴相交于点D，O为坐标原点，求△OPD的面积.
（2）由（1）得点P的坐标为（-2，7），
令x=0，则y=3，
所以直线与y轴的交点坐标为D（0，3），
所以△OPD的面积=×3×2=3.
小结：求直线与坐标轴围成的三角形的面积是一次函数中常遇的题型，解题关键是明确直线与坐标轴、直线与直线的交点坐标.
15.（2025广州期中）如图为某一次函数的图象.
（1）求该一次函数的解析式；
解：（1）设该一次函数的解析式为y=kx+b，
根据题意得解得
∴该一次函数的解析式为y=x+2.
（2）点P为该一次函数图象上一点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△PAO=6，求点P的坐标.
（2）把y=0代入y=x+2，得x+2=0，解得x=-4，
则点A的坐标为（-4，0）.
设点P的坐标为（x，y），∴S△PAO=·OA·|y|，
∵S△PAO=6，∴×4×|y|=6，解得y=±3.
当y=3时，有x+2=3，解得x=2；
当y=-3时，有x+2=-3，解得x=-10.
∴点P的坐标为（2，3）或（-10，-3）.
9.【例7】如图，直线y=kx+4（k≠0）经过点A，B，P.
（1）求该直线的解析式；
解：（1）由题意，得P（3，8）.
将P（3，8）代入y=kx+4，得3k+4=8，解得k=，
∴该直线的解析式为y=x+4.
（2）求AP的长；
（2）∵y=x+4，∴令x=0，得y=4.∴A（0，4）.
∵P（3，8），∴AP==5.
（3）在x轴上有一点C，且BC=AP，求点C的坐标.
小结：这类题型要注意分类讨论，因为不确定所求点或直线的位置，避免遗漏.
（3）∵y=x+4，∴令y=0，得x=-3，
∴B（-3，0），
∵BC=AP=5，点C在x轴上，
∴C（2，0）或（-8，0）.
★16.（运算能力、几何直观）如图，直线y=2x+2与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
（1）求A，B两点的坐标；
解：（1）在y=2x+2中，
当y=0时，x=-1；当x=0时，y=2.
∴A（-1，0），B（0，2）.
（2）过点A作直线AP与y轴相交于P，且使OP=OA，求直线AP的解析式.
（2）∵A（-1，0），∴OA=1.
∵OP=OA，∴OP=1.
∵P在y轴上，∴P（0，1）或P（0，-1）.
设直线AP的解析式为y=kx+b，由题意得
或
解得或
∴直线AP的解析式是y=x+1或y=-x-1.(共38张PPT)
第二十三章 一次函数
第10课时　《一次函数》单元复习
03
精典范例
02
对点训练
01
知识要点
04
变式练习
一次函数的概念
（1）一般地，形如　　　　　（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数.其中　　　　叫作比例系数.
（2）一般地，形如　　　　　（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数.
（3）当b=0时，y=kx+b即　　　　　，所以正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数.
y=kx
k　
y=kx+b
y=kx
1.下列函数中，是一次函数的是　　 　　　，是正比例函数的是
　　　　　.（填序号）
①y=-；②y=-；③y=3-x；
④y=-5x2；⑤y=5x-；⑥y=4x.
2.（2025上海模拟）若y=（m-2）x-1是一次函数，则m的取值范围是
　　　　 .
①③⑤⑥
①⑥　
m≠2
一次函数的图象与性质
（1）一次函数y=kx+b中：
k，b的符号 图象经过的象限 性质
k>0 b>0 第　　　 　象限 图象自左向右是上升的，y随x的增大而　　　
b<0 第　　　　 象限
k<0 b>0 第　　　 　象限 图象自左向右是下降的，y随x的增大而　　 　
b<0 第　　　　 象限
一、二、三
一、三、四　
增大
一、二、四
二、三、四　
减小
（2）一次函数y=kx+b的图象可以看作由直线y=kx　　　　　　平移
　　　　个单位长度得到的.
向上或向下
　|b|
3.（2025甘孜州）函数y=x-2的图象为（　　）
A　
4.（2025广州二模）关于一次函数y=x+1，下列说法正确的是（　　）
A.图象经过第一、三、四象限
B.图象与y轴交于点（0，1）
C.函数值y随自变量x的增大而减小
D.当x>-1时，y<0
5.（2025清远模拟）将一次函数y=5x-1的图象沿y轴向上平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是　　　 　.
B　
y=5x+1　
用待定系数法求一次函数的解析式
（1）设：设出一次函数解析式：　　　　　　　（k≠0）.
（2）代：把已知条件代入解析式得到关于 和　　　　的二元一次方程组.
（3）解：解方程组，求出k，b的值.
（4）回代：将求出的k，b的值代到所设函数解析式，即可得到所求的一次函数解析式.
y=kx+b
k　
b
6.（2025泉州期末）函数y=kx+3的图象经过点（2，5），则k=　　　　.
1　
7.（传统文化）（2025恩施模拟）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久.如图所示是某次对弈的残图，若建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点（-2，-1）的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（　　）
A.y=x+1 B.y=x-1
C.y=2x+1 D.y=2x-1
8.已知y-2与x成正比例，且当x=-1时y=5，则y与x的函数解析式是
　　　　　 　.
A
y=-3x+2　
一次函数与方程（组）、不等式的关系
（1）解一元一次方程ax+b=0，相当于求一次函数y=ax+b当函数值y=0
时， 的值.
（2）解一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a≠0），可以看作当一个函数值　　　　　　时，求自变量x的　　　　　　.
（3）解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时相应的两个函数值
　　　　，以及这个函数值是何值.
自变量x　
>0或<0　
取值范围
相等
9.（2025阳江一模）如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象分别与x，
y轴交于A，B两点，若OA=2，OB=1，则关于x的方程kx+b=0的解为
　　　　　.
x=-2　
10.（2025银川一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠
0）与y2=mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　）
A.y1随x的增大而增大
B.bC.当x<2时，y1>y2
D.关于x，y的方程组的解为
C
一次函数的实际应用
（1）一般实际应用.
（2）分段函数.
（3）选择最优方案.
