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(共32张PPT)
第十九章　 二次根式
第8课时　《二次根式》单元复习
03
精典范例
02
对点训练
01
知识要点
04
变式练习
二次根式的相关概念
（1）二次根式
一般地，我们把形如（a　　　　0）的式子叫作二次根式，二次根式也是代数式.
（2）二次根式有意义的条件有意义 　　　　　.
（3）最简二次根式最简二次根式满足的条件：
①被开方数中不含分母；
②被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式；
③分母中不含二次根式.
≥
a≥0
1.下列各式中，不是二次根式的是（　　）
A. B.
C. D.

2.（2025镇江）使二次根式有意义的x的取值范围是（　　）
A.x≥2 B.x≤2
C.x>2 D.x<2

B
A
3.（2025云南模拟）下列二次根式中，是最简二次根式的为（　　）
A. B.
C. D.
C
二次根式的性质

（1）二次根式的性质1（双重非负性）

≥0（a≥0）.

（2）二次根式的性质2
（）2=　　　　（a≥0）.
（3）二次根式的性质3
=　　　　（a≥0）.
补充：==
a　
a　
4.（2025泉州模拟）计算：
=　　　　.
5.计算：
（1）（）2=　　　　；
（2）（-2）2=　　　　.
6.（2025湛江期末）化简：
=　　　　.
10　
25
12
π-3
7.（2025青岛模拟）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简+结果为（　　）
A.7 B.-7
C.2a-15 D.无法确定

8.（2025东莞二模）若与|b-|互为相反数，则ab=　　　　.
A
-2 　
二次根式的运算
（1）二次根式的乘法

①二次根式的乘法公式：
·=（a≥0，b≥0）.

②二次根式的乘法公式的逆用：

=·（a≥0，b≥0）.

（2）二次根式的除法

①二次根式的除法公式：=（a≥0，b>0）.

②二次根式的除法公式的逆用：=（a≥0，b>0）.
（3）二次根式的加减
法则：二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
（4）二次根式的混合运算
①二次根式的混合运算顺序：
与实数的混合运算顺序一样，先算　 　　　，再算　　　　 　，最后算　　　　　，有括号的先算括号内的运算（或先去掉括号）.
②在二次根式的混合运算中，实数的运算律、多项式的乘法法则、多项式的乘法公式仍然适用.
乘方
乘除
加减
9.（2025徐州）下列计算错误的是（　　）
A.+= B.×=
C.÷=2 D.（-）2=3
10.（2025广东）计算×的结果是（　　）
A.3 B.6 C. D.2
A
B
11.（2025自贡）计算：-3=　　　　.
12.计算：÷=　　　　.
13.（2025南京二模）计算：= .
14.（2025天津）计算（+1）（-1）的结果为　　　　.
0
3　
4 　
60　
15.计算：（+）2-=　　　　.
16.（2025哈尔滨二模）我们规定：对于任意的正数m，n的“※”运算为m※n=（m-），计算2※8的结果为　　　　　.
17.若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是
　　　 　（写出一个即可）.
5
2-4
（答案不唯一）
18.计算：.


19.计算：×-÷.
解：原式=-=2-3=-1.
解：原式=×3-
=2 -=.
20.（人教8下P20）已知x=-1，求代数式x2+5x-6的值.
解：x2+5x-6
=（-1）2+5（-1）-6
=5-2 +1+5 -5-6
=3 -5.
21.【例1】（2025绥化）若式子有意义，则x的取值范围是
　　　　.
x>-1
27.（2025凉山州）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围
是　　　　.
m≥1
22.【例2】计算：
（1）2+3；



