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四川省眉山市东坡区实验中学共同体2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题
一、单选题
1．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故答案为：D．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A、C选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
2．（-2018）0的值是（　　）
A．-2018 B．2018 C．0 D．1
【答案】D
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：∵20180=1，
故答案为：D.
【分析】根据如果a≠0，则a0=1即可得出答案.
3．在﹣1，0，1，﹣ 四个数中，最大的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣
【答案】C
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：∵1＞0＞﹣ ＞﹣1，
∴在﹣1，0，1，﹣ 四个数中，最大的数是1.
故答案为：C.
【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小.据此判断即可
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误，不符合题意；
B、，故选项B错误，不符合题意；
C、，故选项C正确，符合题意；
D、与不是同类项无法进行加减运算，故选项D错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
5．一种面粉的质量标识为“50±0.25千克”，则下列面粉中合格的是（　　）
A．50.30千克 B．49.51千克 C．49.80千克 D．50.70千克
【答案】C
【知识点】有理数的加法；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：50﹣0.25=49.75，
50+0.25=50.25，
所以，面粉质量合格的范围是49.75～50.25，
只有49.80千克在此范围内．
故答案为：C．
【分析】利用50﹣0.25与50+0.25得出面粉质量合格的范围是49.75～50.25，然后一一判断在此范围内即可。
6．计算2a2+a2，结果正确的是（　　）
A．2a4 B．2a2 C．3a4 D．3a2
【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：2a2+a2=3a2，
故选D．
【分析】根据合并同类项法则合并即可．本题考查了合并同类项法则的应用，能熟记合并同类项法则的内容是解此题的关键．
7．“直角”在几何学习中无处不在，下列作图作出一定是直角的是（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；圆周角定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：①因为，所以△DOC是直角三角形，且∠AOB=90°，故①符合题意；
②根据直径所对的圆周角是直角，所以∠AOB=90°，故②符合题意；
③连接CD、BD，根据作图可知：CA=CD，BA=BD，所以B、C在AD的中垂线上，所以BC垂直平分AD，即∠AOB=90°，故③正确；
④连接CD、ED、AE，根据作图可知：CA=CE，DC=DE，CA不一定等于AE，故D在CE中垂线上，但A不一定在CE中垂线上，故∠AOB不一定是90°，故④不符合题意；
故选：C.
【分析】本题综合考查直角三角形的判定方法，涉及勾股定理逆定理、圆周角定理（直径所对圆周角为直角）以及线段垂直平分线的性质。图①根据三边 3，4，5 满足勾股定理逆定理可证 AOB = 90；图②由直径所对圆周角为直角直接得 AOB = 90；图③通过作图可得 B 和 C 都在 AD 的垂直平分线上，从而 BC AD，即 AOB = 90；图④无法保证 A 在 CE 的中垂线上，故 AOB 不一定是直角。因此正确的为①②③。
8．380亿用科学记数法表示为（　　）
A．38×109 B．0.38×1013 C．3.8×1011 D．3.8×1010
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：380亿=38 000 000 000=3.8×1010．
故选：D．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于380亿有11位，所以可以确定n=11﹣1=10．
9．如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作轴于H，连接，
∵原点为正六边形的中心，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，
∴点在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故选：A．
【分析】本题以正六边形与反比例函数为背景，综合考查正六边形的性质（中心到各顶点距离相等、相邻顶点与中心构成等边三角形）、勾股定理以及点在函数图象上的坐标代入法。过点 E 作 x 轴的垂线，连接 OE，由正六边形性质得△ OED 为等边三角形，设边长为 2m，用含 m 的代数式表示 E、D 的坐标，利用平移后点 D 落在双曲线上及点 E 也在双曲线上，建立方程组求出 k 的值。
10．如图，正方形的边长为4，以正方形的边长为直径在正方形内部作半圆，以正方形的顶点为圆心，边长为半径在正方形内部作弧，求阴影部分的面积（　　）
A．6 B．12 C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，设半圆的圆心为点，连接，
∵正方形的边长为4，
，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
，
则阴影部分的面积为，
故选：B．