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反应实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
11.（2025广州二模）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用y1（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图；在乙商店购买该水果的费用y2（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为y2=10x（x≥0）.
（1）求y1与x之间的函数解析式；
解：（1）当0≤x≤5时，设y1与x之间的函数解析式为y1=kx（k≠0），
把（5，75）代入，得5k=75，解得k=15，∴y1=15x；
当x>5时，设y1与x之间的函数解析式为y1=mx+n（m≠0），
把（5，75）和（10，120）代入，得
，解得，∴y1=9x+30.
综上，函数解析式为y1=.
（2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
（2）在甲商店购买：9x+30=600，解得x=63；
在乙商店购买：10x=600，解得x=60.
∵63>60，∴在甲商店购买更多一些.
12.【例1】（2025陕西）在平面直角坐标系中，点A（3，y1），B（4，y2）均在直线y=kx上，若y1（　　）
A.（1，0） B.（-1，-3）
C.（1，-2） D.（-1，2）
B
18.（2025广安）已知一次函数y=-3x-6，当x<-1时，y的值可以是
　　　　 （写出一个合理的值即可）.
1（答案不唯一）
13.【例2】（2025天津）将直线y=3x-1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则m的值可以是　　 　　（写出一个即可）.
2（答案不唯一）
19.（2025广州）如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，1），点B（-1，1），若将直线y=x向上平移d个单位长度后与线段AB有交点，则d的取值范围是（　　）
A.-3≤d≤-1 B.1≤d≤3
C.-4≤d≤-2 D.2≤d≤4
D
14.【例3】（2025惠州一模）已知一次函数y=kx+b的图象经过点（0，1）与点（2，5），求该一次函数的表达式.
解：将（0，1）与（2，5）代入y=kx+b，
得，解得，
∴一次函数的表达式为y=2x+1.
20.（2025北京模拟）在平面直角坐标系中，函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和B（1，2），与过点（0，4）且平行于x轴的直线交于点C，求该函数的解析式及点C的坐标.
解：把点A（0，1），B（1，2）代入y=kx+b（k≠0），
得b=1，k+b=2，解得k=1，b=1，
∴该函数的解析式为y=x+1.
由题意知点C的纵坐标为4，
当y=x+1=4时，解得x=3，
∴C（3，4）.
15.【例4】如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，点A，B在直线l上.
（1）y随x的增大而　　　　；
（2）写出方程kx+b=0的解；
增大
（2）由图可知函数图象与x轴的交点A的坐标为（-2，0），
则方程kx+b=0的解为x=-2.
（3）写出不等式kx+b>2的解集.
（3）函数图象经过点B（2，2），
且函数y随x的增大而增大，
所以当x>2时，kx+b>2，
所以不等式kx+b>2的解集为x>2.
21.（2025金华期末）如图，已知函数y=2x和y=ax+4的图象交于点
A（m，2）.
（1）m的值为　　　　；
（2）利用图象直接写出不等式2x1　
（2）x<1.
（3）求△OAB的面积.
（3）将A（1，2）代入y=ax+4，得a=-2，则y=-2x+4.
令-2x+4=0，得x=2，故B（2，0）.
∴△OAB的面积为×2×2=2.
16.【例5】（2025上海期中）甲、乙两个探测气球分别从海拔5 m和15 m处同时出发，匀速上升60 min.如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（m）与气球上升时间x（min）的函数图象.
（1）求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式；
解：（1）设甲气球的函数解析式为y=kx+b，
乙气球的函数解析式为y=mx+n，
分别将（0，5），（20，25）和（0，15），（20，25）代入，得，，
解得，，
∴甲气球的函数解析式为y=x+5，乙气球的函数解析式为y=x+15.
（2）当这两个气球的海拔高度相差15 m时，求上升的时间.
（2）当x大于20时，两个气球的海拔高度可能相差15 m，且此时甲气球海拔更高，
∴x+5-=15，解得x=50，
∴当这两个气球的海拔高度相差15 m时，上升的时间为50 min.
22.（2025广安二模）某学校打算购买甲、乙两种不同类型的笔记本.已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样.
（1）求甲、乙两种类型笔记本的单价；
解：（1）设甲类型的笔记本单价为x元，
则乙类型的笔记本单价为（x+1）元，
由题意得=，解得x=11，
经检验，x=11是原方程的解，且符合题意，
∴乙类型的笔记本单价为x+1=11+1=12（元）.
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元.
（2）该学校打算购买甲、乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙类型的数量不超过甲的3倍，求购买的最低费用是多少.
（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，
∵购买的乙类型的数量不超过甲的3倍，
∴100-a≤3a，且100-a≥0，解得25≤a≤100，
根据题意得w=11a+12（100-a）=-a+1 200，
∵-1<0，∴w随a的增大而减小，
∴a=100时，w最小值为-100+1 200=1 100（元）.
答：购买的最低费用是1 100元.
17.【例6】（运算能力）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0），B（0，2）.
（1）求直线l的解析式；
解：（1）将A（4，0），B（0，2）代入y=kx+b，得
，解得，
∴直线l的解析式为y=-x+2.
（2）若点C为线段AB上一动点，过点C作CD⊥OA于D，延长DC至点E，使CE=DC，作EF⊥y轴于F，求四边形ODEF的周长.
（2）设C（m，n），
∵CD⊥OA，CE=DC，∴E（m，2n），
∵∠EFO=∠FOD=∠EDO=90°，
∴四边形ODEF是矩形，
∴四边形ODEF的周长为2m+4n.
∵点C（m，n）在直线y=-x+2上，
∴n=-m+2，∴m+2n=4，∴2m+4n=8，
∴四边形ODEF的周长为8.
★23.（思维能力）（2025汕头期末）如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上.将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上的点D处.
（1）点A，B的坐标分别为　　　　，　　　　；
（-8，0）
（0，6）
（2）求AC的长；
（2）∵点A的坐标为（-8，0），点B的坐标为（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∵∠AOB=90°，∴AB==10.
由折叠的性质，可知
OC=CD，OB=BD=6，∠CDB=∠BOC=90°，
∴AD=AB-BD=4，∠ADC=90°.