（2）5+-7；
（1）13
（2）-14　
（3）×÷；


（4）×.
（3）2　
（4）9
28.计算：
（1）+2-；



（2）（2025甘肃）-×；





（1）5-6　
（2）　
（3） ÷×；



（4）（2-3）÷.
（3）9　
（4）-1
23.【例3】计算：（+1）（-1）+（-2）2.
解：原式=2-1+（3-4 +4）=8-4 .
29.计算：（+）2-（-）2.
解：原式=（++-）（+-+）
=2×2
=4.
24.【例4】（2025丽江模拟）若1≤a≤2，则化简+|a-2|的结果是（　　）
A.2a-3 B.3-2a C.-2a D.1
D
30.（2025德州一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|a|--的结果为　　　　.
0
25.【例5】（人教8下P16）已知x=+1，y=-1，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；　　
（2）x2-y2.
解：（1）当x=+1，y=-1时，
原式=（x+y）2=（+1+-1）2=12.
（2）当x=+1，y=-1时，
原式=（x+y）（x-y）=（+1+-1）（+1-+1）=4.
31.（人教8下P16、北师8下P145改编）已知a+=，求a-的值.
解：由a+=两边平方，得
a2+2+=10，则a2-2+=6，
即=6，
开方，得a-=±.
26.【例6】（运算能力）已知长方形的长a=，宽b=.
（1）求长方形的周长；
（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系.

解：a==2，b==.
（1）长方形的周长=（2+）×2=6.
（2）正方形的周长=4=8，
∵6=，8=，>，∴6>8.
∴正方形的周长小于长方形的周长.
★32.（应用意识）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为 m，宽AB为 m.现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（+1）m，宽为（-1）m.
（1）长方形ABCD的周长是多少？
解：（1）长方形ABCD的周长=2（+）
=2（9+8）=（18+16）（m）.
答：长方形ABCD的周长是（18+16）m.
（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
（结果化为最简二次根式）
（2）购买地砖需要花费
=5×［×-（+1）（-1）］
=5×［72-（14-1）］=（360-65）（元）.
答：购买地砖需要花费（360-65）元.(共16张PPT)
第十九章　 二次根式
第3课时　二次根式的乘法与除法（1）
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.（2022新课标）了解二次根式（根号下仅限于数）的乘法运算法则，会用它进行简单的运算.
2.理解·=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并运用它们进行计算和化简.
抽象能力　运算能力
推理能力
二次根式的乘法法则
（1）符号语言：
一般地，二次根式的乘法法则是·= 　　　　　（a≥0，b≥0）.
（2）文字语言：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
（3）在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件.
（4）乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中仍然适用.
1.（人教8下P6、北师8上P41）计算下列各式：
（1）×= 　　　　，=　　　　；
（2）×=　　　　，
= 　　　　；
（3）×=　　　　， = 　　　　.
6
6
20
20
42　
42　
2.（人教8下P6）计算：
（1）×； （2）×；

（3）（教材新增）×.
（1）　 （2）3　
（3）
二次根式的乘法法则的逆用
（1）符号语言：= 　　　　　（a≥0，b≥0）.
（2）文字语言：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
（3）利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外.
（4）注意：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足
a≥0，b≥0.
（5）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
·
3.化简：
（1）； （2）；


（3）； （4）；



（1）21　
（2）10
（3）2　
（4）2
（5）（2025惠州模拟）.
（5）2
4.【例1】（人教8下P7）计算：
（1）×； （2）2×；


（3）×； （4）3×2.
小结：根据二次根式的乘法法则·=（a≥0，b≥0）.
（1）　
（2）2 　
（3）7
（4）30
8.计算：
（1）×；　　　 　（2）×；


（3）×（-）； （4）·.
（1）6　
（2）　
（3）-7
（4）x
5.【例2】（人教8下P7、北师8上P43）化简：
（1）；　　 （2）；



（3）； （4）（a>0，b>0）.
小结：逆用公式，即=·（a≥0，b≥0）.
（1）36
（2）5 　
（3）12
（4）2ab
9.化简：
（1）； （2）；