【分析】本题以正方形内圆弧与半圆的组合为背景，综合考查扇形面积公式、三角形面积公式以及割补法求不规则图形面积。设半圆圆心为 O，连接 OF，利用正方形性质确定相关角度与边长，分别计算扇形 AOF、扇形 BOF 及三角形 AOF 的面积，通过阴影部分面积等于两个扇形面积之和减去三角形面积的倍数关系，或通过整体面积减去空白部分面积来求解。
11．如图，内接于，且是的直径，是的切线，切点为C，且．若，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：A、∵是的直径，
∴，
∵，
∴∠ABC=90°-∠A=45°，
∴∠A=∠ABC，
∴，
如图，连接OC，
∵是的切线，切点为C，
∴，
∵点O是的中点，
∴OC=OA=OB，
∴∠A=∠ACO=45°
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴，故B不符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，
∴AB=CD，
又∵
∴，故C选项符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，故D选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB的度数，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，即可判断B；连接OC，根据切线的性质可得，再由等腰直角三角形的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定和平行四边形的判定即可证四边形是平行四边形，从而可得，即可判断A；最后根据平行四边形的性质可得，即可判断C、D．
12．如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；垂径定理；圆的对称性
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵P是直径上的动点，，
∴是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，
∴当D，P，F在一条直线上时，取最小值，
∵，
∴最小值8，此时在E点，F在C点，
当在B点，F在C点时取最大值，
∵点F是弧上动点，且与点B、C不重合，
∴．
故选：C．
【分析】本题以圆内动点最值为背景，综合考查垂径定理、线段垂直平分线的性质、轴对称求最值以及三角形三边关系。由 CD AB 且 AB 为直径，结合垂径定理得 AB 垂直平分 CD，故 PC = PD，将 m = PC + PF 转化为 m = PD + PF。连接 DF，根据“两点之间线段最短”或三角形两边之和大于第三边，当 D， P， F 共线时 PD + PF 取最小值 DF；最大值出现在 P 与 B 重合时，此时 m = BC + BF，结合勾股定理及圆的对称性可确定 m 的取值范围。
二、填空题
13．已知(a+b)2=m， (a-b)2=n， 则8ab=　 　（用m、n的代数式表示）
【答案】2m-2n
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：
【分析】根据完全平方公式将已知的两个等式左边分别展开，然后根据等式性质将两个等式直接相减可得4ab=m-n，然后再根据等式性质，在该等式两边同时乘以2即可得出答案.
14．已知：，，则代数式的值　 　．
【答案】8
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
=，
=
=8.
故答案为：8．
【分析】将已知等式移项可得x+y=8；由于，从而将待求式子变形后利用同分母分式减法法则计算，进而将分式的分子利用平方差公式分解因式，接着约分化简得出最简结果，最后整体代入计算可得答案.
15．如图，点A、B、C在半径为2的上，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵BC∥OA，∠A=30°，
∴∠C=∠A=30°，
∴由圆周角定理得：∠AOB=2∠C=60°，
∴劣弧AB的长是=，
故答案为：．
【分析】由二直线平行，内错角相等得出∠C=∠A=30°，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOB=2∠C=60°，进而根据弧长公式“”计算即可.
16．如果 x3nym+4与﹣3x6y2n是同类项，那么mn的值为　 　．
【答案】0
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：由题意可知：3n=6，m+4=2n，
解得：n=2，m=0
原式=0，
故答案为：0
【分析】根据同类项的概念即可求出答案．
17．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为半圆AB的中点，CD交AB于点E，若AC＝8，BC＝6，则BE的长为 　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接OD，作CH⊥AB于H，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=，
∵CH AB=AC BC，
∴CH=，
在Rt△BCH中，BH=，
∵点D为半圆AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴ODCH，
∴△CHE∽△DOE，
∴EH：OE=CH：OD=：5=24：25，
∴OE=EH，
∵EH+EH+=5，
∴EH=，
∴BE=EH+BH=+=．
故答案为：.
【分析】连接OD，作CH⊥AB于H，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理计算出AB=10，利用面积法计算出CH=，在Rt△BHC中，利用勾股定理计算出BH=；由垂径定理的推论得出OD⊥AB，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出OD∥CH，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△CHE∽△DOE，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出OE=EH，然后根据OE+EH+BH=OB建立方程可求出EH的长，最后再根据线段和差可求出BE的长.
