资源简介

(共21张PPT)
第二十章　勾股定理
第1课时　勾股定理及其应用（1）
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.（2022新课标）探索勾股定理.
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理.
3.培养在实际生活中发现问题、总结规律的意识和能力.
运算能力　几何直观
推理能力　模型观念
探索勾股定理
（人教8下P23、北师8上P2）如图，每个小方格的面积均为1，完成下表：
两图中三个正方形A，B，C的面积有什么关系？
　 .
图号 A的面积 B的面积 C的面积
图1
图2
4　
9　
13　
9　
25　
34　
A的面积+B的面积=C的面积
1.（人教8下P24、北师8上P4）如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.求证：a2+b2=c2.
（1）中间小正方形的面积为（b-a）2，一个直角三角形的面积为
　　　　，此时大正方形的面积可表示为（b-a）2+4×　　　　；
（2）大正方形的面积还可表示为　　　　；
（3）于是得等式： ，
化简得　　　　　　.
ab
ab
c2
（b-a）2+4×ab=c2
a2+b2=c2
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么　　　+　　　=　　　.
用图形表示为：
a2
　b2
c2
2.若直角三角形的两直角边长分别为3，4，则斜边长为　　　　.
3.（2025重庆期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，则AB的长为 .
5
3
4.在△ABC中，∠A=90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，下列结论错误的是（　　）
A.a2+b2=c2　 B.b2+c2=a2
C.a2-b2=c2　 D.a2-c2=b2
A
勾股定理与图形面积
3个正方形如图摆放，其中S1=25，S2=144，则第三个正方形的面积S3=
　　　　.
169
5.（北师8上P20）如图，在△ABC中，∠A=90°，则三个半圆的面积S1，S2，S3的关系为 .
S1=S2+S3
勾股定理的简单计算
在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c是△ABC的三边.
（1）c=　　　　　　　　（已知a，b，求c）；
（2）a=　　　　　　　　（已知b，c，求a）；
（3）b=　　　　　　　　（已知a，c，求b）.
　
6.（北师8上P8）求出图中直角三角形未知边的长度.
x=12
7.【例1】（北师8上P3）写出图中字母所代表的正方形的面积.
小结：灵活运用勾股定理求面积.
625
144
11.（人教8下P26、北师8上P8）如图，图中所有的三角形都是直角三角
形，四边形都是正方形，正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.
解：E的面积
=（A的面积+B的面积）+（C的面积+D的面积）
=（122+162）+（92+122）
=400+225
=625.
8.【例2】（人教8下P25，教材新增）如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
小结：运用勾股定理时明确直角边、斜边.
解：（1）AB===10.
（2）DE===8.
12.（人教8下P25）设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
（2）已知a=5，b=12，求c；
（3）已知c=25，b=15，求a.
解：（1）b===8.
（2）c===13.
（3）a===20.
9.【例3】（北师8上P8）求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.
小结：掌握勾股定理与直角三角形的面积公式.
解：另一条直角边长==8（cm），
故直角三角形的面积为15×8÷2=60（cm2）.
13.（人教8下P26改编）（2025东莞质检）如图，在平面直角坐标系中有两点A（5，0）和B（0，4）.求这两点之间的距离及点O到AB的距离h.
解：∵A（5，0），B（0，4），∴OA=5，OB=4，
∴AB===，
即A，B两点之间的距离为.
由面积关系得OA×OB=AB×h，
∴点O到AB的距离h===.
10.【例4】（人教8下P29、北师8上P9）如图，等边三角形的边长是6.
求：
（1）高AD的长；
（2）这个三角形的面积.
小结：构造直角三角形，运用勾股定理.
解：（1）等边三角形的高即中线，故D为BC中点，
∵AB=BC=6，∴BD=3，∴AD==3 .
（2）∵BC=6，AD=3 ，
∴等边△ABC的面积=BC·AD=×6×3 =9 .
★14.（代数推理、思维能力）（2025厦门期末）若一个三角形的三边满足其中两边之和等于第三边的2倍，则称该三角形为均边三角形.如图，在△ABC中，AB=4，∠B=45°，AC=5.判断△ABC是否为均边三角形.
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB=90°，
∵∠B=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，
∵AB==4 ，∴AD=BD=4，
∴在Rt△ADC中，CD===3，
∴BC=4+3=7，不满足其中两边之和等于第三边的2倍，
∴该三角形不是均边三角形.(共19张PPT)
第二十章　勾股定理
第2课时　勾股定理及其应用（2）
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.（2022新课标）能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
2.树立数形结合的思想、分类讨论思想.
