资源简介 (共21张PPT)第二十一章 四边形第1课时 四边形及其内角和01学习目标04精典范例03对点训练02知识要点05变式练习1.（2022新课标）了解四边形的概念及四边形的顶点、边、内角、外角与对角线.2.（2022新课标）探索并掌握四边形的内角和与外角和公式.3.（2022新课标）了解四边形的不稳定性.几何直观 推理能力应用意识四边形及其边、顶点、对角线（1）四边形：在平面内，由不在同一直线上的四条线段 顺次相接组成的图形叫作四边形.（2）四边形的边：组成四边形的各条 叫作四边形的边. （3）四边形的顶点：每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点.四边形用表示它的各个 的字母表示（按照顶点的顺序）. （4）四边形的对角线：连接四边形 的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线. 首尾线段顶点不相邻1.（人教8下P46，教材新增）如图中的四边形，记作四边形 ；__________________是该四边形的边； 是该四边形的顶点. 2.（1）（2025汕头期末）四边形有 条对角线； （2）上图中， 是该四边形的对角线，它们分别将该四边形分为 个三角形. ABCD AB，BC，CD，DAA，B，C，D两AC，BD两凸四边形画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的 ，这样的四边形叫作凸四边形. 同一侧3.（人教8下P46改编）下列是凸四边形的是 （填序号）. （1）（2）（4）四边形的内角和（1）四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角.（2）四边形的内角和等于 °. 3604.（人教8下P47）如图，四边形ABCD被AC分为△ABC和△ACD，则四边形ABCD的内角和 两个三角形的内角和的和，即 + =360°. 等于180° 180° 四边形的外角和（1）四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角.（2）在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.（3）四边形的外角和等于 °. 3605.（1）如图，∠1+∠2+∠3+∠4= °； （2）如图，若∠1+∠2+∠4=260°，则∠3= °. 360 100 四边形的不稳定性（1）四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有 . （2）四边形的不稳定性的应用：如伸缩门、升降机等.稳定性6.（人教8下P49、北师7下P100）（2025烟台期末）下列图形中，运用了四边形的不稳定性的是（ ）C7.【例1】（人教8下P49）求下列图形中x的值：小结：结合四边形的内角和的性质列方程求解.解：（1）x+x+140+90=360，解得x=65.（2）3x+4x+2x+3x=360，解得x=30.（3）180-x+75+120+80=360，解得x=95.11.（人教8下P86，教材新增）若四边形的四个内角的度数比为1∶2∶3∶4，求其中最大的内角的度数.解：设四个内角的度数分别为x，2x，3x，4x，则x+2x+3x+4x=360°，解得x=36°，∴其中最大的内角的度数为4x=144°.8.【例2】（人教8下P49、北师8下P171）如图，一个四边形的一组对角互补，它的另一组对角有什么关系？小结：根据互补和四边形的内角和求解.解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且已知∠A+∠C=180°，∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=360°-180°=180°，∴另一组对角互补.12.（人教8下P53）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，AB与DC有怎样的位置关系？BC与AD呢？解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠D+∠A+∠D=360°，∠A+∠B+∠A+∠B=360°，∴∠A+∠D=180°，∠A+∠B=180°，∴AB∥DC，BC∥AD.9.【例3】（人教8下P49）下列图形中，哪些具有稳定性？小结：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性.解：（1）（4）.13.（2025长春模拟）下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（ ）14.在上题中，请添加若干木条，使容易变形的图形具有稳定性.B图略（答案不唯一）10.【例4】（人教8下P47，教材新增）如图，证明：四边形的外角和为360°.小结：运用四边形的外角和与内角和的性质进行推理.证明：∵∠DAB与∠1是邻补角，∴∠DAB+∠1=180°，同理∠ABC+∠2=180°，∠BCD+∠3=180°，∠CDA+∠4=180°，∴∠DAB+∠1+∠ABC+∠2+∠BCD+∠3+∠CDA+∠4=720°，又∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°，即四边形的外角和为360°.★15.（推理能力、思维能力）（人教8下P53，教材新增）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是它的两条对角线.比较AC+BD与四边形周长的大小.解：在△ABC中，由三边关系得AC在△ADC中，由三边关系得AC∴2AC同理2BD∴2AC+2BD<2（AB+BC+AD+DC），∴AC+BD即AC+BD小于四边形ABCD的周长.(共15张PPT)第二十一章 四边形第9课时 矩形的性质（2）01学习目标04精典范例03对点训练02知识要点05变式练习（2022新课标）探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.几何直观 推理能力模型观念 应用意识直角三角形斜边上的中线性质（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的 . （2）请利用矩形的性质证明上述性质：（人教8下P69、北师9上P12）如图，BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，求证：BO=AC.证明：延长BO到点D，使OD=OB，连接AD，CD，∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，∴OA= ， 一半OC ∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴BD= ，∴BO= =AC. AC BD1.（1）（2025佛山模拟）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知∠ACB=90°，点D为边AB的中点，点A，B对应的刻度为1，7，则CD=（ ）A.3.5 cm B.3 cmC.4.5 cm D.6 cmB（2）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A=20°，则∠BCD= °.70模型构建（1）直角三角形中遇到斜边的中点时，常作斜边上的中线，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD=AD=BD=AB来解题.有时有中点无直角，要寻找直角，可简记为“直角+中点，等腰必呈现”.（2）此模型作用：①证明线段相等或求线段长；②构造角相等进行等量代换.2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF.求证：EF=CF.证明：∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，在Rt△AED和Rt△ACD中，∵点F是斜边AD的中点，∴EF=AD，CF=AD，∴EF=CF.3.【例1】（2025西宁一模）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点.若AC=8，CD=5，则DE= . 小结：利用直角三角形斜边中线和三角形中位线进行线段转换.36.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，点D为边AC的中点，BD=2，则AB的长为（ ）A. B.2C.2 D.4B4.【例2】（人教8下P80）（2025宝鸡期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD=3∠BCD，E是边AB的中点，求∠ECD的度数.小结：直角三角形的中线将三角形分成了2个等腰三角形.解：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵∠ACD=3∠BCD，∴4∠BCD=90°，∴∠BCD=22.5°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=90°-∠BCD=67.5°，∵∠ACB=90°，E是边AB的中点，∴EC=BE，∴∠ECB=∠B=67.5°，∴∠ECD=∠ECB-∠BCD=45°.7.（2025延安期末）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，在线段AD及CD的延长线上依次取点E，F，连接EF，且∠F=∠B，若∠A=70°，求∠AEF的度数.解：∵在Rt△ABC中，∠A=70°，∴∠B=90°-∠A=20°，∴∠F=∠B=20°，∵CD为斜边AB的中线，∴CD=AB=BD，∴∠BCD=∠B=20°，∴∠F=∠BCD，∴EF∥CB，∴∠DEF=∠B=20°，∴∠AEF=180°-∠DEF=160°.5.【例3】（2025盐城期末）如图，BD，CE是△ABC的高，M，N分别是BC，DE的中点，求证：MN⊥DE.小结：（1）找直角三角形→找斜边上的中点，连中线；（2）构造模型：在直角三角形中取斜边上的中点，构造斜边上的中线.证明：连接MD，ME.∵BD是△ABC的高，M为BC的中点，∴MD=BC，同理可得ME=BC，∴MD=ME，∵N是DE的中点，∴MN⊥DE.★8.（推理能力、思维能力）如图，∠C=90°，AB⊥AC，D，E，B三点在同一直线上，∠ADE=2∠EDC，求证：BE=2AD.证明：取BE的中点F，连接AF，∵AB⊥AC，∴AF=BF=BE，∴∠B=∠BAF，∵∠C=90°，AB⊥AC，∴AB∥CD，∴∠B=∠EDC，由三角形的外角性质得∠AFD=∠B+∠BAF=2∠B，∵∠ADE=2∠EDC，∴∠AFD=∠ADE，∴AD=AF，∴AD=BE，∴BE=2AD.(共17张PPT)第二十一章 四边形第7课时 三角形的中位线01学习目标04精典范例03对点训练02知识要点05变式练习1.（2022新课标）探索并证明三角形的中位线定理.2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算.运算能力 几何直观 推理能力模型观念 应用意识三角形的中位线的定义（1）定义：连接三角形两边 的线段叫作三角形的中位线. （2）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，则线段DE就是△ABC的中位线.中点1.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，连接AD，则AD是△ABC的 线. 2.如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则线段 ， ， 均为△ABC的中位线，每个三角形都有 条中位线. 第1题图第2题图中 DE DFEF 3三角形的中位线定理（1）定理：三角形的中位线 于三角形的第三边，并且等于第三边的 . （2）（人教8下P63、北师8下P166）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且DE=BC.证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF，∵AE=EC，DE=EF，平行一半∴四边形ADCF是平行四边形.∴CF DA.又D是AB的中点，∴CF . ∴四边形DBCF是平行四边形.∴DF . 又DE=DF，∴DE∥ ，且DE= . BDBCBCBC3.（2025无锡）在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点.若DE=4，则BC的长为（ ）A.2 B.4 C.6 D.84.（2025广东）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A=70°，则∠EDF=（ ）A.20° B.40° C.70° D.110°D C5.（人教8下P65，教材新增）（2025东莞期末）如图，△ABC的中线BD，CE相交于点O，且F，G分别是OB，OC的中点.