18．如图，扇形中，，点C为延长线上一点，连接，以点C为圆心， 长为半径画弧，交于点 D．若，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】2
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：
是等腰直角三角形，且
故答案为：2．
【分析】易得△BCO是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质及同圆半径相等可得OC=OB=OA=2，然后在Rt△BOC中，利用勾股定理算出BC的长，利用割补法可得S阴影=S△BOC+S扇形AOB-S扇形BOD，从而结合扇形面积计算公式“”及三角形面积公式列式计算即可.
三、解答题
19．计算
⑴.5+-2
⑵.4-2（1-）+
⑶++
【答案】解：（1）原式
（2）原式
（3）原式=2+0+2=4
【知识点】二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）直接合并同类二次根式即可；
（2）先利用乘法分配律、二次根式乘法法则及二次根式性质分别计算，再合并同类二次根式及进行有理数加减法运算即可；
（3）先根据立方根定义、二次根式性质分别计算开方运算，再计算有理数的加减法运算即可.
20．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
则，
即，
∴
∴
（2）解：
∴
∴或
解得
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，利用配方法求解时，首先将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“1”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）把x-1看成一个整体，此题的常数项为0，故利用因式分解法较为简单；首先将右边部分作为一个整体移到方程的左边，然后将方程左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可得出原方程的解.
（1）∴
则，
即，
∴
∴
（2）
∴
∴或
解得
21．已知， 求代数式的值．
【答案】解：
．
，
．
原式．
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值与整体代入思想。先将分子提公因式 2，分母利用完全平方公式分解为 (x - 2y)2，约分后得；再由已知等式 x - 2y - 2 = 0 得 x - 2y = 2，整体代入即可求出原式的值。
22．先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值．
【答案】解：
，
∵，，
∴，，
∴取，原式=1+2=3
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先利用通分计算出括号内分式运算的结果，进行分式的乘法运算并分别对分子和分母分解因式，再约分得到最简分式或整式，最后再把合适的m值代入计算即可．
23．在疫情期间，线上买菜需求激增，某小区为了解居民使用买菜APP的情况，通过制作无接触配送置物架，随机抽取了若干户居民进行调查（每户必选且只能选最常用的一个APP），现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（A：天虹到家，B：叮咚买菜，C：每日优选，D：盒马鲜生）
（1）本次随机调查了______户居民；
（2）补全条形统计图的空缺部分；
（3）若小区共有2400户居民，请估计该小区居民选择“C：每日优选”的大约有______户；
（4）某日下午，王阿姨想购买橙子和卷心菜，各APP的供货情况如下：天虹到家仅有橙子在售，叮咚买菜仅有卷心菜在售，每日优选仅有卷心菜在售，盒马鲜生的橙子、卷心菜均已全部售完，求王阿姨随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率．
【答案】（1）200
（2）解：（户），
条形统计图的A：天虹到家为50户，
如图为补全的条形统计图，
（3）480
（4）解：根据题意画出树状图，
根据树状图可知：
所有等可能的结果有12种，
随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的有4种，
所以随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率是．
答：王阿姨随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意，得（户），
答：本次随机调查了200户居民；
故答案为：200；
（3）解：（户），
答：估计该小区居民选择“C：每日优鲜”的大约有480户；
故答案为：480；
【分析】本题以小区居民买菜APP使用情况调查为背景，综合考查条形统计图与扇形统计图的关联、样本估计总体以及树状图法求概率。
（1）根据扇形图中 D 组百分比与条形图中 D 组人数，用 D 组人数除以所占百分比得总人数；
（2）用总人数减去 A， B， D 三组人数得 A 组人数，补全条形图；
（3）用样本中 C 组所占比例乘以小区总户数进行估计；
（4）列出各APP供货情况，用树状图或列表法枚举随机选择两个不同APP的所有可能结果，找出能同时买到橙子和卷心菜的方案数，计算概率。
（1）解：根据题意，得（户），
答：本次随机调查了200户居民；
故答案为：200；
（2）解：（户），
条形统计图的A：天虹到家为50户，
如图为补全的条形统计图，
（3）解：（户），
答：估计该小区居民选择“C：每日优鲜”的大约有480户；
故答案为：480；
（4）解：根据题意画出树状图，
根据树状图可知：
所有等可能的结果有12种，
随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的有4种，
所以随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率是．
答：王阿姨随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率为．
24．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足分别为E、F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的直径．
【答案】（1）证明：连结，
∵为直径，
∴，
∴，
而，
∴，而，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线
（2）解：∵，
∴，
在中，，
设，
∴，
∴，
解得，
∴，
在中，∵，
∴，
即的直径为
【知识点】切线的判定；三角形的中位线定理；圆周角定理的推论；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】（1）连结OD、BD，先根据直径所对的圆周角为直角得到，再根据等腰三角形的三线合一得到，由三角形中位线定理得出，由二直线平行，同旁内角互补结合垂直定义可推出，然后根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）根据等腰三角形等边对等角得到，由等角的同名三角函数值性质及余弦函数的定义得到，则可设，在Rt△CFD中，利用勾股定理表示出DF，再结合DF的长度建立方程求出x的值，从而得到CD的长，在Rt△BCD中，利用余弦函数的定义及∠C的余弦函数值可求出BC的长.