运算能力　几何直观
模型观念　应用意识
勾股定理的回顾
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则AB=　　　　，△ABC的周长为　　　　.
10
24
1.（1）如图，在Rt△ABC中，BC=1，AB=2，则AC的长为　　　　，
△ABC的面积为 ；
（2）（2025重庆月考）已知直角三角形的两边长分别为2，3，则第三边的长为　　　　　.
　
或
梯子的滑动问题

（1）抽象出梯子的模型，通常涉及1个或2个.

（2）利用直角三角形的三边关系.

（3）利用一些常识，如：墙与地面垂直、梯子的长度不变等.
2.（2025连云港）如图，长3 m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角
1.8 m，求梯子的顶端离地面的距离AB的值.
解：在Rt△ABC中，BC=1.8 m，AC=3 m，
∴AB===2.4（m）.
答：梯子的顶端离地面的距离AB的值为2.4 m.
勾股定理的简单模型
（人教8下P30、北师8上P8）如图，一根直立于地面的木杆在离地面3 m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4 m处，木杆折断之前有多高？
解：∵木杆在离地面3 m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4 m处，
∴折断的部分长为=5（m），
∴木杆折断之前的高度为5+3=8（m）.
3.如图，校园内有两棵树相距12 m，两棵树分别高13 m，8 m，一只小
鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞多少米？
解：如图，AB，CD为树，且AB=13米，CD=8米，两树距离BD为12米，过点C作CE⊥AB于点E，
则CE=BD=12米，AE=AB-CD=5（米），
在Rt△AEC中，
AC===13（米）.
答：小鸟至少要飞13米.
4.【例1】一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的底边长为 .
小结：等腰三角形三线合一的性质.
6
9.等腰三角形的底边长为12，底边上的中线长为8，则它的腰长为
（　　）
A.6 B.8　　
C.10 D.3
C
5.【例2】在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则相对应的三条对边a∶b∶c=　　　 　.
小结：含特殊角度的直角三角形.
1∶∶2
10.一个三角形三个内角度数之比为1∶2∶1，其相对应的三条对边的长度之比为　　　 　.
1∶∶1
6.【例3】（人教8下P26）一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）
小结：门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度.

解：连接AC，则AC与AB，BC构成直角三角形，
根据勾股定理得AC===≈2.24>2.2.
故薄木板能从门框内通过.
11.（人教8下P27、北师8上P3，教材新增）电视机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸（1英寸=2.54 cm）为单位，王芳测得自家电视机的屏幕宽为71 cm，高为40 cm，这台电视机的屏幕尺寸是多少英寸（结果取整数）？
解：∵王芳家电视机屏幕的宽为71 cm，高为40 cm，
∴屏幕对角线的长=≈81.49（cm），
∵1英寸=2.54 cm，
∴81.49÷2.54≈32（英寸）.
答：这台电视机的屏幕尺寸是32英寸的.
7.【例4】（人教8下P26、北师8上P22）如图，一架长为2.5 m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7 m.如果将梯子底端沿OB向外移动0.8 m，那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8 m吗？
小结：滑动前后梯子的长度不变是关键.
解：在Rt△AOB中，AO===2.4（m），
∵OD=OB+BD=0.7+0.8=1.5（m），
∴在Rt△COD中，CO===2（m），
∴AC=OA-OC=2.4-2=0.4 （m），
∴梯子顶端沿墙AO下滑不是0.8 m，是0.4 m.
12.（运算能力）如图，长2.5 m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端1.5 m.
（1）求梯子的顶端到地面的距离h；
（2）由于地面有水，梯子底部向右滑动0.9 m，梯子顶端下滑多少米？
解：（1）由题意得h===2（m）.
（2）∵BC=1.5 m，BF=0.9 m，∴CF=2.4 m，
∴EC===0.7（m），
∴AE=AC-EC=2-0.7=1.3（m）.
答：梯子顶端下滑1.3 m.
8.【例5】（人教8下P31、北师8上P13）王英在荷塘边观看荷花，突然想测试荷塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长60 cm，则荷花处水深OA为 .
小结：构建直角三角形模型.
60 cm
★13.（运算能力）（2025玉林二模）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题，即如图，AC=5，DC=1，BD=BA，则BC=（　　）
A.8 B.10
C.12 D.13
C(共19张PPT)
第二十章　勾股定理
第3课时　勾股定理及其应用（3）
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.会用勾股定理解决较综合的问题.