求证：四边形DEFG是平行四边形.证明：∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，∴点D，E分别是边AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，同理FG∥BC，FG=BC，∴DE FG，∴四边形DEFG是平行四边形.6.【例1】（人教8下P65、北师8下P168）（2025韶关模拟）如图，平地上A，B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点M，N，测量得MN=8米，则A，B两点间的距离为（ ）A.4米 B.24米C.16米 D.48米小结：中位线定理的运用主要强调两个方面：数量关系和位置关系.C10.（人教8下P65）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出 个平行四边形. 37.【例2】（北师8下P169改编）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点.若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的周长是 . 小结：结合中位线定理求周长.1411.（人教8下P65改编、北师8下P168）（2025陕西期末）已知三角形的各边长分别为8 cm，10 cm，12 cm，则以各边中点为顶点的三角形的周长为 cm. 158.【例3】如图，在 ABCD中，EF∥AB且交BC于E，交AD于F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，连接MN，求证：MN∥AD且MN=AD.小结：找到线段中点，发现中位线.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC.又∵EF∥AB，∴EF∥CD.∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形.又∵M，N分别为 ABEF和 ECDF对角线的交点，∴M为AE的中点，N为DE的中点，即MN为△AED的中位线，∴MN∥AD且MN=AD.12.如图，E为 ABCD中DC边的延长线上一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于O，连接OF.求证：AB=2OF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CE∥AB，∴∠E=∠BAF，∠FCE=∠FBA.又∵CE=DC=AB，∴△FCE≌△FBA（ASA），∴BF=FC，∴F是BC的中点，∵O是AC的中点，∴OF是△CAB的中位线，∴AB=2OF.9.【例4】（人教8下P64，教材新增、北师9上P23）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.小结：作辅助线，构造中位线，从而解决问题.证明：连接AC.∵H，G分别是边DA，CD的中点，∴AH=HD，CG=GD，∴HG∥AC，且HG=AC.同理EF∥AC，且EF=AC，∴HG EF，∴四边形EFGH是平行四边形.★13.（思维能力）（2025杭州模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=3，BD=4，点E，F分别是边AB，CD的中点，求EF的长.解：如图，取AD的中点M，连接ME，MF，∵E，F分别是边AB，CD的中点，∴EM是△ABD的中位线，FM是△ADC的中位线，∴ME∥BD，MF∥AC，ME=BD，MF=AC，∵AC⊥BD，∴ME⊥MF，∵AC=3，BD=4，∴ME=2，MF=，∴EF==.答案图(共17张PPT)第二十一章 四边形第12课时 菱形的判定01学习目标04精典范例03对点训练02知识要点05变式练习1.（2022新课标）探索并证明菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2.会用菱形的判定方法进行有关的论证和计算.几何直观 推理能力模型观念 应用意识菱形的判定——定义法（1）定义法：有一组邻边 的平行四边形叫作菱形. （2）几何语言：∵如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.相等1.（人教8下P87、北师9上P27）（2025金华模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD.求证：四边形OCED是菱形.证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC，OD=BD，OC=AC，∴OD=OC，∴四边形OCED是菱形.菱形关于对角线的判定定理1（1）对角线 的平行四边形是菱形. （2）（人教8下P74、北师9上P5）如图，四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD于点O.求证：四边形ABCD是菱形.互相垂直（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠COD=90°，又∵OD=OD，∴△AOD≌△COD（SAS），∴AD=CD，∴平行四边形ABCD是菱形.2.（北师9上P6）（2025长春）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=5，OA=4，OB=3.求证： ABCD是菱形.证明：∵AB=5，OA=4，OB=3，∴AB2=25=9+16=OA2+OB2，∴∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴ ABCD是菱形.菱形关于边的判定定理2（1）四条边 的四边形是菱形. （2）（人教8下P74、北师9上P6）如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.求证：四边形ABCD是菱形.都相等（2）证明：∵AB=CD，BC=DA，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形.3.（人教8下P75，教材新增）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O且互相垂直平分.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，CB=CD，∵BD垂直平分AC，∴AD=CD，AB=CB，∴AB=AD=CB=CD，∴四边形ABCD是菱形.4.【例1】（人教8下P79）（2025长沙模拟）如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上且AB=BC，连接CD.求证：四边形ABCD是菱形.小结：若已知一组邻边相等，则需要证该四边形是平行四边形或四条边都相等.证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD.又∵AB=BC，∴AD=BC.∵AE∥BF，即AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.7.（人教8下P75、北师9上P8）如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？解：四边形ABCD是菱形，理由如下：如图，过A点作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∵两张纸条宽度相等，∴AE=AF.∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.∵S四边形ABCD=BC·AE=CD·AF，又AE=AF，∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形.答案图5.【例2】（人教8下P74，教材新增、北师9上P7）（2025扬州）如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.小结：若对角线互相垂直，则需要证明该四边形是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠1=∠2，又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF（ASA），∴EO=FO，∴四边形AFCE是平行四边形，又AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形.8.（人教8下P88）（2025滨州一模）如图，过 ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG，FH与 ABCD各边分别相交于点E，G，F，H，连接EF，FG，GH，HE.求证：四边形EFGH是菱形.证明：在 ABCD中，OB=OD，AD∥BC，∴∠OBG=∠ODE.又∵∠BOG=∠DOE，∴△OBG≌△ODE.∴OG=OE.同理OF=OH.∴四边形EFGH是平行四边形.又∵EG⊥FH，∴四边形EFGH是菱形.6.【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=4，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x.（1）当x的值为 时，以点P，A，D，E为顶点的四边形为平行四边形； （2）点P在EC间运动的过程中，以P，A，D，E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.1或11（2）点P在EC间运动的过程中，以P，A，D，E为顶点的四边形能构成菱形，理由如下：如图，过点D作DM⊥BC于点M， ∵CD=4 ，∠C=45°，∴DM=CM=4，由（1）得点P在EC间运动过程中，当x=11时，四边形AEPD为平行四边形，此时EP=AD=5，∴PC=1，则MP=3，∴DP=5，则DP=EP，∴ AEPD为菱形.故当x为11时，以P，A，D，E为顶点的四边形为菱形.小结：化“动”为“静”.★9.（推理能力、思维能力）如图，△ABC和△DEF是两个边长都为10 cm的等边三角形，B，D，C，E都在同一直线上，连接AD，CF.（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；（1）证明：∵△ABC和△DEF是两个边长为10 cm的等边三角形，∴AC=DF，∠ACD=∠FDE=60°，∴AC∥DF，∴四边形ADFC是平行四边形.（2）若BD=3 cm，△ABC沿着BE的方向以每秒1 cm的速度运动，设△ABC运动时间为t秒.当t为何值时， ADFC是菱形？并说明理由.（2）解：当t=3时， ADFC是菱形，理由如下：t=3时B与D重合，∴AD=AB=DF，∴ ADFC是菱形.(共18张PPT)第二十一章 四边形第13课时 正方形的性质01学习目标04精典范例03对点训练02知识要点05变式练习1.（2022新课标）理解正方形的概念.探索正方形的轴对称性质.2.（2022新课标）正方形既是矩形，又是菱形.运算能力 几何直观推理能力 模型观念正方形的概念及轴对称性（1）对于一个平行四边形，如果它不仅有一组邻边相等，而且有一个角是直角，那么它就是正方形.正方形既是有一组邻边相等的 ，也是有一个角是直角的 . （2）正方形是轴对称图形，对称轴有 条.矩形菱形 41.（人教8下P76、北师9上P20）如图，正方形ABCD的对称轴分别为 ， ， ， . 直线AC直线BD直线EG直线FH正方形的边的性质（1）正方形的四条边 . （2）几何语言：如图，已知四边形ABCD是正方形，则AB=BC= = . 都相等CD DA2.（2025陕西）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠BAE=∠DAF.求证：CE=CF.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=DC=AD，∠B=∠D，在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴BE=DF，∴BC-BE=DC-DF，即CE=CF.正方形的角的性质（1）正方形的四个角 ，均为 °. （2）几何语言：如图，已知四边形ABCD是正方形，则∠A=∠B= = = °.都相等90∠C ∠D 903.（人教8下P76）如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A，B，C，D.李明和张华在边AB上取了一点E，EC=30 m，EB=10 m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？解：在正方形ABCD中，∠B=90°，EC=30 m，EB=10 m，∴BC===20 （m），∴正方形的面积为（20 ）2=800（m2），对角线的长为=40（m）.（1）①对角线互相垂直平分且相等；②对角线平分一组对角得到45°角；③边长与对角线的长度比为1∶.