（1）证明：连结，
∵为直径，
∴，
∴，
而，
∴，而，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
设，
∴，
∴，
解得，
∴，
在中，∵，
∴，
即的直径为．
25．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗，某食品厂生产的A，B两种粽子深受广大消费者喜爱．已知3袋A粽子和2袋B粽子进货价为170元，4袋A粽子和5袋B粽子进货价为320元．
（1）分别求出每袋A粽子，B粽子的进货价．
（2）某超市计划用不超过3450元购进A粽子，B粽子共100袋，且A粽子数量的3倍不超过B粽子数量的4倍．
①该超市有哪几种进货方案？
②若该超市每袋A粽子售价为40元，每袋B粽子售价为55元，怎样进货可使该超市销售这100袋粽子获得利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）解：设每袋A粽子，B粽子的进货价分别为x元和y元，
根据题意可得：，
解得：，
故每袋A粽子，B粽子的进货价分别为30元和40元
（2）解：①解：设购进A粽子a袋，B粽子袋，则根据题意可得：，
解得：，
∵a为正整数，
∴，
故有3种进货方案，分别为：购进A粽子55袋，B粽子45袋；购进A粽子56袋，B粽子44袋；购进A粽子57袋，B粽子43袋；
②解： 当购进A粽子55袋，B粽子45袋时：利润（元）；
当购进A粽子56袋，B粽子44袋时：利润（元）；
当购进A粽子57袋，B粽子43袋时：
利润（元）；
∵，
故购进A粽子55袋，B粽子45袋，可使该超市销售这100袋粽子获得利润最大，最大利润为1225元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每袋A粽子，B粽子的进货价分别为x元和y元，根据单价乘以数量等于总价及“3袋A粽子和2袋B粽子进货价为170元，4袋A粽子和5袋B粽子进货价为320元”，列出方程组求解即可；
（2）①设购进A粽子a袋，B粽子袋，根据单价乘以数量等于总价及“购进a袋A粽子的费用+购进(100-a)袋B粽子的费用不超过3450，且A粽子数量的3倍不超过B粽子数量的4倍”列出不等式组，求出其正整数解即可求出进货方案；
②根据①中进货方案分别计算每种进货方案获取的利润，再比大小即可得出结论.