（3）； （4）（x≥0）.
（1）77　
（2）6
（3）3　
（4）4x2
6.【例3】（人教8下P7）一个长方形的长和宽分别是和2，求这个长方形的面积.
小结：根据长方形的面积公式计算即可.
解：这个长方形的面积为
×2 =2 =2 =2 ×=4 .
10.一个长方体的长、宽、高分别为3，2，，求这个长方体的体积.
解：这个长方体的体积为
3 ×2 ×=3×2 =36.
7.【例4】计算与化简：
（1）2××10；
（2）（x>0）.
解：（1）原式=2×2××10=3×10=30.
（2）原式==4x.
★11.（运算能力）计算与化简：
（1）××；

（2）（a≥0）.
解：（1）原式=-=-4.
（2）原式==（a2+b2）.(共16张PPT)
第十九章　 二次根式
第6课时　二次根式的加法与减法（1）
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.（2022新课标）了解二次根式（根号下仅限于数）的加、减运算法
则，会用它们进行简单的运算.
2.运用二次根式加减解决问题.
抽象能力　运算能力
推理能力
可以合并的二次根式
（1）将二次根式化成最简二次根式，若 相同，则这样的二
次根式可以合并.
（2）合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数（式）　　　　，根指数和被开方数不变.
（3）合并的依据是分配律，如：m+n=（m+n）.
被开方数
相加
1.（2025汕头模拟）下列二次根式中，与是同类二次根式的是
（　　）
A. B.
C. D.
2.（1）（2025许昌一模）请写出的一个同类二次根式：
　　　　 ；
（2）（2025通辽一模）与最简二次根式5是同类二次根式，则a=　　　　.
C
2 （答案不唯一）
1
二次根式的加减及运算步骤
（1）一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数
　　　　的二次根式合并.

（2）二次根式的加减的运算步骤
①化成最简二次根式；
②找出被开方数相同的二次根式；
③合并被开方数相同的二次根式.
相同
（3）注意事项
①在运算过程中要注意，根号外的因数（式）就是这个二次根式的系
数，如果系数是带分数，还要化成假分数；
②被开方数不同的二次根式不能合并，但是绝不能丢弃，它们也是结果的一部分；
③在进行二次根式的加减运算时，整式加法的交换律、结合律及去括
号、添括号法则仍然适用.
3.（人教8下P14）下列计算是否正确？
（1）+=；　　　　
（2）-=；　　　　
（3）3-=2.　　　　
不正确
不正确
正确
4.（人教8下P13）计算：
+
=　　　　　　（化成最简二次根式）
=　　　　　　（利用分配律合并）
=　　　　　　.
3 +2
（3+2）
5
5.计算：
（1）+；　 （2）-；
（3）2+5-7； （4）3-（+）.
（1）3　
（2）2
（3）0
（4）2-
6.【例1】（北师8上P44）计算：
（1）+；
（2）-；

（3）2-7+4.
小结：按步骤进行二次根式的加减运算，可记为：一化二看三合并.
解：（1）原式=4+=5.
（2）原式=-=.
（3）原式=2-7+4
=2-14+12=（2-14+12）=0.
9.（人教8下P13、北师8上P47改编）计算：
（1）-；
（2）+；
（3）2-6+3.
解：（1）原式=4 -3 =.
（2）原式=3 +5 =8 .
（3）原式=4 -2 +12 =14 .
7.【例2】（人教8下P14）计算：
（1）+（-）；
（2）（+）-.
解：（1）原式=3 +7 -3 =10 -3 .
（2）原式=2 +-+=3 +.
小结：（1）二次根式的加减运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式；（2）正确地化简二次根式及准确地判断被开方数相同的二次根式是解题的关键.
10.（人教8下P13、北师8上P47改编）计算：
（1）（+）+2（-）；