设CD=OC=x，则AC=8-x，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，
∴AD2+CD2=AC2，即42+x2=（8-x）2，解得x=3，
∴OC=3，∴AC=OA-OC=8-3=5.
（3）点P为平面内一动点，且满足以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合要求的点P坐标.
（3）点P的坐标为（-5，6）或（-11，-6）或（5，6）.(共14张PPT)
第二十三章 一次函数
第8课时　实际问题与一次函数（2）
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.（2022新课标）能用一次函数解决简单实际问题.
2.会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想.
3.能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法.
运算能力　几何直观
模型观念　应用意识
年卡套餐问题
（1）做一件事情，有时有不同的实施方案，从中选择最佳方案是十分必要的.在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数.
（2）数量关系：
套餐总费用=年卡费用+套餐外费用，
套餐外费用=套餐外单次收费×　　　　.
次数
（3）利用一次函数解决实际问题的步骤：
①列解析式并确定函数自变量的取值范围；
②根据解析式画图象；
③通过图象准确地读取信息作出判断.
（4）如何运用一次函数选择最佳方案，其实就是根据一次函数的性
质，找到在自变量的取值范围中的函数值的最值问题.
1.（人教8下P132，教材新增）下表给出了某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准.
套餐 年卡费用/元 套餐内游 泳次数/次 套餐外单
次收费/元
A 600 20 40
B 1 200 50 40
C 1 800 不限次
选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？
解：（1）在套餐A中，游泳费用的函数解析式为
y1=
化简，得y1=　　　　　 　　　，
这个函数的图象如图所示.
　
（2）类似地，可以得到刻画套餐B，C的游泳费用y2，y3关于年游泳次数x的函数解析式：
y2=　　　　　　　 　，
y3=　　　　 　　　　.
在上图中画出y2，y3的图象，结合函数图象与解析式，可知：
当年游泳次数　　　　　时，选择套餐A能节省游泳费用；
当年游泳次数　　　　　时，选择套餐B能节省游泳费用；
当年游泳次数　　　　　时，选择套餐C能节省游泳费用.
1 800，x≥0
0≤x<35
35x>65
画图略　
2.【例1】（人教8下P135，教材新增）某品牌服装开展促销活动，原价每件80元的服装，如果购买超过3件，则超过部分可享受8折优惠，求顾客所付款y（单位：元）与所购服装数x（x>3，单位：件）之间的函数解析式.
小结：所付款分成两部分，两部分相加即可.
解：依题意得y=3×80+（x-3）×80×0.8=64x+48，
即y与x之间的函数解析式为y=64x+48（x>3）.
4.（跨学科融合）节约用水，人人有责.为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.5元；超过10吨时，超过的部分按每吨2元收费.现有某户居民5月份用水x（x>10）吨，应缴水费y元，求y关于x的函数解析式.
解：依题意得y=10×1.5+2（x-10）=2x-5，
即y与x之间的函数解析式为y=2x-5.
3.【例2】（人教8下P133，教材新增、北师8上P103）（2025成都期中）某公司要印刷产品宣传材料，甲印刷厂的收费方案是:收1 500元制版费，每份材料再收1元印制费；乙印刷厂的收费方案是：不收制版费，每份材料收2.5元印制费.
（1）分别写出两家印刷厂的收费y（元）关于印制宣传材料数量x（份）的函数解析式；
解：（1）依题意得y甲=x+1 500，y乙=2.5x.
（2）选择哪家印刷厂比较合算？
小结：注意分y乙（2）当y乙当y甲=y乙时，x+1 500=2.5x，解得x=1 000；
当y甲1 000.
答：当印制宣传材料少于1 000份时，选择乙印刷厂比较合算；
当印制宣传材料等于1 000份时，选择两家印刷厂的费用相同；
当印制宣传材料多于1 000份时，选择甲印刷厂比较合算.
★5.（运算能力、应用意识）（2025郑州调研）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适.甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元.设小明快递物品x千克.
（1）分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式；
解：（1）当0当x>1时，y甲=22+15（x-1）=15x+7.
y乙=16x+3.
（2）小明选择哪家快递公司更省钱？
（2）①当0令y甲=y乙，即22x=16x+3，解得x=；
令y甲>y乙，即22x>16x+3，解得②当x>1时，令y甲4；
令y甲=y乙，即15x+7=16x+3，解得x=4；
令y甲>y乙，即15x+7>16x+3，解得1综上可知：当4时，选甲快递公司省钱.(共20张PPT)
第二十三章 一次函数
第3课时　一次函数的图象与性质
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.（2022新课标）能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况.
2.（2022新课标）能用一次函数解决简单实际问题.
3.掌握一次函数与正比例函数图象之间的关系.
几何直观　推理能力
模型观念　应用意识
一次函数图象的画法
（1）两点法：由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系中，画一次函数的图象时，先描出适合解析式的两点，再过这两点画直线.通常选取直线y=kx+b与两坐标轴的交点，即 与　　　　 .有时为了描点更方便准确，取横纵坐标都是　 　　的两点.
（2）注意：
①在直线y=kx+b中，k决定直线的倾斜度和一次函数的增减性.
　　　　越大，直线越陡；　　　　越小，直线越缓.
（0，b）
　
整数
|k|
|k|
b决定直线与y轴交点的位置，b>0，直线与y轴交于正半轴；b<0，直线与y轴交于 ；b=0，直线过坐标　　　　　.
②k，b的符号能确定直线所经过的象限，反之亦然.
③一次函数自变量的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因此没有最大值、最小值.但由于在实际问题中得到的一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限制，其函数图象为线段或射线，所以就可能存在最大值、最小值.
负半轴
原点
1.在同一平面直角坐标系中画出函数y=-x，y=-x+3和y=-x-3的图象.
列表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y=-x … …
y=-x+3 … …
y=-x-3 … …
描点、连线：
解：y=-x中，y=2，1，0，-1，-2；
y=-x+3中，y=5，4，3，2，1；
y=-x-3中，y=-1，-2，-3，-4，-5. 图象略.
2.（人教8下P120改编）在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出你发现的结论（至少2条）.
（1）y=2x；　（2）y=2x-2；　（3）y=-x+2.