（1）解：设每袋A粽子，B粽子的进货价分别为x元和y元，
根据题意可得：，
解得：，
故每袋A粽子，B粽子的进货价分别为30元和40元．
（2）①解：设购进A粽子a袋，B粽子袋，
则根据题意可得：，
解得：，
∵a为正整数，
∴，
故有3种进货方案，分别为：购进A粽子55袋，B粽子45袋；购进A粽子56袋，B粽子44袋；购进A粽子57袋，B粽子43袋；
②解： 当购进A粽子55袋，B粽子45袋时：利润（元）；
当购进A粽子56袋，B粽子44袋时：利润（元）；
当购进A粽子57袋，B粽子43袋时：
利润（元）；
∵，
故购进A粽子55袋，B粽子45袋，可使该超市销售这100袋粽子获得利润最大，最大利润为1225元．
26．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
（3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵ 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，
∴，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
设直线的解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，
当时，，
解得：或，
，，
设直线BC的解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解；
（3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时．
（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
由，得直线解析式为，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
1 / 1四川省眉山市东坡区实验中学共同体2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题
一、单选题
1．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（-2018）0的值是（　　）
A．-2018 B．2018 C．0 D．1
3．在﹣1，0，1，﹣ 四个数中，最大的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．一种面粉的质量标识为“50±0.25千克”，则下列面粉中合格的是（　　）
A．50.30千克 B．49.51千克 C．49.80千克 D．50.70千克
6．计算2a2+a2，结果正确的是（　　）
A．2a4 B．2a2 C．3a4 D．3a2
7．“直角”在几何学习中无处不在，下列作图作出一定是直角的是（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
8．380亿用科学记数法表示为（　　）
A．38×109 B．0.38×1013 C．3.8×1011 D．3.8×1010
9．如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（　　）
A． B． C． D．3
10．如图，正方形的边长为4，以正方形的边长为直径在正方形内部作半圆，以正方形的顶点为圆心，边长为半径在正方形内部作弧，求阴影部分的面积（　　）
A．6 B．12 C． D．
11．如图，内接于，且是的直径，是的切线，切点为C，且．若，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知(a+b)2=m， (a-b)2=n， 则8ab=　 　（用m、n的代数式表示）
14．已知：，，则代数式的值　 　．
15．如图，点A、B、C在半径为2的上，，，则的长为　 　．
16．如果 x3nym+4与﹣3x6y2n是同类项，那么mn的值为　 　．
17．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为半圆AB的中点，CD交AB于点E，若AC＝8，BC＝6，则BE的长为 　 　．
18．如图，扇形中，，点C为延长线上一点，连接，以点C为圆心， 长为半径画弧，交于点 D．若，则图中阴影部分的面积为　 　．
三、解答题
19．计算
⑴.5+-2
⑵.4-2（1-）+
⑶++
20．解方程：
（1）；
（2）．
21．已知， 求代数式的值．
22．先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值．
23．在疫情期间，线上买菜需求激增，某小区为了解居民使用买菜APP的情况，通过制作无接触配送置物架，随机抽取了若干户居民进行调查（每户必选且只能选最常用的一个APP），现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（A：天虹到家，B：叮咚买菜，C：每日优选，D：盒马鲜生）
（1）本次随机调查了______户居民；
（2）补全条形统计图的空缺部分；
（3）若小区共有2400户居民，请估计该小区居民选择“C：每日优选”的大约有______户；
（4）某日下午，王阿姨想购买橙子和卷心菜，各APP的供货情况如下：天虹到家仅有橙子在售，叮咚买菜仅有卷心菜在售，每日优选仅有卷心菜在售，盒马鲜生的橙子、卷心菜均已全部售完，求王阿姨随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率．
24．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足分别为E、F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的直径．
25．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗，某食品厂生产的A，B两种粽子深受广大消费者喜爱．已知3袋A粽子和2袋B粽子进货价为170元，4袋A粽子和5袋B粽子进货价为320元．
（1）分别求出每袋A粽子，B粽子的进货价．
（2）某超市计划用不超过3450元购进A粽子，B粽子共100袋，且A粽子数量的3倍不超过B粽子数量的4倍．
①该超市有哪几种进货方案？
②若该超市每袋A粽子售价为40元，每袋B粽子售价为55元，怎样进货可使该超市销售这100袋粽子获得利润最大，最大利润为多少元？
26．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
（3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故答案为：D．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A、C选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
2．【答案】D
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：∵20180=1，
故答案为：D.
【分析】根据如果a≠0，则a0=1即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：∵1＞0＞﹣ ＞﹣1，
∴在﹣1，0，1，﹣ 四个数中，最大的数是1.
故答案为：C.
【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小.据此判断即可
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误，不符合题意；
B、，故选项B错误，不符合题意；
C、，故选项C正确，符合题意；
D、与不是同类项无法进行加减运算，故选项D错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
5．【答案】C
【知识点】有理数的加法；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：50﹣0.25=49.75，
50+0.25=50.25，
所以，面粉质量合格的范围是49.75～50.25，
只有49.80千克在此范围内．
故答案为：C．
【分析】利用50﹣0.25与50+0.25得出面粉质量合格的范围是49.75～50.25，然后一一判断在此范围内即可。
6．【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：2a2+a2=3a2，
故选D．
【分析】根据合并同类项法则合并即可．本题考查了合并同类项法则的应用，能熟记合并同类项法则的内容是解此题的关键．
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；圆周角定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：①因为，所以△DOC是直角三角形，且∠AOB=90°，故①符合题意；
②根据直径所对的圆周角是直角，所以∠AOB=90°，故②符合题意；
③连接CD、BD，根据作图可知：CA=CD，BA=BD，所以B、C在AD的中垂线上，所以BC垂直平分AD，即∠AOB=90°，故③正确；
④连接CD、ED、AE，根据作图可知：CA=CE，DC=DE，CA不一定等于AE，故D在CE中垂线上，但A不一定在CE中垂线上，故∠AOB不一定是90°，故④不符合题意；
故选：C.