（2）几何语言：如图，四边形ABCD是正方形，则：①AC⊥BD，且OA= =OB= ； ②∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8= °； ③AB∶AC= ，AO∶AB= . 正方形的对角线的性质OC OD45 1∶1∶4.（人教8下P76、北师9上P21）（1）正方形的两条对角线把这个正方形分成 个全等的等腰直角三角形； （2）如知识点4图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有 个等腰直角三角形.4 8 5.（2025衡阳三模）如右图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点，连接EF.若∠FEO=45°，则的值为 .6.【例1】（2025浙江）【问题背景】如图，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上.【数学理解】（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请证明△ABE≌△CBE；（2）若裁剪过程中满足DE=DA，则“机翼角”∠BAE的度数为 . （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABD=∠CBD，又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS）.22.5°9.（人教8下P79，教材新增）如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，过点E且与BD垂直的直线交CD于点F，连接BF.判断DE与CF相等吗？说一说你的理由.解：DE与CF相等，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C=90°，∠BDC=45°，∵EF⊥BD，∴∠BEF=∠DEF=90°，∴∠EFD=∠BDC=45°，∴EF=DE，在Rt△BEF和Rt△BCF中，BE=BC，BF=BF，∴△BEF≌△BCF（HL），∴EF=CF，∴DE=CF.7.【例2】（人教8下P77、北师9上P22）（2025德阳）如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是A，B，C，D.要修建BE和AF两条路，使点E，F分别在边AD，CD上，且DE=CF.这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？小结：正方形中的十字模型，存在相等和垂直的关系. 解：这两条路等长且互相垂直.理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD，∠BAD=∠D=90°，∵DE=CF，∴AD-DE=CD-CF，即AE=DF，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE=AF，∠ABE=∠DAF，∵∠BAF+∠DAF=90°，∴∠BAF+∠ABE=90°，即BE⊥AF.10.如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的点，CG>BE，BF>AH，连接EG，FH.若EG⊥FH，求证：EG=FH.证明：如图，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N，HN与EG交于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，BC=AB，∵EM⊥CD，∴四边形BCME是矩形，∴EM=BC.同理HN=AB，∴EM=HN，由题意可知FH⊥EG，EM⊥HN，∴∠FHN+∠HOG=∠MEG+∠EON=90°，∵∠HOG=∠EON，∴∠FHN=∠MEG，∴△HFN≌△EGM（ASA），∴EG=FH.答案图8.【例3】如图，过正方形ABCD的顶点C作直线l，分别过点B，D作直线l的垂线，垂足分别为E，F.已知BE=6 cm，DF=4 cm，求正方形ABCD的面积.小结：正方形中的一线三直角全等模型.解：如图，∵BE⊥l，DF⊥l，∴∠BEC=∠DFC=90°，∴∠1+∠2=90°，又∵∠BCD=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，而BC=CD，∴△BEC≌△CFD，∴EC=DF=4 cm.在Rt△BEC中，由勾股定理得：BC2=BE2+EC2=62+42=52.∴正方形ABCD的面积是52 cm2.答案图★11.（思维能力）（2025襄阳模拟）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（1，），求点C的坐标.解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E. ∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS），∴AD=OE=，OD=CE=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（-，1）.答案图(共22张PPT)第二十一章 四边形第2课时 多边形及其内角和01学习目标04精典范例03对点训练02知识要点05变式练习1.（2022新课标）了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线.2.（2022新课标）了解正多边形的概念.3.（2022新课标）探索并掌握多边形的内角和与外角和公式.运算能力 几何直观推理能力 应用意识多边形及其有关概念（1）多边形：在平面内，由不在同一直线上的n（n≥3）条线段顺次相接组成的图形叫作多边形.（2）多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四边形相应的概念类似.（3）多边形有几条 就叫作几边形. （4）多边形用表示它的各个 的字母表示.首尾边顶点1.（人教8下P50，教材新增）如图中的六边形，记作六边形 ； 是它的边； 是它的顶点； 是它的内角； 画出它的一个外角和全部对角线.ABCDEF AB，BC，CD，DE，EF，FAA，B，C，D，E，F∠A，∠B，∠C，∠D，∠E，∠F 图略凸多边形与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形.2.下列多边形中，不是凸多边形的是（ ）B 正多边形各个角都 、各条边都 的多边形叫作正多边形.如图是正多边形的一些例子. …相等相等3.（2025张家口期末）下列图形为正多边形的是（ ）D多边形的内角和（1）一般地，从n边形的一个顶点出发，可以引出 条对角线，它们将n边形分为 个三角形，这些三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和. （2）n边形的内角和等于 .（n-3）（n-2）（n-2）×180°4.（人教8下P52、北师8下P177）填空：（1）三角形的内角和等于 ； （2）四边形的内角和等于 ； （3）（2025中山三模）五边形的内角和等于 ； （4）（2025云南）六边形的内角和等于 ；（5）八边形的内角和等于 ； （6）十二边形的内角和等于 ； （7）二十边形的内角和等于 . 180°360° 540° 720°1 080°1 800° 3 240°多边形的外角和（1）多边形的外角和等于 °. （2）多边形的外角和与边数无关.3605.（人教8下P52、北师8下P172）填空：（1）五边形的外角和等于 ； （2）六边形的外角和等于 ； （3）八边形的外角和等于 ； （4）十二边形的外角和等于 ； （5）二十边形的外角和等于 . 360°360°360°360°360°6.【例1】（人教8下P52，教材新增）求出下列图形中x的值：小结：先根据边数求多边形的内角和，再列方程求未知数.解：（1）由题意得2x+x+90+120+150=（5-2）×180，解得x=60.（2）由题意得x+x+x+x+90+90=（6-2）×180，解得x=135.10.（人教8下P52）求出下列图形中x的值：解：（1）由题意得x-30+x+30+90+x+x+x=（6-2）×180，解得x=126.（2）∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，由题意得x+135+180+150=（5-2）×180，解得x=75.7.【例2】（人教8下P52、北师8下P173，教材新增）（1）一个多边形的内角和等于1 080°，这个多边形是_________边形；（2）（2025惠州一模）一个多边形的每一个内角都等于120°，这个多边形是________边形；（3）一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是___________边形.小结：转化为外角和求边数或角度比较简便.八六五11.（人教8下P53改编、北师8下P171）（1）正五边形的每个内角的度数为 ；（2）正六边形的每个内角的度数为 ；（3）正八边形的每个内角的度数为 ；（4）正十边形的每个内角的度数为 ；（5）正六边形的每个外角的度数为 ；（6）正八边形的每个外角的度数为 ；（7）正十边形的每个外角的度数为 .108°120°135°144°60°45° 36°8.【例3】（人教8下P52、北师8下P172，教材新增）（2025广州模拟）一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形？小结：结合多边形的内角和与外角和的关系寻求等量关系、构建方程.解：设这个多边形是n边形，由题意得（n-2）×180°=2×360°，解得n=6.答：这个多边形是六边形.12.（人教8下P53、北师8下P173）（1）（2025北京二模）一个多边形的内角和与外角和相等，求它的边数；（2）一个多边形的内角和是外角和的一半，求它的边数.解：（1）设这个多边形的边数是n，由题意得（n-2）×180°=360°，解得n=4，故这个多边形的边数是4.（2）设这个多边形的边数是n，由题意得（n-2）×180°=×360°，解得n=3，故这个多边形的边数是3.9.【例4】（人教8下P53、北师8下P170，教材新增）如图，在n边形内任取一点O，连接点O与n边形的各个顶点，n边形被分成多少个三角形？请你利用这种方法推导n边形的内角和公式.小结：由三角形的内角和推导n边形的内角和.解：由图可得，n边形被分成n个三角形.这n个三角形的内角和为n×180°，再减去以点O为顶点的一个周角，即n边形的内角和为n×180°-360°=n×180°-2×180°=（n-2）×180°.★13.（几何直观、推理能力）（人教8下P53改编）（2025攀枝花）如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4.（1）求x的值；（1）解：∵五边形ABCDE的内角都相等，∴∠E=∠EDC=∠C=（5-2）×180°÷5=108°，∴∠1=∠2=×（180°-∠E）=36°，同理得∠3=∠4=36°∴x=108-36-36=36.（2）求证：DE=DC.（2）证明：由（1）可得∠EAB=∠ABC=108°，∠1=∠3=∠2=∠4=36°，∴∠DAB=∠DBA=108°-36°=72°，∴AD=BD，∴△DAE≌△DBC（ASA），∴DE=DC.(共17张PPT)第二十一章 四边形第11课时 菱形的性质01学习目标04精典范例03对点训练02知识要点05变式练习1.（2022新课标）理解菱形的概念，以及菱形与平行四边形、矩形之间的关系.2.（2022新课标）探索菱形的轴对称性质.3.（2022新课标）探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直.运算能力 几何直观推理能力 模型观念菱形的定义及轴对称性（1）菱形的定义：有一组 相等的 叫做菱形. （2）轴对称性：菱形是轴对称图形，它的每条 所在的直线就是它的对称轴. 邻边平行四边形对角线1.（人教8下P72、北师9上P2）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则它的两条对称轴分别为 、 . 直线AC直线BD菱形的特殊性质1（1）菱形的四条边 . （2）（北师9上P3）如图，已知四边形ABCD是菱形，求证：AB=BC=CD=DA.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵AB= ， BC= ， ∴AB=BC=CD=DA.相等CDDA2.（2025泸州）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE=CF.求证：AF=CE.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵AE=CF，∴AB-AE=BC-CF，即BE=BF，又∠B=∠B，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴AF=CE.菱形的特殊性质2（1）菱形的两条对角线 ，并且每一条对角线 一组对角. 互相垂直平分（2）（北师9上P3）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.求证：①AC⊥BD；②∠1=∠2=∠3=∠4，∠5=∠6=∠7=∠8.证明：①在菱形ABCD中，AB= ，OB= ，AO=AO，∴△ABO≌△ADO（SSS）， ∴∠AOB=∠AOD= °，∴AC⊥BD. ②由①知△ABO≌△ADO，∴∠1= ， ∴∠1=∠2=∠3=∠4，同理可证得△ABO≌△CBO，∴∠5= ，∴∠5=∠6=∠7=∠8.ADOD90∠2∠63.（1）（2025珠海一模）如图，菱形ABCD对角线AC与BD相交于点O，E为BC的中点，菱形ABCD周长为24 cm，则OE的长为 ；（2）（2025汕头一模）如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD=118°，求∠CEB的度数.3 cm（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABD=∠CBE，∴∠ABD=∠ADB，∵∠BAD=118°，∴∠ABD==31°，∴∠CBE=31°，∵CE⊥BC，∴∠BCE=90°，∴∠CEB=90°-31°=59°.4.【例1】（人教8下P73改编、北师9上P3）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，求菱形的边长及对角线BD的长.小结：①菱形对边平行、对角相等、四边相等，可利用等量代换转换为其他边的长；②菱形的对角线互相垂直，故常借助对角线垂直和勾股定理来求线段的长.解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC.又∵∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形.∴AB=BC=AC=4，即菱形的边长为4.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AO=AC=2，在Rt△AOB中，OB==2，∴BD=2OB=4.7.（人教8下P73，教材新增、北师9上P4改编）如图，在菱形ABCD中，BD=4，∠A∶∠ABC=1∶2，求△ABD的周长.解：在菱形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∴∠A+∠ABC=180°，∵∠A∶∠ABC=1∶2，∴∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD=4，∴△ABD的周长为3×4=12.5.【例2】（人教8下P73、北师9上P4）（2025江门期末）四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4，求AC，BD的长以及菱形ABCD的面积.小结：①菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形；②菱形面积=底×高=对角线乘积的一半.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，AB=5，AO=4，∴OB===3，∴AC=2OA=8，BD=2OB=6，∴=AC·BD=×8×6=24.8.（人教8下P80、北师9上P9）（2025长沙一模）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB，垂足为H，求DH的长.解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，∴OA=AC=4，OB=DB=3，AC⊥DB.在Rt△AOB中，AB==5，∵DH⊥AB，∴菱形ABCD的面积S=AC·BD=AB·DH，即×8×6=5×DH，解得DH=.6.【例3】（人教8下P74，教材新增）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，连接对角线BD，E，F分别是边AB，BC的中点，分别连接DE，DF，EF.求证：△DEF是等边三角形.小结：结合特殊角、特殊线段、全等三角形解决有关问题.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=60°，∠ADC=180°-∠A=120°，∴△ABD，△BCD是等边三角形，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE=BE=BF=CF，∠ADE=∠BDE=∠BDF=∠CDF=30°，∠EDF=∠ADC-∠ADE-∠CDF=60°，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴DE=DF，∴△DEF是等边三角形.★9.（思维能力）如图，菱形ABCD的边长为2，且∠ABC=120°，点E是BC的中点，点P为BD上一点，且△PCE的周长最小.（1）∠ADE的度数为_______；（2）画出点P的位置；（3）求△PCE周长的最小值.90°解：（2）如图，连接AE，交BD于点P.答案图（3）由（1）可得∠ADE=∠DEC=90°，∵CE=BC=1，∴DE=，∴在Rt△ADE中，AE==.∵四边形ABCD是菱形，∴A，C关于BD对称，∴PA=PC，∴△PCE的周长为PC+PE+CE=PA+PE+CE=AE+CE=+1.因此△PCE周长的最小值为+1.(共16张PPT)第二十一章 四边形第10课时 矩形的判定01学习目标04精典范例03对点训练02知识要点05变式练习1.（2022新课标）探索并证明矩形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形.2.能应用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题.几何直观 推理能力模型观念 应用意识矩形的判定——定义法（1）有一个角是 的平行四边形是矩形. （2）几何语言：∵如图，四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形.直角1.（2025云南）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AC的中点.延长BO至点D，使OD=OB，连接AD，CD.求证：四边形ABCD是矩形.证明：∵O是AC的中点，∴OA=OC，∵OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形.矩形的判定定理1（1）对角线 的平行四边形是矩形. （2）（人教8下P70、北师9上P14，教材新增）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB= ，AB∥ ， ∵AC=BD，BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠ABC= . ∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠ABC=×180°= ， ∴ ABCD是矩形.相等DCDC∠DCB90°2.（人教8下P87、北师9上P15）如图，你能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底边都垂直吗？为什么？解：能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底边都垂直.理由：用一根绳子比较两对角线的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下底边都垂直，因为对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角.矩形的判定定理2（1）有 个角是 的四边形是矩形. （2）证明：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，∴∠D= °-∠A-∠B-∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°，∴BC∥ ，AB∥ ， ∴四边形ABCD是平行四边形.由∠A=90°，得四边形ABCD是矩形.三直角360 ADDC3.（人教8下P71，教材新增、北师9上P28）如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AF，BH分别平分∠DAB，∠ABC，∴∠FAB+∠HBA=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，∴∠HEF=∠AEB=90°，同理：∠H=90°，∠EFG=90°，∴四边形EFGH是矩形.4.【例1】（2025河南三模）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定 ABCD为矩形的是（ ）A.∠A=90° B.∠B=∠CC.AC=BD D.AC⊥BD小结：掌握矩形的判定方法. D7.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC=BD，请添加一个条件： ，使四边形ABCD是矩形. AB=CD（答案不唯一）5.【例2】（2025阜阳期末）如图，在 ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BFCE是矩形.小结：平行四边形+有一个角是直角 矩形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，又∵∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠DCB，∴∠EBC+∠ECB=90°，∴∠E=90°.又∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BFCE是矩形.8.（人教8下P71，教材新增、北师9上P19）（2025江门期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.求证：四边形ADCF是矩形.证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE，∴△BDE≌△FAE（AAS），∴AF=BD，∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=CD，∴∠ADC=90°，AF=CD，∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠ADC=90°，∴四边形ADCF是矩形.6.【例3】（人教8下P71、北师9上P15）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=2.求 ABCD的面积.小结：平行四边形+对角线相等 矩形.解：∵△OAB是等边三角形，∴OA=OB=AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴OA=OC=OB=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°.∵OA=AB=2，AC=2OA=4，∴由勾股定理，得BC==2 ，∴ ABCD的面积是BC×AB=2 ×2=4 .★9.（推理能力、思维能力）（北师9上P16改编）如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，连接AD，CF.（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）若AB=3，BC=5，当AC= 时，四边形ADCF是矩形，并说明理由. （1）证明：∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，BD=DC，∴DE∥AB.∵AF∥BC，∴四边形ABDF是平行四边形，∴AF=BD，∴AF=DC.∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形.3（2）解：∵AB=3，AC=3，∴AB=AC，由（1）知四边形ABDF是平行四边形，∴AB=DF，∴AC=DF，∴平行四边形ADCF是矩形.(共21张PPT)第二十一章 四边形第4课时 平行四边形及其性质（2）01学习目标04精典范例03对点训练02知识要点05变式练习1.（2022新课标）理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离.2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关问题.运算能力 几何直观推理能力 模型观念（1）两条平行线之间的任意两条平行线段 . （2）两条平行线中，一条直线上 一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.如图，已知a∥b，则线段 的长就是平行线a与b之间的距离. 