（2）（-）-（-）.
解：（1）原式=2 +2 +2 -2 =4 .
（2）原式=--+=-.
8.【例3】（人教8下P16、北师8上P48改编）已知≈2.236，求
5-+的近似值（结果保留小数点后两位）.
小结：根据已知，所求的式子在化简后应与有关.
解：5-+
=-+3=≈≈7.83.
11.若a，b为有理数，且-+=a+b，则a+b的值为　　　　.
★12.（应用意识）（人教8下P14）如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是62.8和141.3，求圆环的宽度d（π取3.14）.
-
解：设小圆的半径为r，大圆的半径为R，
∵两个圆的圆心相同，
它们的面积分别是62.8和141.3，
∴πr2=62.8，πR2=141.3，
∴圆环的宽度d=R-r≈-=-=3 -2 =.(共18张PPT)
第十九章　 二次根式
第7课时　二次根式的加法与减法（2）
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.（2022新课标）会用二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则进行简单的四则运算.
2.掌握二次根式的多项式乘法公式的应用.
3.复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的运算中.
运算能力　应用意识
二次根式的混合运算及运算顺序
（1）二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、　 　　的混合运算.
（2）二次根式的混合运算顺序
二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先算　 　　　，再算　　　　，最后算　　　　，有括号的先算括号内的运算（或先去掉括号）.
乘方
乘方
乘除
加减
（3）口诀
二次根式混合算，弄清顺序是关键，
先乘方来后乘除，最后再去算加减.
1.按下列步骤计算：
　10÷+3
=10÷5+3
= 　　　　+3
= 　　　　.
2.计算：×+÷.
2　
5
解：原式=2+=3.
二次根式的混合运算中的乘法法则及乘法公式应用
（1）二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式的形式.
（2）在二次根式的混合运算中，实数的运算律、多项式的乘法法则、多项式的乘法公式仍然适用.
（3）回顾多项式的乘法公式
平方差公式：（a+b）（a-b）= 　　　　　　.
完全平方公式：
（a+b）2=　　　　　　　，
（a-b）2=　　　　　　　 .
a2-b2
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
3.（人教8下P15、北师8上P44改编）计算：
（1）（+）×；
（2）（4 -3 ）÷2 .

解：（1）原式=×+×=4 +3 .
（2）原式=4 ×-3 ×=2- .
4.（人教8下P15）计算：（+3）（+2）.
解：原式=（）2+2 +3 +6
=5+5 +6=11+5 .
5.按下列步骤计算：
（1）（+）（-）
=（　　　　）2 -（　　　　）2 = 　　　　；
（2）
=+ 　　　　　　+= 　　　　.
　
1
2××
5+2
6.【例1】计算：
（1）×；
（2）（-）÷.
小结：根据多项式乘单项式、多项式除以单项式的法则进行计算.
解：（1）原式=-=9-1=8.
（2）原式=-=2-3=-1.
10.（人教8下P15）计算：
（1）（+）；
（2）（+）÷.
解：（1）原式=+.
（2）原式=+=4+2 .
7.【例2】（人教8下P15）计算：
（1）（+3）（-5）；
（2）（+）（-）；
（3）（+2）2；
（4）（2-）2.
小结：能用乘法公式的尽量使用乘法公式，可简化计算过程.
解：（1）原式=（）2-5 +3 -15
=2-2 -15=-13-2 .
（2）原式=（）2-（）2=5-3=2.
（3）原式=（）2+2××2+22
=3+4 +4=7+4 .
（4）原式=（2 ）2-2×2 ×+（）2
=20-4 +2=22-4 .
11.（北师8上P42）计算：
（1）（3+）（-2）；
（2）（+3）（-3）；
（3）（+）2；
（4）（2-1）2.
解：（1）原式=3 -6+5-2 =-1.
（2）原式=（）2-32=13-9=4.
（3）原式=（）2+2××+（）2
=2+2 +5=7+2 .
（4）原式=（2 ）2-2×2 ×1+1
=12-4 +1=13-4 .
8.【例3】（2025上海模拟）已知a=4+，b=4-，求a2b-ab2的值.
小结：灵活运用因式分解，再代入求值.
解：原式=ab（a-b）
=（4+）（4-）（4+-4+）
=（16-6）×2
=20 .
12.（2025保定二模）已知m=-2，n=+2，求的值.
解：∵m=-2，n=+2，
∴=
=
==4.
9.【例4】（北师8上P48）如图（单位：cm），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为40 cm2，最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差多少？
小结：关键是求中间正方形的边长，用其表示出最大、最小正方形的边长.
解：∵中间正方形纸片的面积为40 cm2，
∴中间正方形的边长为=2 （cm），
∴（2 +1）2-（2 -1）2=8 （cm2）.
答：最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差8 cm2.
★13.（应用意识）（人教8下P16，教材新增）已知边长分别为（+
）m，（-）m的两个正方形的面积分别为S1，S2.
（1）求S1+S2的值；
（2）用一根长为20 m的铁丝，能否围成这两个正方形？
解：（1）S1+S2=（+）2+（-）2=5+2 +2+5-2 +2=14.
（2）4（+）+4（-）=4 +4 +4 -4 =8 ，
∵8 =<=20，∴这根铁丝能围成这两个正方形.(共22张PPT)
第十九章　 二次根式
第1课时　二次根式及其性质（1）
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.体会研究二次根式是实际的需要.
2.（2022新课标）了解二次根式的概念.
3.利用（a≥0）的意义解答具体题目.
抽象能力　运算能力
推理能力　应用意识
一般地，我们把形如（a　　　0）的式子叫作二次根式，二次根式也是代数式.
二次根式
≥
1.下列各式是二次根式的是（　　）
A.　 B.　
C.　 D.a2
B
正确理解二次根式的概念
（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有，的根指数为2，即，我们一般省略根指数2，写作.如可以写作.
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子.
2.下列各式是二次根式的是（　　）
A. B.　
C. D.
3.若是二次根式，则a的值不可以是（　　）
A.0　 B. C.90　 D.-2.1
C
D
二次根式有意义的条件