解：图象略.结论不唯一，如：
①直线y=2x与y=2x-2平行；
②直线y=2x与y=-x+2垂直；
③直线y=2x-2与y=-x+2垂直.
一次函数图象的平移
（1）一次函数y=kx+b的图象是过点（0，b），且和正比例函数y=kx的图象　　　　　　的一条直线.
（2）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以由直线y=kx平移　　　　个单位长度得到.当b>0时，向　　　　平移；当b<0时，向　　　　平移.
平行或重合
|b|
上　
下
3.y=3x与y=3x-3的图象在同一直角坐标系中，位置关系是（　　）
A.相交 B.互相重合
C.平行 D.无法确定
4.（北师8上P91）（2025茂名一模）如图，将直线y=2x向上平移2个单位长度，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的解析式为（　　）
A.y=2x-4 B.y=2x-2
C.y=2x+4 D.y=2x+2
C　
D　
5.（人教8下P124，教材新增）将一次函数y=-2x+1的图象向上平移2个单位长度，得到的函数的图象解析式为　　　　　　；向下平移3个单位长度，得到的函数的图象解析式为　　　　　　.
y=-2x+3　
y=-2x-2
一次函数的图象与性质
一次函数y=kx+b中：
k，b的符号 图象 性质
k>0 b>0 经过第　 　 象限 图象自左向右是
的，
y随x的增大而增大
b<0 经过第　　 象限
k<0 b>0 经过第　 　 象限 图象自左向右是
的，
y随x的增大而减小
b<0 经过第　　 　 象限
图略　
一、二、三　
图略　
一、三、四
上升
图略　
一、二、四
图略　
二、三、四
下降
6.（2025长沙三模）一次函数y=-x+3的图象不经过（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.（2025湖北）已知一次函数y=kx+b，y随x的增大而增大.写出一个符合
条件的k的值是　　 　　.
8.（人教8下P121、北师8上P93改编）直线y=2x-3与x轴交点坐标为
　　　　，与y轴交点坐标为　　　　 ，经过第 象限，y随x的增大而　　　　.
C
1（答案不唯一）
（0，-3）
一、三、四
增大　
9.（人教8下P121，教材新增）已知一次函数y=4x+7，当x>2时，利用函数的性质，求函数值y的取值范围.
解：∵k=4>0，∴y随x的增大而增大，
∵当x=2时，y=4×2+7=15，
∴当x>2时，y>15.
10.【例1】（北师8上P106改编）（2025南通）已知直线y=kx+b经过第一、第二、第三象限，则k，b的取值范围是（　　）
A.k<0，b<0
B.k<0，b>0
C.k>0，b<0
D.k>0，b>0
小结：根据图象判断k和b的符号.
D
13.（2025深圳期中）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2（其中k1k2≠0，k1，k2，b1，b2为常数）的图象分别为直线l1，l2，则下列结论正确的是（　　）
A.b1+b2>0
B.b1b2>0
C.k1+k2<0
D.k1k2<0
A
11.【例2】已知一次函数y=（2-k）x-2k+6.
（1）k满足何条件时，图象经过原点？
（2）k满足何条件时，图象平行于直线y=-x+1？
（3）k满足何条件时，y随x的增大而减小？
（4）k满足何条件时，图象过第一、二、四象限？
解：（1）∵该函数的图象过原点，∴-2k+6=0且2-k≠0，解得k=3.
（2）∵该函数的图象平行于直线y=-x+1，∴2-k=-1且-2k+6≠1，解得k=3.
（3）∵该函数的y随x的增大而减小，∴2-k<0，解得k>2.
（4）∵该函数的图象过第一、二、四象限，
∴2-k<0且-2k+6>0，解得2小结：（1）一次函数y=kx+b经过原点，则b=0且k≠0；（2）两直线平行，则k相等且b不相等；（3）y随x的增大而减小，则k<0；（4）图象过第一、二、四象限，则k<0且b>0.
14.（2025邵阳期末）已知函数y=（2m+1）x+m-3.
（1）若函数的图象经过原点，求m的值；
（2）若函数的图象平行于直线y=3x-3，求m的值；
（3）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围.
解：（1）∵函数y=（2m+1）x+m-3的图象经过原点，
∴当x=0时，y=0，即m-3=0，解得m=3.
（2）∵函数y=（2m+1）x+m-3的图象与直线y=3x-3平行，
∴2m+1=3且m-3≠-3，解得m=1.
（3）∵这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，
∴2m+1<0，解得m<-.
12.【例3】（北师8上P101改编）如图，直线l是一次函数y=kx+4的图
象，且直线l经过点（1，2）.
（1）k的值为　　　　；
（2）若直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，求△AOB的面积.
小结：解决直线与坐标轴所围成的三角形面积时，要求出直线与x轴，y轴的交点坐标.
-2
（2）当y=0时，-2x+4=0，解得x=2，
则直线y=-2x+4与x轴的交点坐标为A（2，0）.
当x=0时，y=-2x+4=4，则直线y=-2x+4与y轴的交点坐标为B（0，4）.所以△AOB的面积为×2×4=4.
★15.（运算能力、几何直观）如图，直线y=kx+3与x轴、y轴分别相交于点E，F.点E的坐标为（-6，0），点P是直线EF上的一点.
（1）k的值为　　　　；
（2）若△POE的面积为6，求点P的坐标.
（2）设P（x，y），
∵S△POE=OE·|y|=×6×|y|=6，∴|y|=2，即y=2或y=-2，
当y=2时，即x+3=2，解得x=-2，∴P（-2，2）；
当y=-2时，即x+3=-2，解得x=-10，∴P（-10，-2）.
故点P的坐标为（-2，2）或（-10，-2）.(共16张PPT)
第二十三章 一次函数
第7课时　实际问题与一次函数（1）
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.（2022新课标）能用一次函数解决简单实际问题.
2.了解分段函数.
3.体会数学建模思想.
运算能力　几何直观
模型观念　应用意识
分段函数的意义和应用
已知y=
（1）当x=2时，y=　　　　，
当x=5时，y=　　　　；
（2）y是x的函数吗？


2　
1
（2）解：y是x的函数，当x确定时，y有唯一确定的对应值，不要误以为是两个函数.