两条平行线之间的距离都相等 任意CD1.如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法不正确的是（ ）A.AB=CDB.EC=GFC.A，B两点的距离就是线段AB的长度D.a与b的距离就是线段CD的长度D认识梯形（北师8下P152）（1）一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形.（2）平行的两边称为梯形的底，较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下底.（3）不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为等腰梯形.2.（人教8下P58，教材新增）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC.求证：∠B=∠C.证明：如图，过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F.∵AE，DF的长都是平行线AD，BC之间的距离，∴AE=DF.又∵AB=DC，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴∠B=∠C.答案图平行四边形的面积计算1（1）平行四边形的面积=底× . （2）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，则S ABCD=BC· =CD· . 高AE AF3.（2025昆明模拟）如图，在 ABCD中，AB=3，BC=4，BC边上的高AE=2，则CD边上高是 . 平行四边形的面积计算2如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则：S△AOB S△BOC S△COD S△DOA=S ABCD. ===4.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则 ABCD的面积为 . 245.【例1】（2025新疆）如图，在 ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E，若AD=2，求BE的长.小结：（解题模型）平行线+角平分线→等腰三角形.解：∵在 ABCD中，AD=2，∴AB∥CD，BC=AD=2，∴∠DCE=∠BEC，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC=2.9.（人教8下P59、北师8下P159）（2025清远期末）如图，在 ABCD中，∠ABC=70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点D作BE的平行线交BC于点F，求∠1的度数.解：∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC=70°，∴∠ABE=∠CBE=35°，∠ADC=∠ABC=70°，在 ABCD中，∵AD∥BC，∴∠EBF=∠AEB=35°，∵DF∥BE，∴∠ADF=∠AEB=35°，∴∠1=35°.6.【例2】（人教8下P59，教材新增）如图， ABCD的周长为16，对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，OE⊥AC，求△CDE的周长.小结：根据线段垂直平分线的性质，将周长进行转化.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD=BC，CD=AB.又OE⊥AC，∴AE=CE.∴△DCE的周长=CD+DE+CE=CD+AD=×16=8.10.（2025邵阳模拟）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE=4，DE=3，AB=5，求AC的长.解：连接CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=5，OA=OC，∵OE⊥AC，∴CE=AE=4，∵DE=3，∴CE2+DE2=42+32=25，CD2=25，∴CE2+DE2=CD2，∴△EDC是直角三角形，∠CED=90°，∴∠AEC=90°，∴AC===4 .7.【例3】（人教8下P58、北师8下P152）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.求证：OE=OF.小结：过对角线的交点作直线会产生一系列8字形全等.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，DC∥AB，∴∠FDO=∠EBO，在△DFO和△BEO中，，∴△DFO≌△BEO（ASA），∴OE=OF.11.（人教8下P67改编）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F.直线EF两旁的梯形的面积相等吗？为什么？解：直线EF两旁的梯形的面积相等.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，且AD=BC，AD∥BC，∴∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO，∴△DEO≌△BFO，∴DE=BF.∵AD=BC，∴AE=CF，∵两个梯形的高都是平行四边形的高，即它们的高相等，∴两个梯形的面积相等.8.【例4】（人教8下P59、北师8下P176改编，教材新增）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=3，AB=4，BC=5，E为边BC上一点，AB∥DE.求AD，BC之间的距离.小结：可在直角三角形中用勾股定理求得平行线间的距离.解：∵AD∥BC，AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE，AD=BE，∵AD=3，AB=4，BC=5，∴DE=4，CE=BC-BE=BC-AD=5-3=2，∵∠C=90°，∴CD===2 ，即AD，BC之间的距离为2 .★12.（思维能力）（人教8下P66、北师8下P164改编）在梯形ABCD中，AB∥DC.（1）如图1，∠A=∠B，求证：AD=BC；（1）证明：如图，作CE∥AD交AB于点E，∵AB∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴∠A=∠CEB，∵∠A=∠B，∴∠CEB=∠B，∴CE=CB，∴AD=BC.（2）如图2，若AC⊥BD，AC=3，BD=4，则AB与DC两条线段的和为 . 5 提示：作CF∥DB交AB的延长线于点F.(共16张PPT)第二十一章 四边形第14课时 正方形的判定01学习目标04精典范例03对点训练02知识要点05变式练习1.探索并证明正方形的判定定理.2.（2022新课标）理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.3.（2022新课标）理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系.几何直观 推理能力模型观念 应用意识正方形的判定1（在矩形的基础上判定）判定方法：（1）有一组邻边 的矩形是正方形. 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC（或AB=AD），∴四边形ABCD是正方形.（ 2）对角线 的矩形是正方形； 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形.相等互相垂直1.（2025宝鸡二模）如图，在矩形ABCD中，点E是AD边上的点，AE=AB，EF∥CD交BC于点F.求证：四边形ABFE是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，∵EF∥CD，∴∠BFE=∠C=90°，∵∠A=∠B=∠BFE=90°，∴四边形ABFE是矩形，∵AE=AB，∴四边形ABFE是正方形.正方形的判定2（在菱形的基础上判定）（1）判定方法：①有一个角为 的菱形是正方形. 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°，∴四边形ABCD是正方形.直角②对角线 的菱形是正方形； 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD，∴四边形ABCD是正方形.（2）判定一个四边形是正方形的核心思路：如果一个四边形既是 ，又是 ，那么这个四边形是正方形. 相等菱形矩形2.（2025佳木斯一模）如图，已知四边形ABCD是菱形，AC，BD交于点O，请你添加一个条件，使菱形ABCD成为正方形.你添加的条件是 . AB⊥BC（答案不唯一）3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA.求证：四边形AECF是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是菱形，∵OE=OA=OF，∴OE=OF=OA=OC，即EF=AC，∴菱形AECF是正方形.4.【例1】（人教8下P78）满足下列条件的四边形是正方形的有 （填序号）. ①对角线互相垂直且相等的平行四边形；②对角线互相垂直的矩形；③对角线相等的菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形.①②③④7.（2025乐山）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC=BD；③∠ADC=90°.则正确的组合是 （只需填一种组合即可）. ①②（或①③）5.【例2】（人教8下P78，教材新增、北师9上P27）（2025佛山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：四边形CEDF是正方形.小结：矩形+邻边相等（或对角线垂直）→正方形.证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DFC=90°，∠DEC=90°，∵∠ACB=90°，∴四边形CEDF是矩形，∵DE=DF，∴四边形CEDF是正方形.8.如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥AC，MF⊥AD，垂足分别为E，F.（1）求证：∠CAB=∠DAB；（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形.证明：（1）∵AB是CD的垂直平分线，∴AC=AD，又∵AB⊥CD，∴∠CAB=∠DAB（等腰三角形的三线合一）.（2）∵ME⊥AC，MF⊥AD，∠CAD=90°，即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°，∴四边形AEMF是矩形.又∵∠CAB=∠DAB，ME⊥AC，MF⊥AD，∴ME=MF，∴矩形AEMF是正方形.6.【例3】（人教8下P77、北师9上P25）（2025南京期末）如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形.小结：菱形+有一个角为90°（或对角线相等）→正方形.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∵AE=BF=CG=DH，∴EB=FC=GD=HA，∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴HE=EF=FG=GH，∴四边形EFGH是菱形，∵△AEH≌△BFE，∴∠2=∠3，又∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠HEF=180°-（∠1+∠3）=90°，∴四边形EFGH是正方形.★9.（推理能力）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，EA=EC.（1）求证：四边形ABCD是菱形；证明：（1）在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE=∠CDE.∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBD，∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD，∵AD=CD，∴BC=AD.又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD=CD，∴四边形ABCD是菱形.（2）如果BE=BC，且∠CBE∶∠BCE=2∶3，求证：四边形ABCD是正方形.（2）∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC，∵∠CBE∶∠BCE=2∶3，∴∠CBE=180°×=45°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE=∠CBE=45°，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形.