【分析】本题综合考查直角三角形的判定方法，涉及勾股定理逆定理、圆周角定理（直径所对圆周角为直角）以及线段垂直平分线的性质。图①根据三边 3，4，5 满足勾股定理逆定理可证 AOB = 90；图②由直径所对圆周角为直角直接得 AOB = 90；图③通过作图可得 B 和 C 都在 AD 的垂直平分线上，从而 BC AD，即 AOB = 90；图④无法保证 A 在 CE 的中垂线上，故 AOB 不一定是直角。因此正确的为①②③。
8．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：380亿=38 000 000 000=3.8×1010．
故选：D．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于380亿有11位，所以可以确定n=11﹣1=10．
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作轴于H，连接，
∵原点为正六边形的中心，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，
∴点在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故选：A．
【分析】本题以正六边形与反比例函数为背景，综合考查正六边形的性质（中心到各顶点距离相等、相邻顶点与中心构成等边三角形）、勾股定理以及点在函数图象上的坐标代入法。过点 E 作 x 轴的垂线，连接 OE，由正六边形性质得△ OED 为等边三角形，设边长为 2m，用含 m 的代数式表示 E、D 的坐标，利用平移后点 D 落在双曲线上及点 E 也在双曲线上，建立方程组求出 k 的值。
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，设半圆的圆心为点，连接，
∵正方形的边长为4，
，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
，
则阴影部分的面积为，
故选：B．
【分析】本题以正方形内圆弧与半圆的组合为背景，综合考查扇形面积公式、三角形面积公式以及割补法求不规则图形面积。设半圆圆心为 O，连接 OF，利用正方形性质确定相关角度与边长，分别计算扇形 AOF、扇形 BOF 及三角形 AOF 的面积，通过阴影部分面积等于两个扇形面积之和减去三角形面积的倍数关系，或通过整体面积减去空白部分面积来求解。
11．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：A、∵是的直径，
∴，
∵，
∴∠ABC=90°-∠A=45°，
∴∠A=∠ABC，
∴，
如图，连接OC，
∵是的切线，切点为C，
∴，
∵点O是的中点，
∴OC=OA=OB，
∴∠A=∠ACO=45°
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴，故B不符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，
∴AB=CD，
又∵
∴，故C选项符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，故D选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB的度数，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，即可判断B；连接OC，根据切线的性质可得，再由等腰直角三角形的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定和平行四边形的判定即可证四边形是平行四边形，从而可得，即可判断A；最后根据平行四边形的性质可得，即可判断C、D．
12．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；垂径定理；圆的对称性
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵P是直径上的动点，，
∴是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，
∴当D，P，F在一条直线上时，取最小值，
∵，
∴最小值8，此时在E点，F在C点，
当在B点，F在C点时取最大值，
∵点F是弧上动点，且与点B、C不重合，
∴．
故选：C．
【分析】本题以圆内动点最值为背景，综合考查垂径定理、线段垂直平分线的性质、轴对称求最值以及三角形三边关系。由 CD AB 且 AB 为直径，结合垂径定理得 AB 垂直平分 CD，故 PC = PD，将 m = PC + PF 转化为 m = PD + PF。连接 DF，根据“两点之间线段最短”或三角形两边之和大于第三边，当 D， P， F 共线时 PD + PF 取最小值 DF；最大值出现在 P 与 B 重合时，此时 m = BC + BF，结合勾股定理及圆的对称性可确定 m 的取值范围。
13．【答案】2m-2n
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：
【分析】根据完全平方公式将已知的两个等式左边分别展开，然后根据等式性质将两个等式直接相减可得4ab=m-n，然后再根据等式性质，在该等式两边同时乘以2即可得出答案.