（1）当a≥　　　时，在实数范围内有意义.

（2）在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了a≥0这一隐含条件.

（3）式子表示非负数a的算术平方根.
0
4.（人教8下P2）（2025盐城）当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？
解：由题意得x-2≥0，解得x≥2.
5.（2025北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是
　　　　.
6.（人教8下P3）当x是　　　　　 时，在实数范围内有意义；
当x　　　　　时，在实数范围内有意义.
x≥1
任意实数
≥0
求二次根式的值
已知二次根式中未知数的值，将其代入二次根式进行计算，即可求出二次根式的值.
7.（人教8下P3，教材新增）当a=5时，的值是　　　　.
8.【例1】下列式子一定是二次根式的是（　　）
A. B.
C. D.
小结：判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣概念，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：（1）带二次根号“”；（2）被开方数是非负数（正数或0）.
A
13.下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A.　 B. C.　 D.
14.有下列各式：，，，，（x≥1），其中一定是二次根式的有 个.
C
3
9.【例2】当a取何值时，下列根式有意义？
（1）；　（2）；　（3）.
解：（1）由题意得≥0，解得a≥-1.
（2）由题意得≥0且2-a≠0，解得a<2.
（3）由题意得（a-1）2≥0，则a是任意实数.
小结：要使二次根式有意义，就要使其被开方数为非负数.
15.下列式子一定有意义的是（　　）
A. B. C. D.
16.（2025河南）请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：
　　　 　.
17.（2025广州）要使代数式有意义，则x的取值范围是　　　　 .
D
0（答案不唯一）
x≥-1且x≠3
10.【例3】要使下列式子有意义，求a的取值范围.
（1）+；（2）；（3）
小结：根据二次根式的被开方数为非负数列出不等式（组）求解.
解：（1）由题意得a+1≥0且2-a≥0，
解得-1≤a≤2.
（2）由题意得a+1≥0且2-a≠0，解得a≥-1且a≠2.
（3）由题意得a+1≥0且2-a>0，解得-1≤a<2.
18.要使下列式子有意义，求x的取值范围.
（1）；　（2）；　（3）.
小结：根据二次根式的被开方数为非负数列出不等式（组）求解.
解：（1）由题意得x≥0且x-2≠0，解得x≥0且x≠2.
（2）由题意得x-2>0，解得x>2.
（3）由题意得x≥0且2-x>0，解得0≤x<2.
11.【例4】已知+=0，求x的值.
小结：根据二次根式有意义的条件进行综合判断.
解：由二次根式意义知x-5≥0且5-x≥0，∴x=5.
19.已知x，y是实数，且y=++5，求x+y的值.
解：由二次根式意义知2-x≥0且x-2≥0，
∴x=2，则y=5，∴x+y=2+5=7.
12.【例5】（核心教材母题：人教8下P2、北师8上P32）（跨学科融合）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h=5t2.如图，有一铁球从20 m高的建筑物上自由下落，到达地面需要　　　　s.
2
核心教材母题：教材是新中考命题的依据，近年来中考数学卷中都有较多题的素材来源于人教版和北师大版.本书将两个版本重合的教材母题进行汇总，并作为课堂例习题呈现.
★20.（运算能力）（人教8下P3、北师8上P36）要画一个面积为18 cm2的长方形，使它的长与宽之比为3∶2，它的长与宽各应取多少？
备注：每课时带★的题目为提高题.
解：设长方形的长为3x cm，宽为2x cm，
根据边长与面积的关系，得3x·2x=18，6x2=18，x=±，
因为边长不能为负数，所以x=，所以3x=3，2x=2.
答：它的长是3 cm，宽是2 cm.(共20张PPT)
第十九章　 二次根式
第4课时　二次根式的乘法与除法（2）
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则=（a≥0，b>0）和商的算术平方根的性质=（a≥0，b>0）.