(共19张PPT)第二十一章 四边形第3课时 平行四边形及其性质（1）01学习目标04精典范例03对点训练02知识要点05变式练习1.（2022新课标）理解平行四边形的概念.2.（2022新课标）探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.几何直观 推理能力模型观念 应用意识（1）两组对边分别 的四边形叫作平行四边形. （2）表示：平行四边形用“ ”表示，如图，平行四边形ABCD记作“ ”. 平行四边形的定义平行 ABCD1.如左图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥ ，AD∥ （性质）. 反过来，∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是 （判定）. DC BC平行四边形（1）平行四边形的对边 .（2）（人教8下P56、北师8下P150）证明：如图，连接AC，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥ ，AD∥ （定义）. ∴∠BAC= ，∠ACB= . 又AC=CA，∴△ABC≌△CDA（ASA）.∴AB= ，AD= . 平行四边形的边的性质相等DCBC ∠DCA ∠CADCD BC2.（1）（人教8下P57、北师8下P151）如图，在 ABCD中，已知AB=5，BC=3，则AD= ，CD= ； （2）在（1）中， ABCD的周长为 . 35 16（1）平行四边形的对角 .（2）证明：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥ ，AD∥ ， ∴∠C+∠B= ，∠A+∠B= . ∴∠A= ，同理∠B= . 平行四边形的角的性质相等DCBC180°180°∠C∠D3.（1）（人教8下P57、北师8下P151）如图，在 ABCD中，已知∠A=38°，则∠B= ，∠C= ，∠D= ； （2）（2025甘肃模拟）如图，在 ABCD中，∠A+∠C=130°，则∠D的度数为 .142°38°142°115°平行四边形对角线的性质（1）平行四边形的对角线 . （2）（人教8下P57、北师8下P151）证明：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD= ，AD∥ . ∴∠DAO= ，∠ADO= . ∴△ADO≌△CBO（ASA）.∴OA= ，OB= . 互相平分BCBC∠BCO∠CBO OCOD4.（1）（2025湛江期末）如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，下列结论中错误的是（ ）A.AB∥CDB.AB=CDC.AC=BDD.OB=OD（2）（人教8下P57）如上图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC=10，AC=8，BD=14，则△AOD的周长是 . C215.【例1】（北师8下P161）如图，在 ABCD中，点E，F分别是BC，AD边上的点，BE=DF.求证：△ABE≌△CDF.小结：在平行四边形中可结合边角关系证明全等.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）.9.（北师8下P150）（2025西安模拟）如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF.求证：BE=DF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，又∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=DF.6.【例2】（人教8下P57、北师8下P161）如图，在 ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.求BC，CD，AC，OA的长，以及 ABCD的面积.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8，CD=AB=10.∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形.根据勾股定理，得AC===6.又OA=OC，∴OA=AC=3，S ABCD=BC·AC=8×6=48.10.（人教8下P65）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD=36，AB=11，求△OCD的周长.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=AC，OD=BD，∴OC+OD=（AC+BD）=×36=18，∵AB=11，∴CD=11，∴△OCD的周长=OC+OD+CD=18+11=29.7.【例3】如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.求证：AE=CF.小结：根据平行四边形对角线平分的性质构造全等.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，又∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴∠AEO=∠CFO=90°，而∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE=CF.11.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N在对角线AC上，AM=CN.求证：BM∥DN.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD.∴∠BAM=∠DCN.又∵AM=CN，∴△ABM≌△CDN（SAS），∴∠AMB=∠CND，∴∠BMO=∠DNO，∴BM∥DN.8.【例4】（人教8下P57、北师8下P176）如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形.转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？小结：运用平行线的定义是解题关键.解：AD=BC，理由如下：由条件可知AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC.★12.（思维能力）已知平行四边形的顶点O（0，0），A（3，1），C（1，2），写出第四个顶点B的坐标. 解：OA为对角线时，四边形COBA是平行四边形，顶点B的坐标是（2，-1）；OC为对角线时，四边形OBCA是平行四边形，顶点B的坐标是（-2，1）；AC为对角线时，四边形OCBA是平行四边形，顶点B的坐标是（4，3）.(共20张PPT)第二十一章 四边形第8课时 矩形的性质（1）01学习目标04精典范例03对点训练02知识要点05变式练习1.（2022新课标）理解矩形的概念，以及矩形与平行四边形之间的关系.2.（2022新课标）探索矩形的轴对称性质.3.（2022新课标）探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等.运算能力 几何直观推理能力 模型观念矩形的定义与轴对称性（1）矩形的定义：有一个角是 的 叫作矩形. （2）轴对称性：矩形是轴对称图形，它每组对边 连线所在的直线就是它的对称轴. 直角平行四边形中点1.（人教8下P69，教材新增、北师9上P11）如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD四条边的中点，则矩形的两条对称轴分别为 . 直线EF，GH 矩形的特殊性质1（1）矩形是特殊的 ，所以矩形具有 的一切性质. （2）矩形的特殊性质1：矩形的四个角都是 . （3）证明：如图，∵四边形ABCD是矩形，∠A=90°，∴∠C=∠A=90°，∵AD∥BC，∴∠A+ =180°， +∠D=180°， ∴ =180°-∠A=90°， =180°-∠C=90°， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.平行四边形平行四边形直角∠B ∠C ∠B ∠D 2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，则∠ABC= °，∠C= °，BD的长为 . 90905 3.已知矩形ABCD的边AB的长为6 cm，对角线AC的长为10 cm，则该矩形的面积为 cm2. 48矩形的特殊性质2（1）矩形的特殊性质2：矩形的对角线 . （2）（北师9上P11）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.求证：AC=DB.证明：在矩形ABCD中，AB= ， ∠ABC= =90°， 又∵BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴AC=DB.相等DC∠DCB4.（2025东莞模拟）如图，四边形ABCD是矩形，且对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=50°，则∠OCD= . 65°5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，点F是AO的中点，连接EF.若AC=12，则EF= . 36.【例1】（2025济南三模）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE=CF，求证：AF=DE.小结：熟练运用矩形边角的性质，本题可用全等或勾股定理证明.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠C=90°，∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴AF=DE.10.（2025吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE=∠CDF.（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）当AB=12，DF=13时，求BE的长.（1）证明：在矩形ABCD中，AB=DC，∠B=∠C=90°，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（ASA）.（2）解：由（1）知△ABE≌△DCF，∴AE=DF=13，∵AB=12，∴BE==5.7.【例2】（人教8下P69、北师9上P13）（2025甘孜州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，求矩形ABCD的对角线的长.小结：熟练运用矩形对角线的性质.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OD=OB，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=4，∴AC=2OA=8.11.（人教8下P70、北师9上P13）一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线相交所成的角中有一个为120°，求这个矩形相邻两边的长.解：如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD=8，∴OA=OB=4，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=4，∴BC==4 ，∴这个矩形相邻两边的长分别为4，4 .8.【例3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠CDF=∠BDC，∠DCF=∠ACD.求证：DF=CF.小结：根据矩形对角线的性质、等腰三角形的性质解题.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OC=AC，OD=BD，AC=BD，∴OC=OD，∴∠ACD=∠BDC.∵∠CDF=∠BDC，∠DCF=∠ACD，∴∠CDF=∠DCF，∴DF=CF.12.（人教8下P70，教材新增）如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC的延长线上，DE∥AC.求证：△DBE是等腰三角形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC=DB，∵DE∥AC，点E在BC的延长线上，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC=DE，∴DB=DE，∴△DBE是等腰三角形.9.