（3）若y是x的函数，试画出它的函数图象.
小结：对于不同取值范围的自变量，它所对应的函数解析式不同，相应的函数图象也是由多部分组成.
（3）图略.
1.（人教8下P131改编）如图是一个实验室某段时间内温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数图象，该实验室在0：00-2：00保持恒温，在2：00-4：00匀速升温.
（1）在1：00时，实验室的温度是多少？
解：（1）在1：00时，实验室的温度是20 ℃.
（2）写出实验室的温度T关于时间t的函数解析式；

（2）当0≤t≤2时，T=20；
当2将（2，20），（4，30）代入，得
， 解得，
故此时T=5t+10.
（3）何时实验室的温度可以上升到25 ℃？
（3）由题意得5t+10=25，解得t=3，
故在3：00时，实验室的温度可以上升到25 ℃.
2.【例1】（人教8下P132，教材新增）某市出租车收费方式为：路程不超过3 km时收费9元，超过3 km部分每千米收费2元.记乘客乘坐出租车的路程为x（x>3）km，乘车费为y元.
（1）求y关于x的函数解析式；
解：（1）由题意可得，
当0当x>3时，y=9+2（x-3）=2x+3.
（2）若有一位乘客付了23元乘车费，则他的乘车路程是多少？
小结：写函数解析式时，应分段讨论.
（2）令2x+3=23，解得x=10.
答：他的乘车路程是10 km.
4.（2025辽阳模拟）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费.设小丽家某季度用气量为x立方米，应交煤气费为y元.
（1）写出y关于x的函数解析式；
解：（1）当x≤50时，y=4x；
当x>50时，y=4×50+4.5（x-50）=4.5x-25.
（2）若小丽家第一季度的煤气费为380元，则她家第一季度用气多少立方米？
（2）设小丽家第一季度用气x立方米，
由题意得4.5x-25=380，解得 x=90.
答：小丽家第一季度用气90立方米.
3.【例2】（人教8下P131改编）某玉米种子的价格为a元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折.某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出了函数图象.以下是该科技人员绘制的图象和不完整的表格资料，已知点A的坐标为（2，10）.
购买量x（千克） 1 1.5 2 2.5 3
付款金额y（元） a 7.5 10 12 b
（1）a=　　　，b=　　　；
（2）求出当x>2时，y关于x的函数解析式.
小结：根据已知得出图表中点的坐标是解题的关键.
5　
14
解：（2）当x>2时，设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
∵y=kx+b经过点（2，10），又x=3时，y=14，
∴解得
∴当x>2时，y关于x的函数解析式为y=4x+2.
★5.（应用意识）（2025西安一模）某研究所在试验一种新药时发现，服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升6微克，接着逐渐减少，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示.
（1）当0≤x≤2时，y与x之间的函数关系式为　　　　　　；
当x>2时，y与x之间的函数关系式为　　　　　　　　；
y=3x
y=-x+
（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？
解：（2）当y=4时，有3x=4或-x+=4，
解得x=或x=，
-=6（小时）.
答：这个有效时间是6小时.(共16张PPT)
第二十三章 一次函数
第5课时　一次函数与一元一次方程、
一元一次不等式
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.认识一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系，会用函数观点解释方程和不等式及其解或解集的意义.
2.经历用函数图象表示方程和不等式的过程，进一步体会“以形表数，以数释形”的数形结合思想.
运算能力　几何直观
模型观念　应用意识
一次函数与一元一次方程的关系
任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0（a≠0）的形式.
（1）解一元一次方程，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求　　　　　的值；
（2）解一元一次方程，从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，求它与x轴的交点的　　　　　.
自变量x
横坐标
1.（人教8下P127改编、北师8上P97改编）已知一次函数y=ax+b的图象如图所示：
（1）关于x的方程ax+b=0的解是　　　　；
（2）关于x的方程ax+b=2的解是　　　　；
（3）关于x的方程ax+b=-1的解是 .
2.一次函数y=x+3，当y=0时，x= ，这条直线与x轴的交点是　　　　　，因此，方程x+3=0的解是　 　　　.
x=-4　
x=0
x=-6
-6　
（-6，0）
x=-6
一次函数与一元一次不等式的关系
对于可化为ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的一元一次不等式：
（1）在求一元一次不等式的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的值为大于0或小于0时，求自变量x的　　 　　　；
（2）在求一元一次不等式的解集时，从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的
　　　　　　.
取值范围
取值范围
3.（人教8下P127改编、北师8下P63改编）已知一次函数y=2x+2，利用图象解决下列问题：
（1）当x为何值时，y>0，y=0，y<0？
（2）当-3（3）当-2≤y≤2时，求x的取值范围.
解：（1）y=2x+2与x轴的交点为（-1，0），由图象可知：
当x>-1时，y>0；当x=-1时，y=0；当x<-1时，y<0.
（2）∵当x=-3时，y=-4，当x=0时，y=2，
∴当-3（3）∵当y=-2时，x=-2，当y=2时，x=0，
∴当-2≤y≤2时，-2≤x≤0.
4.【例1】已知函数y=ax+b的图象如图所示.
（1）方程ax+b=0的解是　　　　；
（2）不等式ax+b>0的解集是　　　　；
（3）不等式ax+b≤0的解集是　　　　.
x=-3
x>-3　
x≤-3
7.（2024广东）已知不等式kx+b<0的解集是x<2，则一次函数y=kx+b的图象大致是（　　）
B
5.【例2】（人教8下P130，教材新增）画出一次函数y=-2x+8的图象，利用图象解方程-2x+8=0及不等式-2x+8>0与-2x+8<0.
小结：先画出图象，再根据直线与x轴的交点解答.
解：画图象略.
故-2x+8=0的解为x=4，
-2x+8>0的解集为x<4，
-2x+8<0的解集为x>4.
8.（人教8下P130，教材新增）
（1）利用函数的图象解方程x-6=0；
（2）利用函数的图象解不等式5x-10>0与-2x-4<0.
解：（1）画图象略.
故x-6=0的解为x=4.
（2）画图象略.
故5x-10>0的解集为x>2，
-2x-4<0的解集为x>-2.