2.（2022新课标）了解二次根式（根号下仅限于数）的除法运算法则，会用它进行简单的运算.
3.（2022新课标）了解最简二次根式的概念.
抽象能力　运算能力
推理能力
二次根式的除法法则
（1）符号语言：一般地，二次根式的除法法则是=　　　　（a≥0，b>0）.
（2）文字语言：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
（3）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立.
（4）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数.
（5）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式.
1.（人教8下P8、北师8上P41）计算下列各式：
（1）=　　　　，=　　　　；
（2）=　　　　，=　　　　；
（3）=　　　　，=　　　　.
　
　
　
　
　
　
2.计算：
（1）（2025东莞模拟）； （2）÷.
解：（1）原式===2.
（2）原式===.
二次根式的除法法则的逆用
（1）符号语言：=　　　　（a≥0，b>0）.
（2）文字语言：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
（3）公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b>0.
3.化简：
（1）； （2）.
（1）　
（2）
二次根式的化简结果
（1）二次根式化简的结果中被开方数不含分母.
（2）方法：通常用乘法使分母变为平方形式，便可开平方.
4.化简：
（1）； （2）（2025宜春一模）
（1）
（2）
5.【例1】（人教8下P8）计算：
（1）；　（2）÷；　 （3）.
小结：根据二次根式的除法法则进行计算.
解：（1）原式===2 .
（2）原式====×=3.
（3）原式== .
9.计算：
（1）；　（2）÷；　 （3）.
（1）3　
（2）　
（3）
6.【例2】（人教8下P8、北师8上P44改编）化简：
（1）；　　 （2）；　　（3）.
小结：逆用二次根式的除法法则进行计算.
解：（1）原式==.
（2）原式===.
（3）原式==.
10.（人教8下P9，教材新增）化简：
（1）；　　（2）；　　（3）
（1）　
（2）　
（3）
7.【例3】（人教8下P9，教材新增）计算：
（1）； （2）÷.
小结：注意二次根式化简的结果中被开方数不含分母.
解：（1）原式=====.
（2）原式======.
11.（北师8上P43改编）计算：
（1）；　 （2）； 　（3）÷.
（1）　
（2）　
（3）
8.【例4】（人教8下P9）设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S=，b=，求a.
小结：根据长方形的面积公式列式求值.
解：∵S=ab，
∴a=======.
12.（人教8下P11，教材新增）一个三角形的面积S=2，底边a上的高h=，求它的底边a的长.
解：∵S=ah，
∴a===4 =4 .
★13.（运算能力、推理能力）（2025随州期末）设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为　　　　，最大值为　　　　.
3　
75(共19张PPT)
第十九章　 二次根式
第5课时　二次根式的乘法与除法（3）
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.（2022新课标）会用二次根式（根号下仅限于数）的乘、除运算法则进行简单的运算.
2.（2022新课标）了解最简二次根式的概念.
3.能解决二次根式运算与其他知识综合运用的问题.
运算能力
应用意识
二次根式的乘法法则回顾
（1）二次根式的乘法法则：
·=（a≥0，b≥0）.
（2）二次根式的乘法法则的逆用：
=·（a≥0，b≥0）.
1.（2025广西）计算：×=　　　　.
2.计算×2的结果是　　　　.
3.计算：××.
　
6
解：原式===2 .
二次根式的除法法则回顾
（1）二次根式的除法法则：=（a≥0，b>0）.
（2）二次根式的除法法则的逆用：=（a≥0，b>0）.
4.（2025荆州三模）计算÷的结果为（　　）
A. B. C.2 D.
5.计算：=　　　　.
6.（北师8上P42）计算：.
C
解：原式===3.
最简二次根式