【例4】（人教8下P79，教材新增、北师9上P28改编）如图，将矩形纸片ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'，AD相交于点E，AD=8，AB=4，则DE的长为 . 小结：翻折前后对应线段相等、对应角相等.5★13.（运算能力、思维能力）如图，在矩形纸片ABCD中，AD=4 cm，AB=10 cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE的长为 . cm(共30张PPT)第二十一章 四边形第15课时 《四边形》单元复习03精典范例02对点训练01知识要点04变式练习四边形及多边形（1）边、顶点、内角、外角、对角线.（2）四边形的内角和等于360°；四边形的外角和等于360°.（3）四边形不具有稳定性.（4）正多边形：各个角都相等、各条边都相等.（5）n边形的内角和等于（n-2）×180°，多边形的外角和等于360°.1.（2025长沙）如图，在五边形ABCDE中，∠B=120°，∠C=110°，∠D=105°，则∠A+∠E= . 2.（2025巴中）正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形是正 边形. 205°六 3.（人教8下P86，教材新增）一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都与它相邻外角的度数比为3∶1，则这个多边形的内角和是 . 1 080°平行四边形（1）平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.（2）平行四边形的判定①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（3）判定平行四边形的基本思路①已知一组对边平行，则可证这一组对边相等或另一组对边平行；②已知一组对边相等，则可证这一组对边平行或另一组对边相等；③已知一组对角相等，则可证另一组对角相等；④已知条件与对角线有关，则可证对角线互相平分.4.（2025清远一模）如图，在 ABCD中，AC⊥BC，BC=5，AC=3，则CD的长为 . 5.（2025泉州模拟）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD=16，若△BCO的周长为14，则AD的长为 . 66.（2025盐城）如图，点E，F在 ABCD的对角线AC上.若 ，则四边形BEDF是平行四边形.请从①BE=DF；②AE=CF；③BE∥DF这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立. ②（或③）矩形（1）矩形的特殊性质矩形的四个角都是直角、对角线相等.（2）判定矩形的基本思路①已知一个直角，则可证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角；②已知对角线相等，则可证该四边形是平行四边形；③已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等.7.（2025绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°，则这个矩形的面积是 . 8.（2025咸宁期末）如图，在 ABCD中，AE⊥CD于点E，CF⊥AB于点F，求证：四边形AECF是矩形.25证明：∵AE⊥CD，CF⊥AB，∴∠AEC=∠AFC=90°，∵AB∥CD，∴∠EAF=180°-∠AEC=90°，∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，∴四边形AECF为矩形.菱形（1）菱形的特殊性质：菱形的四条边相等、对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角.（2）①菱形的一条对角线将菱形分成两个全等的等腰三角形；②菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的小直角三角形.（3）应用菱形性质计算的一般思路：①菱形对边平行、对角相等、四边相等，故可利用等量代换来转换为其他边的长；②菱形的对角线互相垂直，故常借助对角线垂直和勾股定理来求线段的长.（4）判定菱形的基本思路①已知一组邻边相等，则需要证该四边形是平行四边形或四条边都相等；②已知对角线互相垂直，则需要证明该四边形是平行四边形；③已知四边形是平行四边形，则需要证明一组邻边相等或对角线互相垂直.9.（2025内江模拟）如图，点O是 ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.（1）求证：△ODE≌△OBF；（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OED=∠OFB，∵点O是 ABCD对角线的交点，∴OD=OB，在△ODE和△OBF中，，∴△ODE≌△OBF（AAS）.（2）当EF⊥BD时，DE=15 cm，分别连接BE，DF，求此时四边形BEDF的周长.（2）解：连接BE，DF，由（1）得△ODE≌△OBF，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形，∴DF=BF=BE=DE=15 cm，∴DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60（cm），∴四边形BEDF的周长为60 cm.正方形（1）正方形的特殊性质①正方形的四条边相等；②正方形的四个角相等，均为90°；③对角线互相垂直平分且相等；④对角线平分一组对角得到45°角；⑤边长与对角线的长度比为1∶.（2）正方形的判定①对角线相等的菱形是正方形；②有一个角为直角的菱形是正方形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④有一组邻边相等的矩形是正方形.（3）判定正方形的核心思路：如果一个四边形既是菱形又是矩形，那么这个四边形是正方形.10.（人教8下P87，教材新增）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，求证：四边形EFGH是正方形.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∴OA=OC=OB=OD，∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴OE=OF=OG=OH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵OE+OG=OF+OH，即EG=FH，∴四边形EFGH是矩形，∵AC⊥BD，∴四边形EFGH是正方形.中点问题（1）三角形的中位线①定义三角形两条边中点的连线就是三角形的中位线.②中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.（2）直角三角形斜边上的中线性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.11.（2025资阳）三角形的周长为48 cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是 .12.（2025深圳节选）如图，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE=CD，AD=EC.求证：四边形ADCE为菱形.24 cm证明：∵AD=CE，CD=AE，∴四边形ADCE为平行四边形，又∵∠ACB=90°，且D为AB中点，∴CD=AB=AD，∴平行四边形ADCE为菱形.13.【例1】（2025永州模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AE，EC，CF，FA.（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，∵BE=DF，∴EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形.（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积.（2）解：∵BE=EF，∴S△ABE=S△AEF=2，∵四边形AECF是平行四边形，∴S△AEF=S△CEF=2，又EO=FO，∴S△CFO=1.15.（2025北京模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G，F分别为BH，CH的中点.（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（1）证明：∵点D，E分别为AB，AC的中点，点G，F分别为BH，CH的中点，∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，GF∥BC，GF=BC，∴DE∥GF，DE=GF，∴四边形DEFG为平行四边形.（2）若DG⊥BH，BD=3，EF=2，求BG的长.（2）解：∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG=EF=2，∵DG⊥BH，∴∠DGB=90°，∴BG===，即线段BG的长为.14.【例2】如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，正方形ABCD的周长是40 cm.（1）求证：四边形BFEG是矩形；（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，即∠B=90°.∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF∥GB，EG∥BF.∵∠B=90°，∴四边形BFEG是矩形.（2）求四边形BFEG的周长；（2）解：∵正方形ABCD的周长是40 cm，∴AB=40÷4=10（cm）.∵四边形ABCD为正方形，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF=EF，∴四边形BFEG的周长=2（EF+BF）=2（AF+BF）=2AB=20（cm）.（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？（3）解：若要四边形BFEG是正方形，只需EF=BF，∵AF=EF，AB=10 cm，∴当AF=5 cm时，四边形BFEG是正方形.★16.（推理能力、思维能力）（2025福州模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是CD的中点，连接AE交BD于点F，延长AE到点P，使FP=AF，连接CF，CP，DP.（1）求证：四边形CFDP是平行四边形；（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO，∵FP=AF，∴OF是△ACP的中位线，∴OF∥CP，∴∠FDE=∠PCE，∵点E是CD的中点，∴DE=CE，又∵∠DEF=∠CEP，∴△DEF≌△CEP（ASA），∴EF=EP，∵DE=CE，∴四边形CFDP是平行四边形.（2）若四边形CFDP是矩形，且AD=，求AB的长.（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ADE=90°，根据勾股定理有AD2+DE2=AE2，若四边形CFDP是矩形，则EF=DE=PE=CE=CD，FP=CD，∵AF=FP，∴AE=AF+EF=CD，∴AD2+=，∴AD2=2CD2，∴AD=CD或AD=-CD（不合题意，舍去），∵AD=，∴CD=AB=1，即AB的长为1.(共17张PPT)第二十一章 四边形第5课时 平行四边形的判定（1）01学习目标04精典范例03对点训练02知识要点05变式练习1.（2022新课标）探索并证明平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.2.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题.几何直观 推理能力模型观念 应用意识定义法判定平行四边形（1）两组对边分别 的四边形是平行四边形. （2）如图，在四边形ABCD中，∵AB∥ ，BC∥ ， ∴四边形ABCD是平行四边形.平行CDAD1.（人教8下P60，教材新增）如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠CBD，∠C+∠ABC=180°，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由.解：是，理由如下：∵∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC，∵∠C+∠ABC=180°，∴AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形.平行四边形关于对边的判定定理1（1）两组对边分别 的四边形是平行四边形.