14．【答案】8
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
=，
=
=8.
故答案为：8．
【分析】将已知等式移项可得x+y=8；由于，从而将待求式子变形后利用同分母分式减法法则计算，进而将分式的分子利用平方差公式分解因式，接着约分化简得出最简结果，最后整体代入计算可得答案.
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵BC∥OA，∠A=30°，
∴∠C=∠A=30°，
∴由圆周角定理得：∠AOB=2∠C=60°，
∴劣弧AB的长是=，
故答案为：．
【分析】由二直线平行，内错角相等得出∠C=∠A=30°，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOB=2∠C=60°，进而根据弧长公式“”计算即可.
16．【答案】0
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：由题意可知：3n=6，m+4=2n，
解得：n=2，m=0
原式=0，
故答案为：0
【分析】根据同类项的概念即可求出答案．
17．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接OD，作CH⊥AB于H，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=，
∵CH AB=AC BC，
∴CH=，
在Rt△BCH中，BH=，
∵点D为半圆AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴ODCH，
∴△CHE∽△DOE，
∴EH：OE=CH：OD=：5=24：25，
∴OE=EH，
∵EH+EH+=5，
∴EH=，
∴BE=EH+BH=+=．
故答案为：.
【分析】连接OD，作CH⊥AB于H，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理计算出AB=10，利用面积法计算出CH=，在Rt△BHC中，利用勾股定理计算出BH=；由垂径定理的推论得出OD⊥AB，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出OD∥CH，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△CHE∽△DOE，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出OE=EH，然后根据OE+EH+BH=OB建立方程可求出EH的长，最后再根据线段和差可求出BE的长.
18．【答案】2
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：
是等腰直角三角形，且
故答案为：2．
【分析】易得△BCO是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质及同圆半径相等可得OC=OB=OA=2，然后在Rt△BOC中，利用勾股定理算出BC的长，利用割补法可得S阴影=S△BOC+S扇形AOB-S扇形BOD，从而结合扇形面积计算公式“”及三角形面积公式列式计算即可.
19．【答案】解：（1）原式
（2）原式
（3）原式=2+0+2=4
【知识点】二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）直接合并同类二次根式即可；
（2）先利用乘法分配律、二次根式乘法法则及二次根式性质分别计算，再合并同类二次根式及进行有理数加减法运算即可；
（3）先根据立方根定义、二次根式性质分别计算开方运算，再计算有理数的加减法运算即可.
20．【答案】（1）解：
则，
即，
∴
∴
（2）解：
∴
∴或
解得
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，利用配方法求解时，首先将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“1”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）把x-1看成一个整体，此题的常数项为0，故利用因式分解法较为简单；首先将右边部分作为一个整体移到方程的左边，然后将方程左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可得出原方程的解.
（1）∴
则，
即，
∴
∴
（2）
∴
∴或
解得
21．【答案】解：
．
，
．
原式．
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值与整体代入思想。先将分子提公因式 2，分母利用完全平方公式分解为 (x - 2y)2，约分后得；再由已知等式 x - 2y - 2 = 0 得 x - 2y = 2，整体代入即可求出原式的值。
22．【答案】解：
，
∵，，
∴，，
∴取，原式=1+2=3
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先利用通分计算出括号内分式运算的结果，进行分式的乘法运算并分别对分子和分母分解因式，再约分得到最简分式或整式，最后再把合适的m值代入计算即可．
23．【答案】（1）200
（2）解：（户），
条形统计图的A：天虹到家为50户，
如图为补全的条形统计图，
（3）480
（4）解：根据题意画出树状图，
根据树状图可知：
所有等可能的结果有12种，
随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的有4种，
所以随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率是．
答：王阿姨随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意，得（户），
答：本次随机调查了200户居民；
故答案为：200；