2.树立数形结合的思想.
运算能力　几何直观　推理能力
模型观念　应用意识　创新意识
在数轴上表示无理数
利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，体会数轴上的点与实数一一对应的理论.
（北师8上P28）如图，以点O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点A，点A表示的数为　　　　.
1.（人教8下P28改编、北师8上P50）（2025深圳模拟）如图，在数轴上点A表示的实数是　　　　.
-
用勾股定理解决距离、高度等问题
（人教8下P27）如图，A，B是池塘边上的两点，点C是与BA方向成直角的方向上一点，测得BC=60 m，AC=20 m，则A，B两点间的距离为
　　　　（结果保留根号）.
40 m
2.如图，一扇卷闸门用一块宽50 cm、长120 cm的长方形木板撑住，这块木板最多可将这扇卷闸门撑起　　　　cm高.
130
用勾股定理解决网格问题
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数有（　　）
A.0条　　　　 B.1条
C.2条　　　　 D.3条
D
3.（人教8下P43、北师8上P46）如图，每个小方格的边长都为1，求图
中格点四边形ABCD的周长.
解：AB==3 ，
BC==，
CD==2 ，
AD==，
∴四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD
=3 ++2 +=3 ++3 .
用勾股定理解决综合问题
灵活运用勾股定理，解决实际生活中的面积、周长、梯子能否到达、汽车能否通过等问题.
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4.以AB为边在点C
同侧作正方形ABDE，求图中阴影部分的面积.
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
则AB===5，
∴S阴影部分=AB2-BC·AC=52-×3×4=19.
5.【例1】（人教8下P28）如图，在数轴上作出表示的点.
小结：利用勾股定理画出数轴上的无理数点.
解：如图，点A即为表示的点.
9.（人教8下P29）如图，在数轴上作出表示的点.
解：如图，点A即为表示的点.
6.【例2】（人教8下P30）一个含两小圆孔的长方形零件尺寸（单位：mm）如图所示，求两孔中心的距离.（结果保留小数点后一位）
小结：构造直角三角形是关键.
解：根据题意得AC=40-21=19（mm），
BC=60-21=39（mm），∠ACB=90°，
所以 AB==≈43.4（mm），
即两孔中心的距离约是43.4 mm.
10.（2025珠海一模）如图，一根橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，其中A点坐标为（0，0），B点坐标为（8，0），然后把中点C向上拉升3 cm到D，求橡皮筋被拉长了多少.
解：由题意得AC=AB=4 cm，CD=3 cm，
∴AD===5（cm），
∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2（cm），
故橡皮筋被拉长了2 cm.
7.【例3】（人教8下P31改编）直角三角形的两直角边长之比为3∶4，斜边长是20，则：
（1）它的周长为　　　　，面积为　　　　；
（2）它斜边上的高为　　　　.
小结：运用勾股定理计算.
48
96
9.6
11.（人教8下P31，教材新增）如图，一张三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=8 cm，BC=6 cm.将纸片沿直线DE折叠，使点A与B重合，则CD的长为　　　　.
cm
8.【例4】（人教8下P31，教材新增）甲、乙两个三角形工件的尺寸（单位：mm）如图所示，分别求它们的高h1，h2.
小结：运用等腰三角形的性质及构造方程求解；若没有直角三角形，可以通过作垂直构造直角三角形.

解：设h1交AB于点G，h2交DE于点H，
∵AC=BC，∴AG=BG=AB=10，
∴h1===24（mm）；
设DH=x，EH=21-x，由高相等得DF2-DH2=EF2-EH2，
即132-x2=202-（21-x）2，解得x=5，
∴h2===12（mm）.
★12.（运算能力）（跨学科融合）某地修建了一座半径为800 m的圆形纪念园.如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上.
C村在B村的正东方向且两村相距2.4 km.若计划在B，C两村间修一条笔直的公路来连接两村，该公路是否穿过纪念园？（参考数据：≈1.73）
解：过点A作AD⊥BC于点D，
由题意知∠ABD=90°-60°=30°，∠ACD=45°，
∴AB=2AD，CD=AD，由勾股定理得BD=AD，
∵BC=2.4 km=2 400 m，∴AD+AD=2 400，
解得AD=1 200（-1）≈876>800，
故该公路不会穿过纪念园.(共18张PPT)
第二十章　勾股定理
第4课时　勾股定理的逆定理及其应用（1）
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.（2022新课标）探索勾股定理的逆定理.