（1）①被开方数不含　　　　；
②被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.

（2）在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含　　　　 .
分母
二次根式
7.（2025惠州二模）下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
8.（人教8下P10，教材新增、北师8上P44）化简，使结果中的二次根式为最简二次根式：
（1）；　 （2）；　 （3）；
B
（1）4 　
（2）2 　
（3）30
（4）； （5）；　 （6）.
（4）　
（5）　
（6）
9.【例1】（人教8下P9）计算：
（1）=　　　　；（2）=　　　　；
（3）=　　　　.
小结：注意计算结果要化为最简二次根式.
　
　
14.（人教8下P10）计算：
（1）=　　　　； （2）=　　　　；
（3）=　　　　； （4）=　　　　.
　
　
y
10.【例2】计算：（1）÷；（2）3÷2.
小结：根据二次根式的除法法则进行运算，注意运算时不要漏掉根号前的系数.
（1）　 （2）3
15.计算：（1）÷； （2）4÷
（1）　
（2）24
11.【例3】（人教8下P11）计算：
（1）×÷； （2）×.
小结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用.
解：（1）原式=3 ×5 ÷=15 ÷=15.
（2）原式===.
16.计算：
（1）×； （2）2×÷5.
解：（1）原式=×3 =2 .
（2）原式=4××==.
12.【例4】（人教8下P11改编）设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.
（1）已知a=2，b=，求S；
（2）已知S=2 ，b=，求a.
小结：列式后，利用二次根式乘除法运算法则求出答案即可.
解：（1）∵a=2，b=，
∴S=2×=4.
（2）∵S=2 ，b=，∴a=2 ÷=.
17.（人教8下P10）一个长方体的体积V=4 ，高h=3 ，求它的底面积S.
解：底面积S=4 ÷3 = .
13.【例5】（跨学科融合）（人教8下P10）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越广.电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r=，其中R是地球半径.如果两个电视塔的高分别是h1 km，h2 km，那么它们的传播半径之比是 （化为最简二次根式）.
小结：关键在于结合题意列代数式求解.
★18.（思维能力）（人教8下P12）如图，从一个大正方形纸片中裁去面积为15 cm2和24 cm2的两个小正方形，求剩下部分的面积.
解：∵两个小正方形的面积分别为15 cm2和24 cm2，
∴两个小正方形的边长分别为 cm和2 cm，
∴剩下部分的面积是×2 ×2=12（cm2）.(共19张PPT)
第十九章　 二次根式
第2课时　二次根式及其性质（2）
01
学习目标
04
精典范例
03
对点训练
02
知识要点
05
变式练习
1.经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义.
2.会运用二次根式的性质进行二次根式的化简.
抽象能力　运算能力
推理能力
二次根式的性质1

（1）符号语言：（双重非负性）≥0（a≥0）.