6.【例3】（2025山西期中）如图，已知直线l：y=-x+3分别与x轴，y轴交于点A和B.
（1）求△AOB的面积；
解：（1）当x=0时，y=-x+3=3，
∴点B的坐标为（0，3）.
当y=0时，-x+3=0，x=4，
∴点A的坐标为（4，0）.∴OA=4，OB=3，
∴S△AOB=OA·OB=×4×3=6.
（2）求点O到直线l的距离.
（2）设点O到直线l的距离为h.
在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，
∴AB==5.
由面积法可得h=，
∴点O到直线l的距离为.
★9.（运算能力、思维能力）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+b交x轴于A（8，0），交y轴于B，C为线段AO上一点，且S△ABC=16，P为直线AB上一动点，连接OP.
（1）求直线AB的解析式；
解：（1）∵直线y=-x+b经过点A（8，0），
∴-8+b=0，∴b=8，
∴直线AB的解析式为y=-x+8.
（2）是否存在这样的点P，使S△BOP=S△BOC？若存在，求点P坐标；若不存在，说明理由.
（2）存在.当x=0时，y=8，∴B（0，8）.
∵S△ABC=16，∴×AC×8=16，
∴AC=4，∴OC=4，∴C（4，0）.
设P（a，-a+8），∴×8×|a|=×8×4，
∴a=4或-4，∴P（4，4）或P（-4，12）.(共14张PPT)
第二十三章 一次函数
第9课时　实际问题与一次函数（3）
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.（2022新课标）能用一次函数解决简单实际问题.
2.会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想.
3.能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法.
运算能力　抽象能力
模型观念　应用意识
租车问题
（1）汽车总载客量=每辆车的载客量×汽车数量.
（2）租车费用=　　　　　　　　×汽车数量.
（3）一般地，在满足各项要求的前提下，尽可能少地租用价格较高的车型，而尽可能多地租用价格较低的车型，可以节省费用.
（4）归纳：
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
每辆汽车的租金
1.（人教8下P133）某学校计划在总费用不超过2 300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大客车（不能超员），它们的载客量和租金如下表：
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
（1）共需租多少辆客车？

解：（1）∵45>30，∴若只租甲种客车，则所需辆数最少.
又∵45×5=225<234+6，45×6=270>234+6，
且每辆客车上至少要有1名教师，教师只有6名，
∴共需租车6辆.
（2）给出最节省费用的租车方案.
（2）设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车（6-x）辆，
依题意，得，解得4≤x≤5.
∵x为整数，∴x=4或5，
又∵400>280，
∴租乙种客车越多时，总费用越少，
∴x=4，6-x=2.
∴租甲种客车4辆，乙种客车2辆最节省费用.
2.【例1】（人教8下P135，教材新增）某剧院的观众席座位数从前向后依次增加，部分数据如下表所示：
（1）按照上表所示的规律，当x每增加1时，y　 　　　；
（2）写出座位数y与排数x之间的函数解析式为　　　　　　；
（3）第20排共有　　　　个座位.
排数x 1 2 3 4 …
座位数y 50 52 54 56 …
小结：解题的关键是找出表中规律，列出解析式.
增加2　
y=2x+48　
88
4.（跨学科融合）（2025陕西）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y（L）与气体温度x（℃）成一次函数关系.某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表：
气体温度x（℃） … 25 30 35 …
气体体积y（L） … 596 606 616 …
（1）y与x之间的函数解析式为　　　　　；
（2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700 L时停止加热，则停止加热时的气体温度为　　　　℃.
y=2x+546
77
3.【例2】（2025广安模拟）某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元.
（1）求A，B两种花卉的单价；
解：（1）设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株.
由题意得，解得.
答：A种花卉的单价为3元/株，B种花卉的单价为5元/株.
（2）该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10 000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用.
小结：深入把握题意，找出命题中隐含的数量关系.
（2）设采购A种花卉m株，则采购B种花卉（10 000-m）株，总费用为W元.由题意得W=3m+5（10 000-m）=-2m+50 000，
∵m≤4（10 000-m），解得m≤8 000，
在W=-2m+50 000中，∵-2<0，∴W随m的增大而减小，
∴当 m=8 000时，W的值最小，
此时W=-2×8 000+50 000=34 000，10 000-m=2 000.
答：当购进A种花卉8 000株，B种花卉2 000株时，总费用最少，最少总费用为34 000元.
★5.（运算能力、思维能力）（人教8下P134改编，教材新增）“六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：
（1）小张如何进货，使进货款恰好为1 300元？
型号 进价（元/只） 售价（元/只）
A型 10 12
B型 15 23
解：（1）设购进A型文具为x只，则购进B型文具（100-x）只，可得
10x+15（100-x）=1 300，解得x=40，100-x=60.
故购进A型文具为40只，B型文具为60只.
（2）要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值.
（2）设购进A型文具a只，B型文具（100-a）只，可得
（12-10）a+（23-15）（100-a）≤40%［10a+15（100-a）］，
解得a≥50.
设利润为y元，
则y=（12-10）a+（23-15）（100-a）=2a+800-8a=-6a+800，
∵-6<0，∴y随a的增大而减小，
∴当a=50时，利润最大，最大利润为-6×50+800=500元.(共19张PPT)
第二十三章 一次函数
第1课时　一次函数的概念
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.（2022新课标）结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式.
2.（2022新课标）能用一次函数解决简单实际问题.
3.理解一次函数与正比例函数的关系.
抽象能力　运算能力
模型观念　应用意识
一次函数、正比例函数的定义
（1）一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函
数，其中x是自变量.特别地，当b=　　　　时，y=kx+b即y=kx，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中　　　　叫作比例系数.
（2）判断一个函数是否为一次函数要先化简，判断的标准有三个：
①k≠0；②自变量x的次数为1；③常数b为任意实数.
（3）注意：正比例函数一定是一次函数，但一次函数　　　　　是正比例函数.
0　
k　
不一定
1.（2025上海）下列函数中，是正比例函数的是（　　）
A.y=3x+1 B.y=3x2
C.y= D.y=
2.下列是一次函数的是　 　　　（填序号）.
①y=x-1；②y=；③y=3-x；④y=x；⑤y=x2-2x-1.