（3）解：（户），
答：估计该小区居民选择“C：每日优鲜”的大约有480户；
故答案为：480；
【分析】本题以小区居民买菜APP使用情况调查为背景，综合考查条形统计图与扇形统计图的关联、样本估计总体以及树状图法求概率。
（1）根据扇形图中 D 组百分比与条形图中 D 组人数，用 D 组人数除以所占百分比得总人数；
（2）用总人数减去 A， B， D 三组人数得 A 组人数，补全条形图；
（3）用样本中 C 组所占比例乘以小区总户数进行估计；
（4）列出各APP供货情况，用树状图或列表法枚举随机选择两个不同APP的所有可能结果，找出能同时买到橙子和卷心菜的方案数，计算概率。
（1）解：根据题意，得（户），
答：本次随机调查了200户居民；
故答案为：200；
（2）解：（户），
条形统计图的A：天虹到家为50户，
如图为补全的条形统计图，
（3）解：（户），
答：估计该小区居民选择“C：每日优鲜”的大约有480户；
故答案为：480；
（4）解：根据题意画出树状图，
根据树状图可知：
所有等可能的结果有12种，
随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的有4种，
所以随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率是．
答：王阿姨随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率为．
24．【答案】（1）证明：连结，
∵为直径，
∴，
∴，
而，
∴，而，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线
（2）解：∵，
∴，
在中，，
设，
∴，
∴，
解得，
∴，
在中，∵，
∴，
即的直径为
【知识点】切线的判定；三角形的中位线定理；圆周角定理的推论；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】（1）连结OD、BD，先根据直径所对的圆周角为直角得到，再根据等腰三角形的三线合一得到，由三角形中位线定理得出，由二直线平行，同旁内角互补结合垂直定义可推出，然后根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）根据等腰三角形等边对等角得到，由等角的同名三角函数值性质及余弦函数的定义得到，则可设，在Rt△CFD中，利用勾股定理表示出DF，再结合DF的长度建立方程求出x的值，从而得到CD的长，在Rt△BCD中，利用余弦函数的定义及∠C的余弦函数值可求出BC的长.
（1）证明：连结，
∵为直径，
∴，
∴，
而，
∴，而，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
设，
∴，
∴，
解得，
∴，
在中，∵，
∴，
即的直径为．
25．【答案】（1）解：设每袋A粽子，B粽子的进货价分别为x元和y元，
根据题意可得：，
解得：，
故每袋A粽子，B粽子的进货价分别为30元和40元
（2）解：①解：设购进A粽子a袋，B粽子袋，则根据题意可得：，
解得：，
∵a为正整数，
∴，
故有3种进货方案，分别为：购进A粽子55袋，B粽子45袋；购进A粽子56袋，B粽子44袋；购进A粽子57袋，B粽子43袋；
②解： 当购进A粽子55袋，B粽子45袋时：利润（元）；
当购进A粽子56袋，B粽子44袋时：利润（元）；
当购进A粽子57袋，B粽子43袋时：
利润（元）；
∵，
故购进A粽子55袋，B粽子45袋，可使该超市销售这100袋粽子获得利润最大，最大利润为1225元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每袋A粽子，B粽子的进货价分别为x元和y元，根据单价乘以数量等于总价及“3袋A粽子和2袋B粽子进货价为170元，4袋A粽子和5袋B粽子进货价为320元”，列出方程组求解即可；
（2）①设购进A粽子a袋，B粽子袋，根据单价乘以数量等于总价及“购进a袋A粽子的费用+购进(100-a)袋B粽子的费用不超过3450，且A粽子数量的3倍不超过B粽子数量的4倍”列出不等式组，求出其正整数解即可求出进货方案；
②根据①中进货方案分别计算每种进货方案获取的利润，再比大小即可得出结论.
（1）解：设每袋A粽子，B粽子的进货价分别为x元和y元，
根据题意可得：，
解得：，
故每袋A粽子，B粽子的进货价分别为30元和40元．
（2）①解：设购进A粽子a袋，B粽子袋，
则根据题意可得：，
解得：，
∵a为正整数，
∴，
故有3种进货方案，分别为：购进A粽子55袋，B粽子45袋；购进A粽子56袋，B粽子44袋；购进A粽子57袋，B粽子43袋；
②解： 当购进A粽子55袋，B粽子45袋时：利润（元）；
当购进A粽子56袋，B粽子44袋时：利润（元）；
当购进A粽子57袋，B粽子43袋时：
利润（元）；
∵，
故购进A粽子55袋，B粽子45袋，可使该超市销售这100袋粽子获得利润最大，最大利润为1225元．
26．【答案】（1）解：∵ 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，
∴，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
设直线的解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，
当时，，
解得：或，
，，
设直线BC的解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解；
（3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时．
（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
由，得直线解析式为，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
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