2.树立数形结合的思想.
运算能力　几何直观
推理能力　模型观念
勾股定理的逆命题的证明
如图，已知△ABC.
（1）勾股定理：若∠C=90°，则a2+b2=c2；
（2）逆命题：若a2+b2=c2，则∠C=90°，猜想它　　　　（填“成立”或“不成立”）.
成立
1.如图①，在△ABC中，a2+b2=c2，求证：∠C=90°.证明：如图②，作B'C'=a，A'C'=b，∠C'=90°，根据勾股定理得A'B'==______，由“SSS”可证△ABC≌△A'B'C'，则∠C=∠C'=_______.
c　
90°
勾股定理的逆定理
（1）如果一个三角形有两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是　　　　三角形.
（2）几何语言：三角形的三边长为a，b，c，满足：
a2+b2=c2或　　　　　　或　　　　　　时，
这个三角形是直角三角形.
直角
a2+c2=
b2+c2=
2.如图，在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13.求证：△ABC是直角
三角形.
证明：在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形.
通过计算判断三角形的形状
根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
3.（人教8下P35、北师8上P11）判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=8，b=15，c=17；
（2）a=14，b=13，c=15.
（1）是　
（2）不是
勾股数
勾股数就是能够成为直角三角形三条边长的三个正整数.
4.写出以下常见的勾股数：
（1）3，4，　　　　； （2）6，　　　　，10；
（3）　　　　，12，13； （4）7，24，　　　　.
5　
8　
5　
25
5.【例1】（人教8下P36，教材新增）判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=4，b=5，c=6；
（2）a=2.5，b=0.7，c=2.4；
（3）a=，b=，c=；
（4）a=1，b=，c=.
小结：运用勾股定理的逆定理时明确直角边、斜边.
（1）不是　
（2）是　
（3）不是　
（4）是
8.（人教8下P38）判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=9，b=40，c=41；
（2）a=，b=4，c=5；
（3）a=，b=1，c=；
（4）a=40，b=50，c=60.
（1）是　
（2）是　
（3）是　
（4）不是
6.【例2】（2025潮州期末改编）如图，6×6的网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均为网格上的格点.
（1）AB=　　　　，
BC=　　　　，
AC=　　　　；
（2）∠ABC=　　　　°；
（3）判断△ABC的形状是　　　　　　.
小结：先计算网格中的各边长，再判断形状.
2
5　
90　
直角三角形
9.（运算能力）如图，△ABC在正方形网格中，若小方格的边长为1，试判断△ABC的形状，并说明理由.
解：△ABC是直角三角形.理由如下：
∵在△ABC中，AC==，
BC==，AB==，
∴AC2+AB2=BC2，∴∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形.
7.【例3】（人教8下P36）如图，以△ABC的三边为直径，分别作三个半圆，三个半圆的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2=S3，判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由.
小结：通过面积关系得出三角形的三边关系，再运用勾股定理的逆定理进行判断.
解：△ABC是直角三角形，理由如下：根据题意得S1=π=AB2，S2=π=BC2，S3=π=AC2，
∵S1+S2=S3，∴AB2+BC2=AC2，
∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形.
★10.（推理能力、思维能力）（2025重庆期末改编）如图，以Rt△ABC三边为直角边，分别作等腰直角三角形ABD，等腰直角三角形ACE，等腰直角三角形BCF.图中阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，，若S1+S2=S3+S4，求证：△ABC是直角三角形.
证明：设图中两个空白部分三角形的面积分别为x和y，
∵△ABD是等腰直角三角形，△ACE是等腰直角三角形，
∴S1+x=AB2，S2+y=AC2，
∴S1+x+S2+y=（AB2+AC2），
∵△BCF等腰直角三角形，∴S3+x+S4+y=BC2，
∵S1+S2=S3+S4，∴S1+x+S2+y=S3+x+S4+y，
∴（AB2+AC2）=BC2，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形.(共15张PPT)
第二十章　勾股定理
第5课时　勾股定理的逆定理及其应用（2）
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.（2022新课标）能运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题.
2.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.
运算能力　几何直观　推理能力
模型观念　应用意识　创新意识
方位问题
（人教8下P37）A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？
解：∵AC2=132=169，AB2+BC2=122+52=169，
∴AC2=AB2+BC2，∴∠ABC=90°，
∵A地在B地的正东方向，
∴C地在B地的正北方向.