3.（2025鸡西期末）将一次函数y=3（x-2）+1写成y=kx+b的形式，则k与b的值分别为　　　　，　　　　.
D
①③④　
3
-5　
用一次函数解析式表示数量关系
（1）用一次函数解析式表示数量关系，需从实际问题中识别变量，确定它们之间的关系，再列出一次函数解析式.
（2）比如在汽车行驶过程中，若速度v不变，则路程s关于时间t的函数解析式为s=vt.
4.若一个矩形的长为3，宽为a，面积为S，则S关于a的函数解析式为
　　　　　.
5.（2025广西模拟）已知某地面温度为25 ℃，且海拔每升高1千米温度下降6 ℃，则山上距离地面的海拔为h千米处的温度T为　　　　　　.
S=3a
T=25-6h
由正比例关系求函数解析式
（1）回顾：若y与x成正比例关系，则=k，可化为y=kx，它与正比例函数的形式相同.
（2）对于（1）中y=kx有：①由一组x，y的值，可求比例系数k的值，从而得到函数解析式；②若已知x的一个值，代入函数解析式，可直接求出对应y的值；③若已知y的一个值，代入函数解析式，解方程可求出对应x的值.
6.（人教8下P116，教材新增）若y与x成正比例关系，且x=2时，y=8，写出y关于x的函数解析式，并求x为何值时y=-4.
解：∵y与x成正比例关系，∴y=kx，
∵x=2时，y=8，∴2k=8，解得k=4，
∴y关于x的函数解析式为y=4x.
∵y=-4时，∴4x=-4，解得x=-1，
故x为-1时y=-4.
7.【例1】（人教8下P115，教材新增）下列函数中是一次函数的是
　　　　 　，是正比例函数的是　　 　　　.（填序号）
（1）y=-8x；（2）y=-；（3）C=2πr；
（4）y=5x2+6；（5）y=2（x-4）.
小结：先化为一般形式，再根据定义进行判断.
（1）（3）（5）
（1）（3）
12.（人教8下P116，教材新增）下列函数中是一次函数的是
　　　 　　，是正比例函数的是　 　　　　.（填序号）
（1）y=-0.2x； （2）y=-3（x+1）；
（3）S=πr2； （4）y=.
（1）（2）（4）
（1）（4）
8.【例2】（2025河南三模）若y=x+2a-1是正比例函数，则a的值是
（　　）
A.　 B.0　 C.-　 D.-2
小结：由正比例函数的定义得2a-1=0，再求a的值.
A
13.（1）（2025深圳期中）y=+1是关于x的一次函数，则m=
　　　　；
（2）（2025湛江期末）已知一次函数y=（3-k）x+9-k2是正比例函数，则k=　　　　.
3　
-3
9.【例3】（人教8下P115）用函数解析式表示下列问题中y与x的关系：
（1）某人一年内的月平均收入为x元，他这一年（12个月）的总收入为y元；
（2）某水池有水20 m3，现在打开进水管开始进水，进水速度为3 m3/h，则x h后水池有水y m3.
y=12x
y=20+3x
14.（人教8下P116，教材新增）用函数解析式表示下列问题中y与x的关系：
（1）一个长方体的长为2 cm，宽为1.5 cm，高为x cm，体积为y cm3；

（2）某水箱有水10 L，以0.5 L/min的速度开始往外放水，放水时间为x min，剩余水量为y L.
y=3x
y=10-0.5x
10.【例4】（2025西安期末）已知y与x+2成正比例，当x=3时，y=7.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x=-1时，y的值为　　　　.
小结：关键是根据正比例关系求出比例系数k.
解：（1）∵y与x+2成正比例，∴y=k（x+2）.
∵当x=3时，y=7，∴7=k（3+2），解得k=，
∴y与x的函数关系式为y=x+.
15.已知y-1与x成正比例，当x=2时，y=9.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x=2时，y的值为　　　　；
（3）当y=-15时，x的值为　　　　.
解：（1）∵y-1与x成正比例，∴y-1=kx，
∵当x=2时，y=9，∴9-1=2k，解得k=4，
∴y-1=4x，即y与x的函数关系式为y=4x+1.
9
-4
11.【例5】（人教8下P116，教材新增）某银行一年期存款利率为1.5%，记存入的本金为x元，一年到期时的本息和为y元.
（1）y关于x的函数解析式为 ；
（2）存入10 000元，一年到期时的本息和是多少元？
小结：找出等量关系：本息和=本金+利息.
y=1.015x
（2）x=10 000时，y=1.015×10 000=10 150.
答：存入10 000元，一年到期时的本息和是10 150元.
★16.（应用意识）（人教8下P116，教材新增）学校发起为福利院儿童捐书包的活动，每个书包60元.张华现有积攒的零花钱480元，记她用零花钱捐献的书包数为x个，剩余的钱数为y元.
（1）y关于x的函数解析式为　　　 　　　，自变量x的取值范围为　　　　　　；
（2）若她至少要留下180元购买课外书，则她最多能捐献几个书包？
y=480-60x
0≤x≤8
（2）由题意得480-60x≥180，解得x≤5.
答：她最多能捐献5个书包.(共24张PPT)
第二十三章 一次函数
第2课时　正比例函数的图象与性质
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.（2022新课标）能画正比例函数的图象，根据图象和表达式y=kx（k≠
0）探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况；理解正比例函数.
2.（2022新课标）能用正比例函数解决简单实际问题.
运算能力　几何直观　推理能力
模型观念　应用意识
正比例函数图象的画法
（1）画正比例函数图象的步骤：
列表、　　　　、连线.
（2）画正比例函数图象的简单方法：
因为两点确定一条直线，而正比例函数y=kx（k≠0）的图象又是经过
　　　　的直线，所以只要再确定正比例函数图象上　　　　点，就可以画出正比例函数的图象.一般地，这一点可以取点（1，　　　　）这个特殊点.
描点
原点
一　
k
1.（人教8下P119、北师8上P90）用你认为最简单的方法画出正比例函数y=-3x的图象.
过原点和点（1，-3）画直线即可，答案不唯一，图略.
