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山东省实验中学2025-2026学年第二学期高一第一次阶段性学情检测数学试题
一、单选题
1．若复数，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．2
2．在平行四边形中，是对角线的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．若中，角的对边分别为若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若，则|（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A．30m B．20m C． D．
6．在中，，，，为边上一点，且平分，则（ ）
A． B． C． D．
7．在梯形中，，点是线段（含端点）上的动点，设，若，则（ ）
A．0 B． C． D．1
8．在中，分别为角所对的边，已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，则（ ）
A． B．
C． D．在复平面内对应的点位于第二象限
10．已知的内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则三角形有两解
C．若面积为，则.
D．若，则一定为等腰直角三角形
11．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，荣昌折扇平面图为下图的扇形，其中，，动点在上（含端点），连结交扇形的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
三、填空题
12．若复数满足，则|z|的最大值为______．
13．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______.
14．在中，内角的对边分别为，若，则该三角形内切圆面积的最大值为__________.
四、解答题
15．已知是虚数单位，复数．
(1)若复数满足，求；
(2)若关于的实系数一元二次方程有一个根是，求的值．
16．在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
17．在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，．
(1)试用，表示向量；
(2)在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值．
18．某市公园绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香.因为在处有一古塔，市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域（古塔的底座忽略不计）做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形.
(1)若在、处分别测得塔顶的仰角为、，求塔高；
(2)求绿化区域面积的取值范围；
(3)绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到.已知，求游客所走路程的最大值.
19．布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题：
(1)若，求的大小及的值；
(2)已知的条件下，解下列两个问题：
①若，求的值；
②若，求S.
参考答案
1．C
2．A
3．B
4．D
5．C
6．A
7．B
8．A
9．AC
10．AC
11．BD
12．/
13．15
14．
15．（1）解：由复数，可得，因为，可得，
所以．
（2）解：因为为实系数方程的一根，
所以，整理得，
所以且，解得．
所以．
16．（1）解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
17．（1）设，、M、B三点共线，
∴存在非零实数k使得，
，
，解得①，
又、M、A三点共线，∴存在非零实数t使得．
．
又，，解得②．
由①②解得，，
；
（2）由（1）知，
、M、E三点共线，
∴存在非零实数h使得，
，所以
消去h得，．
18．（1）设米，
依题意可知，，
又在、处分别测得塔顶的仰角为、即，，
可知，，在中，，
据余弦定理得，
即，解得：或（舍去）
塔高为米.
（2）设，则，
则在中，据正弦定理得，故，
又依题可知，为锐角三角形，则即，
故，则，
又，则.
（3）在中，据余弦定理得，
，
，，
当且仅当时取等号，故所走路程的最大值为米.
19．（1）
在中，，
所以，而为锐角，故，所以，
所以，而，故.
又，故，
在中，由正弦定理有，所以，
在中，由正弦定理有，所以，
所以，故.
（2）
因为，所以，即，
①，所以
在中，，
在中，，
在中，，
三式相加得
，
整理得：.
②又
又由①知，
所以，
故，
整理得：，
即，
所以，即，
所以.

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