（2）文字语言：一个非负数的算术平方根是　　　　　.

（3）注意：（a≥0）的最小值为　　　　.
非负数
0
1.a（a≥0）的算术平方根记作　　　　.

2.比较二次根式与0的大小：　　　　　.

3.（2025连云港）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是
（　　）
A.x≤1 B.x≥1
C.x≤-1 D.x≥-1
　
≥0　
D
二次根式的性质2

（1）符号语言：=　　　　（a≥0）.

（2）文字语言：一个非负数先开平方再平方，结果为　　　　　.
a　
它本身
4.（人教8下P3、北师8上P34改编）计算：
（1）=　　　　；
（2）=　　　　；
（3）=　　　　；
（4）=　　　　.
3　
0.5
　
0
二次根式的性质3
（1）符号语言：=　　　　（a≥0）.
（2）文字语言：一个非负数先平方再开平方，结果为　　　　　.
（3）（人教8下P4，教材新增）当a为任意实数时，都有意义.
则当a为负实数时，=　　　　（a<0）.
a
它本身
-a
5.（人教8下P4、北师8上P34改编）化简：
（1）=　　　　；
（2）=　　　　；
（3）=　　　　；
（4）=　　　　；
（5）=　　　　；
（6）=　　　　.
2　
0.1
　
0　
4　
5
6.【例1】（人教8下P4、北师8上P38改编）计算：
（1）=　　　　；
（2）（3）2=　　　　；
（3）=　　　　；
（4）=　　　　.
小结：直接利用=a（a≥0）即可.
5　
18
　
11.计算：
（1）（）2 =　　　　；
（2）=　　　　；
（3） =　　　　；
（4）（3）2-（5）2=　　　　.
18
　
　
-30
7.【例2】（人教8下P4、北师8上P38改编）化简：
（1）=　　　　；
（2）=　　　　；
（3）-=　　　　；
（4）=　　　　.
小结：直接利用=a（a≥0）即可.
0.3
-π　
0.1
12.（人教8下P5）化简：
（1）=　　　　；
（2）=　　　　；
（3）-=　　　　；
（4）=　　　　.
3
　
-
x2
8.【例3】（人教8下P5）已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和.如果大圆的半径为r，两个小圆的半径分别为2和3，求r的值.
小结：根据圆的面积公式列出方程求解即可.

解：由题意得πr2=4π+9π，则r2=13，
又r>0，故r=，即r的值为.
13.△ABC的面积为12，AB边上的高是AB边长的4倍，求AB的长.
解：设AB=x，则AB边上的高是4x，
由题意得×x×4x=12，则x2=6，
又x>0，故x=，即AB的长为.
9.【例4】已知+=0，求x+y的值.
小结：解答此类题先依据“若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0”列出方程组，解方程组求出字母的值，再把字母的值代入题目要求的式子中化简求值.
解：∵+=0，∴=0，=0，
∴x-1=0，y=0，∴x=1，∴x+y=1+0=1.
14.若+=0，求a2 025+b2 026的值.
解：∵+=0，∴=0，=0，
∴a+1=0，b-1=0，∴a=-1，b=1，
∴a2 025+b2 026=-1+1=0.
10.【例5】（1）计算：=_______；
（2）（2025汕头模拟）已知a，b在数轴上的位置如图，化简-=_______.
小结：先根据条件判断2-，a-b与0的大小关系，然后根据二次根式的性质化简.
-2　
b
★15.（运算能力、推理能力）（1）（2025汕尾一模）要使=，x的取值范围是（　　）
A.x>2 B.x≥2
C.x<2 D.x≤2
（2）若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简+|8-n|的结果为　　　　.
B
5

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