正比例函数的图象和性质
函数 正比例函数y=kx（k≠0）
图象 正比例函数的图象是一条过　　 　的　 　　
k　　　0 k　　　0
图象是从左向右上升的，经过第 　　　　　象限 图象是从左向右下降的，经过第
　　　　　象限
　　　　越大，图象越陡（即越靠近y轴）
性质 y随x的增大而 　 y随x的增大而 　
原点　
直线
>
<
一、三
二、四
|k|
增大
减小
2.已知y=x，下列结论正确的是（　　）
A.函数图象必经过点（1，2）
B.函数图象必经过第二、第四象限
C.不论x取何值，总有y>0
D.y随x的增大而增大
D
3.（2025郑州一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在正比例函数y=3x的图象上，若x1A.y1>y2 B.y1C.y1=y2 D.y1≥y2
B
4.（北师8上P91改编）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax，②y=bx，③y=cx，将a，b，c从小到大排列为（　　）
A.aB.aC.bD.cB
5.（2025福建模拟）若正比例函数y=kx的图象经过点（7，-13），则y的值随x值的增大而　　　　（选填“增大”或“减小”）.
减小
6.【例1】（人教8下P119）用你认为最简单的方法画出函数y=x的图象.
小结：可用两点法画正比例函数y=kx（k≠0）的图象，一般过（0，0）和（1，k）两点，或选取容易计算和画出的点.
可以画出过（0，0）和（2，3）两点的直线，图略.
12.（人教8下P119，教材新增）用你认为最简单的方法画出函数y=-6x的
图象.
可以画出过（0，0）和（1，-6）两点的直线，图略.
7.【例2】对于函数y=-2x，下列说法正确的是　　　　　（填序号）.
①图象经过原点；
②图象经过第二、第四象限；
③y随x的增大而减小；
④图象是过点（0，0）和（-2，4）的直线.
小结：运用代入点和画出草图的方法判断各选项的对错.
①②③④
13.下列关于正比例函数y=-5x的说法中，正确的是（　　）
A.当x=1时，y=5
B.它的图象是一条经过原点的直线
C.y随x的增大而增大
D.它的图象经过第一、第三象限
B　
8.【例3】（1）（2025郑州一模）若正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、第三象限，则k的值可以是　　 　 　（写出一个即可）；
（2）（人教8下P119，教材新增）若点（2，m）和点（-3，n）都在函数y=kx（k<0）的图象上，试比较m，n的大小为　　　　.
小结：（1）根据正比例函数的图象或性质列出关于k的不等式，解该不等式即可；（2）根据k的正负判断函数的增减.
1（答案不唯一）
m14.（北师8上P94改编）已知函数y=（2m-1）x是正比例函数，且y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（　　）
A.m> B.m<
C.m>0 D.m<0
A
9.【例4】若y是x的正比例函数，当x=1时，y=2.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求当x=-1时的函数值；
（3）当y的取值范围是0≤y≤5时，求x的取值范围.
小结：弄清正比例函数的图象和性质的变化.
解：（1）设y=kx，将x=1，y=2代入，得k=2，
故y与x之间的函数关系式为y=2x.
（2）当x=-1时，y=2×（-1）=-2.
（3）∵0≤y≤5，∴0≤2x≤5，解得0≤x≤.
15.已知某正比例函数图象上的一个点A到x轴的距离为4，且点A的横坐标为-2.
（1）求这个正比例函数的解析式；
解：（1）∵正比例函数图象上的一个点A到x轴的距离为4，且点A的横坐标为-2，
∴A（-2，4）或（-2，-4），
设这个函数的解析式为y=kx，则4=-2k或-4=-2k，
解得k=-2或k=2，
故这个正比例函数的解析式为y=±2x.
（2）这个正比例函数的图象经过哪些象限？
（3）这个正比例函数的函数值y是随着x增大而增大，还是随着x增大而减小？
（2）当y=2x时，图象经过第一、三象限；
当y=-2x时，图象经过第二、四象限.
（3）当y=2x时，函数值y是随着x增大而增大；
当y=-2x时，函数值y是随着x增大而减小.
10.【例5】（2025潮州期末）已知正比例函数y=（k-2）x.
（1）若函数图象经过第二、第四象限，求k的取值范围；
（2）点（2，4）在这个函数的图象上，求它的解析式.
小结：解题思路是根据“形”（已知直线经过的象限或增减性）确定“数”（k的符号或取值范围）.
解：（1）∵函数图象经过第二、第四象限，
∴k-2<0，∴k<2.
（2）∵点（2，4）在这个函数的图象上，
∴当x=2时，y=4，∴4=2（k-2），解得k=4，∴y=2x.
16.已知函数y=（k为常数）.
（1）当k为何值时，该函数是正比例函数？
（2）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而增大？
（3）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？
解：（1）由题意，得解得k=±2，
∴当k=±2时，该函数是正比例函数.
（2）当k=2时，y随x的增大而增大.
（3）当k=-2时，y随x的增大而减小.
11.【例6】如图，已知正比例函数y=4x的图象上有一点P（x，y），点A（6，0），O为坐标原点，且△APO的面积为12，求点P的坐标.
小结：（1）利用三角形的面积列出与坐标有关的含绝对值符号的一元一次方程；（2）根据三角形的面积找出点P的坐标.
解：∵点P在正比例函数y=4x的图象上，
∴设P（x，4x），
∵点A的坐标为（6，0），∴OA=6，
∴S△APO=×6×|4x|=12，解得x=1或x=-1，
∴点P的坐标为（1，4）或（-1，-4）.
★17.（几何直观、思维能力）（2025衡阳期末）如图，正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，△AOH的面积为3.
（1）求正比例函数的解析式；
解：（1）∵AH⊥x轴，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3，∴AH=2，
又∵点A在第四象限，
∴点A的纵坐标为-2，∴点A的坐标为（3，-2）.
∵正比例函数y=kx经过点A，∴3k=-2，解得k=-，
∴正比例函数的解析式是y=-x.
（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.
（2）存在，设点P的坐标为（a，0）.
∵△AOP的面积为5，点A的坐标为（3，-2），
∴×|a|×2=5，解得a=±5，
∴点P的坐标为（5，0）或（-5，0）.

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