（2）证明：如图，已知AB=CD，AD=BC，连接AC，易得△ABC≌△CDA（ ），∴∠BAC= ，∠ACB= . ∴AB∥ ，AD∥ . ∴四边形ABCD为平行四边形（定义）.相等SSS∠DCA∠CADCDBC2.（人教8下P60、北师8下P155）如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF.图中有哪些互相平行的线段？解：∵AD=BC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC.∵DE=CF，DC=EF，∴四边形DCFE是平行四边形，∴DC∥EF，DE∥CF，∴AB∥EF.平行四边形关于对角的判定定理2（1）两组对角分别 的四边形是平行四边形.（2）证明：如图，∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D= ，又∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠B=∠B+∠C= . ∴AD∥ ，AB∥ . ∴四边形ABCD为平行四边形（定义）.相等360° 180°BCCD3.下面给出的四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）A.1∶2∶3∶4B.2∶3∶2∶3C.2∶2∶3∶3D.1∶2∶2∶3B平行四边形关于对角线的判定定理3（1）对角线互相 的四边形是平行四边形.（2）（人教8下P60、北师8下P156）证明：如图，已知OA=OC，OB=OD，易得△AOB≌△COD（ ）， ∴∠OAB= ， ∴AB∥ ，同理AD∥ ， ∴四边形ABCD为平行四边形（定义）.平分SAS∠OCDCD BC4.（2025河源期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，请补充一个条件： ，使四边形ABCD是平行四边形. OB=OD（答案不唯一）5.【例1】（北师8下P162）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D，∠1=∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形.小结：可用多种方法证明.证明：（方法一）∵∠B=∠D，∠1=∠2，AC=CA，∴△ABC≌△CDA，∴AB=CD，CB=AD，∴四边形ABCD是平行四边形.（方法二）∵∠1=∠2，∴AB∥DC.又∵∠B=∠D，∴180°-∠1-∠B=180°-∠2-∠D，即∠ACB=∠CAD，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.8.如图，将两块相同的三角尺ABC和A'B'C'按如图放置，使两条直角边BC与B'C'重合在一起，这样拼成的四边形ACA'B是平行四边形吗？试用两种不同的方法说明理由.解：四边形ACA'B是平行四边形.理由如下：方法1：∵△ABC≌△A'B'C'，∴AB=A'B'，AC=A'C'，即AB=A'C，AC=A'B，∴四边形ACA'B是平行四边形.方法2：∵△ABC≌△A'B'C'，∴∠A=∠A'，∠ABC=∠A'B'C'，∠ACB=∠A'C'B'，∴∠ACA'=∠A'BA，∴四边形ACA'B是平行四边形.6.【例2】（人教8下P60、北师8下P156）（2025黄冈模拟）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.小结：根据两条对角线被平分进行判断.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO.∵AE=CF，∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO.又BO=DO，∴四边形BFDE是平行四边形.9.（人教8下P61、北师8下P157，教材新增）（2025武汉期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E，F分别是OA，OC的中点，连接DE，EB，BF，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，DO=BO，∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE=AO，OF=OC，∴OE=OF，∴四边形BEDF是平行四边形.7.【例3】（人教8下P61改编、北师8下P161改编）如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E，F分别是OC，OD的中点.求证：四边形AFBE是平行四边形.小结：注意全等在平行四边形判定中的应用.证明：∵AC∥DB，∴∠CAO=∠DBO.又∵AO=BO，∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD，∴OC=OD，∵E，F分别是OC，OD的中点，∴OE=OF，∵OA=OB， ∴四边形AFBE是平行四边形.★10.（推理能力）如图，在 ABCD中，M，N，P，Q分别为AB，BC，CD，DA上的点，且AM=BN=CP=DQ.求证：四边形MNPQ是平行四边形.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D.∵AM=BN=CP=DQ，∴AB-AM=CD-CP，AD-DQ=BC-BN，即BM=DP，AQ=CN.在△AMQ和△CPN中，AM=CP，∠A=∠C，AQ=CN，∴△AMQ≌△CPN（SAS），∴MQ=PN，同理可证：△BMN≌△DPQ，∴MN=PQ，故四边形MNPQ是平行四边形.(共17张PPT)第二十一章 四边形第6课时 平行四边形的判定（2）01学习目标04精典范例03对点训练02知识要点05变式练习1.（2022新课标）探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.运算能力 几何直观 推理能力模型观念 应用意识平行四边形关于一组对边的判定定理4（1）一组对边 的四边形是平行四边形. （2）（人教8下P61、北师8下P154）证明：如图，连接AC，∵AB∥CD，∴∠1= ， 又AB=CD，AC=CA，∴△ABC≌ （SAS）， ∴BC= ，又AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形.平行且相等∠2△CDADA1.（人教8下P66、北师8下P161）（2025济南）如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且AF=CE.求证：四边形AECF是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AF∥CE.∵AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形.平行四边形的判定定理小结（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（4）判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.2.（2025石家庄一模）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）C判定平行四边形的基本思路（1）若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；（2）若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等；（3）若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；（4）若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分.3.（2025宁夏模拟）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，添加下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是 （填序号）. ①AD=BC；②AB∥DC；③AB=DC；④∠A=∠C.①②④4.【例1】（人教8下P62、北师8下P155）如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：DE BF.小结：从条件和目标的公共部分找突破，充分利用平行四边形性质.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC.∵E，F分别是AB，CD的中点，∴DF=EB.∵DF∥EB，∴四边形EBFD是平行四边形，∴DE BF.7.（人教8下P62、北师8下P176改编）如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：四边形AFCE是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，∴△AED≌△CFB（AAS），∴AE=CF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形.5.【例2】（2025无锡一模）如图，点A，B，C，D在一条直线上，AE∥DF且AE=DF，AB=CD.求证：四边形BECF是平行四边形.小结：利用全等得到边角的关系是判定平行四边形的常见策略.证明：∵AE∥DF，∴∠A=∠D.又∵AB=CD，AE=DF，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴BE=CF，∠ABE=∠DCF.∴∠EBC=∠FCB，∴BE∥CF，∴四边形BECF是平行四边形.8.（北师8下P178）（2025徐州模拟）如图，DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵∠ADB=∠DBC，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠BCF.∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AED=∠CFB=90°.∵DE=BF，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形.6.【例3】（人教8下P81改编、北师9上P27）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12 cm，BC=15 cm，点P自点A向D以1 cm/s的速度运动，到D点即停止，点Q自点C向B以2 cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t s.（1）填空：AP= cm，DP= cm， BQ= cm，CQ= cm； t （15-2t）2t（12-t）（2）t为何值时，四边形APQB是平行四边形？解：（2）∵AD∥BC，即AP∥BQ，∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形.∴t=15-2t，解得t=5.∴t=5时，四边形APQB是平行四边形.小结：解题的关键是把握“化动为静”的解题思想，以及方程思想.★9.（思维能力）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=8 cm，BC=10 cm，点Q从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2 cm/s的速度在线段BC间往返运动，P，Q两点同时出发，设运动时间为t s.当点Q到达点D时，两点同时停止运动.若以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值.解：①当点P未到达点C时，∵四边形PCDQ是平行四边形，∴8-t=10-2t，解得t=2；②当点P到达点C后返回时，∵四边形PCDQ是平行四边形，∴8-t=2t-10，解得t=6.综上所述，以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是2或6. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第10课时 矩形的判定.pptx 第11课时 菱形的性质.pptx 第12课时 菱形的判定.pptx 第13课时 正方形的性质.pptx 第14课时 正方形的判定.pptx 第15课时 《四边形》单元复习.pptx 第1课时 四边形及其内角和.pptx 第2课时 多边形及其内角和.pptx 第3课时 平行四边形及其性质（1）.pptx 第4课时 平行四边形及其性质（2）.pptx 第5课时 平行四边形的判定（1）.pptx 第6课时 平行四边形的判定（2）.pptx 第7课时 三角形的中位线.pptx 第8课时 矩形的性质（1）.pptx 第9课时 矩形的性质（2）.pptx
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