1.如图，OA=6，OB=8，AB=10，点A在点O的北偏西40°方向，问点B在点O的什么方向？
解：∵OA=6，OB=8，AB=10，∴OA2+OB2=AB2，
∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB=90°，
由题意得90°-40°=50°，
∴点B在点O的北偏东50°方向.
通过计算确定直角三角形
（人教8下P37，教材新增）高师傅有5根长度（单位：dm）分别为a=6，b=8，c=10，d=24，e=26的钢条，准备选3根焊接一个直角三角形钢架.请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合.
解：只有c，d，e可能为斜边，
当c为斜边时，∵102=62+82，∴c2=a2+b2，a，b，c为可能的组合；
当d为斜边时，∵242>82+102，∴不存在满足题意的组合；
当e为斜边时，∵262=242+102，∴e2=d2+c2，c，d，e为可能的组合.
2.（人教8下P38，教材新增）已知三条线段的长分别为6，10，x，以这三条线段为边恰好可以构成一个直角三角形，求x.
解：当x为直角边时，10为斜边，
由勾股定理得x2+62=102，解得x=8；
当x为斜边时，6，10为直角边，
根据勾股定理得62+102=x2，解得x=2，
∴x=8或x=2 .
勾股定理及其逆定理的综合
（人教8下P38）如图，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，求AC的长.
解：∵AD是BC边上的中线，BC=10，
∴BD=CD=BC=5.
∵52+122=132，即BD2+AD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，
又∵BD=CD，∴AC=AB=13.
3.（人教8下P43，教材新增）如图，在三角形支架中，AD⊥BC，垂足
为D，AB=2 m，AC=1.5 m，DC=0.9 m.
（1）求BD的长；
（2）判断支架外框△ABC的形状，并说明理由.
解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，
在Rt△ADC 中，AD===1.2，
在Rt△ADB 中，BD===1.6.
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
由（1）知BD=1.6，∴BD+CD=1.6+0.9=2.5，
∵AB2+AC2=22+1.52=6.25=2.52，
∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC 是直角三角形.
4.【例1】（人教8下P36）如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号和“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口1.5 h后相距30海里.如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿哪个方向航行？
解：根据题意，得PQ=16×1.5=24（海里），
PR=12×1.5=18（海里），QR=30海里.
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°.
由远航号沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，
则∠SPR=45°，即海天号沿西北方向航行.
7.如图，有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A，B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，求甲巡逻艇的航向.
解：∵AC=120×=12（海里），BC=50×=5（海里），
AB=13海里，
∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形.
∵∠CBA=90°-40°=50°，∴∠CAB=40°，
∴甲巡逻艇的航向为北偏东50°.
5.【例2】（人教8下P38改编、北师8上P8改编）如图，点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，若AB=3，BC=2，CD=6，DE=4，AE=.
（1）求AC，CE的长；
（2）求证：∠ACE=90°.

（1）解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=2，
∴AC===.
∵在Rt△EDC中，∠D=90°，CD=6，DE=4，
∴CE====2.
（2）证明：∵AC=，CE=，AE=，
∴AE2=AC2+CE2，∴∠ACE=90°.
8.如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，AC=4，BC=2，BD=2，求∠ADB的度数.
解：∵BD是AC边上的中线，AC=4，
∴CD=AC=2，
在△BCD中，∵BC=2，BD=2，
∴BC2+CD2=8，BD2=8，∴BC2+CD2=BD2，
∴△BDC是直角三角形，且∠C=90°，
∵CD=BC=2，∴∠CBD=45°，
∴∠ADB=∠CBD+∠C=45°+90°=135°.
6.【例3】（人教8下P37改编、北师8上P10改编）如图，在四边形ABCD中，AB=20 cm，BC=15 cm，CD=7 cm，AD=24 cm，∠ABC=90°.
（1）∠D=_________，∠DAB+∠BCD=_________；
（2）求四边形ABCD的面积.
小结：勾股定理及其逆定理的灵活运用.
解：（2）连接AC，由（1）知∠D=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=×7×24=234（cm2）.
即四边形ABCD的面积是234 cm2.
90°
180°
★9.（运算能力、应用意识）如图，等腰△ABC的底边BC=15 cm，AH⊥
BC于点H，D是腰AB上一点，且CD=12 cm，BD=9 cm，求AH的长.
解：∵BC=15，BD=9，CD=12，∴BC2=BD2+CD2，
∴△BDC为直角三角形，∴∠BDC=∠ADC=90°，
设AD=x，在Rt△ADC中，
由勾股定理得x2+122=（x+9）2，
解得x=，∴AB=9+=（cm），
∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=HC= cm，
由勾股定理得AH==10（cm）.(共17张PPT)
第二十章　勾股定理
第6课时　《勾股定理》单元复习
03
精典范例
02
对点训练
01
知识要点
04
变式练习
勾股定理及其应用
（1）勾股定理：
直角三角形两直角边的　　　　　等于斜边的　　　 　.
（2）表示方法：
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
　　　　　　.
（3）应用：
已知直角三角形的任意两边，能求出第三边.
平方和
平方
a2+b2=c2
1.在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=5，b=12，则c=　　　　；
（2）若a=15，c=25，则b=　　　　；
（3）若c=61，b=60，则a=　　　　；
（4）若a∶b=3∶4，c=10，则Rt△ABC的面积是　　　　.
2.（1）已知直角三角形的两边长分别为3，2，则第三边长是
　　　　　　；
13
20
11　
24
或　
（2）（数学文化）（2025江苏模拟）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为
m，n（m>n）.若小正方形的面积为5，（m+n）2=21，则大正方形的面积为（　　）
A.12 B.13
C.14 D.15
B
勾股定理的逆定理及其应用
（1）勾股定理的逆定理：
如果三角形两边的　　　　　等于第三边的　　　　，那么这个三角形是直角三角形.
（2）表示方法：
如果三角形的三边长a，b，c满足　　　　 　　，那么这个三角形是直角三角形.
（3）应用：
判断某三角形是否为直角三角形或证明两条线段垂直.
平方和
平方　
a2+b2=c2（答案不唯一）
3.（2025惠州模拟）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，
下列所给数据中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A.∠A+∠B=90°　
B.a∶b∶c=5∶12∶13
C.a2 +b2=c2　
D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
D
4.（2025西安一模）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△CDE的顶点均在网格格点上.求证：BC⊥CE.
证明：连接BE，
由勾股定理得BC2=EC2=32+12=10，BE2=22+42=20，
∴BC2+EC2=BE2，∴∠BCE=90°，∴BC⊥CE.
5.【例1】（北师8上P14改编）求阴影部分面积（阴影部分分别是正方形、长方形、半圆）：
小结：利用勾股定理求面积.
25 cm2　
51 cm2　
8π cm2
9.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，以点A为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是　　　　.
+1
6.【例2】如图，在△ABC中，CD⊥AB，∠A=45°，AC=，AB=+
1，求BC的长.
小结：数形结合.

解：∵∠A=45°，CD⊥AB，AC=，
设AD=x，则CD=x，
由勾股定理得2x2=2，∴x=1.
∵AB=+1，∴BD=.
在Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2，∴BC==2.
10.如图，在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，求△ABC的周长.
解：在Rt△ABD中，BD===5；
在Rt△ACD中，
CD===9.
∴BC=CD-BD=9-5=4，
∴△ABC的周长为AC+AB+BC=15+13+4=32.
7.【例3】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，那么乙船沿　　　　　　方向航行.
小结：灵活变形，利用勾股定理逆定理判断三角形的形状.
北偏东50°
11.（2025泉州模拟）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，点A，B在格点上（每个小正方形的顶点称为格点）.
（1）AB的长为　　　　；
（2）在网格中找出一个格点C，使得AC=，BC=3 ，并通过计算判断△ABC的形状.
2
解：（2）如图，点C即为所求，
∵AC=，BC=3 ，由（1）知AB2=8，
∴AC2=（）2=26，BC2=（3 ）2=18，
∵8+18=26，∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形.
答案图
8.【例4】（2025佛山期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边分别为AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB
上，且与AE重合，求CD的长.
小结：灵活运用勾股定理解决折叠类问题.
解：∵△ACD与△AED关于AD成轴对称，
∴AC=AE=6，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82 =102，
∴AB=10，∴BE=AB-AE=10-6=4，
设CD=DE=x，则DB=BC-CD=8-x，
在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2+42=（8-x）2，
解得x=3，即CD=3.
★12.（运算能力、思维能力）（2025长沙一模）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3.过点A将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，求AE的长.
解：根据折叠，可知AB=AD，ED=EC，
∴∠ADB=∠B，∠EDC=∠C，
∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，
∴∠ADB+∠EDC=90°，∴∠ADE=90°，
设AE=x，∵AB=2，AC=3，
∴AD=2，CE=3-x，∴ED=3-x，
在Rt△ADE中，根据勾股定理，得22+（3-x）2=x2，
解得x=，即AE=.

展开更多......

收起↑